Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số lớp phương trình parabolic không địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các bài toán không địa phương này thông qua nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục (hữu hạn chiều), và sự tồn tại và ổn định mũ của nghiệm dừng. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Về một số lớp phương trình parabolic không địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI LÊ TRẦN TÌNH VỀ MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 HÀ NỘI, 2020
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Cung Thế Anh Phản biện 1: GS.TSKH Nguyễn Minh Trí Viện Toán học Phản biện 2: PGS.TS Nguyễn Sinh Bảy Trường Đại học Thương mại Phản biện 3: PGS.TS Lê Văn Hiện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi . . . giờ . . . ngày . . . tháng . . . năm 2020. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam; - Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội.
MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lí do chọn đề tài Việc nghiên cứu các hiện tượng khuếch tán xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học như vật lý, sinh học, kinh tế, kỹ thuật, ..., dẫn chúng ta tới nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng. Trong hai mươi năm qua, lý thuyết về phương trình địa phương và không địa phương có sự phát triển mạnh mẽ, đặc biệt là lý thuyết phương trình parabolic. Các phương trình địa phương là phương trình mô tả mối quan hệ giữa hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của nó và để kiểm tra nó thỏa mãn tại một điểm cụ thể, ta chỉ cần biết các giá trị của hàm trong một lân cận nhỏ tùy ý để tất cả các đạo hàm có thể được tính toán. Tuy nhiên, điều này không còn đúng với các phương trình không địa phương. Để kiểm tra phương trình không địa phương thỏa mãn tại một điểm cụ thể, thì thông tin về các giá trị của hàm cách xa điểm đó là cần thiết. Nói một cách đơn giản, giá trị đầu ra của phương trình không địa phương thì phụ thuộc vào toàn bộ giá trị đầu vào. Đặc điểm này của nó là kết quả trực tiếp của bản chất hiện tượng được mô tả sinh ra. Tính không địa phương trong phương trình có các dạng khác nhau chẳng hạn như tính không địa phương của các số hạng nguồn (xem Y. Chen and M. Wang (2009), P. Souplet (1998)), tính không địa phương của các điều kiện biên (xem C. Mu et al. (2007, 2010), H. M. Yin (2004)), và tính không địa phương của các toán tử khuếch tán (xem L. Caffarelli (2012), C. G. Gal and M. Warma (2016), N. Pan et al. (2017), P. Pucci et al. (2017), M. Xiang et al. (2018)). Tính không địa phương có thể xảy ra ở biến không gian hoặc thời gian hoặc cả hai. Phương trình chứa toán tử không địa phương là lớp phương trình phổ biến nhất. Yếu tố không địa phương gây ra nhiều khó khăn trong nghiên cứu. Nguyên nhân bởi tính không địa phương đã làm biến đổi tính chất của phương trình, chẳng hạn tính duy nhất nghiệm của phương trình có thể không đạt được, hoặc tính trơn hơn của nghiệm cũng không đạt được. Vì vậy, chúng ta cần một phương pháp nghiên cứu tốt và việc nghiên cứu phương trình parabolic không địa phương đang là vấn đề thời sự. Một số lớp phương trình parabolic không địa phương quan trọng liên quan tới nội dung luận án như sau: 1
Lớp phương trình thứ nhất là lớp phương trình parabolic không địa phương chứa toán tử Laplace. Tính không địa phương là do hệ số khuếch tán được xác định bởi một đại lượng toàn cục. Các bài toán của lớp phương trình này có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như Vật lý, Sinh học,.... Chúng ta có thể liệt kê một số kết quả gần đây như M. Chipot and B. Lovat (1997, 1999), A. S. Ackleh and L. Ke (2000), F. J. S. A. Corrêa et al. (2004), S. Zheng and M. Chipot (2005), S. B. de Menezes (2006), C. A. Raposo et al. (2008), A. A. Ovono (2010), J. Simsen and J. Ferreira (2014), R. J. Robalo et al. (2014), T. Caraballo et al.(2015, 2016), R. M. P. Almeida et al. (2016), Y. Han and Q. Li (2018). Lớp phương trình thứ hai là lớp phương trình parabolic không địa phương chứa toán tử p-Laplace. Các bài toán của lớp phương trình này cũng có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Vật lý và Sinh học. Chẳng hạn, nó được sử dụng để mô tả chuyển động của chất lỏng hoặc chất khí không ổn định trong môi trường không thuần nhất, không đẳng hướng. Nó có thể được xem xét như mô hình tổng quát về quần thể. Chúng ta có thể liệt kê một số kết quả gần đây như M. Chipot and T. Savitska (2014, 2015), T. Caraballo et al. (2017, 2018), J. Li and Y. Han (2019), Y. Fu and M. Xiang (2019). Cuối cùng, lớp phương trình không địa phương cũng nhận được nhiều sự quan tâm là lớp phương trình không địa phương chứa toán tử khuếch tán bậc phân. Trong những thập kỳ gần đây, các mô hình bậc phân trở thành công cụ mạnh để mô hình hóa các quá trình khuếch tán phức tạp như các chuyển động kỳ dị, .... và các quá trình khuếch tán này không thể mô tả bởi các phương trình đạo hàm riêng bậc nguyên. Các mô hình này không những có ý nghĩa toán học mà đóng vai trò quan trọng trong thực tiễn (xem L. Caffarelli (2012), S. Duo et al. (2019), N. Laskin (2000)). Đặc biệt, chúng ta quan tâm nhiều tới các toán tử bậc phân được sử dụng trong công trình của C.G. Gal and M. Warma (2016). Một số kết quả gần đây có thể kể đến là K. Bogdan et al. (2003), Z. Q. Chen et al. (2003), M. Warma et al. (2015, 2016), C. Zhang et al. (2018), B. Zhang et al. (2017, 2018). Việc hiểu dáng điệu tiệm cận của hệ động lực là một trong những bài toán quan trọng nhất của toán học hiện đại. Một hướng tiếp cận đối với vấn đề này cho hệ động lực có tính tiêu hao là nghiên cứu tập hút toàn cục của các hệ động lực này. Khi sự tồn tại tập hút toàn cục được chứng minh, chúng ta có thể nghiên cứu các tính chất 2
của nó vì nội hàm thông tin của hệ động lực chứa đựng trong tập hút toàn cục. Từ những phân tích bên trên, chúng ta thấy rằng còn rất nhiều bài toán mở đối với phương trình không địa phương có thể nghiên cứu thông qua nghiên cứu tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh như là: Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình parabolic không địa phương với các toán tử khuếch tán khác và số hạng phi tuyến tổng quát hơn. Dáng điệu tiệm cận nghiệm của hệ phương trình parabolic không địa phương với các toán tử khuếch tán khác và số hạng phi tuyến tổng quát hơn. Đây là lý do đề tài “Về một số lớp phương trình parabolic không địa phương” được chọn làm đề tài luận án của tôi. 2. Đối tượng và mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu các bài toán sau: (P1) Tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic không địa phương với lớp số hạng phi tuyến mới. (P2) Dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với một lớp phương trình parabolic không địa phương tựa tuyến tính. (P3) Tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic không địa phương chứa toán tử Laplace bậc phân (the fractional Laplacian) và toán tử Laplace bậc phân miền (the regional fractional Laplacian) và lớp số hạng phi tuyến mới. Mục đích của luận án là nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các bài toán không địa phương này thông qua nghiên cứu sự tồn tại tập hút toàn cục (hữu hạn chiều), và sự tồn tại và ổn định mũ của nghiệm dừng. 3. Cấu trúc và kết quả của luận án Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận án bao gồm 4 chương: Chương 1 nhắc lại một số khái niệm cơ sở và tóm tắt một số kết quả về không gian hàm, sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình đạo hàm riêng, toán tử và một số kiến thức bổ trợ. Chương 2 trình bày tập hút toàn cục của phương trình parabolic không địa phương với lớp số hạng phi tuyến mới. 3
Chương 3 trình bày dáng điệu tiệm cận nghiệm đối với một lớp phương trình parabolic không địa phương tựa tuyến tính. Chương 4 trình bày tập hút toàn cục đối với phương trình parabolic không địa phương chứa chứa toán tử Laplace bậc phân (the fractional Laplacian) và toán tử Laplace bậc phân miền (the regional fractional Laplacian) và lớp số hạng phi tuyến mới. Kết quả nhận được trong Chương 2,3 và 4 là các kết quả nghiên cứu cho các bài toán (P1), (P2) và (P3) tương ứng. Chương 2 và Chương 3 trình bày dựa trên các bài báo [CT1], [CT2] trong Danh mục công trình khoa học và được đăng trong các tạp chí Journal of the Korean Mathematical Society và Communications of the Korean Mathematical Society. Kết quả trong Chương 4 là nội dung của công trình [CT3] trong Danh mục công trình khoa học. 4
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ Trong chương này, chúng ta nhắc lại một số khái niệm cơ sở và tóm tắt một số kết quả về không gian hàm, sự tồn tại tập hút toàn cục đối với phương trình đạo hàm riêng, toán tử và một số kiến thức bổ trợ. 1. Các không gian hàm Không gian Banach và Hilbert, một số loại hội tụ. Không gian Lp , không gian Sobolev bậc nguyên không âm và bậc phân. Đặc biệt, các phép nhúng liên tục, compact và các bất đẳng thức. Các không gian Bochner. 2. Tập hút toàn cục đối với phương trình đạo hàm riêng: Tóm tắt lý thuyết tổng quan về tồn tại tập hút toàn cục (hữu hạn chiều) đối với nửa nhóm sinh từ phương trình đạo hàm riêng. 3. Toán tử: Toán tử Laplace và p-Laplace, toán tử Laplace bậc phân và Laplace bậc phân miền. 4. Một số kết quả bổ trợ: Bất đẳng thức Young với , bất đẳng thức Gronwall và Gronwall đều. 5
Chương 2 TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG VỚI LỚP SỐ HẠNG PHI TUYẾN MỚI Nội dung chương này được dành để trình bày nghiên cứu về một lớp phương trình parabolic không địa phương trên miền bị chặn với biên Dirichlet và chứa lớp số hạng phi tuyến mới (lớp số hạng phi tuyến không có hạn chế về điều kiện tăng trưởng). Đầu tiên, chúng ta chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán bằng phương pháp compact. Tiếp theo, sự tồn tại tập hút toàn cục và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục của nửa nhóm sinh được nghiên cứu. Cuối cùng, chúng ta chứng minh sự tồn tại nghiệm dừng và đưa ra điều kiện đủ để nghiệm dừng là duy nhất và ổn định mũ. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [CT1] trong Danh mục công trình khoa học. 2.1 Đặt bài toán Cho Ω là miền trơn bị chặn trong RN (N ≥ 1). Xét phương trình parabolic không địa phương  ut − a(l(u))∆u + f (u) = g(x), x ∈ Ω, t > 0,       u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (2.1)     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω.  Số hạng phi tuyến f , ngoại lực g và hệ số khuếch tán a thỏa mãn (H1) a ∈ C(R, R+ ) là Lipschitz liên tục, tức là, tồn tại hằng số dương L thỏa mãn |a(t) − a(s)| ≤ L|t − s|, ∀t, s ∈ R, và a(·) là bị chặn, tức là, tồn tại hai số dương m, M thỏa mãn 0 < m ≤ a(t) ≤ M, ∀t ∈ R. Hơn nữa, giả sử a phụ thuộc liên tục vào phiếm hàm tuyến tính liên tục l(u) trên 6
L2 (Ω), tức là, a = a(l(u)), với l : L2 (Ω) → R được xác định bởi Z l(u) = φ(x)u(x)dx, Ω ở đây φ(·) là một hàm cho trước trong L2 (Ω). (H2) f : R → R là hàm khả vi liên tục thỏa mãn f (u)u ≥ −µu2 − c1 , f 0 (u) ≥ −α, trong đó c1 , α là các hằng số dương, 0 < µ < mλ1 với λ1 > 0 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử (−∆, H01 (Ω)). (H3) g ∈ L2 (Ω). 2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Định nghĩa 2.2.1. Một nghiệm yếu của (2.1) trên khoảng (0, T ) là một hàm u ∈ L2 (0, T ; H01 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) thỏa mãn du dt ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) + L1 (ΩT ), f (u) ∈ L1 (ΩT ), u(0) = u0 , và d h u, vi + a(l(u))((u, v)) + hf (u), vi = (g, v), dt với tất cả v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω) và với hầu khắp nơi t ∈ (0, T ), trong đó ΩT = Ω × (0, T ). Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu là nội dung của định lý sau. Định lý 2.2.2. Cho trước u0 ∈ L2 (Ω) và T > 0. Giả sử (H1), (H2) và (H3) thỏa mãn. Khi đó, bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu u trên khoảng (0, T ). Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) là liên tục trên L2 (Ω), nghĩa là, nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu. 2.3 Sự tồn tại tập hút toàn cục Nhờ Định lý 2.2.2, chúng ta có thể xây dựng một nửa nhóm liên tục S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) liên kết với bài toán (2.1) xác định bởi S(t)u0 := u(t), trong đó u(·) là nghiệm 7
yếu duy nhất của bài toán (2.1) với điều kiện ban đầu u0 . Chúng ta sẽ chứng minh nửa nhóm S(t) có tập hút toàn cục A. Bổ đề 2.3.1. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có một tập hấp thụ bị chặn trong L2 (Ω). Bổ đề 2.3.2. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có một tập hấp thụ bị chặn trong H01 (Ω). Nhờ phép nhúng compact H01 (Ω) ,→ L2 (Ω) và Bổ đề 2.3.2, định lý sau đây được chứng minh Định lý 2.3.3. Giả sử (H1), (H2) and (H3) thỏa mãn. Khi đó, nửa nhóm S(t) sinh từ bài toán (2.1) có một tập hút toàn cục A trong L2 (Ω). Để nghiên cứu tính chính quy của tập hút toàn cục, hệ số khuếch tán thỏa mãn giả thiết sau (H1bis) a ∈ C(R, R+ ) là hàm khả vi liên tục và thỏa mãn điều kiện (H1). Bổ đề 2.3.4. Giả sử (H1bis), (H2) và (H3)thỏa mãn, nửa nhóm {S(t)}t≥0 có một tập hấp thụ bị chặn trong H 2 (Ω) ∩ H01 (Ω). Nhờ phép nhúng compact H 2 (Ω) ,→ H01 (Ω), chúng ta chứng minh được định lý sau Định lý 2.3.5. Giả sử (H1bis), (H2) và (H3) thỏa mãn. Khi đó, nửa nhóm S(t) sinh từ bài toán (2.1) có một tập hút toàn cục A trong H01 (Ω). 2.4 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục Giả sử số hạng phi tuyến f và ngoại lực g thỏa mãn điều kiện mạnh hơn sau: (H2bis) f thỏa mãn điều kiện (H2) và tồn tại s0 > 0 sao cho f (s) ≥ kgkL∞ (Ω) nếu s ≥ s0 , f (s) ≤ kgkL∞ (Ω) nếu s ≤ −s0 . (H3bis) g ∈ L∞ (Ω). Bổ đề 2.4.1. Giả sử (H1), (H2bis), và (H3bis) thỏa mãn. Khi đó, tập hút toàn cục A của bài toán (2.1) là bị chặn trong L∞ (Ω). Định lý sau đây là kết quả chính của phần này 8
Định lý 2.4.2. Giả sử (H1), (H2bis), và (H3bis) thỏa mãn. Khi đó, tập hút toàn cục A của bài toán (2.1) có số chiều fractal hữu hạn trong L2 (Ω), nghĩa là, C −1 9e 2 dimf A ≤ q ln ln . 1−δ 1+δ 2.5 Sự tồn tại và ổn định mũ của nghiệm dừng Một nghiệm dừng yếu của bài toán (2.1) là một phần tử u∗ ∈ H01 (Ω) thỏa mãn Z Z Z ∗ ∗ ∗ a(l(u )) ∇u · ∇vdx + f (u )vdx = gvdx, Ω Ω Ω với tất cả hàm thử v ∈ H01 (Ω) ∩ L∞ (Ω). Định lý 2.5.1. Giả sử (H1), (H2) và (H3) thỏa mãn. Bài toán (2.1) có ít nhất một nghiệm dừng yếu u∗ thỏa mãn ku∗ k2 ≤ `(τ0 ), trong đó λ1 (4k1 τ + k2 ) `(τ ) = , 4τ (k3 − τ ) với p k22 + 4k1 k2 k3 − k2 τ0 = , trong đó k1 = c1 |Ω|, k2 = |g|22 , k3 = mλ1 − µ. 4k1 Hơn nữa, nếu điều kiện sau thỏa mãn q mλ1 > α + L2 |φ|22 `(τ0 ) λ1 , thì với bất kỳ nghiệm yếu u của (2.1), ta có |u(t) − u∗ |22 ≤ |u(0) − u∗ |22 e−2Γ0 t với mọi t > 0, p trong đó Γ0 = mλ1 − α − L2 |φ|22 `(τ0 )λ1 > 0. Điều này có nghĩa, nghiệm dừng yếu của (2.1) là duy nhất và ổn định mũ. Nhận xét 2.5.2. Sự vắng mặt của điều kiện tăng trưởng trên của số hạng phi tuyến và tính không địa phương sinh ra nhiều khó khăn trong chứng minh. Tuy nhiên, các kết quả của chúng tôi đã cải tiến và mở rộng một số kết quả như sau: Trường hợp a ≡ 1 và số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tính hoặc tăng trưởng đa thức, chúng ta nhận được các kết quả đã biết của phương trình phản ứng khuếch tán với điều kiện biên Dirichlet. 9
Với số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng đa thức và vắng mặt số hạng nguồn, chúng ta nhận được kết quả của J. Simsen và J. Ferreira (2014). Các kết quả của chúng tôi đã cải tiến và mở rộng các kết quả trên vì lớp số hạng phi tuyến này chứa các lớp số hạng phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng dưới tuyến tính hoặc tăng trưởng đa thức và ngay cả số hạng phi tuyến dạng hàm mũ. 10
Chương 3 DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM ĐỐI VỚI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TỰA TUYẾN TÍNH Trong chương này, chúng ta xem xét một lớp phương trình parabolic không địa phương chứa toán tử p-Laplace với số hạng phi tuyến tăng trưởng kiểu đa thức. Tính không địa phương ở đây là do hệ số khuếch tán xác định bởi đại lượng toàn cục. Đầu tiên, sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán được chứng minh bằng phương pháp compact và phương pháp đơn điệu. Sau đó, sự tồn tại tập hút toàn cục và tính trơn của tập hút toàn cục trong các không gian được thiết lập. Cuối cùng, chúng ta chứng minh sự tồn tại và ổn định mũ của nghiệm dừng. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [CT2] trong Danh mục công trình khoa học. 3.1 Đặt bài toán Cho Ω ⊂ RN là một miền mở bị chặn với biên Lipschitz ∂Ω và p ≥ 2. Chúng ta nghiên cứu hệ phương trình parabolic không địa phương  p p−2 u − div a k∇uk |∇u| ∇u + f (u) = g(x), x ∈ Ω, t > 0,     t Lp (Ω)   u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, (3.1)     u(x, 0) = u0 (x), x ∈ Ω.  Số hạng phi tuyến f , hệ số khuếch tán a và ngoại lực g thỏa mãn (H1) a ∈ C(R, R+ ) và tồn tại các hằng số dương m và M thỏa mãn 0 < m ≤ a(s) ≤ M, ∀s ∈ R. Hơn nữa, ánh xạ a thỏa mãn s 7→ a(sp )sp−1 là không giảm. (H2) f : R → R là hàm khả vi liên tục thỏa mãn c1 |u|q − c0 ≤ f (u)u ≤ c2 |u|q + c0 , 11
f 0 (u) ≥ −c3 , với q ≥ 2, trong đó c0 , c1 , c2 , c3 là các hằng số dương. (H3) g ∈ L2 (Ω). 3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Ký hiệu ΩT := Ω × (0, T ), V := Lp (0, T ; W01,p (Ω)) ∩ Lq (ΩT ), 0 0 0 V ∗ := Lp (0, T ; W −1,p (Ω)) + Lq (ΩT ), trong đó 1/p + 1/p0 = 1 và 1/q + 1/q 0 = 1. Định nghĩa 3.2.1. Cho u0 ∈ L2 (Ω). Một hàm u được gọi là nghiệm yếu của bài toán (3.1) trên khoảng (0, T ) nếu và chỉ nếu u ∈ V, ut ∈ V ∗ , u|t=0 = u0 a.e. in Ω, và Z ut v + a k∇ukpLp (Ω) |∇u|p−2 ∇u · ∇v + f (u)v − gv dxdt = 0, ΩT với mọi hàm thử v ∈ V . Bổ đề 3.2.2. Nếu u ∈ V và ut ∈ V ∗ , thì u ∈ C([0, T ]; L2 (Ω)). Bổ đề 3.2.3. Giả sử (H1) thỏa mãn. Khi đó, toán tử −div a(k∇ukpLp (Ω) )|∇u|p−2 ∇u là toán tử đơn điệu trong W01,p (Ω). Định lý 3.2.4. Giả sử các điều kiện (H1), (H2), và (H3) thỏa mãn, với mỗi u0 ∈ L2 (Ω) cho trước, bài toán (3.1) có duy nhất một nghiệm yếu u(·) thỏa mãn u ∈ C([0, ∞); L2 (Ω)) ∩ Lploc (0, ∞; W01,p (Ω)) ∩ Lqloc (0, ∞; Lq (Ω)), 0 0 0 0 ut ∈ Lploc (0, ∞; W −1,p (Ω)) + Lqloc (0, ∞; Lq (Ω)). Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) là (L2 (Ω), L2 (Ω))-liên tục. 12
3.3 Sự tồn tại các tập hút toàn cục 3.3.1 (L2 (Ω), L2 (Ω))-Tập hút toàn cục Định lý 3.2.4 cho phép ta xây dựng một nửa nhóm liên tục S(t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) liên kết với bài toán (3.1) được xác định bởi S(t)u0 := u(t), trong đó u(·) là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (3.1) với điều kiện ban đầu u0 . Từ chứng minh Định lý 3.2.4, chúng ta suy ra sự tồn tại (L2 (Ω), L2 (Ω))-tập hấp thụ bị chặn B0 của {S(t)}t≥0 . Mệnh đề 3.3.1. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 có một (L2 (Ω), W01,p (Ω))-tập hấp thụ bị chặn B1 . Nhờ vào phép nhúng compact W01,p (Ω) ,→ L2 (Ω) và Mệnh đề 3.3.1, định lý sau được chứng minh Định lý 3.3.2. Giả sử các điều kiện (H1), (H2), và (H3) thỏa mãn. Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh từ bài toán (3.1) có một (L2 (Ω), L2 (Ω))-tập hút toàn cục A2 . 3.3.2 (L2 (Ω), Lq (Ω))-Tập hút toàn cục Chúng ta sẽ chứng minh sự tồn tại (L2 (Ω), Lq (Ω))-tập hút toàn cục và (L2 (Ω), W01,p (Ω)∩ Lq (Ω))-tập hút toàn cục. Để chứng minh điều này, ta cần giả thiết sau (H1bis)a là hàm khả vi liên tục, không giảm và thỏa mãn điều kiện (H1). Mệnh đề 3.3.3. Giả sử các điều kiện (H1bis), (H2), và (H3) thỏa mãn. Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 có một (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-tập hấp thụ bị chặn B2 , tức là, tồn tại số dương ρ2 thỏa mãn với bất kỳ tập con bị chặn B trong L2 (Ω), tồn tại hằng số dương T2 phụ thuộc vào L2 -chuẩn của tập B thỏa mãn Z Z |∇u| dx + |u|q dx ≤ ρ2 , p Ω Ω với tất cả t ≥ T2 và u0 ∈ B, trong đó u là nghiệm yếu duy nhất của bài toán (3.1) với điều kiện ban đầu u0 . Mệnh đề 3.3.4. Nửa nhóm {S(t)}t≥0 là liên tục chuẩn-yếu trên S(B2 ), trong đó B2 là (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-tập hấp thụ bị chặn trong Mệnh đề 3.3.3. Định lý 3.3.5. Giả sử các điều kiện (H1bis), (H2), và (H3) thỏa mãn. Khi đó, nửa nhóm S(t) liên kết với bài toán (3.1) có một (L2 (Ω), Lq (Ω))-tập hút toàn cục Aq . 13
3.3.3 (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-Tập hút toàn cục Bổ đề 3.3.6. Giả sử các điều kiện (H1bis), (H2), và (H3) thỏa mãn. Khi đó, với bất kỳ tập con bị chặn B trong L2 (Ω), tồn tại hằng số dương T3 = T3 (B) thỏa mãn kut (s)k2L2 (Ω) ≤ ρ3 , với mọi u0 ∈ B, và s ≥ T3 , d trong đó ut (s) = (S(t)u0 )|t=s và ρ3 là số dương không phụ thuộc vào u0 . dt Bổ đề 3.3.7. Cho p ≥ 2. Giả sử điều kiện (H1bis) thỏa mãn, với mọi u1 , u2 ∈ W01,p (Ω), ta có D E −div a(k∇u1 kpLp (Ω) )|∇u1 |p−2 ∇u1 + div a(k∇u2 kpLp (Ω) )|∇u2 |p−2 ∇u2 , u1 − u2 Z = a(k∇u1 kpLp (Ω) )|∇u1 |p−2 ∇u1 − a(k∇u2 kpLp (Ω) )|∇u2 |p−2 ∇u2 · ∇(u1 − u2 )dx Ω ≥ cp ku1 − u2 kpW 1,p (Ω) , 0 trong đó  m  nếu p = 2, cp =  m  nếu p > 2. 8.3p/2 Định lý 3.3.8. Giả sử điều kiện (H1bis), (H2), và (H3) thỏa mãn. Khi đó, nửa nhóm {S(t)}t≥0 liên kết với (3.1) có một (L2 (Ω), W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω))-tập hút toàn cục A. 3.4 Sự tồn tại và ổn định mũ của nghiệm dừng Một phần tử u∗ ∈ W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω) được gọi là một nghiệm dừng yếu của bài toán (3.1) nếu Z Z Z a(k∇u∗ kpLp (Ω) ) ∗ p−2 |∇u | ∗ ∇u · ∇vdx + ∗ f (u )vdx = gvdx, Ω Ω Ω với mọi hàm thử v ∈ W01,p (Ω) ∩ Lq (Ω). Định lý 3.4.1. Giả sử các điều kiện (H1), (H2), và (H3) thỏa mãn, bài toán (3.1) có ít nhất một nghiệm yếu dừng u∗ thỏa mãn ku∗ kpW 1,p (Ω) + ku∗ kqLq (Ω) ≤ `, 0 trong đó p0 (p−2)p0 0 0 2p0 c0 |Ω|(pmλ1 ) p + |Ω| 2p kgkpL2 (Ω) 2p `= p0 . min 1, 2cm1 mp0 (pmλ1 ) p 14
Hơn nữa, nếu f là tăng ngặt, tức là, f 0 (s) ≥ α > 0 với mọi s ∈ R, thì với mọi nghiệm yếu u của (3.1), ta có ku(t) − u∗ k2L2 (Ω) ≤ ku(0) − u∗ k2L2 (Ω) e−2αt với mọi t > 0. Tức là, nghiệm dừng yếu của bài toán (3.1) là duy nhất và ổn định mũ. Nhận xét 3.4.2. Nếu p = 2, a thỏa mãn (H1bis) và mλ1 > c3 , ta có thể kiểm tra được rằng nghiệm dừng yếu u∗ là duy nhất và ổn định mũ. Hơn nữa, với mọi nghiệm yếu u của (3.1), ta có ku(t) − u∗ k2L2 (Ω) ≤ ku(0) − u∗ k2L2 (Ω) e−2(mλ1 −c3 )t với mọi t > 0. Nhận xét 3.4.3. Trong trường hợp p > 2, toán tử p-Laplace không là toán tử tuyến tính. Do đó, kỹ thuật trong chương này khác với kỹ thuật trong chương 2. Hơn nữa, các điều kiện của Bổ đề 1.2.33 chưa thỏa mãn, nguyên nhân là do tính không tuyến tính của toán tử p-Laplace và tính không địa phương của phương trình gây ra. Vì vậy, ước lượng số chiều fractal của tập hút toàn cục trong chương này là chưa giải quyết được. Chúng ta có thể phải sử dụng cách tiếp cận khác để đạt được kết quả này. Nhận xét 3.4.4. Đại lượng không địa phương phụ thuộc vào Lp -chuẩn của gradient sinh ra nhiều khó khăn trong bài toán. Điều này dẫn tới các kỹ thuật của chương có nhiều khác biệt với chương 2. Các kết quả đạt được của chúng tôi đã cải tiến và mở rộng các kết quả đã biết như sau: Trường hợp a ≡ 1, chúng ta nhận được một số kết quả của Babin và Vishik (1992), Temam (1997), Geredeli et al. (2013, 2015) (tham khảo thêm các kết quả của Carvalho et al. (1999, 2001, 2003) với toán tử đơn điệu). 0 Trường hợp f = 0, g ∈ W −1,p (Ω) và u0 ∈ W01,p (Ω) ∩ L2 (Ω) với 1 < p < ∞, 1 p + p10 , chúng ta có các kết quả của M. Chipot và T. Savitska (2014), nhưng các tác giả không đề cập tới tập hút toàn cục. Các kết quả của chúng tôi là kết quả đầu tiên chứng minh sự tồn tại tập hút toàn cục cho phương trình này. 15
Chương 4 TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG CHỨA TOÁN TỬ LAPLACE BẬC PHÂN VÀ TOÁN TỬ LAPLACE BẬC PHÂN MIỀN VỚI LỚP SỐ HẠNG PHI TUYẾN MỚI Trong chương này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp dạng Dirichlet trên miền không trơn để nghiên cứu lớp phương trình parabolic không địa phương chứa toán tử Laplace bậc phân và toán tử Laplace bậc phân miền với các điều kiện biên khác nhau và lớp số hạng phi tuyến mới. Đầu tiên, sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu của bài toán được thiết lập bằng việc sử dụng phương pháp compact và kỷ thuật hội tụ yếu trong không gian Orlicz. Sau đó, sự tồn tại tập hút toàn cục và đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục được chứng minh. Tính mới ở đây là không có sự hạn chế về điều kiện tăng trưởng của số hạng phi tuyến. Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [CT3] trong Danh mục công trình khoa học. 4.1 Đặt bài toán Chúng ta xét phương trình khuếch tán không địa phương chứa toán tử Laplace bậc phân (−∆)s với điều kiện biên Dirichlet mở rộng  ut + (−∆)s u + f (u) = g trong Ω × (0, ∞),      u=0 trên (RN \Ω) × (0, ∞), (4.1)    u(x, 0) = u0 (x)  trong Ω, và phương trình khuếch tán không địa phương chứa toán tử Laplace bậc phân miền AsΩ với điều kiện biên Dirichlet, Neumann bậc phân và Robin bậc phân  ut + AsΩ u + f (u) = g trong Ω × (0, ∞),      u=0 trên ∂Ω × (0, ∞), (4.2)    u(x, 0) = u0 (x)  trong Ω, 16
và  ut + AsΩ u + f (u) = g trong Ω × (0, ∞),      N 2−2s u = 0 trên ∂Ω × (0, ∞), (4.3)    u(x, 0) = u0 (x)  trong Ω, và  ut + AsΩ u + f (u) = g trong Ω × (0, ∞),      BN,s N 2−2s u + γu = 0 trên ∂Ω × (0, ∞), (4.4)    u(x, 0) = u0 (x)  trong Ω, trong đó N 2−2s u ký hieeuh đạo hàm bậc phân pháp tuyến của hàm u, BN,s là hằng số chuẩn hóa, γ là hằng số dương. Chúng ta có thể viết lại các hệ từ (4.1) đến (4.4) dưới dạng chung  ut + AK u + f (u) = g trong Ω × (0, ∞), (4.5) u(x, 0) = u (x) trong Ω. 0 Để nghiên cứu hệ (4.5), chúng ta giả thiết các điều kiện sau thỏa mãn: (F) f : R → R là hàm khả vi liên tục thỏa mãn (i) Nếu K ∈ {D, R, E}, ta có f (u)u ≥ −µu2 − c1 , (4.6) f 0 (u) ≥ −`, (4.7) trong đó c1 , ` là các hằng số dương và 0 < µ < CK,s . (ii) Nếu K = N , thì fN (u) = f (u) − ηu thỏa mãn (4.6)-(4.7) với η ≥ |Ω| và 0 < µ < CN ,s . (G) g ∈ L2 (Ω). (D) Miền Ω và s thỏa mãn các điều kiện sau: (i) Nếu K ∈ {D, E}, thì Ω là miền mở bị chặn bất kỳ và 0 < s < 1, 1 (ii) Nếu K ∈ {N , R}, thì Ω là miền bị chặn với biên trơn Lipschitz và 2 < s < 1. 4.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu Ký hiệu WKs,2 (Ω), K ∈ {D, N , R, E}, trong đó WDs,2 (Ω) := W0s,2 (Ω), WEs,2 (Ω) := f0s,2 (Ω) = {u ∈ W s,2 (RN ), u = 0 on RN \Ω}, W s,2 (Ω) ≡ W s,2 (Ω) := W s,2 (Ω). Hơn W N R nữa, WK−s,2 (Ω) := (WKs,2 (Ω))∗ là không gian đối ngẫu của không gian WKs,2 (Ω). 17
Định nghĩa 4.2.1. Một nghiệm yếu của bài toán (4.5) trên khoảng (0, T ) là một hàm u ∈ L2 (0, T ; WKs,2 (Ω)) ∩ C([0, T ]; L2 (Ω)) thỏa mãn du dt ∈ L2 (0, T ; WK−s,2 (Ω)) + L1 (ΩT ), f (u) ∈ L1 (ΩT ), u(0) = u0 hầu khắp nơi và phương trình d h u, vi + EK (u, v) + hf (u), vi = hg, vi, dt thỏa mãn với mọi hàm thử v ∈ WKs,2 (Ω) ∩ L∞ (Ω), K ∈ {D, N , R, E} và với hầu khắp nơi t ∈ (0, T ), trong đó ΩT = Ω × (0, T ). Định lý 4.2.2. Cho trước u0 ∈ L2 (Ω) và T > 0. Giả sử các điều kiện (F), (G), và (D) thỏa mãn. Khi đó, bài toán (4.5) có duy nhất một nghiệm yếu u trên khoảng (0, T ). Hơn nữa, ánh xạ u0 7→ u(t) là liên tục trên L2 (Ω), tức là, nghiệm phụ thuộc liên tục vào điều kiện ban đầu. 4.3 Sự tồn tại các tập hút toàn cục Nhờ Định lý 4.2.2, với mỗi K ∈ {D, N , R, E}, chúng ta có thể xây dựng một nửa nhóm liên tục SK (t) : L2 (Ω) → L2 (Ω) liên kết với bài toán (4.5) như sau: SK (t)u0 := u(t), trong đó u(·) là nghiệm toàn cục duy nhất của (4.5) với điều kiện ban đầu u0 . Chúng ta sẽ chứng minh nửa nhóm SK (t) có một tập hút toàn cục AK . Bổ đề 4.3.1. Nửa nhóm {SK (t)}t≥0 sinh từ bài toán (4.5) có một tập hấp thụ bị chặn B0K trong L2 (Ω). Bổ đề 4.3.2. Nửa nhóm {SK (t)}t≥0 sinh từ bài toán (4.5) có một tập hấp thụ bị chặn B1K trong WKs,2 (Ω)). Nhờ phép nhúng compact WKs,2 (Ω) ,→ L2 (Ω) và Bổ đề 4.3.2, định lý sau được chứng minh Định lý 4.3.3 ((L2 (Ω), L2 (Ω))-Tập hút toàn cục). Giả sử các điều kiện (F), (G), và (D) thỏa mãn. Khi đó, với mỗi K ∈ {D, N , R, E}, nửa nhóm SK (t) sinh từ bài toán (4.5) có một tập hút toàn cục A1K trong L2 (Ω). Bổ đề 4.3.4. Giả sử các điều kiện (F), (G), và (D) thỏa mãn. Khi đó, với mọi tập con bị chặn B2 trong L2 (Ω), tồn tại một hằng số T = T (B2 ) > 0 thỏa mãn kut (s)k2L2 (Ω) ≤ ρ2 với mọi u0 ∈ B2 , và s ≥ T, d trong đó ut (s) = dt (SK (t)u0 )|t=s với mỗi K ∈ {D, N , R, E} và ρ2 là hằng số dương không phụ thuộc vào B2 . 18