Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm lồi và một số bất đẳng thức

Chia sẻ: Dien_vi09 Dien_vi09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

77
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài này là trình bày có hệ thống lý thuyết hàm lồi và những bất đẳng thức trọng tâm về hàm lồi. Sau đó đưa ra ứng dụng của các bất đẳng thức này để chứng minh một số bài toán có liên quan. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Hàm lồi và một số bất đẳng thức

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN QUANG CÔNG Người hướng dẫn khoa học: TS. Trương Văn Thương HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC Phản biện 1: TS. CAO VĂN NUÔI Chuyên ngành : Phương pháp Toán Sơ cấp Mã số : 60-46-40 Phản biện 2: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm. TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 28 tháng 5 năm 2011. Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng - Năm 2011 - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng 3 MỞ ĐẦU 1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình toán học phổ thông bất ñẳng thức là một nội 4 dụng của các bất ñẳng thức này ñể chứng minh một số bài toán có liên quan. 3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU a. Đối tượng nghiên cứu dung khó ñối với học sinh kể cả học sinh giỏi trong ñội tuyển toán. Nghiên cứu lý thuyết tổng quát về hàm lồi ñể trình bày có hệ Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi cấp thành phố, tuyển sinh ñại thống. Nghiên cứu Bất ñẳng thức Jensen, Bất ñẳng thức Karamata và hoc, các kì thi quốc gia, quốc tế và khu vực, bài toán bất ñẳng thức các ứng dụng của nó. thường xuyên xuất hiện và nó gây không ít khó khăn cho người làm b. Phạm vi nghiên cứu toán. Điều ñặc biệt của các bài toán về bất ñẳng thức là khó, thậm chí là Nghiên cứu từ các tài liệu, các giáo trình về bất ñẳng thức của các tác giả có liên quan từ ñó trình bày phương pháp chứng minh phù rất khó nhưng chúng ta có thể giải nó hoàn toàn bằng phương pháp hợp. sơ cấp, không vượt quá giới hạn của toán phổ thông. Do ñó chúng ta 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU cần phải nắm vài kỉ thuật chứng minh bất ñẳng thức bằng phương Nghiên cứu các tài liệu từ trang web toán học, các tạp chí toán học pháp cổ ñiển, ñể giải quyết một số bài toán bất ñẳng thức có liên tuổi trẻ và các giáo trình có liên quan ñến ñề tài ñể tổng hợp lại. Sau quan ñến chương trình toán phổ thông. ñó trình bày có hệ thống và phát triển phương pháp chứng minh hợp Với những lí do ñó tôi chọn ñề tài “Hàm lồi và một số bất ñẳng thức” một phần nào ñó ñáp ứng mong muốn của bản thân về một ñề lí. 5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI tài phù hợp với chương trình ñang học mà sau này có thể phục vụ Đề tài hệ thống kiến thức về lý thuyết hàm lồi và một số bất ñẳng thiết thực cho việc giảng dạy của mình trong nhà trường phổ thông, thức về hàm lồi, trình bày ứng dụng của Bất ñẳng thức Jensen, ñồng thời cũng là tài liệu tham khảo hữu ích cho ai quan tâm ñến vấn Karamata ñể chứng minh hàng loạt bài toán bất ñẳng thức ở trường ñề này. phổ thông. Đề tài quan tâm nhiều ñối tượng, trong ñó trọng tâm là ứng dụng Đề tài phù hợp cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh trung học của Bất ñẳng thức Jensen và Bất ñẳng thức Karamata ñể giải các bài phổ thông. Đóng góp thiết thực cho việc dạy và học bất ñẳng thức toán về bất ñẳng thức lượng giác, bất ñẳng thức ñại số hoàn toàn phù trong trường trung học phổ thông, ñem lại niềm ñam mê sáng tạo các hợp với thực tế tại trường phổ thông. bài toán về bất ñẳng thức. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 6. CẤU TRÚC LUẬN VĂN Mục ñích của ñề tài này là trình bày có hệ thống lý thuyết hàm lồi và những bất ñẳng thức trọng tâm về hàm lồi. Sau ñó ñưa ra ứng Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn gồm ba chương. 5 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này chúng tôi trình 6 Chương 1 bày có hệ thống các kiến thức cơ bản về hàm lồi. Chương 2: Một số bất ñẳng thức về hàm lồi. Trong chương này chúng tôi trình bày hai bất ñẳng thức liên quan ñến hàm lồi là: Bất KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa hàm lồi ñẳng thức Jensen, Bất ñẳng thức Karamata, các ñịnh lí và một số áp Định nghĩa. Hàm số f ( x) ñược gọi là hàm lồi (lồi dưới) trên tập dụng. [a, b) ⊂ Chương 3: Áp dụng bất ñẳng thức về hàm lồi ñể giải một số bài α , β có tổng α + β = 1 ta ñều có toán về bất ñẳng thức sơ cấp. Trong chương này chúng tôi trình bày nếu với mọi x1 , x2 ∈ [a, b) và với mọi cặp số dương có hệ thống ứng dụng của Bất ñẳng thức Jensen và Bất ñẳng thức f (α x1 + β x2 ) ≤ α f ( x1 ) + β f ( x2 ) . Karamata ñể giải các bài toán về bất ñẳng thức lượng giác trong tam - Nếu dấu “=” xảy ra trong (1.1) khi và chỉ khi x1 = x2 thì ta nói hàm giác và bất ñẳng thức ñại số. số f ( x) là hàm lồi thực sự (chặt) trên [a, b) . (1.1) - Nếu trong (1.1) bất ñẳng thức xảy ra ngược chiều thì f ( x) là hàm lõm trên [a, b) . - Ta kí hiệu các tập [a, b), (a, b], (a, b), [a, b] là I (a, b) . Nhận xét 1.1. i/ Hàm số f ( x) gọi là lõm trên I (a, b) nếu − f ( x) là hàm lồi trên I ( a, b ) . ii/ Khi x1 < x2 thì và α = x2 − x , x2 − x1 β= x = α x1 + β x2 ∈ ( x1 , x2 ), ∀α , β > 0 : α + β = 1 x − x1 . x2 − x1 1.2. Các tính chất hàm lồi Tính chất 1.1. Nếu f ( x) là hàm lồi (lõm) trên I (a, b) thì g ( x) = c. f ( x) là hàm lõm (lồi) trên I (a, b) khi c < 0 . 7 8 Tính chất 1.2. Tổng hữu hạn các hàm lồi trên I (a, b) là hàm lồi trên Tính chất 1.6. (Xem [9]) Giả sử f1 ( x), f 2 ( x), ..., f n ( x) là các hàm I ( a, b ) . lồi trên Tính chất 1.3. (Xem [3]) Nếu f ( x) là hàm liên tục và lồi trên λ1 f1 ( x) + λ2 f 2 ( x) + ... + λn f n ( x) cũng là hàm lồi trên I (a, b) . I (a, b) và nếu g ( x) là hàm lồi và ñồng biến trên tập giá trị của 1.3 Một số ñịnh lí về hàm lồi f ( x) thì g ( f ( x)) là hàm lồi trên I (a, b) . Định lí 1.1. (Xem [3]) Nếu f ( x) là hàm khả vi trên I (a, b) thì Tính chất 1.4. (Xem [3]) i/ Nếu f ( x) là hàm liên tục và lõm trên I (a, b) và hàm g ( x) lồi và nghịch biến trên tập giá trị của f ( x) thì g ( f ( x)) là hàm lồi trên I ( a, b ) . ii/ Nếu f ( x) là hàm liên tục và lõm trên I (a, b) và hàm g ( x) lõm I (a, b) . Cho λi > 0 , ∀i = 1,..., n . Khi ñó hàm số f ( x) là hàm lồi trên I (a, b) khi và chỉ khi f '( x) là hàm ñơn ñiệu tăng trên I (a, b) . Định lí 1.2. Nếu f ( x) là hàm khả vi bậc hai trên I (a, b) và f '' ( x) ≥ 0, ∀x ∈ I (a, b) thì với mọi cặp x, x0 ∈ I (a, b) ta ñều có f ( x) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 ) . và ñồng biến trên tập giá trị của f ( x) thì g ( f ( x)) là hàm lõm trên I ( a, b ) . (1.2) Định lí 1.3. Nếu f ( x) khả vi bật hai trên I (a, b) thì f ( x) lồi (lõm) iii/ Nếu f ( x) là hàm liên tục và lồi trên I (a, b) và hàm g ( x) lõm và trên I (a, b) khi và chỉ khi f '' ( x) ≥ 0 ( f '' ( x) ≤ 0) trên I (a, b) . nghịch biến trên tập giá trị của f ( x) thì g ( f ( x)) là hàm lõm trên Định lí 1.4. (Xem [3]) Nếu f ( x) lồi trên (a, b) thì tồn tại các ñạo I ( a, b ) . hàm một phía f −' ( x) và f +' ( x) với ∀x ∈ (a, b) và f −' ( x) ≤ f +' ( x) . Tính chất 1.5. Nếu f ( x) là hàm số liên tục và ñơn ñiệu (ñồng biến Hệ quả. Các hàm số f −' ( x) và f +' ( x) là những hàm ñơn ñiệu tăng hoặc nghịch biến) trên I (a, b) và nếu g ( x) là hàm ngược của f ( x) trong (a, b) . thì ta có kết luận sau: Định lí 1.5. Nếu f ( x) lồi trên (a, b) thì f ( x) liên tục trên (a, b) . i/ f ( x) lõm, ñồng biến ⇔ g ( x) lồi, ñồng biến. Nhận xét 1.2. (Xem [3]) Hàm lồi trên [a, b] có thể không liên tục ii/ f ( x) lõm, nghịch biến ⇔ g ( x) lõm, nghịch biến. tại ñầu mút của ñoạn [a, b] . iii/ f ( x) lồi, nghịch biến ⇔ g ( x) lồi, nghịch biến. 9 10 Định lí 1.6. (Xem [3]) (Bất ñẳng thức Jensen) Chương 2 Giả sử f ( x) liên tục trên [a, b] . Khi ñó ñiều kiện cần và ñủ ñể hàm số f ( x) lồi trên I (a, b) là f( MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC VỀ HÀM LỒI 2.1 Bất ñẳng thức Jensen x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ , ∀x1, x2 ∈ I (a, b) . 2 2 (1.3) 2.1.1 Bất ñẳng thức Jensen dạng cơ bản Giả sử f ( x) liên tục trên [a, b]. Khi ñó ñiều kiện cần và ñủ ñể hàm Định lí 1.7 (Xem [3]) (ñiều kiện ñủ cho tính lồi của hàm số). Giả sử f ( x) có ñạo hàm cấp hai trong (a, b) . Khi ñó ñiều kiện cần số f ( x) lồi trên I (a, b) là x +x f 1 2  2 và ñủ ñể hàm số f ( x) lồi (lõm) trên (a, b) là f '' ( x) ≥ 0, ( f '' ( x ) ≤ 0) ∀x ∈ (a, b) . (1.4)  f ( x1 ) + f ( x2 ) , ≤ 2  ∀x1 , x2 ∈ I ( a, b ) . 2.1.2 Bất ñẳng thức Jensen tổng quát (Xem [8]) Định lí 1.8. (Xem [3]) Cho hàm số f ( x) có f '' ( x) ≥ 0 trên I (a, b) Giả sử f ( x) là hàm lồi trong (a, b) với x1 , x2 , ..., xn ∈ (a, b) và và giả sử x1 , x2 ∈ I (a, b) với x1 < x2 . Khi ñó với mọi dãy số tăng dần α1 , α 2 , ..., α n > 0 : α1 + α 2 + ... + α n = 1 ta có {uk } trong ( x1 , x1 + x2 x +x ) : x1 = u0 < u1 < u2 < ... < un < 1 2 và dãy số 2 2 x +x x +x giảm dần {vk } trong ( 1 2 , x2 ) : 1 2 < vn < vn−1 < ... < v1 < v0 = x2 2 2 thỏa u j + v j = x1 + x2 , " j = 0,..., n Ta ñều có f ( u0 ) + f ( v0 ) ≥ f ( u1 ) + f ( v1 ) ≥ f ( u2 ) + f ( v2 ) ≥ ... ≥ f ( un ) + f ( vn ) { } Nói cách khác dãy f (u j ) + f (v j ) là một dãy giảm. α1 f ( x1 ) + ... + α n f ( xn ) ≥ f (α1 x1 + ... + α n xn ) . Nhận xét 2.1. Cho hàm số f ( x) liên tục trên (a, b) . Khi ñó các mệnh ñề sau là tương ñương. i/ f ( x) là hàm lồi trên (a, b) . ii/ f ( x1 + x2 f ( x1 ) + f ( x2 ) )≤ , ∀x1 , x2 ∈ (a, b) . 2 2 iii/ Với mọi số nguyên dương n và mọi xi ∈ (a, b) , i = 1,...,n ta có f( x1 + x2 + ... + xn f ( x1 ) + f ( x2 ) + ... + f ( xn ) )≤ . n n iv/ Với mọi xi ∈ (a, b) , với mọi λi > 0, i =1,..., n và λ1 + λ2 + ... + λn = 1 ta có f (λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λn xn ) ≤ λ1 f ( x1 ) + λ2 f ( x2 ) + ... + λn f ( xn ) .