Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chia hết của đa thức và ứng dụng

Chia sẻ: Huyen Nguyen My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày cơ sở lý thuyết và những áp dụng của tính chia hết các đa thức một biến và đa thức đối xứng. Khác biệt căn bản so với các luận văn khác về lĩnh vực đa thức được thể hiện qua vấn đề được đặc biệt quan tâm là tính chia hết của đa thức, qua số lượng, dạng các bài toán và độ khó của các bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chia hết của đa thức và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ĐỖ THỊ THU HÀ TÍNH CHIA HẾT CỦA ĐA THỨC VÀ ỨNG DỤNG TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 HÀ NỘI, 2018
Công trình được hoàn thành tại: Trường đại học Thăng Long NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN NGỌC Phản biện 1: TS. Nguyễn Việt Hải Phản biện 2: PGS.TS. Đỗ Văn Lưu Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn tại: Trường đại học Thăng Long Vào hồi 09 giờ 30 ngày 28 tháng 12 năm 2018
Mở đầu Đa thức có vị trí quan trọng trong Toán học, đặc biệt là đối với Toán học ở bậc phổ thông. Trong chương trình phổ thông, chúng ta đã làm quen với khái niệm đa thức từ bậc trung học cơ sở, từ những phép cộng, trừ, nhân đa thức đến phân tích đa thức ra thừa số (nhân tử), sơ đồ Horner về chia đa thức, giải các phương trình đại số, ... Trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, các kỳ thi Olympic Toán, các bài toán liên quan đến đa thức thường xuyên được đề cập và xem như những bài toán khó, luôn hấp dẫn những người yêu toán. Vì vậy mà hiện nay đã có một số lượng lớn các tài liệu chuyên khảo hay luận văn về lĩnh vực này. Trong lý thuyết đa thức thì tính chia hết của đa thức đóng vai trò quan trọng và có thể coi là sự mở rộng tự nhiên tính chia hết của các số nguyên trong Số học. Từ đây hình thành các vấn đề quan trọng, như phân tích đa thức thành nhân tử, giải các phương trình đạị số, tính bất khả quy của các đa thức,... Luận văn này trình bày cơ sở lý thuyết và những áp dụng của tính chia hết các đa thức một biến và đa thức đối xứng. Khác biệt căn bản so với các luận văn khác về lĩnh vực đa thức được thể hiện qua vấn đề được đặc biệt quan tâm là tính chia hết của đa thức, qua số lượng, dạng các bài toán và độ khó của các bài toán được trình bày trong luận văn. Bản luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung, Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Đa thức một biến, trình bày các kiến thức cơ bản và một số dạng toán về đa thức một biến, phép chia hết và phép chia có dư của đa thức, nghiệm của đa thức, đa thức với hệ số nguyên và đa thức bất khả quy. Chương 2: Đa thức đối xứng, trình bày cơ sở lý thuyết của đa thức đối xứng, các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và tính chia hết của đa thức đối xứng hai biến và ba biến. Luận văn được hoàn thành dưới sự giúp đỡ của Thầy: TS. Nguyễn Văn Ngọc. Dù tác giả đã rất cố gắng nhưng không thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được những ý kiến góp ý quý báu của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, Tháng 10, Năm 2018 1
Tác giả ĐỖ THỊ THU HÀ 2
Chương 1 Đa thức một biến Chương này trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của đa thức một biến thực. Những vấn đề được đặc biệt quan tâm trong Chương này là tính chia hết và tính khả quy của và nghiệm của các đa thức. Nội dung cơ bản của chương này được hình thành chủ yếu từ các tài liệu [1], [3], [4] và [5]. 1.1 Đại cương về đa thức một biến 1.1.1 Các khái niệm cơ bản • Đa thức là biểu thức của biến số x có dạng f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 (1.1) trong đó ai (i = 1, 2, .., n) được gọi là các hệ số. Bậc của đa thức f(x) là số mũ cao nhất của lũy thừa có mặt trong (1.1) và được ký hiệu là deg(f ). Khi đó nếu trong (1.1) an 6= 0 thì deg(f ) = n và an được gọi là hệ số chính, còn a0 được gọi là số hạng tự do. • Nếu các hệ số của đa thức f (x) dạng (1.1) là các số nguyên, số hữu tỷ, số thực hay số phức, thì ta nói f (x) là đa thức tương ứng thuộc trường số nguyên, trường số hữu tỷ, trường số thực hay trường số phức và tương ứng viết f (x) ∈ Z[x], f (x) ∈ Q[x], f (x) ∈ R[x], f (x) ∈ C[x]. Nếu không cần nói rõ đa thức f (x) thuộc tập hợp nào trong các tập hợp nói trên, chúng ta sẽ viết f (x) ∈ K[x]. Xm Xn k • Hai đa thức P (x) = ak x , Q(x) = bk xk được gọi là bằng nhau k=0 k=0 khi và chỉ khi n = m, ak = bk , ∀k = 0, 1, ..., m. • Số α là nghiệm của đa thức Pn (x), nếu Pn (α) = 0. • Đa thức mà tất cả các hệ số của nó bằng không được gọi là đa thức không. • Đa thức bậc không còn được gọi là đa thức hằng. 3
1.1.2 Các phép toán trên đa thức • Phép cộng, trừ đa thức m X n X k Cho hai đa thức P (x) = ak x , Q(x) = bk xk . k=0 k=0 Khi đó phép cộng và trừ các đa thức P (x), Q(x) được thực hiện theo từng hệ số của xk , tức là max(m,n) X P (x) ± Q(x) = (ak ± bk )xk . k=0 • Phép nhân đa thức m X n X k Cho hai đa thức P (x) = ak x , Q(x) = bk xk . k=0 k=0 Khi đó phép nhân đa thức P (x).Q(x) là một đa thức m+n X k X k R(x) = rk x , rk = ai bk−i . k=0 i=0 1.2 Phép chia hết các đa thức 1.2.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1. Cho hai đa thức P (x) và Q(x). . Ta nói rằng đa thức P(x) chia hết cho đa thức Q(x) và viết P (x)..Q(x), nếu tồn tại đa thức S(x), sao cho P (x) = S(x)Q(x). Trong trường hợp này ta cũng nói đa thức Q(x) chia hết đa thức P (x) và là ước của P (x), còn đa thức P (x) là bội của đa thức Q(x). Định nghĩa 1.2. Cho các đa thức P (x), Q(x) và S(x). Nếu P (x) = S(x)Q(x), thì ta nói đa thức P (x) phân tích được thành nhân tử (thành tích) của các đa thức Q(x) và S(x). 1.2.2 Định lý Bezout và các hệ quả Định lý 1.1. ( Định lý Bezout). Đa thức P (x) chia hết cho x − a khi và chỉ khi số a là nghiệm của đa thức P (x). Hệ quả 1.1. Mọi đa thức bậc n có không quá n nghiệm. Từ Hệ quả 1.1 ta suy ra Hệ quả 1.2. Đa thức có vô số nghiệm chỉ là đa thức không. Hệ quả 1.3. Hai đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n nhận giá trị tại n + 1 giá trị khác nhau của đối số, đôi một tương ứng bằng nhau thì đồng nhất bằng nhau. 4
Bài toán 1.1. Tìm a và b sao cho đa thức x10 + ax2 + bx + 1 chia hết cho x2 − 1. Lời giải. Giả sử x10 + ax2 + bx + 1 chia hết cho x2 − 1. Vì x2 − 1 có hai nghiệm là x1 = 1 và x2 = −1 nên theo định lý Bezout x = ±1 cũng là nghiệm của x10 + ax2 + bx + 1. Do đó: a+b+2=0 a−b+2=0 Giải hệ trên ta được a = −2, b = 0. Như vậy đa thức x10 − 2x2 + 1 chia hết cho x2 − 1. Bài toán 1.2. (University of Toronto Math. Competition 2010). Giả sử f (x) là một đa thức bậc hai. Chứng minh tồn tại các đa thức bậc hai g(x) và h(x), sao cho f (x).f (x + 1) = g(h(x)). Lời giải. Ta có đa thức bậc hai f (x) = ax2 + bx + c, a 6= 0. Giả sử r, s là các nghiệm của f (x)(nói chung là nghiệm phức). Khi đó ta có nhân tử f (x) = a(x − r)(x − s). Do đó f (x)f (x + 1) = [a(x − r)(x − s)].[a(x + 1 − r)(x + 1 − s)] = a2 (x − r)(x − s + 1).(x − s)(x − r + 1) = a2 ([x2 − (r + s − 1)x + rs] − r)([x2 − (r + s − 1)x + rs] − s). Biểu thức cuối cùng có dạng g(h(x)), trong đó g(x) = a2 (x − r)(x − s) = af (x), h(x) = x2 − (r + s − 1)x + rs. 1.3 Phép chia đa thức có dư 1.3.1 Cơ sở lý thuyết Định lý 1.2. Với hai đa thức P và Q 6= 0, tồn tại duy nhất các đa thức S và R, sao cho P = QS + R và deg R < deg Q. (1.2) Định nghĩa 1.3. Trong công thức (1.2), các đa thức P, Q, S và R tương ứng được gọi là đa thức bị chia, đa thức chia, đa thức thương và đa thức dư. Nhận xét 1.1. Nếu trong công thức (1.2) đa thức dư R = 0, thì đa thức P chia hết cho đa thức Q, tức là P = SQ. Định lý 1.3. (Định lý Bezout). Số dư trong phép chia đa thức f (x) cho x − a bằng f (a), nghĩa là f (x) = (x − a)p(x) + f (a). 5
Định lý 1.4. (Lược đồ Horner: Tìm đa thức thương). Nếu P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 và Q(x) = x − a, thì các hệ số của đa thức thương S(x) = bn−1 xn−1 + bn−2 xn−2 + ... + b1 x + b0 và số dư r trong phép chia P (x) cho Q(x) được tính theo sơ đồ: bn−1 = an , bn−2 = an−1 + abn−1 , · · · , b0 = a1 + ab1 , r = a0 + ab0 . Chú ý 1.1. (Tìm đa thức dư). Định lý Bezout là cơ sở để tìm đa thức dư trong công thức (1.2). Giả sử trong biểu thức P = SQ + R, deg Q = m. Khi đó deg(R) < m nên R(x) có dạng: R(x) = bm−1 xm−1 + bm−2 xm−2 + ... + b1 x + b0 . Ở đây không nhất thiết bm−1 6= 0. Xét các trường hợp sau của đa thức chia Q(x). 1) Trường hợp Q(x) có m nghiệm thực phân biệt. Giả sử x1 , x2 , ...., xm là m nghiệm thực phân biệt của Q(x). Thay các giá trị này của x vào (1.2), ta có: bm−1 x1m−1 + bm−2 xm−2    1 + ... + b1 x1 + b0 = P (x1 ), m−1 m−2 bm−1 x2 + bm−2 x2 + ... + b1 x2 + b0 = P (x2 ),    ........................................................, m−1 bm−1 xm + bm−2 xm−2 + ... + b1 xm + b0 = P (xm ).  m Giải hệ phương trình này ta tìm được b0 , b1 , ..., bm−1 và do đó tìm được R(x). 2) Trường hợp Q(x) có nghiệm bội. Để đơn giản, giả sử x=a là nghiệm bội cấp k(k ≤ m) của đa thức Q(x). Trước hết ta có R(a)=P(a). Lấy đạo hàm liên tục từ cấp 1 đến cấp k-1 của hai vế của (1.2) và mỗi lần lấy đạo hàm lại thay x=a vào hai vế, ta thu được hệ sau đây:   r(a) = f (a)  r0 (a) = f 0 (a)    r00 (a) = f 00 (a)     ..........  (−1) r (a) = f k−1 (a). Giải hệ này ta tìm được các hệ số của R(x). Ví dụ 1.1. Tìm dư của phép chia (x100 − x50 + 2x25 − 4) : (x2 − 1). Lời giải. Đa thức chia x2 − 1 có hai nghiệm x1 = 1, x2 = −1. Gọi ax+b là đa thức dư. 6
Thay x=1 và x=-1 vào đa thức bị chia ta có các giá trị -2 và -6, do đó ta có hệ: a + b = −2, −a + b = −6. Giải hệ trên ta được a=2, b=-4. Vậy đa thức dư là R(x)=2x-4. 1.4 Đa thức đồng dư 1.4.1 Cơ sở lý thuyết Định nghĩa 1.4. Cho h(x) là đa thức khác đa thức không. Ta nói rằng các đa thức P(x) và Q(x) là đồng dư theo mô đun đa thức . h(x), nếu P (x) − Q(x)..h(x) và ký hiệu P (x) ≡ Q(x)(mod h(x)). Định lý 1.5. Cho h(x) là đa thức khác đa thức không. Nếu P(x) và Q(x) là hai đa thức thì P (x) ≡ Q(x)(mod h(x)) khi và chỉ khi P(x) và Q(x) cho cùng một đa thức dư khi chia cho h(x). Từ định nghĩa đồng dư của hai đa thức suy ra các tính chất sau đây: Định lý 1.6. Cho h(x)là đa thức khác đa thức không. Khi đó 1. Với mọi đa thức P(x), thì P (x) ≡ P (x)(mod h(x)). 2. Nếu P (x) ≡ P (x)(mod h(x)) thì Q(x) ≡ P (x)(mod h(x)). 3. Cho các đa thức Pi (x), Qi (x), mi (x), i = 1, 2, ..., n. Nếu Pi (x) ≡ Qi (x)(mod h(x)), i=1, 2, ..., n thì n X n X mi (x)Pi (x) ≡ mi (x)Qi (x)(mod h(x)). i=1 i=1 4. Cho các đa thức Pi (x), Qi (x), i = 1, 2, ..., n. Nếu Pi (x) ≡ Qi (x)(mod h(x)), i=1, 2, ..., n thì P1 (x).P2 (x)...Pn (x) ≡ Q1 (x).Q2 (x)...Qn (x)(mod h(x)). 5. Nếu P (x) ≡ Q(x)(mod h(x)) thì với mọi số tự nhiên n: P m (x) ≡ Qm (x)(mod h(x)). Bài toán 1.3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, m,n thì x3m + x3n+1 + x3k+2 chia hết cho h(x) = x2 + x + 1. Lời giải. Từ đẳng thức x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1) suy ra x3 ≡ 1(mod h(x)). 7
Áp dụng các tính chất của đồng dư trong định lý 1.6 ta có: x3m = (x3 )m ≡ 1m ≡ 1(mod h(x)), x3n+1 = x3n x ≡ 1n .x ≡ x(mod h(x)), x3k+2 = (x3 )k .x2 ≡ 1k .x2 ≡ x2 (mod h(x)). Suy ra x3m + x3m+1 + x3k+2 ≡ 1 + x + x2 = h(x) ≡ 0(mod h(x)), tức là: x3m + x3n+1 + x3k+2 chia hết cho 1 + x + x2 . 1.5 Nghiệm của đa thức Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số. Chúng ta cần khái niệm về nghiệm bội của một đa thức. Định nghĩa 1.5. Ta nói số α là nghiệm cấp k của đa thức bậc n, Pn (x), nếu tồn tại một đa thức Q(x), sao cho Pn (x) = (x − α)k Q(x), Q(α) 6= 0. • Khi k = 1, k = 2 ta gọi a tương ứng là nghiệm đơn, nghiệm kép của Pn (x). • Khi k ≥ 2 ta nói α là nghiệm bội của Pn (x). Một trong những định lý quan trọng về nghiệm của đa thức là định lý Rolle nổi tiếng được phát biểu như sau Định lý 1.7. (Định lý Rolle). Giả sử hàm số f : [a, b] → R liên tục và khả vi trong khảng (a, b). Ngoài ra, f (a) = f (b). Khi đó tồn tại c ∈ (a, b), sao cho f 0 (c) = 0. Định lý 1.8. Nếu α là nghiệm cấp k của đa thức Pn (x) thì α là nghiệm cấp k-1 của đa thức đạo hàm Pn0 (x). Định lý 1.9. Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 , trong đó an 6= 0, ai là các số nguyên. Nếu p và q là các số nguyên và là nguyên tố cùng nhau, sao cho f (p/q) = 0, thì q là ước của an , còn p là ước của a0 . Định lý 1.10. Giả sử f (x) = an xn +an−1 xn−1 +...+a0 , trong đó an 6= 0, và ai (i = 0, 1, ..., n) là các số nguyên. Nếu a0 , an , f (1) là các số lẻ thì f không có nghiệm hữu tỷ. Định lý 1.11. Cho đa thức f (x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 , trong đó an 6= 0 và ai là các số nguyên. Giả sử f (a) 6= 0, a ∈ Z. Nếu p và q là các số nguyên tố cùng nhau, sao cho f (p/q) = 0 thì (p − aq) chia hết f (a). 8
1.6 Đa thức nguyên Nội dung của mục này chủ yếu được hình thành từ tài liệu [3] và [5]. 1.6.1 Cơ sở lý thuyết Định nghĩa 1.6. Đa thức với các hệ số nguyên được gọi là đa thức nguyên. Xét đa thức P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 với các hệ số nguyên. Khi đó, hiệu P (x) − P (y) có thể được viết dưới dạng P (x) − P (y) = an (xn − y n ) + · · · + a2 (x2 − y 2 ) + a1 (x − y), theo đó tất cả các số hạng của tổng là bội của đa thức x − y. Điều này dẫn tới một tính chất số học đơn giản nhưng quan trọng sau của đa thức trong Z[x] sau đây. Định lý 1.12. Nếu P là đa thức với hệ số nguyên, thì P (a) − P (b) chia hết cho a − b với mọi a, b nguyên và khác nhau. Hệ quả 1.4. Tất cả các nghiệm nguyên của đa thức P (x) đều là ước của P (0). Định lý 1.13. Nếu số hữu tỷ p/q(p, q ∈ Z, q 6= 0, (p, q) = 1), là nghiệm của đa thức P (x) = an xn + an−1 xn−1 + ...a1 x + a0 với các hệ số nguyên, thì p|a0 và q|an . Định lý 1.14. Nếu giá trị của đa thức P (x) là nguyên đối với mọi số nguyên x, thì tồn tại các số nguyên c0 , c1 , ..., cn sao cho: P (x) = cn Cxn + cn−1 Cxn−1 + ... + c0 Cx0 , trong đó x! Cxk = . k!(x − k)! Chú ý rằng đa thức mà có giá trị nguyên tại tất cả các điểm nguyên x(x − 1) không nhất thiết là đa thức hệ số nguyên, ví dụ như đa thức . 2 1.7 Đa thức bất khả quy Nội dung của mục này chủ yếu được hình thành từ tài liệu [3] và [5]. 1.7.1 Cơ sở lý thuyết Đa thức P (x) với hệ số nguyên được gọi là bất khả quy trên Z[x] nếu nó không thể biểu diễn thành tích của hai đa thức khác hằng với hệ số nguyên. 9
Một cách tương tự ta có thể định nghĩa tính bất khả quy (khả quy) của đa thức với hệ số hữu tỷ, thực hoặc phức. Tuy nhiên, ta chỉ quan tâm tới tính bất khả quy trên Z[x]. Bổ đề Gauss bên dưới phát biểu rằng tính khả quy trên Q[x] là tương đương với tính khả quy trên Z[x]. Ngoài ra, ta đã chỉ ra rằng đa thức thực luôn luôn phân tích được thành tích của các đa thức tuyến tính và đa thức bậc hai trên R[x], trong khi đa thức phức luôn luôn phân tích thành các nhân tử tuyến tính trên C[x]. Định lý 1.15. (Bổ đề Gauss). Nếu đa thức P (x) với hệ số nguyên là bất khả quy trên Q[x], thì nó là bất khả quy trên Z[x]. Từ bây giờ, trừ khi nói rõ, tính bất khả quy được hiểu là tính bất khả quy trên Z[x]. Định lý 1.16 (Tiêu chuẩn Eisenstein). Cho P (x) = an xn +· · ·+a1 x+a0 là đa thức hệ số nguyên. Nếu tồn tại một số nguyên tố p và số nguyên k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} sao cho: p | a0 , a1 , ..., ak , p - ak+1 và p2 - a0 , thì P (x) có nhân tử bất khả quy bậc lớn hơn k. Đặc biệt, nếu p được cho sao cho k = n − 1 thì P (x) là bất khả quy. Định lý 1.17. Giả sử f là đa thức trên một trường nào đó (trường các số hữu tỷ chẳng hạn). Khi đó f là bất khả quy khi và chỉ khi g(x) = f (ax + b), a 6= 0 là bất khả quy. Nếu f là đa thức nguyên, thì f là bất khả quy khi và chỉ khi g(x) = f (x + b) là bất khả quy. Định lý 1.18. [3]. Giả sử
P (x) = an xn + ... + a0 là đa thức phức với
ak
an 6= 0 và M = max0≤k
. an Nếu √an−1 = ... = an−k+1 thì tất cả các nghiệm của P có modul nhỏ hơn k 1 + M. Đặc biệt, nếu k=1, thì mỗi nghiệm của P có modul nhỏ hơn 1 + M. Khi nghiên cứu tính khả quy của một đa thức, đôi khi ta có thể khảo sát nghiệm của nó và trị tuyệt đối của nghiệm. Các bài tập sau là ví dụ minh họa. Bài toán 1.4. Chứng minh rằng đa thức P (x) = xn + 4 bất khả quy trên Z[x] khi và chỉ khi n là bội của 4. Bài toán 1.5. (BMO 1989.2) Nếu an . . . a1 a0 là biểu diễn thập phân của một số nguyên tố và an > 1, chứng minh rằng đa thức P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 bất khả quy. 10
Bài toán 1.6. Cho p > 2 là một số nguyên tố và P (x) = xp − x + p. 1. Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức P có môđun nhỏ hơn 1 p p−1 . 2. Chứng minh rằng đa thức P (x) bất khả quy. Bài toán 1.7. Cho a1 , a2 , ..., an là n số nguyên phân biệt. Chứng minh rằng đa thức P (x) = (x − a1 )2 (x − a2 )2 ...(x − an )2 + 1 là bất khả quy. Bài toán 1.8. Đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện: P(2006)=2006! xP(x-1)=(x-2006)P(x) Chứng minh rằng đa thức f (x) = P 2 (x) + 1 là đa thức bất khả quy trên Z[x]. Bài toán 1.9. Cho đa thức P (x) = xn + 5xn−1 + 3, trong đó n là số nguyên lớn hơn 1. Chứng minh rằng P(x) bất khả quy trên Z[x]. Bài toán 1.10. Giả sử m, n và a là các số tự nhiên, còn p < a − 1 là một số nguyên tố. Chứng minh rằng đa thức f (x) = xm (x − a)n + p là bất khả quy. 11
Chương 2 Đa thức đối xứng Chương này trình bày cơ sở của lý thuyết đa thức đối xứng nhiều biến và một số bài toán điển hình của đa thức đối xứng hai biến và ba biến, như phân tích thành nhân tử, chia hết, hay rút gọn các biểu thức. Nội dung chủ yếu của Chương này được hình thành từ các tài liệu [2] và [6]. 2.1 Cơ sở lý thuyết của đa thức đối xứng Định nghĩa 2.1. Đa thức f (x1 , x2 , ..., xn ) theo các biến x1 , x2 , ..., xn được gọi là đối xứng nếu nó không thay đổi khi đổi chỗ giữa hai biến bất kỳ. Định nghĩa 2.2. Ký hiệu sk = xk1 + xk2 + ... + xkn , k ∈ N, Xn X σ0 = 1, σ1 = xi , σ2 = xi xj , i=1 1≤i