Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> MAI THỊ KIM OANH<br /> <br /> CÁC BẤT ĐẲNG THỨC<br /> VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA<br /> HÀM LỒI<br /> <br /> Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp<br /> Mã số: 60.46.40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2011<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: TS. Cao Văn Nuôi<br /> <br /> Phản biện 1: PGS.TSKH. Trần Quốc Chiến<br /> Phản biện 2: PGS.TS. Huỳnh Thế Phùng<br /> <br /> Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm<br /> Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng<br /> vào ngày 17 tháng 8 năm 2011<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.<br /> - Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.<br /> <br /> 1<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. Lí do chọn đề tài<br /> Chúng ta đều biết rằng trong toán học, bất đẳng thức được sử dụng<br /> nhiều hơn đẳng thức, nhiều định lý quan trọng là hệ quả trực tiếp hoặc<br /> gián tiếp của một số bất đẳng thức nào đó. Nó có mặt trong tất cả các bộ<br /> môn của Toán học cao cấp nói chung và Toán học sơ cấp nói riêng. Trong<br /> hầu hết các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic Toán khu vực và<br /> quốc tế, thi Olympic Toán sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng,<br /> các bài toán liên quan đến bất đẳng thức cũng hay được đề cập và thường<br /> thuộc loại khó hoặc rất khó. Có thể nói bất đẳng thức đóng một vai trò khá<br /> quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ môn toán. Trong quá trình giảng<br /> dạy ở trường phổ thông, tôi phát hiện ra rằng thông thường các học sinh<br /> đều thấy lúng túng khi giải các bài toán về bất đẳng thức. Chính vì vậy tôi<br /> muốn nghiên cứu một phần của bất đẳng thức nhằm góp phần phục vụ cho<br /> công việc giảng dạy ở trường phổ thông và tôi chọn đề tài để làm luận văn<br /> tốt nghiệp của mình là:<br /> "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm lồi".<br /> <br /> 2. Mục đích nghiên cứu<br /> Đề tài tập trung nghiên cứu hàm lồi theo nghĩa Jensen, bất đẳng thức<br /> Jensen và các ứng dụng của bất đẳng thức Jensen đối với lớp hàm hai lần<br /> khả vi. Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng<br /> bất đẳng thức Minkowski.<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu<br /> Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là các bất đẳng thức về<br /> giá trị trung bình của hàm lồi và sự ứng dụng của chúng để giải toán ở bậc<br /> trung học phổ thông. Ngoài ra chúng tôi có mở rộng một vài trường hợp để<br /> nội dung luận văn thêm phong phú.<br /> Phạm vi mà chúng tôi nghiên cứu là những bất đẳng thức có liên quan<br /> đến các giá trị trung bình của hàm lồi.<br /> <br /> 4. Phương pháp nghiên cứu<br /> Phương pháp nghiên cứu tư liệu: Các tài liệu mà giáo viên hướng dẫn<br /> đưa, trên các trang web và các bài báo khoa học gần đây có liên quan đến<br /> đề tài, sách giáo khoa phổ thông trung học, các tài liệu tham khảo dành<br /> cho giáo viên, tạp chí toán học tuổi trẻ, các đề tài nghiên cứu giáo dục có<br /> liên quan...<br /> <br /> 5. Ý nghĩa khoa học<br /> Luận văn với đề tài "Các bất đẳng thức về giá trị trung bình của hàm<br /> lồi" sẽ trình bày và chứng minh bất đẳng thức Jensen, bất đẳng thức đặc<br /> trưng cho hàm lồi, rất quan trọng trong toán học. Từ đó đưa ra một số<br /> ứng dụng của bất đẳng thức quan trọng này. Hơn nữa, luận văn sẽ dùng lý<br /> thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thức<br /> Minkowski. Đây là một đề tài có nhiều ứng dụng trong giảng dạy ở các bậc<br /> THPT, trong các trường Cao đẳng, Đại học cho các ngành sư phạm toán<br /> và cũng là công cụ để học sinh, sinh viên tham khảo trong quá trình tự rèn<br /> luyện trau dồi kiến thức toán học về lĩnh vực bất đẳng thức.<br /> <br /> 6. Cấu trúc luận văn<br /> Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:<br /> Chương 1 : Các kiến thức cơ sở<br /> <br /> 3<br /> <br /> - Trình bày định nghĩa các giá trị trung bình thông thường và định<br /> nghĩa giá trị trung bình với hàm tuỳ ý.<br /> -Trình bày các định lí về giá trị trung bình với hàm tuỳ ý.<br /> Chương 2 : Hàm lồi. Bất đẳng thức Jensen<br /> - Trình bày khái niệm hàm lồi, lõm theo nghĩa Jensen, mô tả ý nghĩa<br /> hình học của nó đồng thời hệ thống các tính chất thường dùng của hàm lồi,<br /> lõm.<br /> - Trình bày bất đẳng thức Jensen và ứng dụng bất đẳng thức Jensen<br /> chứng minh các bất đẳng thức cổ điển, các bất đẳng thức đại số, các bất<br /> đẳng thức lượng giác và các bất đẳng thức hình học.<br /> Chương 3 : Mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất đẳng thức<br /> Minkowski<br /> Dùng lý thuyết hàm lồi mở rộng bất đẳng thức H¨older và mở rộng bất<br /> đẳng thức Minkowski.<br /> <br />