Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm lồi và bất đẳng thức

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> THÁI THÙY LINH<br /> <br /> HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC<br /> <br /> Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP<br /> Mã số: 60.46.40<br /> <br /> TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Đà Nẵng - Năm 2011<br /> <br /> Công trình được hoàn thành tại<br /> ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG<br /> <br /> Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Văn Ân.<br /> <br /> Phản biện 1:<br /> Phản biện 2:<br /> <br /> Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp<br /> tại Đại học Đà Nẵng vào ngày .... tháng .... năm ....<br /> <br /> Có thể tìm hiểu luận văn tại:<br /> - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.<br /> - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.<br /> <br /> -1-<br /> <br /> MỞ ĐẦU<br /> 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI<br /> Chứng minh bất đẳng thức luôn là một phần khó đối với học sinh trung học,<br /> kể cả đối với sinh viên Đại học. Do đó việc tìm ra cách giải chúng theo các phương<br /> pháp tổng quát hơn luôn được nhiều người quan tâm.<br /> Một trong số những công cụ đưa ra để giải bài toán trên là Hàm lồi, cụ thể là<br /> sử dụng bất đẳng thức Jensen, Muirhead và Schur để làm cơ sở chứng minh các<br /> bất đẳng thức khác. Vì vậy tôi chọn đề tài "Hàm lồi và bất đẳng thức" để làm<br /> luận văn tốt nghiệp của mình ở cấp cao học.<br /> 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU<br /> Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở nhà trường phổ thông trung học, lý<br /> thuyết hàm lồi và sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chưa được đưa<br /> vào giảng dạy và quan tâm đúng mức.<br /> Do vậy, tôi viết luận văn này nhằm góp phần làm tăng chất lượng bồi dưỡng<br /> học sinh giỏi ở cấp phổ thông trung học.<br /> 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU<br /> - Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về hàm lồi và phương pháp chứng minh<br /> bất đẳng thức bằng hàm lồi.<br /> - Phạm vi nghiên cứu: Các bất đẳng thức về hàm lồi và việc ứng dụng chúng<br /> vào chương trình chuyên toán ở bậc trung học.<br /> 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU<br /> - Trình bày tóm tắt lý thuyết và các chứng minh định lý, hệ quả, mệnh đề.<br /> - Trình bày các bất đẳng thức về hàm lồi và đưa ra các bài tập vận dụng chúng<br /> trong chứng minh bất đẳng thức.<br /> 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI<br /> Luận văn tiếp cận một vấn đề mới của hàm lồi, trong đó có hàm lồi theo nghĩa<br /> Schur.<br /> 6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN<br /> Luận văn được chia làm các chương:<br /> <br /> -2-<br /> <br /> - Chương 1: Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi trên Rn để<br /> làm lý thuyết cần thiết cho các chương tiếp theo. Trong đó có giới thiệu về<br /> hàm lồi theo nghĩa Schur, các tính chất của hàm lồi theo nghĩa Schur và một<br /> vài ví dụ minh họa việc áp dụng các tính chất này để chứng minh bất đẳng<br /> thức.<br /> - Chương 2: Một số bất đẳng thức cổ điển và các bài toán vận dụng chúng<br /> trong chứng minh bất đẳng thức được trình bày trong chương này. Ngoài ra,<br /> chương này giới thiệu một số ứng dụng của các bất đẳng thức Jensen thông<br /> qua các bài toán.<br /> - Chương 3: Giới thiệu một cách cơ bản về bất đẳng thức Muirhead, bất đẳng<br /> thức Schur và một số ứng dụng của các bất đẳng thức Muirhead, Schur thông<br /> qua các bài toán.<br /> <br /> -3-<br /> <br /> Chương 1<br /> HÀM LỒI TRÊN RN<br /> <br /> TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRÊN RN<br /> <br /> 1.1<br /> 1.1.1<br /> <br /> Tập lồi trên Rn<br /> <br /> Định nghĩa 1.1.1.1. Tập con A trong Rn được gọi là một tập hợp lồi nếu với mọi<br /> x1 , x2 ∈ A; với mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.<br /> Chú ý: Tập ∅ được xem là tập lồi.<br /> Định nghĩa 1.1.1.2. Cho x1 , x2 ∈ Rn . Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa như sau:<br /> [x1 , x2 ] = {x ∈ X : x = λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1} .<br /> Nhận xét: Tập A là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A thì [x1 , x2 ] ⊂ A.<br /> Tính chất 1.1.1.1. Giả sử Aα ⊆ Rn , α ∈ I là các tập lồi; với I là tập chỉ số bất kỳ.<br /> T<br /> Khi đó, tập A = α∈I Aα cũng lồi.<br /> Định nghĩa 1.1.1.3. Cho A, B là các tập trong Rn và λ ∈ R. Các tập A + B, λA<br /> được xác định như sau:<br /> A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B}<br /> λA = {λx|x ∈ A}.<br /> Tính chất 1.1.1.2. Giả sử tập Ai ⊆ Rn lồi, λi ∈ R, i = 1, m. Khi đó: λ1 A1 + λ2 A2 +<br /> . . . + λm Am là tập lồi.<br /> Tính chất 1.1.1.3. Cho các tập Ai lồi trong Rn , i = 1, m. Khi đó, tích Descartes<br /> Qm<br /> Qm n<br /> A<br /> là<br /> một<br /> tập<br /> lồi<br /> trong<br /> i<br /> i=1<br /> i=1 R .<br /> Định nghĩa 1.1.1.4. Vectơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1 , x2 , . . . , xm<br /> Pm<br /> Pm<br /> trong Rn nếu tồn tại λi ≥ 0, i = 1, m với i=1 λi = 1 sao cho x = i=1 λi xi .<br /> Định lý 1.1.1.1. Giả sử tập A ⊆ Rn là tập lồi và x1 , x2 , . . . , xm ∈ A. Khi đó, A chứa<br /> tất cả các tổ hợp lồi của x1 , x2 , . . . , xm .<br /> <br />