Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ trên không gian b-mêtric và ứng dụng

Chia sẻ: Phong Tỉ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:27

Thêm vào BST

Báo xấu

17
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như không gian b-mêtric sắp thứ tự bộ phận không gian b-mêtric nón trên các đại số Banach;...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ trên không gian b-mêtric và ứng dụng

BË GIO DÖC V O TO TR×ÍNG I HÅC VINH L THANH QUN ÀNH LÞ IM BT ËNG CHO MËT SÈ LÎP NH X TRN KHÆNG GIAN b-MTRIC V ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i t½ch M¢ sè: 9 46 01 02 TÂM TT LUN N TIN S TON HÅC NGH AN - 2018
Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh Tªp thº h÷îng d¨n khoa håc: 1. PGS. TS. Tr¦n V«n n 2. TS. Nguy¹n V«n Dông Ph£n bi»n 1: GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u Ph£n bi»n 2: GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu Ph£n bi»n 3: PGS.TS Nguy¹n Nhöy Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p Tr÷íng håp t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh v o hçi .......... ng y .... th¡ng ..... n«m ...... Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i: 1. Th÷ vi»n Nguy¹n Thóc H o, Tr÷íng ¤i håc Vinh 2. Th÷ Vi»n Quèc gia Vi»t Nam
1 MÐ U 1. Lþ do chån · t i Nguy¶n l½ ¡nh x¤ co Banach l mët trong nhúng cæng cö húu ½ch cõa to¡n håc hi»n ¤i. Vi»c nghi¶n cùu nhúng v§n · li¶n quan ¸n k¸t qu£ n y l mët nëi dung cèt lãi cõa gi£i t½ch phi tuy¸n. V§n · mð rëng Nguy¶n l½ ¡nh x¤ co Banach tr¶n c¡c lîp khæng gian m¶tric ¢ v ang ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu theo nhúng h÷îng kh¡c nhau v ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ ¡ng kº, ti¶u biºu vîi nhúng cæng tr¼nh nêi bªt cõa Kannan (1968), Boyd v Wong (1969), Ciric (1974), Rhoades (1977), Ran v Reurings (2004), Ran v Reurings (2004), Rus v Serban (2008), Shatanawim v Al-Rawashdeh (2012), Wardowski (2012), , Razani v Parvaneh (2013). C¡c ành lþ iºm b§t ëng câ nhi·u ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vüc cõa to¡n håc v khoa håc kh¡c nh÷ gi£i t½ch, ph÷ìng tr¼nh vi-t½ch ph¥n, kinh t¸ v kÿ thuªt, khoa håc m¡y t½nh. H÷îng nghi¶n cùu lþ thuy¸t iºm b§t ëng m¶tric ph¡t triºn chõ y¸u theo 3 v§n · sau: Nghi¶n cùu ành lþ iºm b§t ëng cho c¡c ¡nh x¤ co v ¡nh x¤ co suy rëng tr¶n lîp c¡c khæng gian m¶tric. Nghi¶n cùu ành lþ iºm b§t ëng cho c¡c ¡nh x¤ co v ¡nh x¤ co suy rëng tr¶n c¡c lîp khæng gian kh¡c nhau: khæng gian Banach, khæng gian m¶tric ri¶ng, khæng gian m¶tric nân, khæng gian b-m¶tric,.... Nghi¶n cùu c¡c ùng döng cõa c¡c ành lþ iºm b§t ëng trong mët sè l¾nh vüc cõa to¡n håc nh÷: chùng minh sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa c¡c lîp ph÷ìng tr¼nh vi-t½ch ph¥n, ph÷ìng tr¼nh h m,... Tr¶n cì sð â · t i °t v§n · nghi¶n cùu nhúng nëi dung sau: - Nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa mët sè lîp c¡c ¡nh x¤ tr¶n c¡c khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè. - X¥y düng mët sè lîp ¡nh x¤ co suy rëng tr¶n c¡c khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè. - Ùng döng c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc v o vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Vîi c¡c lþ do n¶u tr¶n chóng tæi chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n cõa m¼nh l :
2 "ành lþ iºm b§t ëng cho mët sè lîp ¡nh x¤ tr¶n khæng gian b-m¶tric v ùng döng". 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Möc ½ch cõa luªn ¡n l mð rëng c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cho mët sè lîp ¡nh x¤ tr¶n c¡c lîp khæng gian nh÷ khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè v ùng döng c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. 3. èi t÷ñng nghi¶n cùu èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn ¡n l c¡c khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè, c¡c ¡nh x¤ co suy rëng, iºm b§t ëng, iºm tròng nhau tr¶n khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè, mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. 4. Ph¤m vi nghi¶n cùu Luªn ¡n nghi¶n cùu c¡c ành lþ iºm tròng nhau, ành lþ iºm b§t ëng trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè v ùng döng c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc v o nghi¶n cùu b i to¡n tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. 5. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu lþ thuy¸t cõa gi£i t½ch h m, lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v lþ thuy¸t iºm b§t ëng trong qu¡ tr¼nh thüc hi»n · t i. 6. þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n Luªn ¡n ¢ l m phong phó th¶m c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè. çng thíi, ùng döng c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc v o vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. 7. Têng quan v c§u tróc luªn ¡n Nëi dung luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong 3 ch÷ìng. Ngo i ra, luªn ¡n cán câ Líi cam oan, Líi c£m ìn, Möc löc, Mð ¦u, K¸t luªn v Ki¸n nghà, Danh möc cæng tr¼nh khoa håc cõa nghi¶n cùu sinh li¶n quan trüc ti¸p ¸n luªn ¡n v T i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y c¡c nghi¶n cùu v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn v ùng döng. Möc 1.1, chóng tæi nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T -co
3 suy rëng trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn. Möc 1.2, chóng tæi nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn. Möc 1.3, chóng tæi ¢ ùng döng k¸t qu£ t¼m ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ¢ ÷ñc «ng tr¶n t¤p ch½ Nonlinear Analysis: Modelling and Control. Ch÷ìng 2 chóng tæi tr¼nh b y c¡c nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n c¡c ¤i sè Banach v ùng döng. Möc 2.1 chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach. Möc 2.2, chóng tæi nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cho lîp c¡c ¡nh x¤ ϕ-co y¸u suy rëng trong c¡c khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach. Möc 2.3, chóng tæi nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi cho mët sè ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n c¡c ¤i sè Banach. Möc 2.4, chóng tæi ¢ ùng döng k¸t qu£ t¼m ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ang ÷ñc gûi «ng tr¶n mët sè t¤p ch½ To¡n håc quèc t¸. Ch÷ìng 3 chóng tæi tr¼nh b y c¡c nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trong khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè v ùng döng. Möc 3.1 chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè. Trong Möc 3.2, chóng tæi thi¸t lªp mët sè ành lþ iºm b§t ëng cho lîp c¡c ¡nh x¤ ϕ-co suy rëng v ¡nh x¤ ϕ-co chu©n suy rëng trong khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè. Möc 3.3, chóng tæi thi¸t lªp v chùng minh mët sè ành lþ iºm b§t ëng bë æi cho mët lîp c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C ∗ -¤i sè. Möc 3.4, chóng tæi nghi¶n cùu b i to¡n v· sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ¢ ÷ñc «ng tr¶n t¤p ch½ Scientific publications of the state university of Novi Pazar v t¤p ch½ Journal of Advanced Mathematical Studies.
4 CH×ÌNG 1 IM TRÒNG NHAU CHO MËT SÈ LÎP NH X TRN KHÆNG GIAN b-MTRIC SP THÙ TÜ BË PHN V ÙNG DÖNG Trong ch÷ìng n y chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m ¡nh x¤ T -co v ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric, ph¡t biºu v chùng minh mët sè k¸t qu£ v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T -co suy rëng v ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn. Ngo i ra, chóng tæi ùng döng k¸t qu£ t¼m ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. 1.1 iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T -co suy rëng tr¶n khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v c¡c t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian b-m¶tric v thi¸t lªp mët sè k¸t qu£ v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn. ành ngh¾a 1.1.1 Cho X l tªp kh¡c réng v s ≥ 1 l mët sè thüc. H m d : X ×X → R ÷ñc gåi l b-m¶tric tr¶n X , n¸u vîi måi x, y, z ∈ X , c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: 1. 0 ≤ d(x, y) v d(x, y) = 0 n¸u v ch¿ n¸u x = y . 2. d(x, y) = d(y, x). 3. d(x, z) ≤ s[d(x, y) + d(y, z)]. Khi â, (X, d, s) ÷ñc gåi l khæng gian b-m¶tric vîi h» sè s. Tr÷íng hñp s = 1 th¼ khæng gian b-m¶tric l khæng gian m¶tric. ành ngh¾a 1.1.8 Cho X l tªp kh¡c réng v c¡c ¡nh x¤ f, g : X → X . Khi â f v g ÷ñc gåi l giao ho¡n n¸u f gx = gf x vîi måi x ∈ X . ành ngh¾a 1.1.9 Cho X l tªp kh¡c réng v c¡c ¡nh x¤ f, g : X → X . N¸u w = f x = gx vîi x ∈ X th¼ x ÷ñc gåi l mët iºm tròng nhau cõa f v g v w ÷ñc gåi l gi¡ trà tròng nhau cõa f v g . ành ngh¾a 1.1.10 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn v c¡c ¡nh x¤ f, g, h, k : X → X . Khi â
5 1. C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch n¸u lim d(f hgxn , ghf xn ) = 0, vîi måi d¢y n→∞ {xn } trong X sao cho lim hf xn = lim hgxn = t vîi t n o â thuëc X . N¸u l§y n→∞ n→∞ hx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch . N¸u ta l§y gx = x vîi måi x ∈ X , th¼ f ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch. 2. C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch y¸u n¸u f hgx = ghf x vîi méi hgx = hf x. N¸u ta l§y hx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch y¸u. N¸u ta l§y gx = x vîi måi x ∈ X th¼ f ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch y¸u. 3. C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u èi vîi k n¸u hf (X) hg(X) ⊆ hk(X) v S vîi måi x ∈ X , ta câ hf x hgy vîi måi y ∈ (hk)−1 (hf x) v hgx hf y vîi måi y ∈ (hk)−1 (hgx). N¸u ta l§y hx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t«ng y¸u èi vîi k . N¸u l§y kx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u. 4. C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u bë phªn èi vîi k n¸u hf (X) ⊆ hk(X) v vîi måi x ∈ X , ta câ hf x hgy vîi måi y ∈ (hk)−1 (hf x). N¸u ta l§y hx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t«ng y¸u bë phªn èi vîi k . N¸u ta l§y kx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u bë phªn. 5. f ÷ñc gåi l g -ìn i»u khæng gi£m èi vîi (h, ) n¸u hgx hgy , th¼ ta câ hf x hf y . N¸u ta l§y hx = x vîi måi x ∈ X , th¼ f ÷ñc gåi l g -ìn i»u khæng gi£m èi vîi “ ”. N¸u ta l§y gx = x vîi måi x ∈ X , th¼ f ÷ñc gåi l ìn i»u khæng gi£m èi vîi (h, ). ành ngh¾a 1.1.11 Cho (X, d, s) l khæng gian b-m¶tric vîi s > 1 v c¡c ¡nh x¤ T, S : X → X , ¡nh x¤ S ÷ñc gåi l T -co n¸u tçn t¤i k ∈ [0, 1) sao cho vîi måi x, y ∈ X , ta câ d(T Sx, T Sy) ≤ kd(T x, T y). (1.1) N¸u T x = x vîi måi x ∈ X th¼ ¡nh x¤ T -co l ¡nh x¤ co Banach. V½ dö 1.1.12 L§y X = [1, ∞), x²t b-m¶tric ÷ñc cho bði d(x, y) = |x − y|2 vîi måi 1 x, y ∈ X . X²t c¡c ¡nh x¤ T x = 2 − v Sx = 4x vîi måi x ∈ X . Khi â S l ¡nh x¤ x T -co nh÷ng khæng l ¡nh x¤ co thæng th÷íng. N«m 2015, Huang, Radenov½c v Vujakov½c ¢ chùng minh k¸t qu£ sau v· iºm tròng nhau cho c¡c ¡nh x¤ khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn. ành lþ 1.1.13 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi h» sè s > 1 v f, g, S, R : X → X l c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. f (X) ⊆ R(X) v g(X) ⊆ S(X). 2. Vîi méi c°p x, y ∈ X sao cho Sx, Ry l so s¡nh ÷ñc, ta câ si d(f x, gy) ≤ Ms (x, y), (1.2)
6 ð ¥y i > 1 l mët h¬ng sè v n d(Sx, gy) + d(Ry, f x) o Ms (x, y) = max d(Sx, Ry), d(Sx, f x), d(Ry, gy), . 2s 3. C¡c ¡nh x¤ f, g, R v S l li¶n töc. 4. C¡c c°p (f, S) v (g, R) l t÷ìng th½ch. 5. C¡c c°p (f, g) v (g, f ) l t«ng y¸u bë phªn èi vîi R v S , t÷ìng ùng. Khi â, c¡c c°p (f, S) v (g, R) câ mët iºm tròng nhau z trong X . Hìn núa, n¸u Rz v Sz l so s¡nh ÷ñc, th¼ z l mët iºm tròng nhau cõa f, g, R v S . Sau ¥y l mët v½ dö m chóng ta d¹ d ng nhªn th§y c¡c c°p (f, S) v (g, R) câ mët iºm tròng nhau l iºm 0 trong X . Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y ành lþ ành lþ 1.1.13 l¤i khæng ¡p döng ÷ñc cho c¡c ¡nh x¤ f, g, R, S . V½ dö 1.1.14 Cho tªp X = [0, 1], x²t b-m¶tric d ÷ñc cho bði cæng thùc d(x, y) = |x−y|2 vîi måi x, y ∈ X v quan h» thù tü “ ” tr¶n X x¡c ành bði. x y n¸u v ch¿ n¸u x ≥ y vîi måi x, y ∈ X. Ta x¡c ành c¡c ¡nh x¤ g, S, f, R : X → X cho bði x x Sx = Rx = √ v f x = gx = p 1 vîi måi x ∈ X, i > 1. 2 2i+ 2 B¥y gií, chóng tæi s³ thi¸t lªp mët ành lþ v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T -co trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn. Hìn núa, b¬ng c¡ch sû döng ành lþ n y ta ch¿ ra ÷ñc sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõa c¡c ¡nh x¤ trong V½ dö 1.1.14. ành lþ 1.1.15 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi s > 1 v T, f, g, S, R : X → X l c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. f (X) ⊆ R(X) v g(X) ⊆ S(X). 2. T l ¡nh x¤ mët-mët. 3. Méi c°p x, y ∈ X sao cho T Sx, T Ry l so s¡nh ÷ñc, ta câ si d(T f x, T gy)) ≤ MsT (x, y), (1.3) ð ¥y i > 1 l mët h¬ng sè v n MsT (x, y) = max d(T Sx, T Ry), d(T Sx, T f x), (1.4) d(T Sx, T gy) + d(T Ry, T f x) o d(T Ry, T gy), . 2s
7 4. C¡c ¡nh x¤ f, g, R v S l li¶n töc. 5. C¡c c°p (f, S) v (g, R) l T -t÷ìng th½ch. 6. C¡c c°p (f, g) v (g, f ) l T -t«ng y¸u bë phªn èi vîi R v S , t÷ìng ùng. Khi â, c¡c c°p (f, S) v (g, R) câ mët iºm tròng nhau z trong X . Hìn núa, n¸u T Rz v T Sz l so s¡nh ÷ñc, th¼ z l mët iºm tròng nhau cõa f, g, R v S . Nhªn x²t 1.1.16 1. Trong ành lþ 1.1.15 n¸u ta l§y ¡nh x¤ T l ¡nh x¤ çng nh§t th¼ ta thu ÷ñc ành lþ 1.1.13. 2. B¬ng c¡ch sû döng ành lþ 1.1.15, ta ch¿ ra ÷ñc sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõa c¡c ¡nh x¤ trong V½ dö 1.1.14. Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta suy ra r¬ng ành lþ 1.1.15 l mët mð rëng thüc sü cõa ành lþ 1.1.13. ành ngh¾a 1.1.17 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi h» sè s > 1 v c¡c ¡nh x¤ f, g, T, S, R : X → X . 1. N¸u c¡c ¡nh x¤ f v g thäa m¢n c¡c i·u ki»n (1.3) v (1.4) trong ành lþ 1.1.15, th¼ (f, g) ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n T -co suy rëng. 2. N¸u c°p (f, f ) thäa m¢n i·u ki»n T -co suy rëng, th¼ ¡nh x¤ f ÷ñc gåi l thäa m¢n i·u ki»n T -co suy rëng. H» qu£ 1.1.20 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi s > 1 v T, g : X → X l hai ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. T l ¡nh x¤ mët-mët. 2. Vîi méi c°p x, y ∈ X sao cho T x, T y l so s¡nh ÷ñc, ta câ si d(T gx, T gy) ≤ d(T x, T y), (1.5) ð ¥y i > 1 l mët h¬ng sè. 3. g l li¶n töc. 4. g v T l giao ho¡n. 5. g l ìn i»u khæng gi£m èi vîi (T, ). 6. Tçn t¤i x0 ∈ X sao cho T x0 T gx0 . Khi â, g câ mët iºm b§t ëng z trong X .
8 1.2 iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng tr¶n khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn Trong möc n y, chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng v chùng minh mët sè k¸t qu£ iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn. ành ngh¾a 1.2.1. K½ hi»u Ψ l hå t§t c£ c¡c h m ψ : R+ → R+ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. ψ l h m li¶n töc v khæng gi£m. 2. ψ(t) = 0 n¸u v ch¿ n¸u t = 0. Khi â, ψ ÷ñc gåi l mët h m thay êi kho£ng c¡ch. ành ngh¾a 1.2.2. Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn vîi s > 1 v c¡c ¡nh x¤ S, T, g : X → X . Khi â, ¡nh x¤ S ÷ñc goi l (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng èi vîi g n¸u vîi måi x, y ∈ X m T gx T gy ta câ ψ(si d(T Sx, T Sy)) ≤ ψ(MsT (x, y)) + Lψ(NsT (x, y)), (1.6) vîi ψ ∈ Ψ, i > 1, L ≥ 0 n o â, trong â n MsT (x, y) = max d(T gx, T gy), d(T gx, T Sx), d(T gy, T Sy), d(T gx, T Sy) + d(T gy, T Sx) o , 2s v n o NsT (x, y) = min d(T gx, T Sx), d(T gy, T Sy), d(T gx, T Sy), d(T gy, T Sx) . Trong ành ngh¾a tr¶n n¸u ta l§y T l ¡nh x¤ çng nh§t tr¶n X th¼ S l ¡nh x¤ (ψ, L)-h¦u co suy rëng èi vîi g . N«m 2015, Huang, Radenov½c v Vujakov½c ¢ thi¸t lªp k¸t qu£ v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-h¦u co suy rëng èi vîi g trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn. ành lþ 1.2.3.Cho (X, d, , s) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi s > 1 v g, S : X → X l hai ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. S(X) ⊆ g(X). 2. Vîi ψ ∈ Ψ, i > 1 v L ≥ 0 n o â, ta câ ψ(si d(Sx, Sy)) ≤ ψ(Ms (x, y)) + Lψ(Ns (x, y)) (1.7)
9 vîi måi x, y ∈ X sao cho gx gy , trong â n d(gx, Sy) + d(gy, Sx) o Ms (x, y) = max d(gx, gy), d(gx, Sx), d(gy, Sy), , 2s n o Ns (x, y) = min d(gx, Sx), d(gy, Sy), d(gx, Sy), d(gy, Sx) . 3. S v g l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc. 4. S l ¡nh x¤ ìn i»u g -khæng gi£m èi vîi “ ”. 5. C°p (S, g) l t÷ìng th½ch. 6. Tçn t¤i x0 ∈ X sao cho gx0 Sx0 . Khi â, S v g câ mët iºm tròng nhau trong X . Sau ¥y l mët v½ dö m chóng ta d¹ d ng nhªn th§y c¡c ¡nh x¤ S v g câ mët iºm tròng nhau l iºm 0 trong X . Tuy nhi¶n, ành lþ 1.2.3 l¤i khæng ¡p döng ÷ñc cho c¡c ¡nh x¤ S v g . V½ dö 1.2.4. Cho X = R+ , x²t b-m¶tric cho bði d(x, y) =| x − y |2 vîi måi x, y ∈ X v “ ” l mët quan h» thù tü tr¶n X ÷ñc x¡c ành nh÷ sau. x y n¸u v ch¿ n¸u x ≥ y vîi måi x, y ∈ X. Ta x¡c ành c¡c ¡nh x¤ g, S : X → X cho bði s s x x Sx = 3 ln 1 + p 9 v gx = 3 ln 1 + √ 2i+ 8 2 vîi måi x ∈ X , v i > 1. C¡c ¡nh x¤ g v S câ mët iºm tròng nhau l iºm 0 trong X . Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y ành lþ 1.2.3 l khæng ¡p döng ÷ñc cho g v S . B¥y gií, chóng tæi s³ thi¸t lªp mët ành lþ v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn. Hìn núa, b¬ng c¡ch sû döng ành lþ n y ta câ thº ch¿ ra sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõa c¡c ¡nh x¤ trong V½ dö V½ dö 1.2.4. ành lþ 1.2.5.Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi s > 1 v T, S, g : X → X l c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. S(X) ⊆ g(X). 2. T l ¡nh x¤ mët-mët. 3. S l ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng èi vîi g . 4. S v g l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc.
10 5. S l ¡nh x¤ ìn i»u g -khæng gi£m èi vîi (T, ). 6. C°p (S, g) l T -t÷ìng th½ch. 7. Tçn t¤i x0 ∈ X sao cho T gx0 T Sx0 . Khi â, S v g câ mët iºm tròng nhau trong X . Nhªn x²t 1.2.6. 1. Trong ành lþ 1.2.5 n¸u ta l§y ¡nh x¤ T l ¡nh x¤ çng nh§t th¼ ta thu ÷ñc ành lþ 1.2.3. 2. B¬ng c¡ch sû döng ành lþ 1.2.5, ta ch¿ ra ÷ñc sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõa c¡c ¡nh x¤ trong V½ dö 1.2.4. Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta suy ra r¬ng ành lþ 1.2.5 l mët mð rëng thüc sü cõa ành lþ 1.2.3. 1.3 ×ng döng v o mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Trong möc n y, chóng tæi ùng döng H» qu£ 1.1.20 º nghi¶n cùu b i to¡n v· sü tçn t¤i nghi»m cõa lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n sau ¥y: Z e−t x(t) = η(t) + λ K(t, r)f (r, x(r))dr, ð ¥y t ∈ I = [0, 1] v λ > 0. (1.8) 0 Kþ hi»u Γ l tªp hñp c¡c h m sè γ : R+ → R+ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: p 1. γ l khæng gi£m v γ(t) ≤ γ(tp ) vîi måi p ≥ 1. 2. γ(t) ≤ t vîi måi t ∈ R+ . C¡c gi£ thi¸t 1.3.1. B¥y gií, ta s³ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh (1.8) d÷îi c¡c gi£ thi¸t sau: (a1 ) η : I → R l h m li¶n töc, vîi I = [0, 1]. (a2 ) f : I × R → R l h m li¶n töc v thäa m¢n i·u ki»n: tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 v γ ∈ Γ sao cho vîi måi t ∈ I v vîi måi u, v ∈ R m u ≥ v , ta câ | f (t, u) − f (t, v) |≤ Lγ(u − v). (a3 ) f (t, x) l h m ìn i»u khæng gi£m èi vîi “ ” theo bi¸n x, ngh¾a l vîi måi x1 , x2 ∈ R m x1 x2 , ta câ f (t, x1 ) f (t, x2 ) vîi måi t ∈ I . (a4 ) K : I × I → R+ l h m li¶n töc tr¶n I × I v tçn t¤i h¬ng sè A ≥ 0 sao cho Z e−t K(t, r)dr ≤ A vîi måi t ∈ I. 0 (a5 ) Tçn t¤i ¡nh x¤ T : C(I) → C(I) sao cho T l ¡nh x¤ mët-mët v vîi måi x ∈ C(I), t ∈ I ta câ Z e−t Z e−t (1.9) T η(t) + λ K(t, r)f r, x(r) dr = η(t) + λ K(t, r)f r, T x(r) dr, 0 0
11 v tçn t¤i x0 ∈ C(I) sao cho vîi måi t ∈ I , ta câ Z e−t T η(t) + λ K(t, r)f (r, x0 (r))dr ≤ T (x0 (t)). (1.10) 0 (a6 ) (λAL)p ≤ vîi i > 1 v p > 1 l c¡c h¬ng sè. 1 2i(p−1) ành lþ 1.3.3. Vîi t§t c£ c¡c gi£ thi¸t (a1 ) − (a6 ), ph÷ìng tr¼nh (1.8) câ mët nghi»m trong X . Ti¸p theo, chóng tæi ÷a ra v½ dö sau º ch¿ ra r¬ng tçn t¤i c¡c h m sè T, K, g v f thäa m¢n t§t c£ c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 1.3.3. V½ dö 1.3.4. Cho X = C(I) l tªp hñp t§t c£ c¡c h m thüc li¶n töc tr¶n tªp I = [0, 1]. Tr¶n X ta x²t b-m¶tric cho bði d(x, y) = supt∈I | x(t) − y(t) |2 vîi måi x, y ∈ X v quan h» thù tü “ ” ÷ñc x¡c ành bði x y n¸u x(t) ≥ y(t) vîi måi t ∈ I . Khi â, (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi s = 2. X²t ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n e−t t2 e−4t Z 2 1 t2 et r2 x(r) + r2 dr. x(t) = t − + 5.2i 2i+1 0 Sû döng ành lþ 1.3.3, ta ch¿ ra ÷ñc x(t) = t2 vîi måi t ∈ [0, 1] l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tr¶n. K¸t luªn Ch÷ìng 1 Trong Ch÷ìng 1 cõa luªn ¡n, chóng tæi ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau. • ÷a ra ành lþ 1.1.15, ành lþ 1.1.23 kh¯ng ành sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõa lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T -co suy rëng trong khæng gian m¶tric b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn. çng thíi ùng döng c¡c k¸t qu£ n y v o vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tr½ch tø b i b¡o: S. Radenov½c, T. V. An and L. T. Quan. (2017), Some coincidence point results for T -contraction mappings on partially or- dered b-metric spaces and applications to integral equations, Nonlinear Analysis: Modelling and Control., 22 (4), 545-565. • ÷a ra ành lþ 1.2.5 v ành lþ 1.2.9 kh¯ng ành sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõa lîp ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng trong khæng gian m¶tric b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn. C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tr½ch tø b i b¡o: S. Radenov½c, N. Dedov½c, T. V. An and L. T. Quan. (2017), Some coincidence theorem for almost generalized (ϕ, L)-T -contractions in partially ordered b-metric spaces and applications to integral equations (ang gûi «ng).
12 CH×ÌNG 2 IM BT ËNG CHO MËT SÈ LÎP NH X TRN KHÆNG GIAN b-MTRIC NÂN Y Õ TRN I SÈ BANACH V ÙNG DÖNG Trong ch÷ìng n y, chóng tæi mð rëng kh¡i ni»m ¡nh x¤ ϕ-co y¸u trong khæng gian m¶tric sang c§u tróc cõa khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, ph¡t biºu v chùng minh mët sè k¸t qu£ iºm b§t ëng v iºm b§t ëng bë æi cho lîp c¡c ¡nh x¤ n y trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n c¡c ¤i sè Banach. Ngo i ra, chóng tæi ùng döng k¸t qu£ t¼m ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. 2.1 Khæng gian b-m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach ¦u ti¶n, ta tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m sau: ành ngh¾a 2.1.6. Cho X l tªp kh¡c réng, s ≥ 1 l mët sè thüc v A l ¤i sè Banach. nh x¤ d : X × X → A ÷ñc gåi l b-m¶tric nân tr¶n X , n¸u vîi måi x, y, z ∈ X c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäa m¢n: 1. θ d(x, y) v d(x, y) = θ n¸u v ch¿ n¸u x = y . 2. d(x, y) = d(y, x). 3. d(x, z) s[d(x, y) + d(y, z)]. Khi â, (X, A, d, s) ÷ñc gåi l khæng gian b-m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach vîi h» sè s. ành ngh¾a 2.1.18. Cho A l ¤i sè Banach v P l nân trong A. nh x¤ ϕ : P → P ÷ñc gåi l so s¡nh y¸u n¸u thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: 1. ϕ l khæng gi£m èi vîi “ ”, ngh¾a l vîi måi t1 , t2 ∈ P m t1 t2 , k²o theo ϕ(t1 ) ϕ(t2 ). 2. {ϕn (t)} l c-d¢y trong P vîi måi t ∈ P . 3. N¸u {un } l c-d¢y trong P th¼ {ϕ(un )} công l c-d¢y trong P .
13 ành ngh¾a 2.1.19. Cho (X, A, d) l khæng gian m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach v P l nân trong A. nh x¤ f : X → X ÷ñc gåi l ϕ-co y¸u n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ so s¡nh y¸u ϕ : P → P sao cho vîi måi x, y ∈ X, ta câ d f (x), f (y) ϕ d(x, y) . ành lþ 2.1.20. Cho (X, A, d) l khæng gian m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach v f : X → X l ¡nh x¤ ϕ-co y¸u. Khi â, f câ duy nh§t iºm b§t ëng u ∈ X v lim f n (x) = u vîi méi x ∈ X . n→∞ 2.2 iºm b§t ëng cho lîp c¡c ¡nh x¤ ϕ-co y¸u suy rëng tr¶n khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach Xu§t ph¡t tø kh¡i ni»m ¡nh x¤ ϕ-co y¸u trong khæng gian m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach, chóng tæi x¥y düng kh¡i ni»m ¡nh x¤ ϕ-co y¸u suy rëng trong khæng gian b-m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach. ành ngh¾a 2.2.1. Cho (X, A, d, s) l khæng gian b-m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach v P l nân trong A. nh x¤ f : X → X ÷ñc gåi l ϕ-co y¸u suy rëng n¸u tçn t¤i ¡nh x¤ so s¡nh y¸u ϕ : P → P sao cho vîi måi x, y ∈ X, ta câ (2.1) d f (x), f (y) ϕ d(x, y) . Bê · 2.2.2. Gi£ sû (X, A, d, s) l khæng gian b-m¶tric nân tr¶n ¤i sè Banach, P l nân trong A v f : X → X l ¡nh x¤ ϕ-co y¸u suy rëng. Khi â ta câ 1. Vîi måi t1 , t2 ∈ P m t1 t2 v vîi måi n ∈ N, ta câ ϕn (t1 ) ϕn (t2 ). 2. Vîi måi x, y ∈ X v måi n ∈ N, ta câ d f n (x), f n (y) ϕn d(x, y) . N«m 2017, H. Huang, S. Radenovic v G. Deng ¢ chùng minh mët k¸t qu£ sau ¥y cho iºm trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach. ành lþ 2.2.3. Cho (X, A, d, s) l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach, k ∈ P sao cho ρ(k) < 1 v f : X → X l ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n vîi måi x, y ∈ X. (2.2) d f (x), f (y) kd(x, y), Khi â, f câ duy nh§t iºm b§t ëng u ∈ X v vîi méi x ∈ X ta câ lim f n (x) = u. n→∞ Sau ¥y l mët v½ dö m chóng ta d¹ d ng nhªn th§y ¡nh x¤ f câ duy nh§t iºm b§t ëng l iºm 0 trong X . Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y, ành lþ 2.2.3 l¤i khæng ¡p döng ÷ñc cho ¡nh x¤ f .
14 V½ dö 2.2.4. Cho A = R2 , P = {(u, v) ∈ A : u, v ≥ 0}. Vîi x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ A, ta x¡c ành 1. Chu©n trong A cho bði k(x1 , x2 )k = |x1 | + |x2 |. 2. Ph²p nh¥n trong A cho bði xy = (x1 , x2 )(y1 , y2 ) = (x1 y1 , x1 y2 + x2 y1 ). 3. X = R+ v x¡c ành d : X × X → A cho bði d(x, y) = |x − y|2 , 0 vîi måi x, y ∈ X. x 4. f : X → X cho bði f (x) = vîi måi x ∈ X. x+1 z 1 5. ϕ : P → P cho bði ϕ(z1 , z2 ) = , 0 vîi måi (z1 , z2 ) ∈ P. z1 + 1 Khi â, (X, A, d, s) l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach vîi h» sè s = 2. D¹ d ng nhªn th§y ¡nh x¤ f câ duy nh§t iºm b§t ëng l iºm 0. Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y, ành lþ 2.2.3 l¤i khæng ¡p döng ÷ñc cho ¡nh x¤ f . B¥y gií, chóng tæi s³ thi¸t lªp mët ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ ϕ-co y¸u suy rëng tr¶n khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach. Hìn núa, b¬ng c¡ch sû döng ành lþ n y ta câ thº ch¿ ra sü tçn t¤i iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ f trong V½ dö 2.2.4. ành lþ 2.2.5. Cho (X, A, d, s) l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach v f : X → X l ¡nh x¤ ϕ-co y¸u suy rëng. Khi â, f câ duy nh§t iºm b§t ëng u ∈ X v vîi méi x ∈ X , lim f n (x) = u. n→∞ Nhªn x²t 2.2.6. 1. Trong ành lþ 2.2.5 n¸u l§y s = 1 th¼ ta thu ÷ñc ành lþ 2.1.20 v n¸u l§y ϕ(t) = kt vîi måi t ∈ A trong â k ∈ P m ρ(k) < 1 th¼ ta thu ÷ñc ành lþ 2.2.3. 2. B¬ng c¡ch sû döng ành lþ 2.2.5, ta ch¿ ra ÷ñc sü tçn t¤i iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ f trong V½ dö 2.2.4. Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta suy ra r¬ng ành lþ 2.2.5 l mët mð rëng thüc sü cõa ành lþ 2.2.3. 2.3 iºm b§t ëng bë æi cho mët sè ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach Trong möc n y, chóng tæi thi¸t lªp mët sè k¸t qu£ iºm b§t ëng bë æi trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach. ành ngh¾a 2.3.1. Ph¦n tû (x, y) ∈ X × X ÷ìc gåi l iºm b§t ëng bë æi cõa ¡nh x¤ T : X × X → X n¸u T (x, y) = x v T (y, x) = y . Bê · 2.3.2. Cho (X, A, d, s) l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach vîi h» sè s ≥ 1 v ¡nh x¤ T : X × X → X . Ta k½ hi»u
15 1. ρ : X 2 × X 2 → R cho bði ρ (x, y), (u, v) = d(x, u) + d(y, v) vîi måi (x, y), (u, v) ∈ X × X , ð ¥y X 2 = X × X . 2. GT : X × X → X × X cho bði GT (x, y) = T (x, y), T (y, x) vîi måi (x, y) ∈ X × X. Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: a. (X × X, A, ρ, s) công l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach vîi h» sè s. b. T câ duy nh§t iºm b§t ëng bë æi n¸u v ch¿ n¸u GT câ duy nh§t iºm b§t ëng. B¥y gií, ta thi¸t lªp mët sè k¸t qu£ v· iºm b§t ëng bë æi cho mët sè ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach. ành lþ 2.3.3. Cho (X, A, d, s) l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach vîi h» sè s ≥ 1, P l nân trong A, ϕ : P → P l ¡nh x¤ so s¡nh y¸u v T : X × X → X l ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n (2.3) d T (x, y), T (u, v) + d T (y, x), T (v, u) ϕ d(x, u) + d(y, v) vîi måi x, y, u, v ∈ X . Khi â, T câ duy nh§t iºm b§t ëng bë æi. 2.4 ×ng döng v o mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n Trong möc n y, chóng tæi ùng döng ành lþ 2.2.5 º nghi¶n cùu b i to¡n v· sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Bê · 2.4.1. Cho C[a, b] l tªp hñp t§t c£ c¡c h m gi¡ trà thüc li¶n töc tr¶n [a, b] ⊂ R. K½ hi»u A = R2 v P = {(x, y) ∈ A : x, y ≥ 0} vîi chu©n, ph²p nh¥n v quan h» thù tü t÷ìng tü nh÷ trong V½ dö 2.2.4. Ta x¡c ành ¡nh x¤ d : C[a, b] × C[a, b] → A cho bði 2 2 d(x, y) = sup |x(t) − y(t)| , sup |x(t) − y(t)| t∈[a,b] t∈[a,b] vîi måi x, y ∈ C[a, b]. Khi â, C[a, b], A, d, s l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach vîi h» sè s = 2. ành lþ 2.4.2. Cho C[a, b], A, d, s l khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n ¤i sè Banach ÷ñc nâi trong Bê · 2.4.1. X²t ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n sau. Z b (2.4) x(t) = η(t) + K t, x(r) dr, t ∈ [a, b], a ð ¥y x, η ∈ C[a, b] v K : [a, b] × R → R. Gi£ sû r¬ng c¡c i·u ki»n sau ¥y thäa m¢n: 1. Vîi méi t ∈ [a, b], h m K t, x(r) l kh£ t½ch theo bi¸n r tr¶n [a, b].
16 2. Tçn t¤i mët h m li¶n töc ψ : [a, b] × [a, b] → R sao cho Z b
sup