Tóm tắt Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến

Chia sẻ: Trần Văn Gan | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận án: Xây dựng mô hình toán của đối tượng với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến; xét cả trường hợp có hệ số trễ lớn. Tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Hệ này được đặc trưng bằng quá trình gia nhiệt một phía trong lò điện trở đối với vật dầy. Trong đó quan tâm nhất tới tính phi tuyến (thay đổi) của hệ số truyền tĩnh k của lò điện trở. Ngoài ra còn quan tâm tới trường hợp thời gian trễ là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của lò. Mô phỏng và thực nghiệm để chứng minh tính chính xác và tính ổn định của nghiệm tối ưu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Kỹ thuật: Nghiên cứu điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN *** Mai Trung Thái NGHIÊN CỨU ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ VỚI THAM SỐ PHÂN BỐ, CÓ TRỄ, PHI TUYẾN Chuyên ngành: Kỹ thuật điều khiển và tự động hóa Mã số: 9 52 02 16 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KỸ THUẬT
Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Kỹ thuật Công Nghiệp Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Hữu Công Phản biện 1: ……………………………… Phản biện 2: ……………………………… Phản biện 2: ……………………………… Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái nguyên Vào hồi……., giờ…….ngày…….tháng…….năm………… Có thể tìm hiểu luận án tại: 1. Thư viện Quốc gia Việt Nam 2. Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CÓ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 1. Mai Trung Thái, Nguyễn Thị Mai Hương (2013), "Điều khiển tối ưu cho một hệ với tham số phân bố sử dụng phương pháp Gradient ", Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, Số 10, tập 110, tr. 45 52. 2. Mai Trung Thai, Nguyen Huu Cong, Nguyen Van Chi, Vu Van Dam, (2017), “Applying Pade approximation model in optimal control problem for a distributed parameter system with time delay”, International Journal of Computing and Optimization, HIKARI Ltd, Vol.4, no.1, 2017, pp. 1930 3. Mai Trung Thái, Nguyễn Th ị Mai H ươ ng (2017), “Hai ph ươ ng pháp thay thế đối tượ ng có trễ trong bài toán điều khiển tối h ệ với tham s ố phân bố”, ISSN 18591531, Tạp chí Khoa học và Công nghệ Đại học Đà nẵng, số 5 (114). 2017 – quy ển 1. 4. Cong Huu Nguyen, Mai Trung Thai (2018), “Optimal control for a distributed parameter system with timedelay, nonlinear using the numerical method. Application to onesided heat conduction system”, ISSN 23950250, International Journal of Thermal Engineering (IJTE), Vol 4, Issue 1, JanFeb 2018
1 MỞ ĐẦU 1. Đặt vấn đề Lý thuyết điều khiển tối ưu đã được nghiên cứu từ lâu song cho tới nay các tác giả chủ yếu nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu cho hệ có tham số tập trung mà chưa quan tâm nhiều tới bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố. Điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: tôi, ram, nhiệt luyện, ủ vật liệu từ, nung gạch men, cán thép,….Trong một số công nghệ, quá trình gia nhiệt được thực hiện trong lò nung thường bằng dầu nặng FO, ví dụ như quá trình nung trong cán thép hay nung phôi khi sản xuất nhôm kính. Trong trường hợp này, hàm truyền của lò nung là khâu quán tính có trễ, còn mối quan hệ giữa nhiệt độ lò là các phương trình đạo hàm riêng dạng parabolic với điều kiện biên loại 3. Nếu ta xét bài toán điều khiển tối ưu cho quá trình “nung chính xác nhất”, lúc này đối tượng điều khiển là hệ với tham số phân bố, có trễ. Với bài toán này, đã được một số tác giả quan tâm và tìm được lời giải bằng phương pháp biến phân, phương pháp dùng nguyên lý cực đại của Pontryagin hay phương pháp số như trong [8,10,72]. Trong đó phương pháp số tỏ ra ưu việt hơn cả. Tuy nhiên trong một số công nghệ khác, lò nung là lò điện, tức là đốt bằng dây điện trở như quá trình tôi, ram, nhiệt luyện các chi tiết cơ khí, ủ vật liệu từ, v.v…Lúc này hàm truyền của lò điện trở cũng là khâu quán tính bậc nhất có trễ dạng: Y( s ) k .e −τ s W( s ) = = (0.1) X( s ) (Τs +1) Nhưng, lúc này k là hệ số phụ thuộc vào nhiệt độ trong lò. Thực tế qua việc nhận dạng lò điện trở thì k thay đổi khá nhiều, ví dụ như trong lò điện trở với dải nhiệt độ thay đổi từ 05000C. (Việc này sẽ được chứng minh ở phần sau). Vậy nếu vẫn xét bài toán điều khiển tối ưu cho quá trình “nung chính xác nhất” thì đây là bài toán điều khiển tối ưu cho đối tượng với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Chính sự phi tuyến của k làm cho lời giải của bài toán trở nên rất phức tạp. Do vậy để bài toán có thể được ứng dụng trong thực tế, luận án này tìm cách đưa ra lời giải cho bài toán với điểm khác biệt lớn nhất là tính phi tuyến của k . Bài toán điều khiển tối ưu vẫn được thực hiện bằng phương pháp số. Lời giải cho trường hợp xét tới tính phi tuyến của k chưa được các tác giả trong và ngoài nước nghiên cứu. Ngoài ra, để mở rộng bài toán điều khiển tối ưu, luận án cũng xét thêm trường hợp hệ số trễ ( ) của lò điện trở là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của nó. 2. Tính cấp thiết của luận án Điều khiển tối ưu theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất cho hệ với tham số phân bố được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau trong các lĩnh vực công nghiệp. Các n ghiên cứu trước đây [10,79] cũng đã giải quyết bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ. Nếu trong lĩnh vực lò nung thì bài toán này đã được áp dụng cho các công nghệ lò đốt bằng dầu nặng FO. Tuy nhiên, với một số công nghệ như ủ vật liệu từ, tôi ram nhiệt luyện chi tiết máy thì lò nung được thực hiện bằng lò điện. Vì vậy đây là bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Với bài toán này, hiện nay
2 chưa có sự nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước, vì vậy đề tài này có tính cấp thiết và nếu được giải quyết sẽ một mặt bổ sung vào lý thuyết điều khiển cho hệ có tham số phân bố, mặt khác cũng mở ra khả năng ứng dụng vào thực tế. 3. Mục tiêu của luận án Xây dựng mô hình toán của đối tượng với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến; xét cả trường hợp có hệ số trễ lớn. Tìm ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số. Hệ này được đặc trưng bằng quá trình gia nhiệt một phía trong lò điện trở đối với vật dầy. Trong đó quan tâm nhất tới tính phi tuyến (thay đổi) của hệ số truyền tĩnh k của lò điện trở. Ngoài ra còn quan tâm tới trường hợp thời gian trễ ( ) là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của lò. Mô phỏng và thực nghiệm để chứng minh tính chính xác và tính ổn định của nghiệm tối ưu. 4. Đối tượng, phạm vi và phương pháp nghiên cứu của luận án Đối tượng nghiên cứu: Hệ thống điều khiển nhiệt độ lò điện trở và vật nung, đó là một hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu đối tượng động học có trễ mà có thời gian trễ ( ) là lớn đáng kể so với hằng số thời gian (T) của nó, tức là khi đối tượng có tỷ số T/ thỏa mãn điều kiện 6 T/
3 Những đóng góp trên có ý nghĩa khoa học, có giá trị thực tiễn, có thể áp dụng cho bài toán nung chính xác nhất trong quá trình gia nhiệt ở lò điện trở, ví dụ áp dụng trong một số lĩnh vực như quá trình tôi, ram, nhiệt luyện các chi tiết máy, ủ vật liệu từ, v.v… 6. Cấu trúc của luận án: Luận án được trình bày trong 4 chương chính và phần kết luận như sau: Chương 1: Tổng quan về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến Chương 2: Đề xuất và giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến bằng phương pháp số sử dụng phép biến đổi Laplace. Chương 3: Các chương trình tính toán và các kết quả mô phỏng Chương 4. Thực nghiệm kiểm chứng chất lượng phương pháp đã đề xuất trên mô hình hệ thống thực. Kết luận và kiến nghị CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ VỚI THAM SỐ PHÂN BỐ, CÓ TRỄ, PHI TUYẾN. 1.1. Tổng quan chung 1.2. Tổng quan các công trình nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến trong và ngoài nước. Lý thuyết về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố (DPS) đã được nghiên cứu từ thập niên 60 của thế kỷ trước. Buttkovskii và Lerner đã đưa ra bài báo đầu tiên trong lĩnh vực này vào năm 1960 [36], bắt đầu từ nguyên lý cực đại cho một lớp các hệ thống tham số phân bố. Điều này đã cho ra một loạt các bài báo từ Butkovskii [32,34,35]. Các nghiên cứu này đã đề cập đến việc mô tả bài toán và nguyên lý cực đại cho một hệ tham số phân bố được mô tả bởi một tập các phương trình tích phân phi tuyến. Các kết quả nghiên cứu [29,46,72,86], các tác giả đã dùng nguyên lí cực đại của Pôntriagin và phương pháp biến phân để đưa ra lời giải cho bài toán điều khiển tối ưu một hệ với tham số phân bố (cụ thể là bài toán truyền nhiệt một phía trong lò gia nhiệt). Khi tìm nghiệm tối ưu thường dẫn đến phải giải các phương trình Fredhom loại một nên rất khó giải, khó khẳng định được sự tồn tại nghiệm. Đặc biệt khi hàm điều khiển v (t) có kèm theo điều kiện ràng buộc thì việc tìm nghiệm của các phương trình trên là rất khó khăn. Việc ứng dụng các kết quả này vào thực tế gặp khó khăn vì nghiệm tối ưu v*(t) là các hàm đổi dấu tức thời, tức là tín hiệu điều khiển thuộc dạng “bangbang” xung vuông. Song v*(t) ở đây chính là nhiệt độ lò nên không thể thay đổi đột ngột được vì có quán tính nhiệt khá lớn, nhất là khi tần suất thay đổi nhiều. Ở Việt Nam, vấn đề này đã được một số học giả tiếp cận, nghiên cứu trong khoảng hơn một thập niên trở lại đây. Các kết quả nghiên cứu chủ yếu là các bài báo, luận văn
4 thạc sỹ của một số học viên cao học thuộc một số trường Đại học trong cả nước. Theo hiểu biết của tác giả, hiện nay các công trình nghiên cứu về hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến, đặc biệt khi hệ này được áp dụng cho bài toán truyền nhiệt một phía trong lò nung là lò điện (tức là đốt bằng dây điện trở áp dụng cho các quá trình tôi, ram, nhiệt luyện các chi tiết cơ khí, ủ vật liệu từ,…) để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất ở trong nước chưa có tác giả nào nghiên cứu, chủ yếu mới dừng lại ở nghiên cứu về hệ với tham số phân bố, có trễ, điển hình là một số bài báo và luận án tiến sĩ như [7,8,9,10,11] Đặc biệt, theo [10], luận án nghiên cứu giải bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố có trễ, hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò nung để điều khiển nhiệt độ cho phôi tấm theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất, quá trình gia nhiệt cho lò nung bằng dầu nặng FO, ví dụ như quá trình nung trong cán thép hay nung phôi khi sản xuất nhôm kính. [10] đã đưa ra hướng khắc phục nhược điểm của [29,46,72,86] bằng cách không dùng tác động điều khiển là nhiệt độ lò v(t) mà là công suất p(t) cung cấp cho lò thông qua một khâu chuyển đổi. Công suất cung cấp cho lò nếu dùng năng lượng điện thì việc đóng mở các hệ thống cung cấp điện (ví dụ như rơle, công tắc tơ, bộ biến đổi thyristor…) được thực hiện rất nhanh vì các thiết bị đóng cắt có quán tính nhỏ. Điều này hoàn toàn có thể thực hiện được trong thực tế. Khâu chuyển đổi biểu thị mối quan hệ giữa công suất cung cấp cho lò và nhiệt độ lò, nó là một khâu quán tính bậc nhất có trễ, trong đó khâu trễ e −τ s đã được xấp xỉ bằng một khâu quán tính bậc nhất theo xấp xỉ Taylor. Ngoài ra, [10] xét đối với trường hợp khâu quán tính bậc nhất có trễ có thời gian trễ ( ) là khá nhỏ so với hằng số thời gian ( T) của nó, cụ thể là tỷ số T/ thỏa mãn điều kiện T/ > 10 [7]. Sau khi đưa thêm vào khâu chuyển đổi, hàm điều khiển tối ưu cần tìm là p*(t) chính là công suất cung cấp cho lò chứ không phải là nhiệt độ lò v(t). Như vậy, dù hàm điều khiển tối ưu p*(t) có dạng bangbang (dạng xung vuông) tức là có dạng biến thiên nhảy cấp thì hoàn toàn có thể thực hiện được vì quán tính của các phần tử điện là rất nhỏ so với các phần tử nhiệt. Nội dung luận án [10] đã giải quyết được một số vấn đề chính như sau: Xét với công nghệ gia nhiệt cho các lò nung phôi cán được cung cấp năng lượng bằng việc đốt nguyên liệu là dầu nặng FO. Việc điều chỉnh công suất cung cấp cho lò là điều chỉnh lưu lượng dầu để phối hợp với lượng không khí trong quá trình đốt. Xét với đối tượng có trễ nhỏ, cụ thể là đối tượng có tỷ số T/ thỏa mãn điều kiện T/ 10 [7], khâu trễ e −τ s được thay thế bằng khâu quán tính bậc nhất theo xấp xỉ Taylor. Đã giải được bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ khi xét các hệ số a, , k của lò và vật nung là hằng số. Chưa đề cập đến phần phi tuyến, cụ thể là chưa giải bài toán điều khiển tối ưu khi xét các hệ số a, , k là phi tuyến (thực tế các hệ số này luôn thay đổi theo nhiệt độ của môi trường không khí trong lò nung, tức là chúng có tính phi tuyến).
5 1.3. Những vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến và hướng nghiên cứu của luận án Một số vấn đề tồn tại cần được tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện: Cho đến thời điểm này, tác giả vẫn chưa tìm thấy được nhiều công trình nghiên cứu về điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến, đặc biệt hệ này được áp dụng cho hệ thống truyền nhiệt một phía trong lò điện trở để điều khiển nhiệt độ cho vật nung có dạng tấm phẳng theo tiêu chuẩn nung chính xác nhất (áp dụng cho một số công nghệ như ủ vật liệu từ, tôi ram nhiệt luyện các chi tiết cơ khí,…). Ngoài ra, hiện nay cũng chưa có nhiều công trình khoa học ở trong và ngoài nước đưa ra một cách chính xác biểu thức toán học mô tả các hệ số a, , k trong phương trình truyền nhiệt là phi tuyến, các hệ số này chủ yếu được xác định gần đúng thông qua thực nghiệm. Hướng nghiên cứu mới của luận án là: Thành lập bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến Nghiên cứu đối tượng có trễ khá lớn, cụ thể là đối tượng có tỷ số T/ thỏa mãn điều kiện 6 T/
6 ĐỀ XUẤT VÀ GIẢI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU CHO HỆ VỚI THAM SỐ PHÂN BỐ, CÓ TRỄ, PHI TUYẾN BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ SỬ DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 2.1. Thành lập bài toán điều khiển tối ưu 2.1.1. Mô hình đối tượng Quá trình đốt nóng một phía cho vật nung có dạng tấm phẳng trong lò điện trở được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm riêng [10], [79]. 2 q ( x, t ) q ( x, t ) a 2 = (2.1) x t trong đó: q(x,t) là phân bố nhiệt độ trong vật nung, phụ thuộc vào tọa độ không gian x với (0 x L) và thời gian t với (0 t tf ), L là bề dầy của vật (m), tf là thời gian nung cho phép (s), a là hệ số dẫn nhiệt độ (m2/s). Các điều kiện đầu và điều kiện biên [10,79]: q( x,0) = q0 ( x) = const (2.2) q ( x, t ) λ = α [ q (0, t ) − v(t ) ] (2.3) x x =0 q ( x, t ) = 0 (2.4) x x =L Với là hệ số trao đổi nhiệt giữa môi trường không khí trong lò và vật (w/m2.độ); v(t) là nhiệt độ của môi trường không khí trong lò ( 0C); q(0,t) là phân bố nhiệt độ tại bề mặt vật; q0(x) là hàm phân bố nhiệt độ ban đầu của vật (hằng số, coi như bằng nhiệt độ môi trường); là hệ số dẫn nhiệt của vật (W/m.độ). Nhiệt độ của môi trường không khí trong lò v(t) là đại lượng trung gian được điều khiển bởi đầu vào là điện áp cung cấp u(t), phân bố nhiệt độ trong vật q(x,t) được điều khiển thông qua nhiệt độ của môi trường không khí trong lò v(t), nhiệt độ v(t) này lại được điều khiển bởi điện áp u(t). Như vậy, thực chất sự phân bố nhiệt trong vật nung q(x,t) sẽ phụ thuộc vào điện áp cung cấp u(t). Quan hệ giữa điện áp cung cấp cho lò u(t) và nhiệt độ lò v(t) thường gặp là một khâu quán tính bậc nhất, có trễ theo phương trình [6,8,10,79]: T .v& (t ) + v(t ) = k .u (t −τ ) (2.5) trong đó: T là hằng số thời gian của lò (s), là thời gian trễ của lò (s), k là hệ số truyền tĩnh của lò (hằng số), u(t) là điện áp cung cấp cho lò (hàm điều khiển của hệ thống). Tuy nhiên, trong biểu thức (2.5), lúc này k là hệ số thay đổi phụ thuộc vào nhiệt độ trong lò, tức là k là một hàm số theo nhiệt độ v, khi đó hệ số truyền tĩnh có thể được biễu qua phương trình: k = k (v ) , do đó k là một hệ số phi tuyến. Thực tế qua việc nhận dạng lò điện trở thì k thay đổi khá nhiều, ví dụ như trong lò điện trở với dải nhiệt độ thay đổi từ 05000C. ( Việc này sẽ được chứng minh ở phần sau). Lúc đó quan hệ giữa u(t) và v(t) có thể được biểu diễn theo phương trình:
7 Τ.v& (t ) + v(t ) = k .u (t −τ ) (2.6) với k là hệ số truyền tĩnh phi tuyến của lò. Như vậy, đối tượng điều khiển (lò điện trở vật nung) được mô tả bằng phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc haidạng parabolic (2.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (2.2), (2.3), (2.4) kết hợp với phương trình vi phân thường, có trễ, phi tuyến (2.6). Có thể thấy đây là một dạng bài toán điển hình của một hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến. Tuy nhiên, khi hệ số k là phi tuyến thì rất khó tìm được lời giải và không áp dụng được phép biến đổi Laplace. Vì vậy, luận án sẽ thực hiện tuyến tính hóa hệ số k thành N giá trị là: k1 , k2 , k3 ,..., k N . Giả thiết, k1 , k2 , k3 ,..., k N là các hằng số. 2.1.2. Phiếm hàm mục tiêu Bài toán điều khiển tối ưu được đặt ra như sau: tìm một hàm điều khiển u(t), với 0 t tf sao cho cực tiểu hoá sai lệch nhiệt độ giữa phân bố nhiệt độ mong muốn q*(x) với nhiệt độ thực của vật tại thời điểm t = tf cho trước q(x,tf ), tức là hàm mục tiêu: L 2 J c = q* ( x) − q ( x, t f ) ￹￻ dx min (2.7) 0 Trong hàm mục tiêu cần cực tiểu thì q*(x) là phân bố nhiệt độ mong muốn (cho trước), còn q(x,tf) là hàm chưa biết. Rõ ràng hàm q(x,tf) là giá trị của hàm q(x,t) tại thời điểm t=tf, được hiểu là cuối quá trình gia nhiệt đảm bảo sự đồng đều nhiệt độ nhất trong toàn bộ vật nung. Bài toán loại này được gọi là bài toán nung chính xác nhất. Hàm q(x,t) là nghiệm của phương trình vi phân (2.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (2.2), (2.3), (2.4), hàm q(x,t) sau khi tính được chắc chắn phải phụ thuộc vào điện áp cung cấp cho lò u(t). 2.1.3. Điều kiện ràng buộc 2.1.4. Các bước giải Quá trình tìm lời giải tối ưu gồm hai bước sau: Bước 1: Tìm quan hệ giữa phân bố nhiệt độ trong vật nung q(x,t) và tín hiệu điều khiển điện áp u(t). Đây chính là việc giải phương trình truyền nhiệt (phương trình đạo hàm riêng Parabolic) với điều kiện biên loại 3 (cho biết quy luật trao đổi nhiệt giữa bề mặt của vật với môi trường xung quanh và nhiệt độ của môi trường xung quanh) kết hợp với phương trình vi phân thường có trễ, phi tuyến (quan hệ giữa u(t) và v(t)) Bước 2: Phân bố nhiệt độ trong vật nung q(x,t) tìm được sẽ phụ thuộc vào hàm điều khiển u(t). Thay q(x,t) tìm được ở bước 1 vào phiếm hàm mục tiêu (2.7), sau đó dùng phương pháp số để thay cho việc cần cực tiểu một phiếm hàm thành việc cực tiểu một hàm nhiều biến để tìm ra nghiệm tối ưu u*(t). 2.2. Giới thiệu phương pháp xấp xỉ Pade 2.2.1. Đặt vấn đề
8 2.2.2. Phương pháp xấp xỉ Pade Xét một đối tượng có trễ dạng e −τ s được khai triển thành chuỗi lũy thừa: e −τ s = ( −τ s ) β (2.17) β =0 β! Với r = 1, ta có xấp xỉ Pade bậc một (Pade 1): 2 −τ s e−τ s (2.21) 2 +τ s Với r = 2, ta có xấp xỉ Pade bậc hai (Pade 2): 12 − 6τ s +τ 2 s 2 e−τ s (2.22) 12 + 6τ s +τ 2 s 2 Với r = 3,4,...ta có xấp xỉ Pade với bậc cao hơn. với r là số bậc cần thay thế; là thời gian trễ của đối tượng. 2.3. Phương pháp tính gần đúng tích phân xác định 2.4. Nhận dạng mô hình lò điện trở 2.4.1. Mô hình lò điện trở Input Output Lò điện trở Điện áp Nhiệt độ Hình 2.5. Mô hình lò điện trở 2.4.2. Hàm truyền lò điện trở Theo Ziegler – Nichols thì mô hình lò điện trở có thể được biểu diễn dưới dạng hàm truyền là một khâu quán tính bậc nhất có trễ như sau [6]: V (s) k .e −τ s W( s ) = = (2.35) U ( s ) (Τs +1) trong đó: T là hằng số thời gian của lò (s); τ là thời gian trễ của lò (s); k là hệ số khuếch đại (hệ số truyền tĩnh) của lò; V(s) là nhiệt độ của lò (0C); U(s) là điện áp đặt vào lò (V). Nhận dạng mô hình lò điện trở: Sơ đồ khối hệ thống thí nghiệm để nhận dạng như hình 2.7 BBĐ u(t) v(t) Lò điện trở công suất Điện áp lưới Matlab/Simulink Card NI USB6008 Hình 2.7. Sơ đồ hệ thống thu thập dữ liệu. Đặt vào lò một điện áp dạng bước nhảy: u(t) = 220.1(t) ta thu được ở đầu ra đáp ứng nhiệt độ trong lò như hình 2.8:
9 550 500 450 Nhiet do (0C) 400 350 300 250 τ ≈ 130s 200 150 100 T≈ 1200 s 50 0 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 Thoi gian (s) Hình 2.8. Đáp ứng nhiệt độ của lò với u = 220.1(t) Nhận xét: Từ kết quả hình 2.8, ta thấy: Đặc tính của lò có dạng của một khâu quán tính bậc nhất có trễ, các hằng số thời gian của lò được xác định như sau: T 1200 (s); τ 130 (s) Hệ số truyền tĩnh k của lò: k = v / U 500 / 220 2, 27 f f trong đó v là nhiệt độ đặt, U là điện áp cung cấp cho lò Khi nhiệt độ lò v(t) bằng vf thì k = const , tuy nhiên v(t) phụ thuộc vào thời gian t, khi v(t) thay đổi từ nhiệt độ môi trường v0 đến nhiệt độ đặt vf thì k cũng thay đổi phụ thuộc vào v(t), tức là k const . Để xác định chính xác hệ số k tại mỗi thời điểm t là rất khó khăn Mục tiêu của luận án là tìm lời giải cho bài toán (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) và (2.6) khi xét hệ số truyền tĩnh của lò là phi tuyến và coi các hệ số a, của vật là hằng số. Để k phân tích sự thay đổi hệ số k theo nhiệt độ v(t), về lý thuyết có thể thực hiện như sau: Giữ nhiệt độ đặt vf = const, gọi các khoảng thay đổi điện áp là Δu (V), các khoảng thay đổi của nhiệt độ lò là Δv (0C). Đặt vào lò các điện áp thay đổi theo dạng bậc thang, sau một khoảng thời gian Δt, điện áp tăng lên một lượng Δu cho tới điện áp u = 220 (V), khi đó hệ số truyền tĩnh k của lò ứng với mỗi khoảng thời gian Δt có thể được tính: ki = ∆vi / ∆ui (i = 1, 2,3,..., N ) (2.36) Từ (2.36), ta thấy với nhiệt độ đặt vf và điện áp hiệu dụng 220V, ứng với mỗi cặp giá trị (Δu, Δv) ta sẽ có N giá trị k , do đó khi áp dụng để tìm lời cho bài toán thì khối lượng tính toán sẽ rất lớn. Để đơn giản hóa lời giải cho bài toán, t ác giả đã thực hiện như sau: Không cung cấp trực tiếp điện áp 220V mà đặt vào lò các điện áp thay đổi theo dạng bậc thang, sau mỗi khoảng thời gian Δt = 4500 (s), nếu điện áp tăng lên một lượng Δu thì nhiệt độ lò sẽ tăng tương ứng một lượng là Δv cho tới điện áp U = 220 (V) thì nhiệt độ lò sẽ đạt tới nhiệt độ đặt vf =500 (0C), thời gian thí nghiệm là t = 13500 (s). Thực tế ta sẽ có vô số cặp giá trị (Δu, Δv) tương ứng sẽ có nhiều giá trị k , qua nhận dạng lò điện trở thực tế, nhận thấy k có thể chỉ cần 3, 4 hoặc 5 giá trị đã đảm bảo độ chính xác (nhiệt độ đầu ra
10 sẽ đạt nhiệt độ đặt là vf 500 C). Do đó trong khoảng nhiệt độ đặt vf, để đơn giản 0 hóa lời giải cho bài toán tối ưu về sau, luận án chỉ xét với 3 giá trị của hệ số k , đó là k = { k1 , k2 , k3 } . Ta có đường cong thực nghiệm như hình 2.9. Nhiet do (oC) 400 200 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Dien ap (V) 200 150 100 50 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Thoi gian (s) Hình 2.9. Kết quả thực nghiệm nhận dạng mô hình lò điện trở Nhận xét: Từ đường đặc tính thực nghiệm hình 2.9 và công thức (2.36), ta thấy hệ số truyền tĩnh k của lò không phải hằng số mà thay đổi phụ thuộc vào nhiệt độ trong lò. Việc chia hệ số truyền tĩnh k của lò ra làm 3 giá trị là kết quả sau khi nhận dạng lò điện trở thực tế. Để xác định các hệ số k như hình 2.9, ta có sơ đồ hình 2.10. 550 Δv3 500 450 Δv 2 400 Nhiet do (oC) 350 300 250 200 Δv 1 150 100 50 0 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 Thoi gian (s) Hình 2.10. Đáp ứng nhiệt độ của lò để xác định các Δv . Từ hình 2.9 và hình 2.10, ta xác định được các khoảng thay đổi nhiệt độ Δv và các khoảng thay đổi điện áp Δu, từ đó tính được các hệ số truyền tĩnh k của lò ứng với mỗi khoảng thời gian Δt như sau: Bảng 2.3. Bảng xác định hệ số truyền tĩnh k STT Δv (0C) Δu (V) k ∆ v ∆u 1 350 185 1,8 2 100 30 3,3 3 25 5 5
11 Từ hình 2.10 và bảng 2.3, ta thấy hệ số truyền tĩnh k của lò sẽ tăng khi nhiệt độ trong lò tăng lên theo thời gian. Khi nhiệt độ lò thay đổi từ nhiệt độ môi trường đến khoảng 500 (0C) thì giá trị của k thay đổi khá lớn. Như vậy, qua việc phân tích ở trên, ta thấy hệ số truyền tĩnh k thay đổi phụ thuộc vào nhiệt độ lò v(t) mà nhiệt độ lò v(t) lại thay đổi theo thời gian t tức là hệ số truyền tĩnh k cũng thay đổi theo thời gian t . Trong khoảng nhiệt độ cho trước, chính sự tuyến tính hóa hệ số k ra làm 3 giá trị là k1 ; k2 ; k3 sẽ làm cho lời giải của bài toán trở nên đơn giản hơn mà độ chính xác có thể chấp nhận được (kết quả của lời giải sẽ được chứng minh ở nội dung chương 3).. 2.5. Lời giải của bài toán tối ưu Luận án đề xuất phương án giải bài toán tối ưu cho hệ trên như sau: chia khoảng thời gian nung vật từ 0÷tf ra làm 3 khoảng thời gian bằng nhau Δt1 = Δt2 = Δt3 và gọi: + Δt1 = 0÷t1 ứng với khoảng nhiệt độ lò thay đổi từ v0÷v1 là Δv1, ta có hệ số k1 + Δt2 = t1÷t2 ứng với khoảng nhiệt độ lò thay đổi từ v1÷v2 là Δv2, ta có hệ số k2 + Δt3 = t2÷tf ứng với khoảng nhiệt độ lò thay đổi từ v2÷vf là Δv3, ta có hệ số k3 với: t = t / 3; t = 2t / 3; tf là thời nung cho phép; v0 là nhiệt độ môi trường, vf là nhiệt độ 1 f 2 f xác lập (nhiệt độ yêu cầu). Cụ thể xét trong khoảng thời gian Δt1 =0÷t1 như sau: 2.5.1. Tìm quan hệ giữa q1(x,t) và tín hiệu điều khiển u1(t) Để tìm quan hệ giữa q1(x,t) và u1(t), ta dùng phép biến đổi Laplace thuận đối với tham số thời gian t (khi áp dụng phép biến đổi Laplace với tham số thời gian t thì phương trình vi phân đạo hàm riêng (2.1) đã được đưa về phương trình vi phân thường đối với biến x), sau đó dùng phương pháp số để đưa ra lời giải cho quá trình truyền nhiệt. Để giải phương trình đạo hàm riêng (2.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (2.2), (2.3), (2.4), áp dụng phép biến đổi Laplace đối với tham số thời gian t, được phương trình: 2 Q1 ( x, s ) a = sQ1 ( x, s ) (2.38) x2 2 Q1 ( x, s ) s hoặc = Q1 ( x, s) (2.39) x2 a trong đó: Q1 ( x, s ) = L { q1 ( x, t )} Sau khi biến đổi các điều kiện biên (2.3), (2.4), ta được: Q1 ( x, s ) λ = α [ Q1 (0, s) −V1 ( s ) ] (2.40) x x =0 Q1 ( x, s ) =0 (2.41) x x =L
12 Từ phương trình (2.6), dùng phép biến đổi Laplace, trong đó ta coi khâu trễ e s được thay thế gần đúng bằng một khâu xấp xỉ Pade bậc một, ta được: τs 1− (Ts +1)V1 ( s ) = k1.U1 ( s ).e −τ s k1.U1 ( s ) 2 (2.42) τs 1+ 2 Trong đó: V1 (s) = L { v1 (t )} ; U1 ( s ) = L { u1 (t )} Nghiệm tổng quát của (2.39) là: s s .x − .x Q1 ( x, s ) = A1 ( s ).e a + B1 ( s ).e a (2.43) Giải phương trình (2.43), cuối cùng ta được : s s s s − .L .x .L − .x e a .e a +e .e a a Q1 ( x, s ) = −α.V1 ( s ). s − s .L s .L ￹ − s .L s .L ￹ (2.58) λ. . e a −e a ￺ − α. e a +e a ￺ a ￻￺ ￻￺ Từ (2.42), ta có: τs 1− V1 ( s ) = k1.U1 ( s ) 2 (2.59) τs ( Ts +1) 1 + 2 Thay (2.59) vào (2.58), ta được: .( L − x ) ￹ s s τs − .( L − x ) k1 . 1 − e a +e a ￺ 2 ￺ Q1 ( x, s ) = U1 ( s ) ￻ s (2.61) τs − s s ￹ s s ￹ .L .L a . e− .L .L ( Ts + 1) 1+ e a +e a ￺ − λ. a −e a ￺ � 2 ￺ α ￺ ￻ ￻ Đặt: .( L − x ) ￹ s s τs − .( L − x ) k1. 1 − e a +e a ￺ 2 ￺ G1 ( x, s ) = ￻ s (2.62) τs − s s ￹ s s .L ￹ .L .L a . e− .L ( Ts + 1) 1+ e a +e a ￺ − λ. a −e a ￺ � 2 ￺ α ￺ ￻ ￻ Từ (2.61) và (2.62), suy ra: Q1 ( x, s) = G1 (x, s ).U1 ( s) (2.63) Như vậy ta đã xây dựng được mối quan hệ giữa tín hiệu điều khiển điện áp U1(s) và phân bố nhiệt độ Q1(x,s) dưới dạng toán tử. Từ (2.63), theo định lý về tích chập [8,10,12,79], ta có: q1(x,t) = g1(x,t)* u1(t)
13 Vậy ta có thể viết: + q1 ( x, t ) = g1 ( x,τ ).u1 (t −τ )dτ (2.64) − + hoặc: q1 ( x, t ) = g1 ( x, t −τ ).u1 (τ ) dτ (2.65) − trong đó: g1 ( x, t ) = L −1 { G1 ( x, s )} (2.66) Vì vậy, nếu ta biết được hàm g1(x,t) ta sẽ tính được phân bố nhiệt q1(x,t) từ hàm điều khiển u1(t). Ta sẽ đi tìm hàm g1 ( x, t ) = L −1 { G1 ( x, s)} . Để tìm hàm gốc g1(x,t), ta áp dụng công thức biến đổi ngược [8,10,14,79]. Sau khi biến đổi, cuối cùng ta được:  Hàm g1(x,t) theo Pade 1: ( k1.k02 2 + τ k02 .cos ) k0 a ( L − x) 2 g1 ( x, t ) = .e − k0 t + ( 2 − τ k02 ) k L λk cos 0 − 0 sin 0 ￺ a α a k L ￹ a ￻ k1 2k1.k12 .cos ( L − x) a 2 + .e −k1 t + ( 1 −Tk12 ) kL cos 1 a − λk1 α a kL ￹ sin 1 ￺ a ￻ ( 2α k1 2 + τ .Ψ i 2 cos ) Ψi a ( L − x) 2 −Ψ i t + .e Ψ i .L ￹ i=2 ( )( λ 1 − T Ψ i 2 2 − τ .Ψ i 2 ) λ +αL λ .Ψ i a sin Ψ i .L a + L a cos a ￺ (2.94) ￻ Để tìm phân bố nhiệt độ q2(x,t) với t nằm trong khoảng Δt2 =t1÷t2 và phân bố nhiệt độ q3(x,t) với t nằm trong khoảng Δt3 =t2÷tf , ta cũng biến đổi tương tự như trường hợp tìm q1(x,t), cuối cùng ta cũng được kết quả như sau:  Hàm g2(x,t) theo Pade 1: ( k2 .k02 2 + τ k02 .cos ) k0 a ( L − x) 2 g 2 ( x, t ) = .e − k0 t + ( 2 − τ k02 ) k L λk cos 0 − 0 sin 0 ￺ a α a k L ￹ a ￻ k1 2k2 .k12 .cos ( L − x) a 2 + .e −k1 t + ( 1 −Tk12 ) kL cos 1 a − λk1 α a kL ￹ sin 1 ￺ a ￻
14 ( 2α k2 2 + τ .Ψ i 2 cos ) Ψi a ( L − x) 2 −Ψ i t + .e Ψ i .L ￹ i=2 ( )( λ 1 − T Ψ i 2 2 − τ .Ψ i 2 ) λ +αL λ .Ψ i a sin Ψ i .L a + L a cos a ￺ (2.95) ￻  Hàm g3(x,t) theo Pade 1: ( k3.k02 2 + τ k02 .cos k0 a ) ( L − x) 2 g 3 ( x, t ) = .e −k0 t + ( 2 − τ k02 ) k L cos 0 − a λ k0 α a k L ￹ sin 0 ￺ a ￻ k1 2k3 .k12 .cos ( L −x) a 2 + .e −k1 t + λk1 (1 −Tk12 ) k L cos 1 a − α a k L ￹ sin 1 a ￻ ￺ ( 2α k3 2 + τ .Ψ i 2 ) cos Ψi a ( L − x) −Ψi t 2 + .e Ψ i .L ￹ i =2 ( λ 1 − T Ψi 2 ) ( 2 − τ .Ψ ) i 2 λ + αL λ.Ψi a sin Ψi .L a + L a cos a ￺ (2.96) ￻ k0 = 1 / T ; k1 = 2 / τ ; k1; k2 ; k3 là các hệ số truyền tĩnh của lò ứng với các khoảng thời gian Δt1; Δt2; Δt3. Trường hợp khâu trễ e−τ s được thay thế bằng phép xấp xỉ Taylor thì phương trình (2.42) trở thành: U (s) (Ts +1)V1 ( s ) = k1.U1 ( s ).e −τ s k1 1 (2.42)’ τ s +1 Để tìm các hàm gμ(x,t) ( µ = 1 3 ) ứng với 3 trường hợp của hệ số k , ta biến đổi tương tự như trường hợp Pade 1, cuối cùng ta cũng được kết quả các hàm gμ(x,t) theo khai triển Taylor. Trong các biểu thức (2.94), (2.95) và (2.96) các i được tính từ công thức: Ψi = φi a / L ; với i là nghiệm của phương trình: φ.tgφ = α L / λ = Bi ; Bi là hệ số BIO của vật liệu; là hệ số truyền nhiệt từ không gian lò vào vật (w/m 2.độ); là hệ số dẫn nhiệt của vật cần gia nhiệt (w/m.độ); L là bề dày vật nung (m); a là hệ số dẫn nhiệt độ (m2/s); là thời gian trễ của lò (s); T là hằng số thời gian của lò (s) 2.5.2. Tìm lời giải cho hàm phân bố trường nhiệt độ q(x,t) Tại mỗi thời điểm t (0 ≤ t ≤ tf ), hàm q(x,t) được tính tương ứng với 3 trường hợp: + Nếu 0 ≤ t ≤ t1 thì: t q ( x, t ) = g1 ( x, t − τ ).u (τ )dτ (2.116) 0
15 + Nếu t1 ≤ t ≤ t2 thì: t1 t q ( x, t ) = g1 ( x, t − τ ).u (τ )dτ + g 2 ( x, t − τ ).u (τ )dτ (2.117) 0 t1 + Nếu t2 ≤ t ≤ tf thì: t1 t2 t q ( x, t ) = g1 ( x, t −τ ).u (τ )dτ + g 2 ( x, t −τ ).u (τ )dτ + g 3 ( x, t −τ ).u (τ )dτ (2.118) 0 t1 t2 o Kết luận: Ta đã giải được một hệ thống gồm phương trình vi phân đạo hàm riêng dạng Parabolic với điều kiện biên loại 3 (quan hệ giữa v(t) và q(x,t)) kết hợp với phương trình vi phân thường có trễ, phi tuyến (quan hệ giữa u(t) và v(t)). Như vậy, nếu chưa quan tâm tới bài toán tối ưu thì ta có thể tính được trường nhiệt độ trong vật nung khi biết điện áp cung cấp cho lò (bài toán biết vỏ tìm lõi). Trường hợp tổng quát: Quan hệ giữa điện áp cung cấp cho lò u(t) và phân bố trường nhiệt độ trong vật nung q(x,t) được tính theo các công thức (2.116), (2.117) và (2.118) tương ứng với 3 miền thời gian phân chia theo hệ số ki (i=1,2,3). 2.5.3. Lời giải bài toán điều khiển tối ưu 2.5.3.1. Đặt bài toán Sau khi tìm được quan hệ giữa q(x,t) và u(t) dưới dạng phương trình tích phân như ở mục 2.5.2, bài toán được đặt ra: Hãy xác định hàm điều khiển tối ưu u*(t) với (0 t tf ) sao cho làm cực tiểu phiếm hàm mục tiêu: L 2 J c = q * ( x) − q( x, t f ) ￹￻ dx (2.119) 0 trong đó q (x) là phân bố nhiệt độ cho trước còn q(x,tf ) là phân bố nhiệt độ trong vật nung * tại thời điểm cuối quá trình nung t = tf. Thay t = tf vào công thức (2.118) sẽ được hàm q(x,tf ): t1 t2 tf q ( x, t f ) = g1 ( x, t f −τ ).u (τ )dτ + g 2 ( x, t f −τ ).u (τ )dτ + g 3 ( x, t f −τ ).u (τ )dτ (2.120) 0 t1 t2 trong đó các hàm g1(x,t), g2(x,t) và g3(x,t) được tính từ các công thức (2.94), (2.95) và (2.96), với tf là thời gian nung cho phép tính bằng giây (s). Thay (2.120) vào (2.119) sẽ có dạng thức của Jc. 2.5.3.2. Tìm tín hiệu điều khiển tối ưu u*(t) bằng phương pháp số Để tìm u*(t) ta phải cực tiểu hoá phiếm hàm (2.121): L 2 J c = q * ( x) − q ( x, t f ) ￹￻ dx = 0 2 L t1 t2 tf ￹ ￹ = q * ( x) − g1 ( x, t f − τ ).u1 (τ ) dτ + g 2 ( x, t f − τ ).u2 (τ )dτ + g 3 ( x, t f − τ ).u3 (τ )dτ ￺ ￺ dx ￺ ￺ 0 0 t1 t2 ￻ ￺￻
16 (2.121) Trước hết ta dùng phương pháp tích phân số [10,11,13,15], áp dụng công thức Simson đối với tích phân vế trái của phiếm hàm (2.121). Khoảng không gian là bề dày tấm từ 0 đến L ta chia làm n phần bằng nhau (n là một số chẵn). Lúc đó ta có thể biểu thị hàm mục tiêu Jc như sau: n 2 J c [u*] = L ξi q * ( xi ) − q( xi , t f ) ￹￻ (2.122) i =0 trong đó: i là các trọng số gán cho giá trị của hàm dưới dấu tích phân tại điểm xi . Các giá trị xi và trọng số i là biết trước với mỗi công thức tích phân. Nếu dùng công thức Simson, các giá trị của xi và i được xác định như sau [10,79]: xi = iL / n ξ0 = ξn = 1 / 3n với i = 0,1,..., n và n là một số chẵn (2.123) ξ1 = ξ3 = ξn −1 = 4 / 3n ξ2 = ξ4 = ξn −2 = 2 / 3n Do q(xi,tf ) trong (2.122) được xác định theo (2.120) nên để tính J c [u*] ta áp dụng một lần nữa công thức tích phân số Simson và áp dụng tương tự đối với vế phải của (2.121). Khoảng thời gian từ 0 đến tf được chia ra ba khoảng thời gian bằng nhau là 0÷t1; t1÷t2 và t2÷tf , trong đó: Khoảng thời gian từ 0 đến t1 ta chia ra thành m1 khoảng bằng nhau. Khoảng thời gian từ t1 đến t2 ta chia ra thành m2 khoảng bằng nhau. Khoảng thời gian từ t2 đến tf ta chia ra thành m3 khoảng bằng nhau. (với m1 , m2 , m3 cũng là một số chẵn). Khi đó giá trị của q(xi,tf ) được tính : m1 m2 q ( xi , t f ) ≅ t1 ξ j1 g1 ( xi , t f −τ j1 ).u1 (τ j1 ) + (t2 − t1 ) ξ j2 g 2 ( xi , t f −τ j2 ).u 2 (τ j2 ) + j1 =0 j2 =0 m3 +(t f − t2 ) ξ j g 3 ( xi , t f − τ j ).u3 (τ j ) 3 3 3 (2.124) j3 =0 trong đó: các giá trị của τ j ;τ j ;τ j và ξ j ; ξ j ; ξ j được xác định như sau: 1 2 3 1 2 3 τ j1 = j1t1 / m1 τ j2 = j2 (t2 − t1 ) / m2 τ j3 = j3 (t f − t2 ) / m3 ξ0 = ξm1 = 1/ 3m1 ξ0 = ξm2 = 1 / 3m2 ξ0 = ξm3 = 1/ 3m3 (2.125) ξ1 = ξ3 = ξm1 −1 = 4 / 3m1 ξ1 = ξ3 = ξm2 −1 = 4 / 3m2 ξ1 = ξ3 = ξm3 −1 = 4 / 3m3 ξ2 = ξ4 = ξm1 −2 = 2 / 3m1 ξ2 = ξ4 = ξm2 −2 = 2 / 3m2 ξ2 = ξ4 = ξm3 −2 = 2 / 3m3 với j1 = 0,1,..., m1 ; j2 = 0,1,..., m2 ; j3 = 0,1,..., m3 .Đặt: c1ij1 = t1.ξ j1 .g1 ( xi , t f − τ j1 ); c2ij2 = (t2 − t1 ).ξ j2 .g 2 ( xi , t f −τ j2 ); c3ij3 = (t f − t2 ).ξ j3 .g3 ( xi , t f −τ j3 ); u1 (τ j ) = u j ; u2 (τ j ) = u j ; u3 (τ j ) = u j ; u j = u j = u j = u j ; q * ( xi ) = qi* (2.126) 1 1 2 2 3 3 1 2 3 um = um +1 là điểm nối điện áp điều khiển tại thời điểm t1 . 1 1
17 um + m +1 = um + m + 2 là điểm nối điện áp điều khiển tại thời điểm t2. 1 2 1 2 thay (2.124); (2.125) và (2.126) vào (2.122), ta được : 2 n m1 m2 m3 ￹ J c [u * ] = L ξi qi* − c1ij1 .u j1 + c2ij2 .u j2 + c3ij3 .u j3 ￺ (2.127) i =0 j1 =0 j2 =0 j3 =0 ￺￻ Ràng buộc của hàm điều khiển (giới hạn điện áp cung cấp cho lò) được viết là: U1 uj U2 (j = 0,1,2,…,m ) với m = m1 + m2 + m3 (2.128) trong đó: U1 là giới hạn dưới điện áp, U2 là giới hạn trên điện áp Như vậy, bài toán được đặt ra là hãy tìm cực tiểu của hàm (2.127) với mj+1 biến uj tuân theo ràng buộc (2.128). Bài toán trở thành bài toán quy hoạch bậc hai [8,10,79]. Bài toán này có thể tìm nghiệm đúng bằng phương pháp số sau một số hữu hạn phép lặp. 2.6. Tính toán các giới hạn khi giải bài toán nung chính xác nhất. 2.7. Tính toán nhiệt độ lò v(t) và sự phân bố nhiệt độ trong vật q(x,t) 2.7.1. Đặt vấn đề 2.7.2. Tính toán nhiệt độ lò v(t) Nhiệt độ lò v(t) được tính như sau: k .(l1 + l2 + l3 ).u ( j −1) + v( j −1).[T − (l1 + l2 + l3 )] v( j ) = (2.170) T với j = 0,1, 2...m; l1 = t1 / m1 ; l2 = (t2 − t1 ) / m2 ; l3 = (t f − t2 ) / m3 ; t1 = t f / 3; t2 = 2t f / 3 ; tf là thời gian nung cho phép (s), k = kmax = k3 ; m1 , m2 , m3 là số khoảng thời gian tương ứng với khoảng thời gian t1 ; t2 ; t3. T là hằng số thời gian của lò (s). Như vậy khi đã biết u*(t) ta có thể tính được v(t) từ phương trình (2.170). 2.7.3. Tính toán phân bố nhiệt độ trong vật nung q(x,t) Để tính q(x,t) khi biết u*(t) ta cũng dùng phương pháp số [8,10,13,15]. Phân bố nhiệt độ trong toàn bộ vật nung trong khoảng thời gian từ 0 tf được tính như sau: j1δ j2δ q ( xi , t ) j1l1 ξε .g1 ( xi , j1l1 −τε ).u1 (τ ε ) + j2l2 ξε .g 2 ( xi , j2l2 −τ ε ).u2 (τε ) + ε =0 ε =0 j3δ + j3l3 ξε .g3 ( xi , j3l3 −τ ε ).u3 (τε ) (2.83) ε =0 với t = 0 t f ; t1 = t f / 3 ; t2 = 2t f / 3 . 2.8. Kết luận chương 2: Chương 2 là nội dung trọng tâm (đóng góp chính thứ nhất) của luận án, chương này đã giải quyết được một số vấn đề sau: Thành lập bài toán điều khiển tối ưu cho hệ với tham số phân bố, có trễ, phi tuyến Nhận dạng mô hình lò điện trở và phân tích tính phi tuyến của hệ số truyền tĩnh k của lò.