Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình hàm liên quan đến phép lặp

Chia sẻ: Huyen Nguyen My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:24

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là cung cấp thêm cho học sinh - sinh viên đặc biệt là học sinh - sinh viên khá giỏi, có năng khiếu và yêu thích môn toán tài liệu tham khảo về phương trình hàm. Ngoài những kiến thức cơ bản về phương trình hàm, luận văn nghiên cứu tìm hiểu kĩ hơn về phương trình hàm liên quan đến phép lặp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình hàm liên quan đến phép lặp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ———————————————– NGỤY THỊ MẾN - C01056 PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP LẶP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019
LUẬN VĂN ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI KHOA TOÁN - TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Phản biện 1: ....................................... ....................................... Phản biện 2: ....................................... ....................................... Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm họp tại Trường Đại học Thăng Long Vào ngày ........... tháng ............ năm ............... Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Trường Đại học Thăng Long
1 Mở đầu Lý thuyết các phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu của Giải tích toán học khá gần gũi với học sinh trung học phổ thông chuyên toán, cũng như học sinh có năng khiếu toán . Đối với học sinh đại trà, phương trình hàm là một dạng toán xa lạ. Vì vậy khi tìm hiểu về phương trình hàm đa số học sinh đều cảm thấy khó. Để giải phương trình hàm không những đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức, mà còn phải có khả năng tư duy tốt, khả năng nhận dạng để tìm ra cách giải hợp lý. Là một trong những dạng toán hay và khó của toán sơ cấp, phương trình hàm thường xuất hiện trong các kì thi Olympic Toán học quốc gia, khu vực và quốc tế. Các bài toán này thường là khó, đôi khi còn rất khó. Để giải các bài toán đó, trước tiên phải nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số, các phương trình hàm cơ bản, một số phương pháp giải phương trình hàm thường gặp, đồng thời phải biết vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức. Với mong muốn đóng góp vào việc tìm hiểu phương trình hàm, tôi chọn: "Phương trình hàm liên quan đến phép lặp" làm đề tài luận văn thạc sĩ. Mục tiêu của luận văn là cung cấp thêm cho học sinh - sinh viên đặc biệt là học sinh - sinh viên khá giỏi, có năng khiếu và yêu thích môn toán tài liệu tham khảo về phương trình hàm. Ngoài những kiến thức cơ bản về phương trình hàm, luận văn nghiên cứu tìm hiểu kĩ hơn về phương trình hàm liên quan đến phép lặp.
2 Chương 1 Một số kiến thức cơ bản Chương này trình bày những kiến thức cơ bản nhất về phương trình hàm. Mục 1.1 nhắc lại các khái niệm cơ bản về phương trình hàm. Mục 1.2 dành cho phân loại phương trình hàm. Mục 1.3 trình bày một số phương pháp giải phương trình hàm. 1.1 Khái niệm cơ bản Điều đầu tiên khi nói về lí thuyết phương trình hàm là ý nghĩa chính xác của khái niệm "Phương trình hàm". Ban đầu người ta hiểu phương trình hàm là tất cả các phương trình trong đó chứa các hàm chưa biết, sau đó là vi phân, tích phân, . . . Tuy nhiên, các tác giả khác nhau đưa ra các định nghĩa và cách hiểu khác nhau. Định nghĩa dưới đây là một phiên bản đã được sửa đổi một chút từ cuốn sách chuyên khảo của Aczesl (xem [1]).Định nghĩa này dựa trên khái niệm về từ, vì vậy chúng tôi bắt đầu với việc định nghĩa sau. Định nghĩa 1.1. Một từ được xác định bởi các điều kiện sau: 1. Các biến độc lập là các từ. 2. Nếu t1 ,t2 , ...,t p là các từ và f (x1 , ..., x p ) là một hàm p biến thì f (t1 , ...,t p )
3 cũng là một từ. 3. Không tồn tại các từ khác. Khi đó phương trình hàm được định nghĩa như sau Định nghĩa 1.2. Một phương trình hàm là một đẳng thức t1 = t2 giữa hai từ t1 và t2 , chứa ít nhất một hàm chưa biết và một hữu hạn biến độc lập. Đẳng thức này được thỏa mãn đối với tất cả các biến trong một tập hợp nhất định nào đó. Người ta cũng tìm cách nêu chính xác lớp hàm nghiệm, số lượng và đặc điểm của nghiệm phụ thuộc rất nhiều vào lớp hàm này. Nó là một trong những khác biệt quan trọng giữa phương trình hàm và phương trình sai phân. 1.2 Phân loại phương trình hàm Vấn đề phân loại phương trình hàm là rất khó và cho đến nay vẫn chưa được giải quyết một cách thỏa đáng. J. Aczel trong chuyên khảo của ông theo quan điểm sau: Một hoặc nhiều hàm chưa biết của một hoặc nhiều biến, như vậy có tất cả là 4 loại. Tất nhiên đây là cách phân loại rất thô nhưng lại có ích. Định nghĩa 1.3. Một phương trình hàm trong đó tất cả ẩn hàm là hàm một biến gọi là phương trình hàm thường, một phương trình hàm trong đó có ít nhất một ẩn hàm là hàm nhiều biến gọi là phương trình hàm riêng. Lưu ý rằng, nhiều hàm có thể được hoàn toàn xác định bởi một phương trình hàm duy nhất, trái với tình huống trong phương trình vi phân.
4 Một đề xuất về phân loại phương trình hàm thường đã được mô tả trong bài báo Kuczma. Phân loại này cơ bản dựa trên khái niệm hạng, bậc, chỉ số kéo theo.. Khái niệm về hạng của phương trình hàm đã được giới thiệu bởi W. Maier. Định nghĩa 1.4. Số lượng biến độc lập xuất hiện trong một phương trình hàm được gọi là hạng của phương trình này. Định nghĩa trên cũng có thể được áp dụng cho phương trình hàm riêng, nhưng có thể thấy nó không thật phù hợp để làm cơ sở cho việc phân loại phương trình hàm riêng. Định nghĩa 1.5. Số phương trình bổ sung tối thiểu cần thiết để đưa phương trình hàm về dạng chỉ chứa các hàm một biến được gọi là bậc của phương trình. Phương trình hàm thường tổng quát nhất với một ẩn hàm, bậc 1, có dạng F[x1 , . . . , x p , ϕ(x1 ), . . . , ϕ(x p ), ϕ f [x1 , . . . , x p , ϕ(x1 ), . . . , ϕ(x p )] ] = 0. (6) Nó có thể được đưa về hệ F[x1 , . . . , x p , ϕ(x1 ), . . . , ϕ(x p , ϕ(y)] = 0 f [x1 , . . . , x p , ϕ(x1 ), . . . , ϕ(x p )] = y Định nghĩa ở trên về bậc có một vài khuyết điểm. Nó không thể áp dụng phương trình hàm riêng. Nhưng ngay trong trường hợp phương trình hàm thường, một số điều nhầm lẫn có thể nảy sinh. Chúng có thể sinh ra bởi yêu cầu về số phương trình bổ sung có thể phải là nhỏ nhất. Điều này thường rất khó để quyết định
5 liệu nó có thực như vậy không. Ví dụ phương trình ϕ(x + y) = ϕ(x) + y (7) dường như có bậc 1: ϕ(z) = ϕ(x) + y z = x+y Nhưng trong thực tế nó là bậc 0, vì nó có thể được viết dưới dạng ϕ(z) = ϕ(x) + z − x trong đó x và z không phụ thuộc bởi bất kì quan hệ nào. Tương tự, phương trình (6) có bậc 1, nếu lưu ý rằng hàm số F(x1 , ..., x p , z1 , ..., z p , u) thực sự phụ thuộc vào mỗi biến z1 , ..., z p , u. Nói nôm na, chỉ số kéo theo trong định nghĩa sau đây cho biết ẩn hàm trong phương trình tạo nên bởi bao nhiêu lần phép lặp. Định nghĩa 1.6. Giả sử một phương trình hàm có thể được quy về hệ phương trình như đã mô tả ở trên. Số nhóm phương trình bổ sung chứa ẩn hàm gọi là chỉ số kéo theo của phương trình này. Ta có thể gộp hạng p, bậc n và chỉ số kéo theo i của một phương trình hàm trong cùng một kí hiệu [p, n, i] gọi là kiểu của phương trình. Vì vậy phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) tương ứng có kiểu [2, 1, 0], [2, 2, 0], [2, 1, 1], [2, 3, 1], [1, 2, 2], [p, 1, 1], [2, 0, 0]. Các phân loại được mô tả ở trên chỉ quan tâm đến phương trình hàm thường. Với phương trình hàm thường cũng như phương trình hàm riêng, người ta có thể áp dụng khái niệm lớp được định nghĩa bởi A. R. Schweitzet là 2 j − p, trong đó
6 j là số biến nhỏ nhất của ẩn hàm (chẳng hạn, j = 1 đối với phương trình hàm thường) và p là hạng. Vẫn còn một cách tiếp cận vấn đề phân loại phương trình hàm khác được đề cập bởi B. Schweizer và A. Sklar. 1.3 Một số phương pháp giải phương trình hàm Việc thiếu phương pháp chung trong lý thuyết phương trình hàm trong nhiều năm là một trong những nguyên nhân khiến các nhà toán học nản lòng về lý thuyết này. Các tác phẩm của C. Popovici và M. Ghermănescu đã làm cho tình hình trở lên tốt hơn. Nhưng bài báo của J. Aczél mới chính là một tiến bộ thực sự. Ông đã đưa ra các phương pháp tổng quát để giải những lớp rộng các phương trình hàm, ví dụ như ϕ(x + y) = F[ϕ(x), ϕ(y)], (11) ϕ( x+y 2 ) = F[ϕ(x), ϕ(y)], (12) ϕ(ax + by + c) = F[ϕ(x), ϕ(y)], (13) G[ϕ(x + y), ϕ(x − y), ϕ(x), ϕ(y), x, y] = 0, (14) Ông cũng đưa ra các tiêu chí về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm. Kể từ đó, các phương pháp tổng quát khác đã được J. Aczél và các học trò của mình tìm ra; Có thể kể đến phương pháp định thức của E. Vincze. Không thể mô tả hết tất cả các phương pháp được sử dụng để giải các phương trình hàm cụ thể. Người ta có thể nói rằng, trong trường hợp phương trình hạng ≥ 2, phương pháp được sử dụng thường xuyên nhất là đặc biệt hóa các biến (xét những giá trị đặc biệt). Phương pháp đặc biệt hóa không thể sử dụng trong trường hợp phương trình hạng 1. Phần này đòi hỏi một sự tiếp cận hoàn toàn
7 khác. Các phương pháp thường được sử dụng là: Thác triển hàm xác định trên một tập nhất định thành nghiệm của phương trình đòi hỏi dự đoán dạng của nghiệm (thường thỏa mãn một số điều kiện bổ sung) từ dạng phương trình, ứng dụng của các định lý về điểm bất động trong không gian hàm. Nhưng cũng có một số phương pháp tổng quát được biết đến và sử dụng trong nhiều năm. Nó bao gồm việc đưa phương trình hàm về phương trình vi phân. Phương pháp này, mặc dù rất tổng quát, có một khiếm khuyết nghiêm trọng: Nó chỉ cho các nghiệm khả vi (thậm chí thường là khả vi nhiều lần) của phương trình. I. Fenyo cố gắng vượt qua khó khăn này. Tuy nhiên bước cuối cùng đòi hỏi một số giả thiết về tính khả tích. Hiện nay, đã biết một số định lý về sự khả vi của các nghiệm khả tích của các phương trình hàm nhất định, ví dụ như Kac, Aczél. Tuy nhiên phương pháp của I. Fenyo là tổng quát hơn và hơn nữa, nó có thể được xem như một phương pháp chung để giải phương trình suy rộng. Cuối cùng, chúng ta cũng lưu ý rằng, I. Carstoiu đã nhận xét rằng biến đổi tích phân có thể được áp dụng để giải phương trình hàm và A. Rényi đã đưa ra một phương pháp biến đổi phương trình hàm thành phương trình tích phân.
8 Chương 2 Phương trình hàm liên quan đến phép lặp Chương này trình bày 2 vấn đề chính, vấn đề 1 là đề cập đến một số lớp phương trình hàm mà ở đó phép lặp đóng vai trò quan trọng đó là: Phương trình hàm với dịch chuyển, Phương trình Shroder và các phương trình liên quan. Phương trình Shroder và các phương trình liên quan. Phương trình Shroder và các phương trình liên quan. Vấn đề 2 là trình bày về định nghĩa và một số trường hợp cụ thể của phương trình hàm liên quan đến phép lặp. 2.1 Một số lớp phương trình hàm cơ bản 2.1.1 Phương trình với dịch chuyển Phương trình hàm là một trong những công cụ chính trong lí thuyết về các đối tượng hình học. Một trong những vấn đề chính trong lí thuyết đó là vấn đề phân loại và dẫn đến phương trình Φ[Ω; T3 ] = Φ {Φ[Ω; T1 ]; T2 } . (16)
9 Ở đây Ω biểu thị một đại lượng (hoặc một hệ thống các đại lượng) được gọi là các thành phần của một đối tượng hình học và đóng vai trò là các biến trong (16). T1 và T2 là các hệ tham số đặc trưng hóa các phép biến đổi ρ1 và ρ2 của hệ tọa độ và T3 là hệ các tham số đặc trưng cho sự hợp thành của các phép biến đổi ρ1 và ρ2 . Các tham số T1 và T2 cũng đóng vai trò là các biến, trong khi T3 được biểu thị qua T1 và T2 . Phương trình (16) trong trường hợp tổng quát vẫn chưa được giải quyết. 2.1.2 Phương trình Shroder và các phương trình liên quan Trong mục này chúng tôi đề cập đến phương trình Schroder ϕ[ f (x)] = s · ϕ(x), (20) phương trình Abel ϕ[ f (x)] = ϕ(x) + 1, (21) phương trình Bottcher ϕ[ f (x)] = [ϕ(x)]m , (22) và phương trình Poincaré Φ(sx) = F[ϕ(x)]. (23) Những phương trình này đã được giải quyết triệt để vào năm 1919 − 1924 bởi P. Fatou, G. Julia và những người khác. Phương trình Schroder có lẽ quan trọng nhất. Những phương trình khác có thể biến đổi (với giả thiết phù hợp) về (20). Những phương trình này chủ yếu liên quan đến lý thuyết lặp, nhưng chúng cũng phát sinh trong nhiều câu hỏi khác như các nghiên cứu về sự bất biến của các biến đổi địa phương của dòng thực (phương trình (20)) hoặc các nghiên cứu về phân phối không điểm của các
10 nghiệm của một số phương trình vi phân (phương trình (21)). G. Koenigs đã chứng minh rằng nếu hàm f (x) (giá trị phức của biến phức) giải tích trong một lân cận của 0, f (0) = 0, f 0 (0) = s, 0 < |s| < 1 thì phương trình (20) có nghiệm duy nhất ϕ(x) giải tich trong một lân cận của 0 và sao cho ϕ 0 (0) = 1. Nghiệm này được cho bởi ϕ(x) = lim s−n f n (x), (24) n→∞ trong đó f n (x) các lần lặp của f (x). H. Kneser đã chỉ ra rằng thay vì là hàm giải tích f (x) chỉ cần giả sử rằng f (x) = sx + O(|x|1+δ ), 0 < s < 1, δ > 0, x → 0, (trong đó f (x) có thể là hàm có giá trị thực của một biến thực). Sau đó tất nhiên hàm (24) không cần giải tích, thậm chí không thuộc lớp C1 hoặc đơn điệu nghiêm ngặt trong một vùng lân cận của 0, mặc dù đạo hàm ϕ 0 (0) vẫn tồn tại và bằng 1. Vì sự tồn tại của ϕ −1 là rất quan trọng trong một số ứng dụng, định lí sau đây của G. Szekeres là hữu ích hơn. Hàm f (x) lớp C1 và tăng nghiêm ngặt trên [0, a), 0 < f (x) < x trong (0, a) và nếu f 0 (x) = s + O(xδ ), δ > 0, 0 < s < 1, x → 0, (25) thì phương trình Schroder có duy nhất một nghiệm ϕ(x) thuộc lớp C1 và tăng nghiêm ngặt trên [0, a) và thỏa mãn ϕ 0 (0) = 1. Nghiệm này được cho bởi công thức (24). Điều kiện (25) không thừa. Nêú nó không được đáp ứng thì (20) có thể ngẫu nhiên có vô số nghiệm thuộc lớp C1 trên [0, a) (các nghiệm này có thể được xác định tùy ý trong khoảng nhất định) hoặc không ngoại trừ cho một ϕ(x) ≡ 0 tầm
11 thường. Phương trình Schroder cho các hàm nhiều biến và biến tổng quát được nghiên cứu bởi N. Pastides, P. Montel, M. Kuczma, M. Urabe. Phương trình Abel (21) có lẽ ít tổng quát hơn (20). R. Tamb, Lyche đã chứng minh rằng (21) có một nghiệm trong tập hợp E khi và chỉ khi f k (x) 6= x với k = 1, 2, 3, . . . và x ∈ E. (27) Nếu (27) được thoả mãn trong một khoảng E, thì phương trình Abel có vô số nghiệm trong E (chúng có thể được xác định tùy ý trong khoảng nhất định) có độ chính quy như f (x). Do đó để có được nghiệm duy nhất người ta phải thay vì giả sử điều kiện giải tích tại một điểm cố định của f (x), đưa ra một số giả thiết liên quan đến dáng điệu tiệm cận của ϕ(x). Vì vậy G. Szekeres đã chứng minh rằng có một hàm duy nhất ϕ0 (x), được chuẩn hóa đáp ứng ϕ0 (1) = 0, thỏa mãn phương trình ϕ0 (ex − 1) = ϕ0 (x) + 1, x > 0, (28) và điều kiện (k) (−1)k+1 ϕ0 (x) > 0 với k = 1, 2, . . . và x > 0 (29) (k) (nói cách khác, ϕ0 (x) hoàn toàn đơn điệu; Ở đây ϕ0 (x) ký hiệu đạo hàm cấp k của ϕ00 (x)). Ông ấy cũng chỉ ra rằng với mọi L-hàm f (x), đều tồn tại một nghiệm ϕ(x) của phương trình (21) duy nhất cho sai khác hằng số cộng, sao cho ϕ 0 (x) → const khi x → ∞. (30) ϕ00 (x)
12 2.2 Phương trình hàm liên quan đến phép lặp 2.2.1 Định nghĩa Họ một tham số các hàm f u (x) xác định trong lân cận của x = 0 được gọi là một nhóm lặp của hàm f (x) = f 1 (x) nếu điều kiện f u [ f v (x)] = f u+v (x) (31) đúng với mọi cặp số nguyên u, v ∈ (−∞; +∞) trong một lân cận thích hợp của 0. (31) là phương trình với dịch chuyển, do đó f u (x) = ϕ −1 [ϕ(x) + u], (32) trong đó ϕ là một nghiệm khả nghịch của phương trình Abel (21). Cách khác, f u (x) có thể được định nghĩa là f u (x) = ϕ −1 (su ϕ(x)), (33) trong đó ϕ(x) là một nghiệm khả nghịch của phương trình Schroder (20). Do các nghiệm khả nghịch của phương trình (20), (21) không phải là duy nhất nên nhóm lặp của một hàm cũng không duy nhất. Một nghiên cứu chi tiết về câu hỏi này trong trường hợp thực có thể xem trong Michel. Nếu f 0 (0) = s, 0 < s < 1 thì một nhóm lặp f u (x) của f (x) được gọi là chính quy bất cứ khi nào f u (x) lim = su với ∀ u. x→0 x Nhóm lặp chính quy, nếu tồn tại, là duy nhất. Thực vậy, nếu (33) xác định một nhóm lặp chính quy của f (x) thì ϕ(x) phải là nghiệm chính quy của phương trình Schroder. Điều ngược lại không đúng, vì nghiệm chính của phương trình (20) không cần phải khả nghịch. Nhưng nếu ϕ(x) là một một nghiệm chính khả
13 nghịch của phương trình (20) thì nhóm lặp xác định bởi (33) là chính quy. Do đó điều kiện (25) hoặc tính lồi hay tính lõm của hàm f (x) là điều kiện đủ cho sự tồn tại của nhóm lặp chính quy của f (x). Các khái niệm tương tự cũng có thể được định nghĩa nếu f 0 (0) = 0 hoặc f 0 (0) = 1. Đôi khi để thuận tiện có thể xem các nhóm lặp của một hàm trong một lân cận của vô cực; Khi đó quan hệ (31) được quy định cho x đủ lớn. Nếu f (x) = ϕ0−1 [g(ϕ0 (x))] trong đó ϕ0 là nghiệm của phương trình (28) thoả mãn w(x) (29) và g(x) = x + w(x), lim = 0 thì nhóm lặp f u (x) = ϕ0−1 [gu (ϕ0 (x))] x→∞ x của f (x), trong đó gu (x) = x + wu (x) là một nhóm lặp của g(x) được gọi là wu (x) chính quy bất cứ khi nào lim = u. Bây giờ, nếu phương trình (21) có x→∞ w(x) một nghiệm ϕ(x) thoả mãn (30) thì f (x) có duy nhất một nhóm lặp chính quy, được đưa ra bởi (32). Đặc biệt, mọi L- hàm sở hữu một nhóm lặp chính quy. Nếu f (x) là giải tích trong một lân cận của gốc f (x) = a1 x + a2 x2 + . . . , thì các hệ số của khai triển của f u (x) f u (x) = bu1 x + bu2 x2 + . . . (34) có thể dễ dàng tính toán. Điều này đã biết từ lâu, ngay từ thời J. G. Tralles 1814 và C. G. Jacobi 1825. Tuy nhiên, sự hội tụ của chuỗi (34) là một vấn đề tế nhị. Nếu 0 < |a1 | < 1 thì chuỗi (34) hội tụ và cung cấp một nhóm lặp của f (x) giải tích trong x và u. Trường hợp a1 = 1 đã được nghiên cứu bởi G. Szekeres, P. Erdos- Jabotinsky, B. Mucken-houpt và I. N. Baker. N. Baker đã chứng minh rằng tập hợp các u với chuỗi (34) có bán kính hội tụ dương có thể bao gồm toàn bộ mặt phẳng phức, hoặc một lưới hai chiều các điểm. Trong trường hợp đặc
14 biệt, với f (x) = ex − 1 chuỗi (34) có bán kính hội tụ dương khi và chỉ khi u là một số nguyên. Phép lặp bởi các cấp phức u đã được nghiên cứu bởi H. Topfer. M. A. Mckiernan đã chứng minh rằng các đường cong cho trên mặt phẳng phức bởi z = f u (z0 ), u ∈ (−∞; +∞), cho nghiệm của bài toán biến phân. Liên quan chặt chẽ đến lý thuyết lặp là lý thuyết các hàm giao hoán được. Hàm f (x) và ϕ(x) được gọi là giao hoán được nếu ϕ[ f (x)] = f [ϕ(x)]. (35) Nếu f (x) là đã cho, (35) là trường hợp đặc biệt của phương trình ϕ[ f (x)] = g(x, ϕ(x)) (36) , Chúng ta kết thúc phần này bằng một vấn đề sau: Giả sử rằng f1 (x) và f2 (x) là các ánh xạ liên tục, giao hoán của [0, 1] vào chính nó. Chúng có điểm bất động hay không, nghĩa là tồn tại hay không x0 ∈ [0, 1], thỏa mãn f1 (x0 ) = f2 (x0 ) = x0 ? Mặc dù thoạt nhìn có vẻ đơn giản, vấn đề này hóa ra rất khó khăn, và vẫn chưa được giải quyết trừ một số trường hợp đặc biệt. 2.2.2 Các trường hợp cụ thể khác thuộc kiểu [1, 1, 0] Bài toán Goursat cho phương trình vi phân ∂ 2z = G(x, y) (37) ∂ x∂ y
15 dẫn đến phương trình hàm ϕ[ f (x)] − ϕ(x) = F(x) (38) Các định lý liên quan đến sự tồn tại và duy nhất của một nghiệm của phương trình Goursat (37) suy ra trực tiếp từ các định lý tương ứng cho phương trình (38). Bài toán Goursat đối với phương trình vi phân phức tạp hơn (37) dẫn đến phương trình hàm bậc cao hơn. Phương trình 1 ϕ(2x) = [ϕ(x) + x] 2 tìm thấy một ứng dụng trong tĩnh học. N. Gersevano chỉ ra một số ví dụ cụ thể mà phương trình (36) có thể được sử dụng trong cơ học thuỷ khí. Phương trình ϕ(x2 ) + ϕ(x) = x đã được H. Stenhaus sử dụng trong các nghiên cứu về sự hội tụ của các chuỗi nhất định. P. J. Myrberg đã nghiên cứu phương trình phi tuyến ϕ(kx) = [ϕ(x)]2 + p. trong mặt phẳng phức. Phương trình ϕ(x2 ) + [ϕ(x)]2 + 2x = 0 xuất hiện trong mối liên quan với một bài toán về tổ hợp trong đại số không kết hợp. Phương trình tương tự ϕ(x2 ) − [ϕ(x)]2 = h(x) đã được giải quyết bởi I. N. Baker và J. Lambek - L. Moser trong mối liên quan với một vấn đề về lý thuyết số.
16 2.2.3 Nghiệm đơn điệu và lồi Hàm Euler Γ(x) thỏa mãn phương trình hàm Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0, (41) và điều kiện Γ(1) = 1. (42) Nhưng phương trình (41) cũng sở hữu các nghiệm khác thỏa mãn điều kiện (42). Do đó để mô tả hàm Euler nhờ các quan hệ (41) và (42) người ta phải đặt thêm điều kiện. Vào năm 1931 E. Artin đã chứng minh rằng, hàm Euler là hàm lồi logarit duy nhất thỏa mãn phương trình (41) và điều kiện (42). Ngoài ra, chúng ta có thể mô tả hàm Euler như là nghiệm duy nhất của phương trình (41) và (42) x x 2π 1/2 tiệm cận đến , cũng tương tự điều kiện Anastassiadis. Cũng trong e x miền phức hàm Γ(x) có thể được định nghĩa bởi (41), (42) và một số điều kiện bổ sung. Một số hàm liên quan đến Γ(x) cũng có thể được đặc trưng bởi các phương trình hàm và điều kiện lồi hoặc đơn điệu. J. Anastassiadis đã chứng minh rằng, trong định lý ở trên, điều kiện lồi có thể được thay thế bằng các điều kiện yếu hơn như nửa lồi hoặc nửa đơn điệu. Ông ấy cũng chứng minh rằng nghiệm duy nhất lồi hoặc đơn điệu của phương trình 1 Φ(x + 1) = Φ(x), x > 0, x+y 1 (y- một tham số cố định) thỏa mãn điều kiện Φ(1) = là hàm y Γ(x)Γ(y) Φ(x) = B(x, y) = . Γ(x + y)
17 2.2.4 Phương trình bậc cao Lý thuyết về phương trình hàm bậc cao hơn (hạng 1 và chỉ số kéo theo bằng 0) không được phát triển như lý thuyết các phương trình (36). Phương trình như vậy có dạng F(x, ϕ(x), ϕ[ f1 (x)], . . . , ϕ[ fn (x)] = 0). (47) Một cách tìm nghiệm tổng quát của phương trình (47) đã được chỉ ra bởi S. B. Presic. Một số định lý liên quan đến phương trình (47) tương tự như các định lý về các nghiệm liên tục của phương trình (36) đã được chứng minh bởi M. Bajraktare- vic, B. Choczewski, J. Kordylewski, J. Kordylewski- M. Kuczma, G. Majcher. Trường hợp cụ thể trong đó f( x) = f k (x) là các phép lặp của hàm f (x) và hàm F(x, y0 , . . . , yn ) là tuyến tính theo với y0 , . . . , yn thường được xem xét. Phương trình (47) có dạng ϕ[ f n (x)] + A1 (x)ϕ[ f n−1 (x)] + . . . + An (x)ϕ(x) = B(x). (52) Phương trình dạng (52) đã được nghiên cứu bởi C. Popovici, M. Ghermănescu, J. Kordylewski - M. Kuczma, M. Bajraktarevic, G. Majcher, D. S. Mitrinovic. Các trường hợp cụ thể khác của phương trình (47) trong đó ϕ là một hàm bậc cao đã được nghiên cứu bởi M. Ghermănescu, D. S. Mitrinovic - D. Z. Đokovic, D.S. Mitrinovic- P.M. Vasic, M. Kuczma. 2.2.5 Sai phân hữu hạn Một lớp lớn các phương trình dạng (47) đặc biệt thông dụng. Chúng ta đang nói đến các phương trình sai phân. Đây là những phương trình có dạng (47)
18 trong đó fk (x) = x + kh, ở đây h > 0 là một hằng số. Phương trình sai phân tìm thấy nhiều ứng dụng trong các vấn đề về nghiệm gần đúng của một phương trình vi phân riêng. Lý thuyết này cũng tìm thấy rất nhiều ứng dụng trực tiếp trong vật lý cũng như các lĩnh vực khác của khoa học. Lý thuyết về phương trình sai phân ngày nay phát triển mạnh và đã nhiều lần được trình bày trong sách. Chúng ta sẽ không thể trình bày ở đây, thậm chí là trình bày sơ lược. Các độc giả quan tâm có thể tìm đến các tác phẩm cổ điển của Norlund hoặc các chuyên khảo hiện đại như Goldberg hoặc Levy-Lessman. Tuy nhiên, ta đề cập ở đây một lớp phương trình sai phân cụ thể. Các định lý liên quan đến hội tụ của một dãy xác định bởi công thức truy hồi av+n = G(av , av+1 , . . . , av+n−1 ) (55) có thể được suy ra từ các tính chất giới hạn của các nghiệm của phương trình hàm ϕ(x + n) = G(ϕ(x), ϕ(x + 1), . . . , ϕ(x + n − 1)). Trong trường hợp hàm G là tuyến tính, một nghiên cứu chi tiết về sự phụ thuộc của sự hội tụ của một dãy av xác định bởi quan hệ (55) vào cách chọn các số hạng đầu a0 , . . . , an−1 đã được đưa ra bởi M. Kucharzewski - M. Kuczma. Một sự thú vị là từ các tính chất của chuỗi truy hồi có thể có được một số định lý về nghiệm của phương trình đại số. 2.2.6 Các phương trình lặp Chỉ có một số ít kiểu phương trình hàm với chỉ số kéo theo dương được nghiên cứu rộng rãi. Có lẽ quan trọng nhất là phương trình Babbage (xem [4]) ϕ n (x) = x (56)