Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> ——————-<br /> <br /> LÊ HẢI LY<br /> <br /> VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU<br /> CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC<br /> <br /> Hà Nội - 2016<br /> <br /> ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN<br /> <br /> LÊ HẢI LY<br /> <br /> VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA<br /> DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI<br /> Chuyên ngành: Toán Giải tích<br /> Mã số:<br /> <br /> 60460102<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU<br /> <br /> HÀ NỘI−2016<br /> <br /> Mục lục<br /> Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 2<br /> <br /> Danh mục kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 4<br /> <br /> 1 Tập lồi và hàm lồi trong không gian vectơ tôpô<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Không gian vectơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 6<br /> <br /> 1.2<br /> <br /> Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 8<br /> <br /> 1.3<br /> <br /> Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 13<br /> <br /> 2 Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi<br /> <br /> 20<br /> <br /> 2.1<br /> <br /> Dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 20<br /> <br /> 2.2<br /> <br /> Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 31<br /> <br /> 3 Ứng dụng trong bài toán tối ưu<br /> <br /> 39<br /> <br /> 3.1<br /> <br /> Tồn tại nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 39<br /> <br /> 3.2<br /> <br /> Điều kiện tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 41<br /> <br /> 3.3<br /> <br /> Ứng dụng tính đơn điệu vào bài toán tối ưu . . . . . . . . . .<br /> <br /> 50<br /> <br /> Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> <br /> 57<br /> <br /> Tài liệu tham khảo<br /> <br /> 58<br /> <br /> 1<br /> <br /> LỜI NÓI ĐẦU<br /> Giải tích lồi là bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại, có vai trò quan trọng<br /> trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng, đặc biệt trong tối ưu<br /> hoá, các bài toán cân bằng, ...<br /> Khái niệm dưới vi phân là một khái niệm mở rộng của khái niệm vi phân<br /> đối với hàm lồi. Khái niệm này được Jean Jacques Moreau và R. Tyrrell<br /> Rockafellar đưa ra vào những năm sáu mươi của thế kỉ 20 đã mở ra một kỉ<br /> nguyên mới cho lĩnh vực giải tích không trơn phát triển rực rỡ.<br /> Như chúng ta đã biết, đạo hàm là công cụ cơ bản và cổ điển nhất nghiên<br /> cứu các tính chất của hàm như tính tăng, giảm, các điểm cực trị,...và nó chỉ<br /> có thể tính đối với các hàm khả vi. Tuy nhiên trong các vấn đề thực tiễn, các<br /> lớp hàm xuất hiện thường là các hàm lồi không khả vi, chẳng hạn như hàm<br /> khoảng cách hay hàm max, hàm min ... Vậy nên các bài toán tối ưu cần dưới<br /> vi phân để khảo sát tính cực tiểu của lớp các hàm này.<br /> Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi là một trong những tính chất<br /> quan trọng của hàm lồi. Ta đã thấy với hàm lồi một biến khả vi thì đạo<br /> hàm của nó là một hàm đơn điệu không giảm. Tính chất này có thể mở rộng<br /> cho hàm lồi nhiều biến không nhất thiết khả vi. Khi đó ánh xạ (toán tử)<br /> x → ∂f (.) là một ánh xạ đa trị. Trên thực tế lớp các toán tử đơn điệu tuần<br /> hoàn cực đại trùng với lớp các toán tử dưới vi phân của hàm lồi, đóng, chính<br /> thường.<br /> Do vậy, mục đích của luận văn là nghiên cứu dưới vi phân hàm lồi và tính<br /> đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi.<br /> Nội dung luận văn gồm ba chương:<br /> Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản như: Không gian tôpô,<br /> không gian tôpô lồi địa phương, tập lồi, hàm lồi, ... .<br /> <br /> 2<br /> <br /> Chương 2: Nội dung chương này là trình bày: Khái niệm dưới vi phân<br /> hàm lồi trong không gian tôpô và các tính chất của dưới vi phân trong không<br /> gian Hilbert: tính đơn điệu (đơn điệu mạnh, đơn điệu tuần hoàn, đơn điệu<br /> cực đại).<br /> Chương 3: Ứng dụng của dưới vi phân hàm lồi và tính đơn điệu của dưới<br /> vi phân hàm lồi trong bài toán tối ưu.<br /> <br /> 3<br /> <br />