Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:29

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận án tập trung nghiên cứu vấn đề về sự tồn tại và tính toán nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một tương đương với phương trình autonom và phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2021
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN HÀ TRỌNG THI NGHIỆM ĐẠI SỐ CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CẤP MỘT Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số Mã số : 9460104 Phản biện thứ nhất : GS.TSKH. Phùng Hồ Hải Phản biện thứ hai : PGS.TS. Trương Công Quỳnh Phản biện thứ ba : PGS.TS. Mai Hoàng Biên TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ LÂM XUÂN CHÂU TS. LÊ THANH HIẾU Bình Định - 2021
i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan mọi kết quả, nội dung của luận án “Nghiệm đại số của một số lớp phương trình vi phân đại số cấp một” là do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của các thầy giáo TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các nội dung và kết quả sử dụng trong Luận án đều có trích dẫn và chú thích nguồn gốc, kết quả là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng. Nếu có điều gì gian lận, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật. Quy Nhơn, ngày 02 tháng 11 năm 2021 Người thực hiện Hà Trọng Thi
ii Lời cảm ơn Luận án được hoàn thành trong quá trình học tập và nghiên cứu tại Khoa Toán và Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn, dưới sự hướng dẫn của TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Các thầy đã chỉ bảo tận tình và hướng dẫn tôi từ những bước đầu làm nghiên cứu. Các thầy hướng dẫn nghiêm túc và luôn tạo một tình cảm thân thiện trong suốt thời gian học tập. Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Ngô Lâm Xuân Châu và TS. Lê Thanh Hiếu. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo sau đại học đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi học tập. Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Lãnh đạo Khoa Toán và Thống kê cùng các thầy cô giáo trong Khoa đã luôn ủng hộ, động viên tôi trong suốt thời gian tham gia học tập tại trường. Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Bình Định, các đồng nghiệp và bạn bè đã ủng hộ, động viên và tạo điều kiện tốt nhất để tôi tham gia học tập. Trân trọng.
iii Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Kiến thức cơ sở về đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Đại số vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Đường cong đại số hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một 5 2.1 Phép biến đổi tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Phép biến đổi M¨obius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một 8 3.1 Nghiệm đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3.2 Một số tính chất bảo toàn của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . 9 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số . . . . . . . . . . . . 10 4 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được 11 4.1 Phương trình vi phân đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b . . . . . . . 11 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw . . . . . . . . 12 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b . . . . . . 12 4.2 Phương trình vi phân Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.3 Phương trình vi phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
iv 4.4 Phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được . . . . 15 4.5 Nghiệm tổng quát đại số của phương trình tham số hữu tỷ được thuộc lớp autonom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Kết luận 19 Danh mục các công trình của tác giả liên quan đến Luận án 20 Tài liệu tham khảo 21
1 MỞ ĐẦU Một phương trình vi phân đại số cấp một có dạng F (y, y 0 ) = 0, trong đó F ∈ C(x)[y, y 0 ] và F có chứa biến đạo hàm y 0 . Nếu F ∈ C[y, y 0 ] thì ta nói phương trình F (y, y 0 ) = 0 là autonom (tức là mọi hệ số của F đều là hằng số). Việc nghiên cứu các phương trình vi phân đại số cấp một bắt đầu từ cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20 với các công trình tiêu biểu của L. Fuchs [14], H. Poincaré ∂ [27] và J. Malmquist [19]. Một nghiệm chung của F (y, y 0 ) = 0 và 0 F (y, y 0 ) = 0 ∂y được gọi là một nghiệm kỳ dị. Các nghiệm kỳ dị của phương trình F (y, y 0 ) = 0 luôn là nghiệm đại số và có hữu hạn nghiệm kỳ dị như vậy, đồng thời việc tìm các nghiệm kỳ dị này là đơn giản. Tuy nhiên, việc xác định liệu phương trình F (y, y 0 ) = 0 có nghiệm tổng quát đại số hay không và đưa ra một thuật toán tính toán tường minh một nghiệm tổng quát đại số như vậy là một vấn đề khó. Việc sử dụng các phép biến đổi M¨obius trình bày trong các bài báo [22, 23] có thể chỉ ra một lớp các phương trình vi phân đại số cấp một không autonom nhưng có thể biến đổi một cách tương đương về phương trình autonom và có nghiệm tổng quát đại số. Như vậy chúng ta cần những nghiên cứu lý thuyết cho vấn đề này. Bên cạnh đó, dựa vào một chặn bậc cho các nghiệm đại số không tầm thường của một phương trình vi phân đại số cấp một autonom, ta có thể suy ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số. Vấn đề này được mở rộng như thế nào cho các phương trình vi phân cấp một không autonom cũng là một câu hỏi mở cần được nghiên cứu. Một nghiệm của phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y 0 ) = 0 trong một trường mở rộng vi phân K của C(x) là một phần tử η ∈ K sao cho F (η, η 0 ) = 0,
2 0 trong đó “ ” là phép đạo hàm trên K mở rộng phép đạo hàm thông thường trên C(x). Nếu F là đa thức bậc một theo y 0 thì phương trình vi phân tương ứng được viết dưới dạng hữu tỷ y 0 = P (z, y)/Q(z, y), trong đó P và Q là các đa thức 2 biến không có nhân tử chung. Bài toán tìm một chặn bậc cho các nghiệm đại số của phương trình vi phân dạng này được biết đến với tên gọi bài toán Poincaré. Trong một bài báo năm 1994, M. M. Carnicer [4] đã giải bài toán Poincaré trong trường hợp tổng quát, tức là kỳ dị của phương trình là nondicritical. Năm 1998, A. Eremenko [12] đã đưa ra một chặn bậc cho các nghiệm hữu tỷ của phương trình vi phân F (y, y 0 ) = 0. Liệu kết quả này có thể mở rộng được cho các nghiệm đại số hay không vẫn là một câu hỏi mở. Gần đây, R. Feng và các cộng sự [13, 2] đã đưa ra một chặn bậc cho các nghiệm đại số tổng quát của các phương trình vi phân đại số cấp một autonom. Hơn nữa, việc tính một nghiệm tổng quát đại số của các phương trình như vậy được quy về việc tính một nghiệm đại số không tầm thường. Vấn đề tính toán tường minh nghiệm hữu tỷ, nghiệm đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một không autonom vẫn tiếp tục thu hút nhiều sự quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học trong và ngoài nước trong những năm gần đây. Phương pháp tìm nghiệm hữu tỷ trong bài báo của R. Feng [13], áp dụng cho các phương trình autonom, được mở rộng cho lớp các phương trình không autonom tham số hóa được trong các bài báo của L. X. C. Ngo và F. Winkler [25, 26, 22]. Các vấn đề này được nghiên cứu đầy đủ hơn trong luận án tiến sĩ của N. T. Vo [34] với các thuật toán mới để tìm nghiệm hữu tỷ của các phương trình như vậy. Bên cạnh vấn đề giải từng phương trình vi phân đại số cấp một, vấn đề xác định sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cũng được đặt ra. Trong các bài báo [23, 24, 21], các tác giả đã đưa ra các quan hệ tương đương khác nhau trên các phương trình vi phân đại số cấp một. Từ đó vấn đề giải một phương trình vi phân đại số có thể đưa về việc giải một phương trình trong lớp tương đương và sự phân loại các phương trình theo quan hệ tương đương đó. Mục đích của đề tài nhằm tìm kiếm một số lớp phương trình vi phân đại số
3 cấp một có thể xác định được sự tồn tại hay không một nghiệm tổng quát đại số và trong trường hợp xác định, hãy đưa ra các thuật toán tính tường minh một nghiệm tổng quát đại số như vậy. Cụ thể, luận án tập trung nghiên cứu vấn đề về sự tồn tại và tính toán nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một tương đương với phương trình autonom và phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được. Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Bảng các ký hiệu, Danh mục các công trình khoa học của tác giả, Tài liệu tham khảo, được bố cục trong 4 chương: Chương 1 trình bày những khái niệm và kết quả cơ bản được sử dụng trong luận án bao gồm kiến thức cơ sở về đại số, đại số vi phân, và đường cong đại số hữu tỷ. Chương 2 trình bày tổng quan về các phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một và nghiên cứu phép biến đổi tương đương tương ứng với một phép biến đổi M¨obius. Chúng tôi đưa ra một tính chất bất biến về bậc tổng thể vi phân của các phương trình vi phân đại số cấp một. Chương 3 đưa ra một số tính chất bảo toàn nghiệm của các phương trình vi phân đại số cấp một thuộc một lớp tương đương dưới tác động của các phép biến đổi M¨obius. Đặc biệt, các nghiệm tổng quát đại số được bảo toàn. Kết hợp với tính chất bất biến của bậc tổng thể vi phân, chúng tôi đưa ra một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số của phương trình vi phân đại số cấp một thuộc một lớp autonom. Từ đó chúng tôi đề xuất một thuật toán tìm nghiệm tổng quát đại số của các phương trình thuộc lớp tương đương autonom. Chương 4 đưa ra một tiêu chuẩn kiểm tra sự tương đương của các phương trình vi phân đa thức dạng y 0 = P (x, y). Từ đó chúng tôi đưa ra một thuật toán kiểm tra sự tương đương giữa các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được. Cuối cùng chúng tôi đề xuất một thuật toán khác để tính nghiệm tổng quát đại số của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được và thuộc một lớp tương đương autonom.
4 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức cơ sở về đại số Nội dung phần này được trình bày dựa theo tài liệu [18]; [8]. 1.2 Đại số vi phân Trong phần này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở về vành vi phân, trường vi phân và iđêan vi phân. Những khái niệm này được sử dụng làm ngôn ngữ đại số để xây dựng khái niệm nghiệm tổng quát, nghiệm kỳ dị của các phương trình vi phân. Nội dung của phần này được tham khảo từ các tài liệu [30, 16, 3]. 1.3 Đường cong đại số hữu tỷ Trong phần này, chúng tôi trình bày một số khái niệm cơ bản và kết quả quan trọng về lý thuyết đường cong đại số hữu tỷ được dùng trong Chương 4. Nội dung chính của phần này được tham khảo từ tài liệu [32].
5 Chương 2 Phép biến đổi tương đương trên các phương trình vi phân đại số cấp một Một số kết quả của chương này được tác giả đăng trong bài báo [6]. 2.1 Phép biến đổi tương đương F. Schwarz đã trình bày các định nghĩa về nhóm bất biến cấu trúc, bất biến tuyệt đối, dạng chuẩn tắc hữu tỷ trong tài liệu [31] cho các phương trình vi phân với cấp tùy ý, chúng tôi trình bày lại các vấn đề đó cho các phương trình vi phân đại số cấp một. Mệnh đề 2.1. Tập các phương trình Riccati y 0 = a2 (x)y 2 + a1 (x)y + a0 (x), với ai ∈ C(x) với mọi i = 0, 1, 2, là ổn định qua các phép biến đổi a(t)u + b(t) x = t, y= , a, b, c, d ∈ C(t), ad − bc 6= 0. c(t)u + d(t) Mệnh đề 2.2. Tập hợp các phương trình Abel loại một và loại hai y 0 = a3 y 3 + 2 0 a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0 a2 y + a1 y + a0 , y = là ổn định qua các phép biến đổi y + b0 a(t)u + b(t) x = t, y= , a, b, c, d ∈ C(t), ad − bc 6= 0. c(t)u + d(t)
6 Định nghĩa 2.3. Cho F (x, y, y 0 ) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một với các hệ số a1 , . . . , aN phụ thuộc vào x. Giả sử a ˜1 , . . . , a ˜N là các hệ số của phương trình được biến đổi thành qua phép biến đổi đã xét. Một biểu thức Φ thỏa mãn Φ(˜ a1 , . . . , a ˜N ) = Φ(a1 , . . . , aN ) được gọi là một bất biến của phương trình vi phân F (x, y, y 0 ) = 0. Định nghĩa 2.4. Một dạng chuẩn tắc hữu tỷ (rational normal form) của một phương trình vi phân đại số là một phương trình với số các hệ số khác hằng là nhỏ nhất mà phương trình này có thể nhận được từ phương trình đã cho bằng một phép biến đổi theo biến phụ thuộc và biến độc lập. 2.2 Phép biến đổi M¨ obius (1) Ta ký hiệu AODE K = {F (y, y 0 ) = 0 | F ∈ K[y, w]} là tập tất cả các phương trình vi phân đại số cấp một trên trường K . Một phép biến đổi M¨obius trên K là một hàm hữu tỷ có dạng au + b M (u) = , cu + d trong đó a, b, c, d ∈ K và ad − bc 6= 0. Đặt ∂M (u) (a0 u + b0 )(cu + d) − (au + b)(c0 u + d0 ) = ∂x (cu + d)2 Au2 + Bu + C = 2 , 0 ≤ degu (Au2 + Bu + C) ≤ 2, (cu + d) trong đó A = a0 c − ac0 , B = a0 d − ad0 + b0 c − bc0 , C = b0 d − bd0 và ∂M (u) ad − bc = . ∂u (cu + d)2 a Lưu ý rằng A = 0 khi c = 0 hoặc là hằng số. c Với mỗi M (u) ta có một ánh xạ hữu tỷ ΦM : K 2 99K K 2 được định nghĩa bởi ∂M (u) ∂M (u) ΦM (u, v) = M (u), + v . ∂x ∂u
7 Khi đó, ánh xạ đồng nhất Φ(u, v) = (u, v) thuộc dạng này (tương ứng với M (u) = u) và ΦM là một ánh xạ song hữu tỷ và nghịch đảo của nó là ánh xạ song du − b hữu tỷ liên kết với M −1 (u) = −1 −1 , tức là Φ−1 (u, v) = M −1 (u), ∂M (u) + ∂M (u) v . M ∂x ∂u −cu + a Ta có ngay mệnh đề sau. (1) Mệnh đề 2.5. Tập hợp GK tất cả các phép biến đổi song hữu tỷ dạng ΦM lập thành một nhóm đối với phép hợp thành các ánh xạ song hữu tỷ. Nhóm này đẳng obius trên K . cấu với nhóm các phép biến đổi M¨ (1) Định nghĩa 2.6 (Bậc tổng thể vi phân của F ). Cho F ∈ AODE K và giả sử F (y, y 0 ) = A0 y 0m + A1 y 0m−1 + · · · + Am−1 y 0 + Am , trong đó m ∈ N∗ , Ai ∈ K[y] với mọi i = 0, . . . , m, A0 6= 0. Số δF := max{2(m − i) + degy Ai | i = 0, . . . , m} được gọi là bậc tổng thể vi phân (differential total degree) của F . (1) Mệnh đề 2.7. Cho F, G ∈ AODE K khác không. Khi đó δF ·G = δF + δG . (1) (1) Định nghĩa 2.8. Tác động của nhóm GK lên tập AODE K được định nghĩa bởi ΦM • F = (−cy + a)δF (F (ΦM −1 (y, y 0 ))), (1) au + b (1) với mọi ΦM ∈ GK xác định bởi M (u) = và với mọi F ∈ AODE K . cu + d Mệnh đề 2.9. Ta có 1. ΦM • (ΦN • F ) = ΦM ◦N • F ; 2. ΦM • (F · G) = (ΦM • F ) · (ΦM • G). (1) Định nghĩa 2.10. Cho F, G ∈ AODE K . Ta nói F tương đương với G, ký hiệu (1) là F ∼ G nếu và chỉ nếu tồn tại ΦM ∈ GK sao cho ΦM • F = G. Định lý 2.11. Giả sử F (y, y 0 ) = A0 y 0m + · · · + Am−1 y 0 + Am ∈ K[y, y 0 ], A0 6= 0 (1) và G = ΦM • F , trong đó ΦM ∈ GK . Giả sử δF là bậc tổng thể vi phân của F . Khi đó (1) degy0 G = degy0 F, (2) degy G ≤ δF , (3)δG = δF .
8 Chương 3 Nghiệm đại số của phương trình vi phân đại số cấp một 3.1 Nghiệm đại số Định nghĩa 3.1. Cho K là một trường vi phân và F ∈ K{y} là một đa thức vi phân. Một nghiệm đại số của F = 0 trên K là một nghiệm của F và đồng thời là một phần tử đại số trên trường K . Mệnh đề 3.2. Nếu F ∈ K{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một thì mỗi nghiệm kỳ dị của F (y, y 0 ) = 0 là một nghiệm đại số. Hơn nữa, số nghiệm kỳ dị của F (y, y 0 ) = 0 là hữu hạn. Mệnh đề 3.3. Cho P (y) là đa thức tối tiểu của một nghiệm đại số η ∈ L của F (y, y 0 ) = 0 trên K . Khi đó, mọi ξ ∈ L thỏa P (ξ) = 0 đều là nghiệm đại số của F (y, y 0 ) = 0. Định nghĩa 3.4 ([2]). Một nghiệm đại số P (x, y) = 0 của phương trình vi phân đại số cấp một autonom F (y, y 0 ) = 0 được gọi là không tầm thường nếu degx P > 0. Mệnh đề 3.5 ([2]). Cho F ∈ C{y} là một đa thức vi phân bất khả quy cấp một với hệ số hằng. Giả sử P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của F (y, y 0 ) = 0. Khi đó P (x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của F (y, y 0 ) = 0, với c là hằng số tùy ý.
9 Định lý 3.6 ([2]). Cho F ∈ Q[y, y 0 ] là một đa thức bất khả quy trên Q. Giả sử P ∈ Q[x, y] là bất khả quy và P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình vi phân autonom F (y, y 0 ) = 0. Khi đó degx P = degy0 F, degy P ≤ degy F + degy0 F. Hơn nữa, P (x + c, y) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình F (y, y 0 ) = 0 và chặn bậc như vậy là mịn theo nghĩa có thể chỉ ra một phương trình vi phân autonom F (y, y 0 ) = 0 mà chặn bậc ở trên đạt được dấu bằng. 3.2 Một số tính chất bảo toàn của nghiệm (1) Định lý 3.7. Cho F, G ∈ AODE K và giả sử F ∼ G. Khi đó F có một nghiệm tổng quát đại số nếu và chỉ nếu G có một nghiệm tổng quát đại số. Định nghĩa 3.8. Cho c ∈ C là hằng số, ta định nghĩa ánh xạ tịnh tiến (1) (1) Tc : AODE K → AODE K bởi (1) Tc ? F = F (x + c, y, y 0 ) với mọi F ∈ AODE K . (1) Mệnh đề 3.9. F ∈ AODE K là autonom nếu và chỉ nếu Tc ? F = F với mọi c ∈ C. (1) Định nghĩa 3.10. Cho F ∈ AODE K thuộc lớp autonom và ΦM là một phép biến đổi sao cho ΦM • F là autonom. Một nghiệm đại số P (x, y) = 0 của F (y, y 0 ) = 0 trên C(x) được gọi là không tầm thường tương ứng với ΦM nếu degx (ΦM • P ) > 0. Định lý 3.11. Cho F (y, y 0 ) = 0 là một phương trình vi phân đại số cấp một trong lớp autonom và ΦM là phép biến đổi sao cho ΦM • F = 0 là autonom. Giả sử P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của F (y, y 0 ) = 0 trên C(x) tương ứng với ΦM . Khi đó ΦM −1 • (Tc ? (ΦM • P )) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của phương trình F (y, y 0 ) = 0, trong đó c là hằng số tùy ý.
10 Định lý 3.12. Giả sử phương trình vi phân đại số cấp một F (y, y 0 ) = 0 thuộc lớp autonom và P (x, y) = 0 là một nghiệm đại số không tầm thường của phương trình F (y, y 0 ) = 0 tương ứng với ΦM . Khi đó, giống của đường cong đại số P (x, y) = 0 bằng giống của đường cong đại số F (y, y 0 ) = 0. 3.3 Một chặn bậc cho nghiệm tổng quát đại số (1) (1) Định lý 3.13. Cho F ∈ AODE K và giả sử tồn tại ΦM ∈ GK sao cho ΦM • F là phương trình vi phân đại số autonom. Khi đó, bậc của một nghiệm tổng quát đại số của F (y, y 0 ) = 0 trên K bị chặn trên bởi (δF + degy0 F ). Hơn nữa, nếu ay + b K = C(x) và M (y) = , trong đó bậc của a, b, c, d nhỏ hơn N , thì bậc cy + d theo x của đa thức tối tiểu của nghiệm tổng quát đại số của F (y, y 0 ) = 0 nhỏ hơn degy0 F + N (δF + degy0 F ). Thuật toán 1 ay + b Input: F ∈ K[y, y 0 ], degy F > 0, degy0 F > 0, M (y) = để ΦM • F là cy + d autonom. Output: Tính nghiệm tổng quát đại số của F = 0 nếu có. 1. Sử dụng Thuật toán 4.4 trong [2] để tính một nghiệm đại số không tầm thường của ΦM • F . Nếu ΦM • F không có nghiệm đại số không tầm thường thì kết luận “ F = 0 không có nghiệm tổng quát đại số”. 2. Nếu Q(x, y) = 0 là nghiệm đại số không tầm thường của ΦM • F = 0 nhận được từ bước 1 thì (−cy + a)degy Q Q(x + C, M −1 (y)) = 0 là một nghiệm tổng quát đại số của F = 0 với C là hằng số tùy ý.
11 Chương 4 Sự tương đương của các phương trình vi phân đại số cấp một tham số hữu tỷ được 4.1 Phương trình vi phân đa thức Một phương trình vi phân đa thức có dạng y 0 = an (x)y n + an−1 (x)y n−1 + · · · + a1 (x)y + a0 (x), (4.1) trong đó a0 , a1 , . . . , an ∈ K , an 6= 0. 4.1.1 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = z + b Phương trình (4.1) được biến đổi thành z 0 = An (x)z n + An−1 (x)z n−1 + · · · + A1 (x)z + A0 (x), (4.2) Định lý 4.1. Với mọi 2 ≤ i ≤ n − 1, ta có i−1 n−j i−1 n−j i−j i−j i−j A An−j i−j a an−j X X An−i = − (−1)i−j i−j n−1i−j + (−1)i−j i−j n−1i−j + an−i . j=0 n an j=0 n an (4.3) j 0 j 0 (−1)j Aj An−1 (−1)j aj an−1 Pn An−1 Pn an−1 Định lý 4.2. Ta có j=0 + = j=0 + . nj Ajn nAn nj ajn nan
12 4.1.2 Bất biến vi phân qua phép biến đổi z = aw Phương trình (4.2) được biến đổi thành w0 = a ˜n (x)wn + a ˜n−1 (x)wn−1 + · · · + a ˜1 (x)w + a ˜0 (x), (4.4) Bằng cách khử a, ta suy ra một hệ phương trình các bất biến sau a ˜i Ai   i−1 = i−1 , ∀i = 2, . . . , n − 1,   ˜nn−1 a Ann−10 (4.5)  1 a ˜n 1 A0n 1 1 a  ˜1 + = A1 + , và a ˜nn−1 = A0 Ann−1 . ˜0 a n − 1a˜n n − 1 An Nhận xét 4.3. Để phương trình (4.2) biến đổi thành phương trình (4.4) qua ˜n = An an−1 . Như vậy, nói phép biến đổi z = aw thì hệ số a được xác định bởi a chung a thuộc một mở rộng đại số của trường chứa các hệ số a ˜n và An . 4.1.3 Bất biến vi phân qua phép biến đổi y = aw + b Định lý 4.4. Với n ≥ 3, hai phương trình vi phân đa thức (4.1) và (4.4) là tương đương qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu K1 (a) = K1 (˜ a), K0 (a) = K0 (˜ a), 2 ≤ i ≤ n − 2. a), Ki (a) = Ki (˜ (4.6) Hệ quả 4.5. Phương trình vi phân đa thức (4.1), với n ≥ 3, là tương đương với dạng chuẩn tắc sau u0 = un + Kn−2 (a)un−2 + · · · + K1 (a)u + K0 (a), 1 an−1 qua phép biến đổi y = α1 u + β1 với α1n−1 = , β1 = − . an nan 4.2 Phương trình vi phân Riccati Định lý 4.6. Với n = 2, hai phương trình vi phân Riccati (4.1) và (4.4) là ˜ 0 (a) = K tương đương qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu K ˜ 0 (˜ a). Ví dụ 4.7. Hai phương trình vi phân trong [15] (danh mục các phương trình vi phân của Kamke) 4 2 no.1.140 : y 0 = −y 2 − y − 2 và x x
13 1 4x + 1 4 no.1.165 : y 0 = − y2 + 2 y− 2x2 −x 2x − x 2x − 1 là tương đương bởi vì chúng có cùng bất biến vi phân K˜ 0 (a) = 0, qua phép biến 1 4x − 1 đổi được xác định y = aw + b với a = 2 ,b=− 2 . 2x − x 2x − x Chú ý 4.8. Trong [9], Czy˙zycki và cộng sự đã nghiên cứu sự tương đương của các phương trình Riccati dưới tác động của một số nhóm con của nhóm Lie các phép biến đổi tương đương của phương trình Riccati. Trong số các nhóm con này có nhóm con gồm các phép biến đổi dạng y = aw + b. Mệnh đề 4.9. Phương trình vi phân Riccati tương đương với phương trình vi phân autonom qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu bất biến vi phân K˜ 0 (a) là hằng số. ˜ 0 (a) khác hằng số và phương trình Riccati được xác định trên C(x) thì Nếu K ta việc tìm nghiệm đại số của phương trình Riccati có thể dựa vào thuật toán Kovacic [17]. Chú ý 4.10. Dựa vào sự phân loại nhóm Galois vi phân của phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, các tác giả trong [33, Corollary 1.7] đã chỉ ra các bậc có thể có của các đa thức tối tiểu của các nghiệm đại số của phương trình Riccati w0 = w2 + r(x). Chú ý 4.11. Liên quan đến các hệ số của đa thức tối tiểu của các nghiệm đại số, A. Zharkov (1995) [35, Theorem 1.1] đã chứng minh rằng nếu phương trình Riccati w0 + w2 = r, với r ∈ Q(x), có một nghiệm đại số thì tồn tại một đa thức tối tiểu xác định nghiệm đó mà các hệ số của nó nằm trong một mở rộng của trường Q với bậc tối đa là 3. 4.3 Phương trình vi phân Abel Phương trình vi phân Abel loại một có dạng y 0 = a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0 (4.7)
14 trong đó ai ∈ K . Phương trình vi phân Abel loại hai a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0 y0 = b1 y + b0 1 có thể biến đổi về dạng thứ nhất bằng phép đổi biến b1 y + b0 = . v Qua phép biến đổi y = aw + b, phương trình Abel (4.7) được biến đổi thành w0 = a ˜3 w 3 + a ˜2 w 2 + a ˜1 w + a ˜0 . Hệ quả 4.12. Hệ các bất biến vi phân cơ sở của phương trình Abel là 1 a03 1 a22  K (a) = a + −   1  1 2 a3 3 a3 1 2 3 (4.8) 2 0 0 K0 (a) = 3/2 (3a0 a3 − a1 a2 a3 + a2 a3 − a2 a3 + 9 a2 ).   3a3 Hệ quả 4.13. Hai phương trình vi phân Abel y 0 = a3 y 3 + a2 y 2 + a1 y + a0 và w0 = a ˜3 w 3 + a ˜2 w 2 + a ˜1 w + a ˜0 là tương đương qua phép biến đổi y = aw + b nếu và chỉ nếu K1 (a) = K1 (˜ a) và K0 (a) = K0 (˜ a). Ví dụ 4.14. Các phương trình vi phân Abel dt = − (t + x − 1)((t + x)2 − 5(t + x) + 7) (4.9) dx và ds = −(s − 1)3 . (4.10) dx là tương đương qua phép biến đổi t = s − x + 1. Định lý 4.15. Ta có thể đưa phương trình Abel về dạng chuẩn tắc sau w0 = w3 + K1 (a)w + K0 (a). (4.11) Chú ý 4.16. Nếu K0 (a) và K2 (a) đều là các hằng số thì phương trình Abel là tương đương với một phương trình vi phân autonom. Chú ý 4.17. Nếu K0 (a) = 0 thì (4.11) là một phương trình Bernoulli. Định lý 4.18. Có hai dạng chuẩn tắc hữu tỷ khác nhau của phương trình Abel: 1. w0 = a ˜3 w 3 + a ˜1 w, nếu K0 (˜ a) = 0;