Tóm tắt luận án Tiến sĩ Vật lý: Phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg- Landau cho sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:28

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận án là hình thành một phiếm hàm Ginzburg-Landau (GL) mà nó có thể mô tả sự đồng tồn tại của nhiều pha. Trong nghiên cứu của các tác giả thông qua phép biến đổi Hubbard-Stratonovich (HS), một Hamiltonian sẽ được tách thành các kênh khả dĩ, khi đó sẽ nhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự. Vì vậy chúng tôi sẽ đi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thông qua các tính toán dựa vào hàm Green.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận án Tiến sĩ Vật lý: Phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg- Landau cho sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt

MỞ ĐẦU Trong các chất sắt từ ở dưới nhiệt độ Curie, Tc , spin của các điện tử sắp hàng để tạo ra một độ từ hóa. Trong một thời gian dài người ta cho rằng tính siêu dẫn không hợp với tính sắt từ. Quan điểm này bén rễ từ lý thuyết vi mô về siêu dẫn được xuất bản 1957 bởi Bardeen, Cooper, và Schrieffer (BCS). Trong phạm vi lý thuyết BCS chuẩn, ngưng tụ siêu dẫn được hình thành dưới sự tác động của một lực hút do bởi các dao động mạng liên kết các điện tử có spin đối song thành các cặp Cooper singlet. Khi các nguyên tử tạp chất từ được đặt vào một chất siêu dẫn truyền thống, thì trường cục bộ bao quanh các nguyên tử tạp chất sẽ ngăn cản sự hình thành các cặp Cooper singlet [11], điều này gây ra một sự sụt giảm nhanh chóng của nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn Tsc . Tuy nhiên, vào khoảng năm 1980, người ta nhận thấy rằng dưới các điều kiện đặc biệt trật tự siêu dẫn có thể đồng tồn tại với trật tự phản sắt từ [61], ở đó các spin điện tử lân cận sắp xếp thành một cấu hình đối song. Chẳng hạn, trong các chất phản sắt từ fermion nặng, các mô men từ lưu động hầu như không có hiệu ứng làm giảm đi sự kết cặp lên các cặp Cooper singlet, bởi vì tương tác trao đổi trung bình bằng không. Quan sát đầu tiên về điện trở kháng bằng không trong trạng thái sắt từ của HoMo6 S8 được đăng bởi Lynn và các cộng sự [42], tiếp theo bởi Genicon và các cộng sự [21]. Rồi sau đó, các thí nghiệm nhiễu xạ neutron tiến hành trên các tinh thể singlet của HoMo6 S8 bởi Rossat và các cộng sự [50] đã xác nhận thêm một lần nữa các quan sát ở trên. Họ nhận thấy rằng khi T < 0, 60K, với sự làm lạnh chậm, một pha sắt từ xuất hiện. Cường độ từ trường trong pha sắt từ tăng lên và sau đấy đạt bão hòa ở trên T = 0, 4K, biểu thị rằng ở dưới nhiệt độ này các thăng giáng nhiệt là không đáng kể. Vật liệu có một sự chuyển pha siêu dẫn ở T = 1, 82K và một sự chuyển pha từ ở T = 0, 67K trong vùng lân cận của sự tái nhập tới trạng thái dẫn thường [42]. Sự khám phá lần đầu tiên ra chất sắt từ UGe2 [52] có tính siêu dẫn (Tsc < Tc ) trong năm 2000 đã gây ra một sự ngạc nhiên lớn. Trong vật liệu này, một sự chuyển siêu dẫn xảy ra ở một nhiệt độ Tsc ngập sâu trong trạng thái sắt từ, tức là ở dưới hẳn nhiệt độ Curie Tc , mà không loại trừ trật tự sắt từ (ta gọi nó là chất siêu dẫn sắt từ). Về sau, ba chất siêu dẫn sắt từ khác đã được phát hiện: UIr [4], URhGe [6] và UCoGe [30]. Các vật liệu này có đặc điểm chung là trật tự sắt từ được quyết định bởi các mô men từ 5f của Uranium và có một đặc tính lưu động mạnh. Thêm nữa, tính siêu dẫn xuất hiện gần như với một từ tính không ổn định. Sự đồng tồn tại của tính siêu dẫn và sắt từ trong các vật liệu này có thể được hiểu dưới dạng các mô hình thăng giáng spin: Ở vùng lân cận điểm tới hạn lượng tử sắt từ, các thăng giáng từ then chốt có thể dàn xếp tính siêu dẫn bằng cách ghép cặp các điện tử thành các cặp Cooper spin-triplet [17, 41], đó là các trạng thái kết cặp bình đẳng về spin (L = 1, Sz = 1; L = 1, Sz = −1 và L = 1, Sz = 0). Trong những năm gần đây các bằng chứng phong phú đã cho thấy một cơ chế kết cặp bất thường như thế đang tồn tại trong các chất sắt từ có tính siêu dẫn [51, 19, 45]. Theo sát những kết quả mới mà các nhóm nghiên cứu ngoài nước đã thu được, ở Việt Nam GS. Đỗ Trần Cát là người đầu tiên triển khai nghiên cứu lý thuyết pha siêu dẫn và pha sắt từ trong UGe2 dựa trên tính chất kết ô của cấu trúc vùng năng lượng và thu được những kết quả thú vị [14, 13]. Các thành viên của nhóm Hệ tương quan mạnh, Trung tâm Vật lý lý thuyết, Viện Vật lý cũng đã bắt đầu các nghiên cứu sự đồng tồn tại hai pha từ và siêu dẫn trong UGe2 từ năm 2006 và thu được những kết quả bước đầu về hai pha từ FM1 và FM2 trong UGe2 [62]. Sau đó họ đã đề xuất cơ chế siêu dẫn dựa trên trao đổi các kích thích từ do tách trường tinh thể của các mức Uranium định xứ [63]. Với khám phá về các chất sắt từ siêu dẫn một chủ đề nghiên cứu mới trong lĩnh vực từ tính và siêu dẫn đã được vạch ra. Nghiên cứu các chất sắt từ siêu dẫn sẽ giúp làm sáng tỏ các thăng giáng từ làm thế nào mà có thể kích thích tính siêu dẫn, một tính chất mà nó là chủ đề trung tâm chạy xuyên suốt các họ vật liệu ngày càng đa dạng như các chất siêu dẫn fermion nặng, siêu dẫn đồng nhiệt độ Tsc cao và các chất siêu dẫn khám phá gần đây có thành phần chính là FeAs [33]. Cái nhìn mới lạ này có thể đóng vai trò chủ chốt trong sự sáng tạo ra các vật liệu siêu dẫn mới. Tuy nhiên, vấn đề hiểu bản chất thực sự và cơ chế của sự đồng tồn tại tính siêu dẫn với sắt từ là rất phức tạp, một lời giải đầy đủ vẫn chưa có. Đã có các đề xuất rằng sự kết hợp của các thăng giáng spin ngang và dọc đóng một vai trò quan trọng và sẽ được kể đến trong việc nghiên cứu vấn đề [59]. Abrikosov [2] và Mineev cùng các cộng sự [44] đã đề cập rằng tính siêu dẫn sóng s có thể là kết quả từ sự tương tác điện tử mà nó là trung gian bởi các mô men định xứ sắp hàng như sắt từ. Trong những năm gần đây, ngoài những nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc chuyển pha vào áp suất và từ trường ngoài, các công trình lý thuyết của các nhóm nghiên cứu ở Đức, Mỹ, Nga, Nhật, Bulgaria . . . tập trung tìm các cơ chế chuyển pha, bản chất các pha và sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha và moment từ hóa tự phát vào các thông số của vật liệu. Nhiều cơ chế chuyển pha khác nhau đã được đề xuất như: sóng điện tích và sóng spin [65], trao đổi magnon [34], tương tác trao đổi trên các mức định xứ [2]. . . Tuy nhiên cho đến nay bản chất của pha siêu dẫn (singlet hay triplet) chưa rõ, cơ chế gây trật tự từ cũng còn gây tranh cãi (do moment định xứ hay do điện tử linh động), nguyên nhân gây siêu dẫn chưa xác định rõ ràng (do trao đổi phonon hay magnon hay sóng điện tích). Đặc biệt sự phụ thuộc nhiệt độ chuyển pha và độ từ hóa vào 1
áp xuất chưa được nghiên cứu về lý thuyết. Tóm lại lý thuyết đồng tồn tại hai pha siêu dẫn và sắt từ hiện vẫn là một thách thức đối với những người nghiên cứu vật lý [15, 38]. Bởi vậy, chúng tôi chọn hướng nghiên cứu này làm chủ điểm với tiêu đề của luận án: “Phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau đối với sự đồng tồn tại pha trong hệ nhiều hạt”. Sự xem xét ở trên đã thúc đẩy chúng tôi thực hiện phép biến đổi lý thuyết trường fermion tới một lý thuyết hiệu dụng dựa trên các trường kết cặp được biểu diễn dưới dạng các tham số trật tự theo các kênh khác nhau. Mục đích chính của luận án là hình thành một phiếm hàm Ginzburg-Landau (GL) mà nó có thể mô tả sự đồng tồn tại của nhiều pha. Trong nghiên cứu của chúng tôi, thông qua phép biến đổi Hubbard-Stratonovich (HS), một Hamiltonian sẽ được tách thành các kênh khả dĩ, khi đó sẽ nhận được một phiếm hàm chỉ phụ thuộc vào các tham số trật tự. Vì vậy chúng tôi sẽ đi đến một sự biểu diễn chung của phiếm hàm GL cho hệ ba tham số trật tự thông qua các tính toán dựa vào hàm Green. Dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL, và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của sắt từ và siêu dẫn trong hệ UGe2 đồng thời tạo ra các đồ thị cho thấy sự phụ thuộc giữa các tham số trật tự và biểu thị các miền pha cân bằng. Nội dung của bản luận án sẽ được trình bày trong 4 chương: Chương 1, tổng quan. Chương này, phần đầu sẽ trình bày tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng. Phần tiếp theo là lý thuyết sắt từ và lý thuyết siêu dẫn. Phần cuối cùng trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha. Chương 2, các phương pháp tiếp cận vi mô Ginzburg-Landau. Chương này, mục 2.1 chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về phương pháp hàm Green cùng với ứng dụng của nó cho hệ sắt từ và siêu dẫn. Mục 2.2, chúng tôi sẽ phát triển bài toán siêu dẫn BCS bằng việc sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để tính hàm phân bố của hệ, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau một thành phần cho siêu dẫn BCS. Chương 3, thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau nhiều thành phần. Chương này, phần đầu xây dựng mô hình ba tham số trật tự và thiết lập phiếm hàm năng lượng Ginzburg-Landau cho ba tham số trật tự, phần sau chúng tôi xây dựng một số mô hình đơn giản tương ứng với từng kênh riêng biệt. Chương 4, sự đồng tồn tại các trật tự sắt từ và siêu dẫn trong các hợp chất fermion nặng. Trong chương này, trước tiên chúng tôi trình bày một cách tiếp cận vi mô để rút ra phiếm hàm năng lượng GL hai thành phần. Tiếp theo, dựa trên bài toán riêng của siêu dẫn sắt từ của các hệ fermion nặng dựa trên Uranium, chúng tôi sẽ rút ra một biểu diễn chính thức cho phiếm hàm GL hai tham số trật tự sắt từ và siêu dẫn triplet và sau đó sử dụng nó để nghiên cứu sự đồng tồn tại của các pha sắt từ và siêu dẫn trong hệ UGe2 . 2
1 TỔNG QUAN Trong chương này chúng tôi trình bày tổng quan về sự đồng tồn tại trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng, giới thiệu về siêu dẫn và sự hình thành siêu dẫn, từ tính của vật liệu, và trình bày lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha. 1.1 Tổng quan về sự đồng tồn tại của trật tự từ và siêu dẫn trong hệ fermion nặng 1.1.1 Hiện tượng đồng tồn tại pha từ - siêu dẫn trong vật liệu fermion nặng Sự cạnh tranh của trật tự từ và siêu dẫn là một trong những vấn đề then chốt trong các hệ Fermion nặng. Đặc biệt người ta thường quan tâm đến các vật liệu cho thấy sự đồng tồn tại của trật tự siêu dẫn và trật tự sắt từ hoặc phản sắt từ trong các hợp chất Fermion nặng dựa trên uranium. Các bằng chứng thực nghiệm mạnh mẽ (các thí nghiệm tán xạ Neutron) về sự đồng tồn tại không bị tách pha giữa sắt từ và siêu dẫn đã được tìm thấy trong UGe2 gần đây, đã ủng hộ quan điểm rằng tính sắt từ và siêu dẫn được gây bởi các điện tử 5f trong cùng một dải, nghĩa là các thăng giáng từ gây ra kết cặp là một cơ chế khả dĩ. Điều này dường như biểu thị rằng tương tác hút hiệu dụng giữa các chuẩn hạt nặng tái chuẩn hóa trong UGe2 không phải được cung cấp bởi tương tác điện tử-phô nôn như trong các chất siêu dẫn thông thường, mà là được điều đình bởi các thăng giáng spin điện tử. Trong lân cận của điểm tới hạn lượng tử sắt từ, các thăng giáng từ tới hạn có thể điều đình tính siêu dẫn bằng cách kết cặp các điện tử thành các cặp Cooper spin-triplet. Các cặp Cooper spin-triplet này có các trạng thái lượng tử với các spin điện tử song song và vì vậy có thể tồn tại trong sự hiện diện của các mô men từ. 1.1.2 Một số quan sát thực nghiệm trong các hợp chất Fermion nặng Các nghiên cứu thực nghiệm về UGe2 [52, 29, 60, 25] cho thấy rằng ở áp suất bằng không UGe2 là một sắt từ linh động, nhiệt độ Curie của nó Tc = 52K, và độ từ hóa tự phát µs = 1.4µB/nguyên tử U. Trong tinh thể trực giao trục dễ là trục a [64]. Khi áp suất tăng lên, hệ trải qua hai chuyển pha lượng tử liên tục, từ pha sắt từ (FM) tới pha sắt từ-siêu dẫn (FM-SC) ở P = 1GP a, và từ pha sắt từ tới pha thuận từ (PM) ở áp suất cao Pc = 1.6GPa. Pha siêu dẫn tồn tại hoàn toàn trong miền sắt từ ở nhiệt độ thấp và áp suất khoảng 1.0 ÷ 1.6 GPa với một nhiệt độ chuyển cực đại Tsc = 0.8K ở gần 1.2 GPa. Trong miền sắt từ, có hai pha sắt từ riêng biệt được kí hiệu là FM2 và FM1 với độ lớn mô men từ khác nhau. Với sự tăng áp suất, trạng thái từ cơ bản chuyển từ pha phân cực mạnh (FM2, µ = 1.5µB) tới pha phân cực yếu (FM1,µ = 0.9µB) ở áp suất Px = 1.2 GPa, và đường pha kết thúc ở giá trị cực đại của nó Tx = Tsc . Khi áp suất tăng thì bậc của chuyển pha từ FM1 tới PM thay đổi từ bậc hai tới bậc nhất ở điểm ba Tcr trên giản đồ T (P ), và tại áp suất tới hạn Pc . Khi áp suất tăng hơn nữa thì cả TF M và TF S sụt giảm nhanh chóng và gần như biến mất đồng thời quanh P ∼ 1.7 GPa (xem hình 1.1). Các nghiên cứu thực nghiệm về CeRhIn5 [27, 35, 66, 48, 7, 22] cũng chỉ ra rằng ở áp suất bằng không, trật tự AFM xuất hiện tại TN = 3.8K với một mô men từ so le khoảng 0.8 µB. Bằng cách đặt vào áp suất, ở Tc < TN hệ có thể trải qua một sự chuyển pha lượng tử khi làm lạnh từ pha AFM tới pha AFM+SC. Khi tăng áp suất, nhiệt đô N’eel tăng nhẹ và có một cực đại trơn quanh 0.8 GPa. Sau đó TN suy giảm khi P tiến gần tới áp suất tới hạn Pc mà tại đó tính siêu dẫn được thiết lập và nhiệt độ chuyển siêu dẫn Tc = TN . Trật tự phản sắt từ biến mất ở gần Pc∗ = 1.95 GPa do bởi một chuyển pha bậc nhất từ pha AFM+SC tới pha SC không truyền thống. Sự đồng tồn tại của phản sắt từ và siêu dẫn được tìm thấy trong một phạm vi hẹp áp suất từ 1.6 − 1.95 GPa. Khi P tăng hơn nữa (P ở trên Pc∗ ) một pha siêu dẫn không truyền thống xuất hiện, nói cách khác, nếu Tc > TN trạng thái cơ bản là siêu dẫn thuần trong một miền áp suất lớn từ 1.95 tới 5 GPa (xem hình 1.2). 1.1.3 Nghiên cứu lý thuyết về các hợp chất Fermion nặng Trong những năm gần đây, bên cạnh các nghiên cứu thực nghiệm khảo sát sự phụ thuộc của chuyển pha vào áp suất và từ trường ngoài, đã có nhiều các nghiên cứu về lý thuyết tập trung vào việc tìm ra cơ chế chuyển pha, bản 3
1.2 Sắt từ trong kim loại Hình 1.1: Giản đồ pha của U Ge2 xác định bởi các số đo độ từ hóa dưới áp suất. Tc là nhiệt độ Curie và Tx xác định nơi chuyển pha giữa hai pha sắt từ FM1 và FM2 có độ phân cực từ khác nhau. Tsc là nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn [60, 25]. Hình 1.2: Giản đồ pha P − T của CeRhIn5 với các pha phản sắt từ (kí hiệu AFM, vùng màu xanh) và siêu dẫn (kí hiệu SC, vùng màu vàng) được xác định từ số đo nhiệt dung riêng khi không có từ trường ngoài. Khi Tc < TN có tồn tại một pha đồng tồn tại AFM+SC. Khí Tc > TN trật tự phản sắt từ đột ngột biến mất [66, 22]. chất các pha và sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha và mô men từ tự phát vào các tham số của vật liệu. Các cơ chế khác nhau, chẳng hạn như, kết cặp sóng mật độ điện tích và sóng mật độ spin [64, 12], trao đổi magnon [34], tương tác điện tử được điều đình bởi các mô men định xứ sắp trật tự có tính sắt từ [2, 44], tương tác phonon bị chắn [53], trao đổi điện tử d [57], M-trigger [56, 55, 54], các mô hình nhiều vùng [1, 18, 31, 5], vv..., đã được đề xuất. Các nghiên cứu lý thuyết đã phần nào giải quyết được vấn đề quan trọng này và cung cấp nhiều thông tin bổ ích về tương tác giữa các pha từ và siêu dẫn trong các trạng thái đồng tồn tại. 1.2 Sắt từ trong kim loại 1.2.1 Trật tự sắt từ trong các hệ moment từ định xứ. 1.2.1.1 Tương tác trao đổi. Mẫu Heisenberg Để dẫn đến khái niệm tương tác trao đổi, ta khảo sát bài toán Hêli. Nhờ tương tác trao đổi giữa các điện tử ta giải thích được bản chất của hiện tượng sắt từ. Phần năng lượng trao đổi phụ thuộc vào sự định hướng của các spin điện tử bằng X H=− Jij Si Sj , (1.1) i6=j 4
1.2 Sắt từ trong kim loại Jij là tích phân trao đổi giữa các điện tử của các nguyên tử i và j trong tinh thể ở 0K, nếu Jij > 0 thì các mô men từ spin của các điện tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song cùng chiều và vật là vật sắt từ. Còn nếu Jij < 0 thì các mô men từ spin của các điện tử trong các nguyên tử i và j định hướng song song ngược chiều và vật là vật phản sắt từ. Mẫu sắt từ mà tương tác trao đổi được mô tả bằng toán tử Hamiltonian này gọi là mẫu sắt từ Heisenberg. 1.2.1.2 Lý thuyết trường trung bình phân tử Weiss Trong Hamiltonian Heisenberg (1.1) với Si Sj = S(S + 1), thay Si = hSi i + (Si − hSi i), |{z} | {z } (1.2) trung bình thăng giáng Điều này dẫn tới Hamiltonian trường trung bình có dạng   H∼ X X X X = Jij hSi i hSj i − Si . 2 Jij hSj i = E0 − Si .HW ef f , (1.3) ij i j i trong đó HW = 2 j Jij hSj i . gọi là từ trường phân tử Weiss hay từ trường hiệu dụng. Tính hSj i trong từ trường P hiệu dụng có thể suy ra 2S (S + 1) X kB Tc = Jij . (1.4) 3 j Công thức này cho mối liên hệ giữa nhiệt độ Curie TC và tích phân trao đổi Jij . Nếu Jij = 0 thì TC = 0, nghĩa là vật không phải là vật sắt từ. Như vậy bản chất của hiện tượng sắt từ là do tương tác trao đổi, với Jij > 0. 1.2.2 Trật tự từ của hệ spin linh động 1.2.2.1 Mô hình Hubbard Hamiltonian Hubbard có dạng c†jσ clσ + U X X X H = −t nj↑ nj↓ − µ (nj↑ + nj↓ ) . (1.5) hjliσ j j Số hạng thứ nhất là động năng: Nó mô tả sự hủy một điện tử có spin σ ở vị trí l và tạo ra một điện tử có spin σ ở vị trí j. Kí hiệu hjli nhấn mạnh rằng sự nhảy chỉ giữa hai vị trí liền kề. Số hạng thứ hai là năng lượng tương tác. Tổng được lấy theo tất cả các vị trí và thêm vào một năng lượng U nếu tìm thấy vị trí đó bị chiếm bởi cả hai điện tử. Số hạng cuối cùng là một thế hóa học mà nó điều khiển sự lấp đầy. Hamiltonian Hubbard giải được chính xác trong các giới hạn U = 0 và t = 0. Giới hạn không tương tác tương ứng với lý thuyết vùng trong gần đúng liên kết chặt, trong khi giới hạn t = 0 tương ứng với giới hạn nguyên tử. Giới hạn không tương tác U = 0 Trong giới hạn U = 0, Hamiltonian rút gọn thành động năng ξk c†k,σ ck,σ , X H0 = (1.6) k,σ trong đó ck,σ là biến đổi Fourier của cj,σ và d X ξk = k − µ = −2t cos kν − µ, (1.7) ν=1 là hệ thức tán sắc của các điện tử tự do chuyển động trong tinh thể. Mật độ trạng thái bằng Z N (ξ) = δ( − k ), = ξ + µ, với k ∈ [−2dt, 2dt] (1.8) k 5
1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS Giới hạn cục bộ t = 0 Khi biên độ “nhảy” triệt tiêu t = 0, Hamiltonian rút gọn thành X H= [U nj↑ nj↓ − µ (nj↑ + nj↓ )] . (1.9) j Khi đó dễ dàng tính được hàm phân bố bằng X Z= hα| e−βH |αi = 1 + 2eβµ + e2βµ−βU , (1.10) α năng lượng bằng X −1 2βµ−βU E = Z −1 hα| He−βH |αi = 1 + 2eβµ + e2βµ−βU Ue . (1.11) α và số điện tử trung bình chiếm mỗi vị trí có spin σ là 1 βµ hnσ i = e + e−β(U −2µ) . (1.12) Z 1.2.2.2 Tiêu chuẩn Stoner cho sắt từ Stoner đã phát triển một bức tranh rất đơn giản về sắt từ dựa trên sự cạnh tranh giữa động năng tiêu tốn cho việc làm cho số điện tử có spin hướng lên và spin hướng xuống khác nhau và thế năng liên kết chúng tăng lên như sau: xét một hệ với mật độ trạng thái N (E) và cả các điện tử có spin hướng lên và hướng xuống đều lấp đầy các mức năng lượng lên tới cùng mức cực đại gọi là mức Fermi EF . Mật độ các điện tử có spin hướng lên và hướng xuống bằng nhau và bằng n. Tính sự thay đổi trong năng lượng do sự suy giảm mật độ δn của các điện tử có spin hướng xuống đồng thời số điện tử có spin hướng lên tăng δn. Kết quả của quá trình này là 1 (δn)2 δE = δP + δK = (−U + )(δn)2 = (−U N (EF ) + 1) . (1.13) N (EF ) N (EF ) Nếu U N (EF ) > 1 thì năng lượng toàn phần thay đổi δE < 0, sẽ thuận lợi để có mật độ điện tử hướng lên và hướng xuống khác nhau và vì vậy thuận lợi để có tính sắt từ. Đây gọi là tiêu chuẩn Stoner. 1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS 1.3.1 Lược sử ra đời và phát triển của siêu dẫn • Hiện tượng siêu dẫn được khám phá năm 1911 tại phòng thí nghiệm của Heike Kammerlingh Onnes [47] ở Leiden, Hà Lan. Onnes và các cộng sự nhận thấy rằng điện trở kháng của mẫu thủy ngân sụt giảm đột ngột tới giá trị không đo được, nghĩa là trở nên thực sự bằng không ở nhiệt độ thấp. Vì vậy họ gọi tính siêu dẫn là tính dẫn điện hoàn hảo ở dưới nhiệt độ tới hạn TC , một tính chất thể hiện đúng tên gọi của hiện tượng. • Một trong hai thí nghiệm, những thí nghiệm đã đóng góp to lớn để có được những hiểu biết đúng đắn về hiện tượng và để hình thành hiện tượng học chính xác và lý thuyết vi mô sau này về hiện tượng siêu dẫn, là sự khám phá ra hiệu ứng Meissner năm 1933 bởi Meissner và Ochsenfeld [43]. Khi một chất siêu dẫn được làm lạnh trong một từ trường yếu, từ thông bị đẩy ra khỏi chất một cách tự phát khi nó trở thành siêu dẫn. Hiệu ứng Meissner minh họa rằng một chất siêu dẫn về bản chất là một nghịch từ hoàn hảo. • Heinz London và Fritz London là những người đầu tiên hiểu được tầm quan trọng thực sự phát hiện của Meissner và Ochsenfeld và đã sớm đề xuất một lý thuyết hiện tượng luận (vào năm 1937) cho phép giải thích những tính chất điện động lực của các chất siêu dẫn. Tuy nhiên Heinz và Fritz London chỉ quan tâm đến hiện tượng siêu dẫn mà không nỗ lực để mô tả lí do. Thay vào đó họ tìm được phương trình cho độ xuyên sâu λ của siêu dẫn [40]. 6
1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS Nhưng những kết quả của họ được đánh giá là quá cao với các giá trị tìm được bằng thực nghiệm, và vì vậy các giả thiết của họ bị loại bỏ. • Năm 1950 Fr¨ ohlich phỏng đoán rằng tương tác giữa phonon và electron chịu trách nhiệm cho tính siêu dẫn [20], cũng khi đó hiệu ứng đồng vị được khám phá. Vào ngày 24 tháng ba năm 1950 tạp chí chuyên đề Physical Review đã nhận được hai bản báo cáo về hiệu ứng đồng vị [16, 49] và sau đó đã cho xuất bản trong cùng một số ra của tạp chí trong mục các lá thư gửi tới biên tập viên. Một bản là của E. Maxwell gửi từ NBS, Washington D.C và một báo cáo khác là của C.A. Reynolds và các cộng sự gửi từ Rutgers University, New Jersey. Cả hai nhóm đều nhận thức được công việc của họ và đã viện dẫn lẫn nhau. Điều quan trọng cần lưu ý ở đây là có một sự phù hợp đẹp đẽ của các phép đo cực kỳ cẩn thận và chính xác. Một nhóm đo được nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn của thủy ngân tự nhiên có khối lượng nguyên tử trung bình 200,6 là TC = 4, 156 K và của 198 Hg là TC = 4, 177 K [16]. Nhóm khác [49] đã báo cáo với thủy ngân tự nhiên là TC = 4, 150 K và với đồng vị tiêu biểu 202 Hg là TC = 4, 143 K. Các kết quả thí nghiệm trong vòng mỗi chuỗi các đồng vị có thể được làm khớp với hệ thức M 1/2 TC = const. • Trong suốt mấy thập kỉ sự hiểu biết đầy đủ của cơ học lượng tử về siêu dẫn tiến triển khá chậm chạp luôn đi sau thực nghiệm, nhưng cuối cùng một đột phá đạt được trong năm 1950 khi lý thuyết GL được đề suất trên nền hiện tượng học, bắt đầu từ lý thuyết Landau tổng quát về chuyển pha loại hai như chúng ta sẽ thấy chi tiết hơn trong mục 1.4. • Bảy năm sau đó một lý thuyết vi mô, gọi là lý thuyết BCS, được phát triển bởi Bardeen, Cooper và Schrieffer [9, 8]. Họ đã nhận thấy rằng sự xuất hiện của tính siêu dẫn được trợ giúp bởi sự hình thành các cặp Cooper, loại phân tử hai điện tử liên kết lỏng lẻo. Tương tác hút cần để liên kết các điện tử được nhận thấy có nguồn gốc trong tương tác electron-phonon. Các cặp Cooper không còn được mô tả bởi thống kê fermi nữa và như các boson chúng có thể chiếm một trạng thái lượng tử cố kết được mô tả bởi một hàm sóng vĩ mô Ψ. Chúng ta sẽ phác họa những điểm chính của lý thuyết BCS trong mục 1.3.2. • Một điều quan trọng là hai năm sau khi lý thuyết BCS ra đời Gor’kov [24] đã chỉ ra rằng lý thuyết hiện tượng luận GL thực tế có thể được suy ra một cách chính xác từ lý thuyết BCS và các hệ số của nó có thể vì vậy liên quan tới các tham số vật liệu vi mô chẳng hạn như vận tốc Fermi vF và mật độ trạng thái ở mức Fermi N (0). Thêm vào đó Gor’kov chứng minh rằng các đại lượng nhiệt động của hai lý thuyết, nghĩa là tham số khe BCS, 4 và hàm sóng GL, Ψ có liên hệ với nhau bởi một hằng số tỉ lệ và Ψ có thể được coi như hàm sóng cặp Cooper trong cấu trúc khối tâm. • Một bước tiến nhảy vọt quan trọng khác được tạo bởi Abrikosov năm 1957 [3], người đã nhận thấy rằng các phương trình GL cho phép sự tồn tại các chất siêu dẫn với trị số năng lượng bề mặt phân giới siêu dẫn - dẫn thường âm. Ông đặt tên lớp mới này là siêu dẫn loại II, các vật liệu tạo ra bề mặt phân giới nhiều nhất có thể, dẫn tới sự xuyên sâu của từ thông trong mẫu theo các đơn vị nhỏ nhất được phép về mặt cơ lượng tử -lượng tử 2e . Mỗi ống từ thông riêng lẻ có các siêu dòng lưu thông bao quanh nó che chắn từ trường và ngăn từ thông Φ0 = hc cản nó lan ra phần còn lại của mẫu. Các siêu dòng lưu số này là lí do tại sao cấu trúc từ này có tên là xoáy. Do bởi năng lượng bề mặt âm, các xoáy đẩy nhau ở mọi khoảng cách và như một hệ quả là hình thành một mạng đặc trưng có dạng hình tam giác (được gọi là mạng Abrikosov). • Năm 1979, Frank Steglich và những cộng sự đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn dưới nhiệt độ TC ≈ 0, 5K trong CeCu2 Si2 [58]. Vật liệu này không là một kim loại thông thường trong trạng thái thường của nó. Thay vào đó là một kim loại fermion nặng. Các điện tử ở mức năng lượng Fermi có đặc tính orbital-f của Ce mạnh. Lực đẩy Coulomb rất mạnh giữa các điện tử trong lớp vỏ - f dẫn tới một khối lượng hiệu dụng cao m∗ me tại mức năng lượng Fermi, vì vậy nó có tên như trên. Từ đó về sau, hiện tượng siêu dẫn được tìm thấy trong nhiều hợp chất fermion nặng khác. • Cũng trong năm 1979, D. Jérome et al. [32] (nhóm của Klaus Bechgaard) đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn trong một muối hữu cơ gọi là (TMTSF)2 PF2 với TC = 1, 1K. Hiện tượng siêu dẫn từ đó được tìm thấy trong các vật liệu hữu cơ khác nhau với nhiệt độ chuyển pha lớn nhất khoảng 18K. • Năm 1986, J. G. Bednorz và K. A. M¨ uller [10] đã quan sát hiện tượng siêu dẫn trong La2−x Bax CuO4 với TC khoảng chừng trên 35 K. Trong các năm tiếp theo, nhiều chất siêu dẫn khác dựa trên cùng loại các mặt gần như phẳng CuO2 đã được khám phá. Nhiệt độ chuyển pha kỉ lục với các ion đồng và với tất cả các chất siêu dẫn là TC = 138K đối với Hg0.8 Tl0.2 Ba2 Ca2 Cu3 O8+δ ở áp suất thường và TC = 164K đối với HgBa2 Ca2 Cu3 O8+δ dưới áp suất cao. • Năm 1991, A. F. Hebard [26] và các cộng sự đã nhận thấy rằng hợp chất các bon (fullerite) (K − )3 C60 3− trở thành siêu dẫn ở dưới TC = 18K. TC trong lớp này đã được đẩy lên tới TC = 33K với Cs2 RbC60 ở áp suất thường và TC = 38K đối với (mạng b.c.c., trong khi đó tất cả các hợp chất các bon siêu dẫn khác đã biết là mạng f.c.c) Cs3 C60 dưới áp suất cao. • Năm 2001, Nagamatsu và các cộng sự đã báo cáo hiện tượng siêu dẫn trong MgB2 [46] với TC = 39K. 7
1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS • Một chuỗi các khám phá quan trọng gần đây nhất bắt đầu từ năm 2008, khi Kamihara và các cộng sự [33] đã quan sát được hiện tượng siêu dẫn với TC ≈ 4K trong LaFePO, một hợp chất xếp lớp khác. Trong khi kết quả này đã thêm vào một lớp vật liệu mới dựa vào F e2+ để lập danh sách các chất siêu dẫn, thì nó đã không gây ra nhiều xáo trộn do bởi nhiệt độ tới hạn thấp. Tuy nhiên, năm 2008, Kamihara và các cộng sự đã tìm thấy hiện tượng siêu dẫn với TC ≈ 26K trong LaFeAsO1−x Fx . Ngay sau đó, nhiệt độ tới hạn TC lớn nhất trong lớp pnictide sắt này được đẩy lên tới 55 K. Hiện tượng siêu dẫn cũng được quan sát trong nhiều lớp vật liệu có liên quan, một số trong chúng không chứa oxygen (chẳng hạn, LiFeAs) và một số với pnictogen (As) thay thế bởi một chalcogen (ví dụ, FeSe). Nhân tố cấu trúc chung là một lớp Fe2+ phẳng, vuông với một pnictogen hoặc chalcogen đặt luân phiên nhau bên trên và dưới trung tâm của các mặt vuông Fe. Hiện tượng siêu dẫn này được coi là không theo lệ thường. 1.3.2 Lý thuyết BSC của siêu dẫn 1.3.2.1 Trạng thái cơ bản BCS Trạng thái cơ bản BCS là một sự siêu chồng chập các trạng thái được xây dựng từ các cặp Cooper mà mỗi cặp được tạo thành từ hai điện tử ở các trạng thái |k, ↑i và |−k, ↓i Y |ψBCS i = uk + vk c†k,↑ c†−k,↓ |0i , (1.14) k trong đó |0i là trạng thái chân không không có bất kì điện tử nào và uk , vk là các hệ số phức chưa biết thỏa mãn 2 2 điều kiện |uk | + |vk | = 1 đối với mọi k. Lưu ý rằng sự chiếm các trạng thái |k, ↑i và |−k, ↓i là tương quan cực đại; hoặc cả hai bị chiếm hoặc cả hai đều trống. Các hệ số uk , vk cho biết biên độ không bị chiếm, bị chiếm bởi cặp điện tử có k, ↑ và −k, ↓. 1.3.2.2 Sự hút qua phonon trung gian H.Frohlich đã chứng minh được rằng, các điện tử có thể hút nhau thực sự, khi có một mạng ion biến dạng được, mạng này trong thực tế luôn luôn tồn tại như một cái nền. Cơ chế H.Frohlich [20] như sau: Một điện tử hút các ion gần nó nhất. Các ion đáp lại bằng cách chuyển động, dẫu chỉ một chút về phía nó, do đó tạo ra một sự dôi điện tích dương quanh nó. Ta nói rằng điện tử đã làm cho mạng bị phân cực. Một điện tử khác lại bị hút về phía sự phân cực ở xung quanh điện tử thứ nhất, và khi làm như vậy, nó đã thực sự bị hút về phía điện tử thứ nhất. Hình 1.3: Hiệu ứng hút của hai điện tử do bởi sự trao đổi phonon [28] Theo cách nói của hệ vật lý nhiều hạt thì sự hút tương hỗ này được coi như phải qua sự trung gian của phonon, tức là do sự trao đổi lượng tử dao động mạng ảo. Một điện tử phát ra một phonon, phonon này bị hấp thụ bởi một điện tử khác. Kết quả là sự hút nhau thông qua sự trao đổi phonon là cực đại khi hai điện tử có động lượng bằng nhau và ngược chiều. Điều này giúp cho hai điện tử có được sự thuận lợi tối đa của sự phân cực do hạt nọ tạo cho hạt kia. 8
1.3 Siêu dẫn và lý thuyết BCS 1.3.2.3 Cặp Cooper Lý thuyết BCS dựa vào giả thuyết rằng tính siêu dẫn xuất hiện khi tương tác hút cặp Cooper vượt trội hơn lực đẩy Coulomb [36]. Một cặp Cooper là cặp liên kết electron-electron yếu gián tiếp tạo thành bởi một tương tác phonon. Một electron “được cặp đôi” là electron có mô men và spin đối song mà nó được hút bởi ảnh hưởng này. Năng lượng của cặp thỏa mãn E = 2F − 2~ωc e−2/N0 V < 2F . (1.15) 1.3.2.4 Mô hình Bây giờ ta đi đến việc tìm kiếm mô hình Hamiltonian cho lý thuyết. Việc này thực hiện dễ dàng nhất trong ngôn ngữ lượng tử hóa lần hai. Gọi ckσ và c†kσ là các toán tử hủy và sinh electron có xung lượng k và spin σ =↑ hoặc σ =↓. Hamiltonian được đề xuất có dạng ξk c†kσ ckσ + X X H= Vkl c†k↑ c†−k↓ c−l↓ cl↑ . (1.16) k,σ k,l trong đó ξk = k − µ và µ là thế hóa học. Hamiltonian này có thể được chéo hóa sau phép biến đổi Bogoliubov, và có dạng † X HBCS = Ek γkσ γkσ (1.17) kσ trong đó q Ek = 2 ξk2 + |4k | . (1.18) Từ hệ thức này ta nhận thấy rằng khe năng lượng 4k là tham số trật tự đối với lý thuyết tương tác này. 1.3.3 Lý thuyết BCS tổng quát 1.3.3.1 Các trạng thái singlet và triplet Sự xắp xếp các spin kết cặp sao cho spin của cặp bằng không được gọi là một singlet. Trạng thái spin của nó là 1 σa (1, 2) = √ [α(1)β(2) − β(1)α(2)] (1.19) 2 Các spin xắp xếp song song đưa đến một spin toàn phần khác không được gọi là một triplet. Có ba cách để đạt được một trạng thái spin toàn phần khác không 1 σs (1, 2) = α(1)α(2); √ [α(1)β(2) + β(1)α(2)] ; β(1)β(2) (1.20) 2 9
1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.3.3.2 Hàm khe năng lượng Lý thuyết BCS tổng quát dựa vào một dạng mở rộng của tương tác vi mô trong đó chỉ xét sự tán xạ của cặp điện tử với xung lượng toàn phần bằng không và tương tác giữa chúng là tương tác hút. Hamiltonian tương ứng có thể được viết như sau 1X k c†kσ ckσ + X X H= Vk,l;σ1 σ2 σ3 σ4 c† c† (1.21) 2 kσ1 −kσ2 c−lσ3 clσ4 , k,σ σ ,σ ,σ ,σ k,l 1 2 3 4 Hamiltonian này có thể được biến đổi thành Hamiltonian trường trung bình thông qua các hàm khe 1 X k c†kσ ckσ − X h i H' 4k,σ1 ,σ2 c†kσ1 c†−kσ2 + 4∗k,σ1 ,σ2 ckσ1 c−kσ2 + K (1.22) 2 k,σ k,σ1 ,σ2 Hàm khe tổng quát được định nghĩa như một hàm của k và spin (σ, σ 0 ) bởi các phương trình tự hợp X X 4k,σ,σ0 = − Vk,l;σσ0 σ3 σ4 bk,σ3 σ4 ;4∗k,σ,σ0 = − Vk,l;σ1 σ2 σ0 σ b∗k,σ1 σ2 . (1.23) l,σ3 ,σ4 l,σ1 ,σ2 Đối với tính chất chẵn (spin singlet), hàm khe có thể biểu diễn theo một hàm vô hướng Ψ (k), 0 Ψ (k) ˆk = 4k↑↑ 4k↑↓ 4 = = iˆ σy Ψ (k), (1.24) 4k↓↑ 4k↓↓ −Ψ (k) 0 Đối với trường hợp tính lẻ, cấu hình spin triplet được biểu diễn bởi ba thành phần của hàm véc tơ d(k) −dx (k) + idy (k) dz (k) ˆ 4k↑↑ 4k↑↓ 4k = = ˆ σ = i (d(k).σ) ˆy (1.25) 4k↓↑ 4k↓↓ dz (k) dx (k) + idy (k) 1.3.3.3 Chuẩn hạt Bogolyubov và các phương trình tự hợp Hamiltonian trung bình (1.22) có thể được chéo hóa bằng phép biến đổi Bogolyubov với năng lượng chéo hóa bằng 1 ˆ† ˆ q Ek = 2k + |4k | 2 trong đó 2 |4k | = tr 4k 4k . (1.26) 2 Hàm khe (1.23) có thể được xác định dưới dạng phương trình tự hợp X 4l,σ4 σ3 Ek 4k,σ1 σ2 = − Vk,l;σ1 σ2 σ3 σ4 tanh . (1.27) 2Ek 2kB T l,σ3 ,σ4 1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.4.1 Lý thuyết Landau 1.4.1.1 Khái niệm tham số trật tự Landau đã đưa ra khái niệm tham số trật tự năm 1937 [37] như một phương tiện để xác định sự biến đổi đầy ấn tượng của vật chất trong sự chuyển pha. Lý thuyết Landau kết hợp mỗi sự chuyển pha với sự phát triển của một “tham số trật tự” ψ ngay khi nhiệt độ sụt xuống dưới nhiệt độ chuyển pha TC : ( 0 (T > TC ) |ψ| = (1.28) |ψ0 | > 0 (T < TC ) Tham số trật tự có thể là một số thực hoặc phức, một véc tơ hay một spinor mà nói chung, có quan hệ với một véc tơ thực n thành phần ψ(x) = (ψ1 , ψ2 , · · · ψn ). 10
1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.4.1.2 Năng lượng tự do Landau Lý thuyết Landau tập trung vào miền ψ nhỏ, khai triển năng lượng tự do (tính trên một đơn vị thể tích) của hệ nhiều hạt như một đa thức đơn giản: r β u f = f0 + αψ + ψ 2 + ψ 3 + ψ 4 + ··· (1.29) 2 3 4 Phiếm hàm mật độ năng lượng tự do f , theo giả thiết của Landau thì phải có đầy đủ các tính chất đối xứng của hệ đối với tham số trật tự và phải có cực tiểu, nghĩa là ∂f ∂2f =0 và >0 (1.30) ∂ψ ∂ψ 2 1.4.2 Lý thuyết Ginzburg-Landau I: Trật tự Ising 2 Lý thuyết Ginzburg Landau [23] đưa vào một sự bổ sung năng lượng hao phí δf ∝ |∇ψ| gắn liền với gradients 2 của tham số trật tự fGL [ψ, ∇ψ] = 2s |∇ψ| + fL [ψ(x)]. Với trường hợp riêng, tham số trật tự Ising, năng lượng tự do (trong d chiều) được cho bởi Z FGL [ψ] = dd xfGL [ψ(x), ∇ψ(x), h(x)] (1.31) s r u fGL [ψ, ∇ψ, h] = (∇ψ)2 + ψ 2 + ψ 4 − hψ 2 2 4 Năng lượng tự do Ginzburg Landau: trật tự một thành phần 1.4.2.1 Các nghiệm không đồng đều của lý thuyết Ginzburg Landau Có hai loại nghiệm không đồng đều được chi phối bởi phương trình −s∇2 + r + uψ 2 ψ(x) − h(x) = 0 (1.32) 1.4.2.2 Độ cảm từ Từ phương trình (1.38) có thể rút ra độ cảm phụ thuộc xung lượng q và độ dài tương quan ξ 1 1 χq = = (1.33) sq 2 + r s(q 2 + ξ −2 ) 1.4.2.3 Các vách miền Trong không gian một chiều, ở đó phương trình Ginzburg Landau trở thành dfL [ψ] sψ 00 = (1.34) dψ Nghiệm “sóng đơn” của phương trình Ginzburg Landau định vị tại x = x0 là x − x0 ψ(x) = ψ0 tanh √ “sóng đơn” (1.35) 2ξ 11
1.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau về sự chuyển pha 1.4.3 Lý thuyết Ginzburg-Landau II: Trật tự phức và siêu chảy 1.4.3.1 “Một hàm sóng vĩ mô” ˆ “Hàm sóng vĩ mô” là giá trị trung bình các toán tử trường vi mô ψ(x) của chất lỏng lượng tử ˆ D E ψ(x) ≡ ψ(x) = |ψ(x)| eiφ(x) “hàm sóng vĩ mô” (1.36) 2 bao gồm cả pha. Độ lớn của tham số trật tự này xác định mật độ các hạt trong chất siêu lỏng |ψ(x)| = ns (x), trong khi đó sự xoắn, hay gradien của pha xác định vận tốc siêu lỏng vs (x) = m ~ ∇φ(x). 1.4.3.2 Tính chất cứng pha và tính siêu chảy Trong lý thuyết GL năng lượng rất nhạy cảm đối với một sự “xoắn” pha. Nếu ta thay thế ψ = |ψ| eiφ vào trong năng lượng tự do GL, thì số hạng gradient trở thành ∇ψ = (∇ |ψ| + i∇φ |ψ|)eiφ , vì vậy độ cứng pha các thăng giáng biên độ (1.37) z }| { z }| { ~2 2 2 ~2 2 2 u 4 fGL = |ψ| (∇φ) + (∇ |ψ|) + r |ψ| + |ψ| 2m 2m 2 Số hạng thứ hai tương tự phiếm hàm Ginzburg Landau đối với một tham số trật tự Ising, và mô tả chi phí năng lượng của những biến đổi trong biên độ của tham số trật tự. Số hạng thứ nhất là một số hạng mới. Số hạng này mô tả “tính chất cứng pha”. 1.4.4 Lý thuyết Ginzburg-Landau cho siêu dẫn 1.4.4.1 Bất biến Gauge Trong lý thuyết Ginzburg Landau của một chất lỏng lượng tử mang điện, các đạo hàm thông thường của trường ∗ được thay thế bằng các đạo hàm bất biến gauge ∇ → D = ∇ − ie~ A, trong đó e∗ là điện tích của trường ngưng tụ. Theo đó năng lượng tự do GL cho siêu dẫn được viết lại như sau   fψ z }| {
2 2
∇ − ie A ψ
+ r |ψ|2 + u |ψ|4 + (∇ × A)  ∗ Z  2
~ F [ψ, A] = dd x  (1.38) 
  2M
~
2 2µ0   | {z } fEM Năng lượng tự do GL : siêu lỏng mang điện tích. trong đó M là khối lượng của trường ngưng tụ và ∇ × A = B là từ trường. 1.4.4.2 Các phương trình Ginzburg Landau Để nhận được các phương trình chuyển động ta cần lấy biến phân của năng lượng tự do (1.44) theo thế véc tơ và tham số trật tự ψ. Các biến phân theo thế véc tơ đem lại phương trình Amperes, trong khi các biến phân theo tham số trật tự dẫn tới một sự tổng quát hóa phương trình Schrodinger không tuyến tính. i~e∗ ∗ ~ e∗2 ∇×B ∇×B ψ ∇ψ − ∇ψ ∗ ψ + 2 |ψ| A + = −J(x) + =0 (1.39) 2M M µ0 µ0 2 ~2 e∗ 2 ∇ − i A ψ(x) + rψ(x) + u |ψ(x)| ψ(x) = 0 (1.40) 2M ~ 12