Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính duy nhất của nhóm cấp n

Chia sẻ: Dien_vi09 Dien_vi09 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

Thêm vào BST

Báo xấu

49
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài được thực hiện nhằm 3 mục tiêu: Nghiên cứu cấu trúc nhóm và các tính chất của một nhóm; nghiên cứu lý thuyết số; xác định các số nguyên dương n sao cho có duy nhất một nhóm cấp n. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Tính duy nhất của nhóm cấp n

GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC CHÂU NGÔ THỊ HOÀI PHƯƠNG Phản biện 1: TS. LÊ HOÀNG TRÍ Phản biện 2: PGS.TS NGUYỄN GIA ĐỊNH TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP n Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày ... tháng ... năm 2011. TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Có thế tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng Đà Nẵng - Năm 2011 1 2 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn ñề tài Cho n là một số nguyên dương. Bài toán tổng quát của 1. Các nhóm hữu hạn. 2. Quan hệ ñẳng cấu giữa các nhóm. 3. Tính chất số học của tập các số nguyên. 4. Phương pháp nghiên cứu nhóm hữu hạn là xác ñịnh tất cả các nhóm không ñẳng cấu nhau có 1. Tập hợp và hệ thống các tài liệu về lý thuyết nhóm có liên cấp n, ñã ñược A. Cayley ñặt ra vào năm 1878. Năm 1951, Định lý quan ñến nội dung ñề tài. Đặc biệt là các tài liệu về phân loại ñẳng cơ bản về nhóm Abel hữu hạn sinh ñã cho lời giải của bài toán này cấu các nhóm hữu hạn. ñối với các nhóm Abel hữu hạn. Tuy nhiên bài toán tổng quát của nhóm hữu hạn là một bài toán khó, và ñến nay vẫn chưa có lời giải ñầy ñủ. 2. Khảo sát các tính chất số học của tập các số nguyên. Tìm hiểu về hàm Euler. 3. Áp dụng các tính chất của tập số nguyên và hàm Euler vào Trong các giáo trình Lý Thuyết Nhóm, chúng ta ñã biết khi n = 1 hoặc n là một số nguyên tố thì có duy nhất một nhóm cấp n (tất nhiên là nhóm cyclic). Ngoài ra, bằng cách áp dụng ñịnh lý bài toán phân loại ñẳng cấu các nhóm, từ ñó xác ñịnh với số nguyên dương n nào thì có duy nhất một nhóm cấp n, và ngược lại. 5. Cấu trúc của luận văn Sylow vào nhóm có cấp pq, p < q, p, q là các số nguyên tố, chúng ta cũng chứng minh ñược rằng một nhóm như vậy là duy nhất khi và Luận văn gồm hai chương: chỉ khi p không chia hết q – 1. Từ ñó, một câu hỏi ñược ñặt ra một Chương I: cách tự nhiên là “Với các số nguyên dương n nào, thì có duy nhất Chương này sẽ trình bày sơ lược về lý thuyết nhóm, lý thuyết một nhóm cấp n”. Nhằm tìm hiểu lời giải cho câu hỏi này, tôi chọn ñề tài luận văn Thạc sĩ của mình là : "TÍNH DUY NHẤT CỦA NHÓM CẤP Kiến thức chuẩn bị số và một số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau. Chương II: Tính duy nhất của nhóm cấp n Chương này là nội dung chính của luận văn, xác ñịnh các số n". nguyên dương n sao cho có duy nhất một nhóm cấp n (sai khác một 2. Mục tiêu và nhiệm vụ nghiên cứu ñẳng cấu). Phần cuối chương sẽ xác ñịnh một số trường hợp của số 1. Nghiên cứu cấu trúc nhóm và các tính chất của một nhóm. 2. Nghiên cứu lý thuyết số. 3. Xác ñịnh các số nguyên dương n sao cho có duy nhất một nhóm cấp n. nguyên dương n ñể chỉ có hai nhóm cấp n không ñẳng cấu nhau. 3 4 1.1.1.2. Định nghĩa 2 Chương 1 Một p-nhóm là một nhóm có cấp là một lũy thừa của một số KIẾN THỨC CHUẨN BỊ nguyên tố p. Chương này sẽ trình bày sơ lược về cấu trúc nhóm, lý thuyết số và một số kiến thức cần thiết ñể chuẩn bị cho chương sau. Các chi tiết liên quan có thể xem trong [1], [2], [3], [4]. 1.1.2. Nhóm con, p-nhóm con Sylow 1.1.2.1. Định nghĩa 3 Một bộ phận ổn ñịnh A của một nhóm X là một nhóm con của X nếu A cùng với phép toán cảm sinh là một nhóm, kí hiệu 1.1. CẤU TRÚC NHÓM A X. 1.1.2.2. Định lý 1 1.1.1. Nhóm hữu hạn, p_nhóm 1.1.1.1. Định nghĩa 1 Một bộ phận A của nhóm X là một nhóm con của X nếu Cho một tập không rỗng G và một phép toán hai ngôi trên G ñược kí hiệu bởi • , cặp (G, • ) ñược gọi là một nhóm nếu (ii) Tồn tại một phần tử ký hiệu 1 ∈ G, gọi là phần tử ñơn vị, x • 1 = 1 • x = x, với mọi x ∈ G, (iii) Với mỗi x ∈ G có một phần tử nghịch ñảo trong G, nghĩa là có một phần tử x ∈ G sao cho x • x i) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A. iii) Với mọi x ∈ A, x −1 ∈ A. (x • y) • z = x • (y • z), −1 và chỉ nếu các ñiều kiện sau ñây thỏa mãn : ii) e ∈ A, với e là phần tử trung lập của X. (i) Với mọi x, y, z ∈ G, sao cho ≤ −1 −1 = x • x = 1. Nếu với mọi x, y ∈ G, x • y = y • x thì (G, • ) ñược gọi là một nhóm abel (hay nhóm giao hoán). Nếu không sợ nhầm lẫn về phép toán, ta còn nói G là một nhóm thay cho nhóm (G, • ). 1.1.2.3. Hệ quả 1 Giả sử A là một bộ phận khác rỗng của một nhóm X. Các ñiều kiện sau ñây là tương ñương : i) A là một nhóm con của X. ii) Với mọi x, y ∈ A, xy ∈ A và x −1 ∈ A. iii) Với mọi x, y ∈ A, xy −1 ∈ A. 1.1.2.4. Định nghĩa 4 i) Nhóm H ñược gọi là p-nhóm con của G nếu H vừa là một nhóm con của G vừa là một p-nhóm. Nhóm G ñược gọi là nhóm hữu hạn nếu G là một tập hữu ii) Nhóm H ñược gọi là một p-nhóm con Sylow của G nếu hạn. Lúc ñó số phần tử của tập hợp G ñược gọi là cấp của nhóm G H là một p-nhóm con của G và |H| = p n là lũy thừa cao nhất của và ñược kí hiệu là |G|. Nếu nhóm G không phải là nhóm hữu hạn thì p chia hết |G|. ta nói G là nhóm (có cấp) vô hạn. 5 6 1.1.2.5. Định nghĩa 5 (Nhóm con cực ñại) 1.1.3.6. Nhận xét 2 Nhóm con thực sự M của G ñược gọi là nhóm con cực ñại của G nếu không có nhóm con H nào của G ñể M < H < G. Nếu G = x và G là một nhóm con hữu hạn cấp r, (r, s) = 1, thì x s = G. 1.1.2.6. Định nghĩa 6 1.1.3.7. Định nghĩa 10 Giả sử G là một nhóm với phần tử ñơn vị 1, a ∈ G . Nếu Hai nhóm con S và T của nhóm G ñược gọi là liên hợp nếu −1 có một phần tử g ∈ G sao cho g Sg = T . −1 { −1 } Trong ñó : g Sg = g sg / s ∈ S . 1.1.3. Nhóm cyclic 1.1.3.1. Mệnh ñề 1 a ≠ 1, ∀ m ∈ m * dương nhỏ nhất sao cho a m = 1 thì m ñược gọi là cấp của a. Cấp của phần tử a ñược kí hiệu là ord(a). Từ ñịnh nghĩa trên ta có ord(a) = a , và ord(a) = 1 ⇔ a = 1. Giao của một họ bất kỳ các nhóm con của một nhóm G cũng là nhóm con của G. 1.1.3.2. Định nghĩa 7 Cho G là một nhóm và X là một tập con khác rỗng của G. Nhóm con của G sinh bởi tập hợp X là giao của tất cả các nhóm thì a gọi là có cấp vô hạn. Nếu m là số nguyên 1.1.3.8. Bổ ñề 1 Cho X là một nhóm với phần tử ñơn vị e, a ∈ X có cấp là n. Chứng minh rằng a k = e khi và chỉ khi n | k. 1.1.3.9. Mệnh ñề 2 con của G có chứa X, kí hiệu X . X = { x1ε1 x2ε 2 L xn ε n / xi ∈ X , ε i = ± 1, n là một số nguyên dương}. Chứng minh rằng X × Y là nhóm cyclic khi và chỉ khi (m, n) = 1. 1.1.3.3. Nhận xét 1 1.1.4.1. Định nghĩa 11 X là nhóm con nhỏ nhất của G có chứa X. Cho X và Y là những nhóm cyclic có cấp là m và n. 1.1.4. Nhóm con chuẩn tắc Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G. Khi ñó, Nếu X = G thì ta nói G là nhóm ñược sinh bởi X và X là tập sinh của G. các lớp trái của H trong G là các bộ phận có dạng 1.1.3.4. Định nghĩa 8 H trong G là các bộ phận có dạng Hx = {y / y = hx, h ∈ H}. Nhóm hữu hạn sinh là nhóm ñược sinh bởi một tập sinh hữu hạn. xH = {y / y = xh, h ∈ H} với x ∈ G. Tương tự, các lớp phải của 1.1.4.2. Định nghĩa 12 Cho G là một nhóm với phép toán nhân, một nhóm con H 1.1.3.5. Định nghĩa 9 Một nhóm X gọi là cyclic nếu và chỉ nếu X ñược sinh ra bởi một phần tử a ∈ X, kí hiệu a . Phần tử a ñược gọi là một phần tử sinh của X. Nhóm cyclic cấp n ñược kí hiệu là C(n). của G ñược gọi là một nhóm con chuẩn tắc của G nếu xH = Hx, với mọi phần tử x ∈ G, kí hiệu H < G. 7 1.1.4.3. Mệnh ñề 3 là một nhóm, gọi là nhóm thương của G trên H. Ắt có và ñủ ñể một nhóm con H của G là nhóm con chuẩn tắc của G là xhx −1 8 1.1.5.3. Mệnh ñề 4 ∈ H, với mọi x ∈ G và với mọi h ∈ H. 1.1.4.4. Định lý 2 (Lagrange) Cấp của một nhóm con H của một nhóm hữu hạn G chia hết Mọi nhóm con và mọi nhóm thương của nhóm cyclic là nhóm cyclic. 1.1.6. Đồng cấu nhóm 1.1.6.1. Định nghĩa 15 cấp của G. Giả sử G và G’ là các nhóm (với phép toán nhân). Một ánh 1.1.4.5. Hệ quả 2 Cấp của một phần tử tùy ý của nhóm hữu hạn G là ước cấp xạ ϕ :G → G ' ñược gọi là một ñồng cấu nhóm nếu: ϕ ( xy ) = ϕ ( x )ϕ ( y ); ∀x, y ∈ G . của G. 1.1.6.2. Mệnh ñề 5 1.1.4.6. Hệ quả 3 Mọi nhóm hữu hạn có câp nguyên tố ñều là cyclic và ñược Cho X, Y là hai nhóm tùy ý, ánh xạ f:X → Y sinh ra bởi phần tử bất kì, khác phần tử trung lập, của nhóm. 1.1.4.7. Định nghĩa 13 x a eY ( eY là phần tử ñơn vị của Y) Số các lớp trái (phải) của H trong G ñược gọi là chỉ số của H trong G, kí hiệu [G : H ] . 1.1.4.8. Nhận xét 2 Nếu G là một nhóm hữu hạn thì G = H .[G : H ] . là một ñồng cấu. Đồng cấu f ñược xác ñịnh như trên gọi là ñồng cấu tầm thường. 1.1.6.2. Mệnh ñề 6 Giả sử ϕ :G → G ' là một ñồng cấu nhóm. Khi ñó: i) ϕ chuyển ñơn vị của G thành ñơn vị của G’, tức là: 1.1.5. Nhóm thương 1.1.5.1. Định nghĩa 14 Cho G là một nhóm và H < G. Tập thương của G trên H là một tập hợp của tất cả các lớp trái của H trong G, kí hiệu G / H. G / H = {xH / x ∈ G}. 1.1.5.2. Định lý 3 Nếu H < G thì i) Quy tắc cho tương ứng cặp (xH, yH) với lớp trái xyH là một ánh xạ từ G / H × G / H ñến G / H. ii) G / H cùng với phép toán hai ngôi (xH, yH) a xyH ϕ (1G ) = 1G ' . ii) ϕ chuyển nghịch ñảo của phần tử x ∈ G thành nghịch ñảo của phần tử ϕ ( x) ∈ G ' , tức là: ϕ ( x −1 ) = ϕ ( x) −1 . 1.1.6.3. Định nghĩa 16 i) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một ñơn ánh ñược gọi là một ñơn cấu nhóm. ii) Một ñồng cấu nhóm ñồng thời là một toàn ánh ñược gọi là một toàn cấu nhóm.