Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Véctơ với hình học sơ cấp

Chia sẻ: Huyen Nguyen My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

53
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn với mục tiêu tìm hiểu không gian véctơ Euclide và mô hình vật lý của nó; phương pháp véc tơ trong hình học sơ cấp. Để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu, mời các bạn cùng tham khảo luận văn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Véctơ với hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------- LÊ THỊ YẾN VÉCTƠ VỚI HÌNH HỌC SƠ CẤP TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 Hà Nội – Năm 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG --------------------------------------- LÊ THỊ YẾN – C00849 VÉCTƠ VỚI HÌNH HỌC SƠ CẤP TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VĂN ĐOÀNH Hà Nội – Năm 2018
LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Thăng Long dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Đoành. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn. Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong trường Đại Học Thăng Long đã giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học Toán khóa V. Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập. Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp cao học toán khóa V Hà Nội đã có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp Hà nội, ngày 25 tháng 12 năm 2018 Tác giả Lê Thị Yến
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 25 tháng 12 năm 2018 Tác giả Lê Thị Yến
MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................................. 1 LỜI NÓI ĐẦU........................................................................................................................... 3 CHƯƠNG 1 ............................................................................................................................... 3 KHÔNG GIAN VÉCTƠ EUCLIDE VÀ MÔ HÌNH VẬT LÝ CỦA NÓ ............................ 3 1. Không gian véc tơ Euclide ............................................................................................... 3 1.1 Định nghĩa không gian véc tơ ..................................................................................... 3 1.1.1 Định nghĩa ............................................................................................................ 3 1.1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ ........................................................ 4 1.2 Cơ sở của không gian véc tơ, cơ sở trục chuẩn ..................................................... 4 1.2.1 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính: .................................................................. 4 1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ ....................................................... 4 1.3 Tích vô hướng, không gian véc tơ Euclid................................................................... 4 1.3.1 Định nghĩa tích vô hướng, không gian véc tơ Euclid ....................................... 4 1.3.2 Độ cao và thể tích ..................................................................................................... 5 2. Mô hình vật lý của không gian Euclide ............................................................................. 6 2.1 Xây dựng mô hình ....................................................................................................... 6 2.2.1 Phép cộng véc tơ .................................................................................................. 6 2.2.2 Phép nhân véc tơ với 1 số .................................................................................... 6 2.2.3 Tích vô hướng hai véc tơ ..................................................................................... 6 2.2 Một số thể hiện cơ bản của các khái niệm hình học nhờ mô hình ........................... 6 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1: ........................................................................................................ 6 CHƯƠNG 2 ............................................................................................................................... 7 PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP ................................................. 7 2.1 Các bài toán chứng minh một đẳng thức véc tơ. ......................................................... 7 2.1.1 Cơ sở lý thuyết........................................................................................................... 7 2.1.2 Các bài toán minh họa ............................................................................................. 8 2.2 Các bài toán chứng minh một hệ thức hình học .......................................................... 9 2.2.1 Cơ sở lý thuyết........................................................................................................... 9 2.2.2 Các bài toán minh họa ............................................................................................. 9 Bài tập tham khảo .......................................................................................................... 10 2.3 Các bài toán tính toán một biểu thức hình học.......................................................... 10 2.3.1 Cơ sở lý thuyết......................................................................................................... 10 2.3.2 Các bài toán minh họa ........................................................................................... 10 Bài tập tham khảo .......................................................................................................... 11 2.4 Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức hình học ................................................ 11 2.4.1 Cơ sở lý thuyết......................................................................................................... 11 2.4.2 Các bài toán minh họa ........................................................................................... 11 Trang 1
2.5 Các bài toán chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc ........................... 11 2.5.1 Cơ sở lý thuyết......................................................................................................... 11 2.5.2 Các bài toán minh họa ........................................................................................... 12 Bài tập tham khảo .......................................................................................................... 13 2.6 Các bài toán về chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng .......................................... 13 2.6.1 Cơ sở lý thuyết......................................................................................................... 13 2.6.2 Các bài toán minh họa ........................................................................................... 13 Bài tập tham khảo .......................................................................................................... 14 2.6 Các bài toán hình học không gian ba chiều ............................................................... 14 2.6.1 Biểu diễn véc tơ theo cơ sở, kỹ thuật chọn gốc...................................................... 14 2.6.2 Chứng minh các bài toán song song, đồng phẳng trong không gian ................. 14 Bài tập tham khảo .......................................................................................................... 15 2.6.3 Chứng minh tính vuông góc trong không gian ..................................................... 15 Bài tập tham khảo .......................................................................................................... 15 2.6.4 Tính các đại lượng góc, khoảng cách, diện tích, thể tích nhờ véc tơ ................... 15 Bài tập tham khảo .......................................................................................................... 16 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2: ...................................................................................................... 16 Tài liệu tham khảo .................................................................................................................. 17 Trang 2
LỜI NÓI ĐẦU CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN VÉCTƠ EUCLIDE VÀ MÔ HÌNH VẬT LÝ CỦA NÓ 1. Không gian véc tơ Euclide 1.1 Định nghĩa không gian véc tơ 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1: Cho là một tập hợp mà các phần tử được ký hiệu là:  ,  ,  ,K là một trường mà các phần tử được ký hiệu là a, b, c, x, y, z, Trên ta có hai phép toán: Phép cộng hai phần tử của X  ( ,  )   Phép nhân một phần tử của với một phần tử của K : Kx  (x,  ) x. Giả sử với mọi  ,  ,   mọi x, y  K các điều kiện sau được thỏa mãn: i. (   )      (   ) ii. Tồn tại vectơ          iii. Với mỗi  có một phần tử  ' sao cho            iv.        v. x.(   )  x.  x. vi. ( x  y)    x.  y. vii. (xy).  x.(y. ) viii. 1.   trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường K Khi đó ta nói rằng là một không gian vectơ trên trường K (hoặc là K - không gian vectơ). Ta cũng nói là không gian tuyến tính trên trường K Trang 3
1.1.2 Một số tính chất của không gian véc tơ 1.2 Cơ sở của không gian véc tơ, cơ sở trục chuẩn 1.2.1 Hệ độc lập và phụ thuộc tuyến tính: Định nghĩa 1.2: Cho m vectơ 1 ,  2 ,,  m của không gian vectơ trên trường K , m  1 i. Hệ vectơ 1 ,  2 ,,  m được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m phần tử không đồng thời bằng 0 sao cho: x11  x 2 2  x m m   ii. Hệ vectơ 1 ,  2 ,,  m được gọi là độc lập tuyến tính nếu nó không phụ thuộc tuyến tính, hay một cách tương đương x11  x 2 2  x m m   kéo theo x1  x 2   x m  0 iii. Tập S  được gọi là độc lập tuyến tính nếu mọi hệ con hữu hạn của S đều độc lập tuyến tính. 1.2.2 Cơ sở và số chiều của không gian véc tơ Định nghĩa 1.3: i. Một hệ véc tơ của được gọi là một hệ sinh của nếu mọi véc tơ của đều biểu thị tuyến tính được qua hệ đó. ii. Một hệ véc tơ của được gọi là một cơ sở của  nếu mọi véc tơ của  đều biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ này. Như vậy, mỗi cơ sở đều có một hệ sinh. Ta hãy nghiên cứu sâu hơn về mối quan hệ giữa hệ sinh, cơ sở và độc lập tuyến tính. Định nghĩa 1.4: Một hệ véc tơ của không gian  được gọi là độc lập tuyến tính cực đại nếu nó độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của vào hệ đó thì hệ mới thu được trở thành phụ thuộc tuyến tính. Định nghĩa 1.5: Không gian véc tơ được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh gồm hữu hạn phần tử. 1.3 Tích vô hướng, không gian véc tơ Euclid 1.3.1 Định nghĩa tích vô hướng, không gian véc tơ Euclid Định nghĩa 1.6: Một không gian véc tơ trên trường số thực được gọi là một không gian Euclid (đọc là Ơ-clít) nếu 2 được trang bị một dạng song tuyến tính đối xứng  ,   : 2  thỏa mẵn điều kiện:  ,    0 với mọi véc tơ   0 Dạng song tuyến tính đối xứng này được gọi là tích vô hướng của Định nghĩa 1.7: Không gian véc tơ thực cùng với một tích vô hướng trên được gọi Trang 4
là một không gian véc tơ Euclid. Định nghĩa 1.8: Chuẩn hay độ dài của một véc tơ   là đại lượng |  |  ,   Nếu |  | 1 thì a được gọi là một véc tơ định chuẩn (véc tơ đơn vị). Có thể dễ dàng thấy chuẩn của một véc tơ có những tính chất cơ bản sau: i. |  | 0  ;|  | 0 khi và chỉ khi   0 ii. | c || c |  |  | c  ;    iii. Véc tơ   là một véc tơ định chuẩn cho mọi véc tơ. Chuẩn của một véc tơ cũng | | thỏa mãn những bất đẳng thức quen thuộc trong hình học. Định nghĩa 1.9: Với mọi véc tơ  ,   0 của ta gọi góc giữa  và  là góc  với 0      ,   sao cho cos   (Khái niệm này phù hợp với khái niệm góc thông thường trong | | |  | hình học). Định nghĩa 1.10: Giả sử S1 và S 2 là hai tập hợp các véc tơ trong Ta gọi S1 trực giao (vuông góc) với S 2 nếu  ,    0 với mọi véc tơ   S1 ,   S2 Do tính đối xứng của tích vô hướng nên nếu  ,  trực giao với nhau thì  ,  cũng trực giao với nhau. Định nghĩa 1.11: i. Hệ véc tơ  e1 ,,ek  của không gian véc tơ Euclid được gọi là một hệ trực giao nếu các véc tơ của hệ đôi một trực giao với nhau, tức là ei ,e j  0i  j ii. Hệ véc tơ  e1 ,,ek  của không gian véc tơ Euclid được gọi là một hệ trực chuẩn nếu nó là hệ trực giao vầ độ dai mỗi véc tơ bằng 1. 1.3.2 Độ cao và thể tích Cho là một không gian Euclid và là một không gian con hữu hạn sinh. Định nghĩa 1.12: Véc tơ chiếu của một véc tơ  lên ' là một véc tơ   ' sao cho    trực giao với ' Khi đó ta gọi véc tơ    là véc tơ độ cao từ  tới ' Định nghĩa 1.13: Cho 1 ,,  m là các véc tơ trong Ma trận:  1 , 1  1 ,  m    G 1 ,,  m       ,  m , m   m 1  Trang 5
Được gọi là ma trận Gram và định thức của ma trận này được gọi là định thức Gram của 1 ,,  m Định nghĩa 1.14: Đại lượng: V 1 ,,  m   G 1 ,,  m  được gọi là thể tích của hình hộp P 1 ,,  m  2. Mô hình vật lý của không gian Euclide 2.1 Xây dựng mô hình 2.2.1 Phép cộng véc tơ 2.2.2 Phép nhân véc tơ với 1 số 2.2.3 Tích vô hướng hai véc tơ 2.2 Một số thể hiện cơ bản của các khái niệm hình học nhờ mô hình KẾT LUẬN CHƯƠNG 1: Trang 6
CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP VÉC TƠ TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 2.1 Các bài toán chứng minh một đẳng thức véc tơ. 2.1.1 Cơ sở lý thuyết Chứng minh một đẳng thức véc tơ thực chất là chứng minh 2 véc tơ bằng nhau. Dựa vào các kiến thức véc tơ, các kỹ thuật cơ bản ta có thể biến đổi như các biến đổi đại số: Biến đổi vế trái thành vế phải, biến đổi vế phải thành vế trái và biến đổi cả 2 vế. Trong nhiều trường hợp để chứng minh đẳng thức véc tơ ta còn sử dụng đến kỹ thuật hình chiếu của véc tơ trên một trục, xem tài liệu [3]. Trên mặt phẳng cho vectơ a  AB và một trục Ox. Gọi A , B lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục Ox. Ta gọi hình chiếu của vectơ a  AB trên trục Ox là độ dài đại số A B , kí hiệu là: A B  f x (a)  f x (AB) Khi chỉ chiếu trên một trục ta viết gọn là: A B  f (AB) Hình 2.2 Hình chiếu của vectơ trên một trục có các tính chất sau: i. f (a) | a |  cos  trong đó a là độ dài đại số của a còn  là góc tạo bởi a và chiều dương của trục Ox. ii. f (a  b)  f (a)  f (b) iii. Với mọi k  thì f (ka)  kf (a) iv. a  b  f x (a)  f x (b) va f x (a)  f x (b) trong đó Ox và O’x là hai trục không song song. Chứng minh các tính chất trên không khó. Ta nêu phép chứng minh (iv). Điều kiện cần: Hiển nhiên do áp dụng tính chất (i). Trang 7
Điều kiện đủ: Đặt a  AB; b  CD giả sử: f x (AB)  A1B1f x (CD)  C1D1 f v (AB)  A2 B2 2f v (CD)  C2 D2 Theo giả thiết: A1B1  C1D1;A2 B2  C2 D2 Gọi E là giao điểm của AA 2 và BB1 , F là giao điểm của CC2 và DD1 Bằng cách xét hai tam giác vuông AEK và CFH bằng nhau ta suy ra EA / /FC EA = FC nên AE  CF Từ đó: AB  AE  EB  CF  FD  CD hay a  b Hình 2.3 2.1.2 Các bài toán minh họa Bài toán 2.1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng: i) HA  HC  2HO ii OA  OB  OC  OH iii) OH  3OG CA m Bài toán 2.2: Cho C là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho  . Chứng minh CB n n m rằng với S là một điểm bất kì ta luôn có: SC  SA  SB (2.1) mn mn Bài toán 2.3: Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A,B,C lần lượt là a,b,c. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với BC, CA, AB tại A1, B1, C1. Chứng minh rằng: a AA1  bBB1  cCC1  0 Trang 8
Bài toán 2.4: Tam giác ABC với các cạnh a=BC,b=CA, c=AB. Gọi H, I lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: i) aIA  bIB  cIC  0 ii) tan A.HA  tan B.HB  tanC.HC  0 iii) Sa .MA  Sb .MB  Sc MC  0 trong đó M là một điểm bất kì nằm trong tam giác; Sa,Sb,Sc theo thứ tự là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB Bài toán 2.5: Cho tam giác ABC có BC=a, CA=b, AB=c. Gọi N,M,K lần lượt là chân các đường phân giác từ A,B,C của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a(b  c) AN  b(c  a) BM  c(a  b)CK  0 Bài toán 2.6: Cho H và O theo thứ tự là trực tâm và tâm đường tròn ngọai tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng: OH  OA  OB  OC Bài toán 2.7: Chứng minh rằng điểm J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi: aJA  bJB  cJC  0 (2.8) Bài toán 2.8: Gọi (O;R) và (J;r) là các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (J;r) với BC, CA, AB. Gọi K là trọng tâm tam giác 3R DEF. Chứng minh rằng: OJ  JK (2.12) r Bài toán 2.9: Giả sử tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi G và O theo thứ tự là trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Đạt S  SABC Gọi n1 , n2 , n3 là các vectơ đơn vị theo thứ tự vuông góc với BC, CA, AB, cùng chiều với các vectơ JE, JF trong bài toán 2.8. Chứng minh rằng: a 3.n1  b3.n 2  c3  n3  12S.GO (2.16) 2.2 Các bài toán chứng minh một hệ thức hình học 2.2.1 Cơ sở lý thuyết Khi gặp dạng toán chứng minh hệ thức chứa các bình phương độ dài đoạn thẳng hoặc tích các độ dài đoạn thẳng, chúng ta có thể chuyển hệ thức trên về dạng chứa bình phương vô hướng của các vectơ tương ứng hay tích độ dài các vectơ. Từ đó sử dụng tích vô hướng để giải các bài toán thuộc dạng trên. 2.2.2 Các bài toán minh họa Bài toán 2.10: (Công thức Leibnitz) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng: MA2  MB2  MC2  3MG 2  3  1 2 a  b2  c2  trong đó: a=BC,b=CA, c=AB. Bài toán 2.11: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi O, I, G lần lượt là Trang 9
tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, trọng tâm của tam giác ABC. Và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC. Chứngminh rằng: i) IG 2  9  1 2 p  5r 2  16Rr  ii) OI2  R 2  2Rr (Công thức Euler) Bài toán 2.12: Cho tam giác ABC, BC=a, CA=b, AB=c. Với điểm M nằm trên cạnh AB, chứng minh rằng: c2 .CM2  a 2 .AM2  b2 .BM2   a 2  b2  c 2   AM .BM Bài tập tham khảo 2.3 Các bài toán tính toán một biểu thức hình học 2.3.1 Cơ sở lý thuyết Dùng véc tơ cho phép giải các bài toán tính toán ở các trường hợp khác nhau. Trong không gian chúng ta còn thấy tác dụng của phương pháp véc tơ trong các bài tính toán, góp phần làm giảm đi tính trừu tượng, tính phức tạp trong tính toán các đại lượng hình học. Kỹ thuật quan trọng ở đây là kỹ thuật chuyển từ “ngôn ngữ hình học thuần túy” sang “ngôn ngữ véc tơ”. 2.3.2 Các bài toán minh họa Bài toán 2.16: Trên các cạnh AC, BC của tam giác ABC lấy lần lượt các điểm E, F sao cho: AE=3EC, FC=2FB. Gọi O là giao của AF và BE. FA i) Tính tỷ số: k  FO ii) Tính diện tích tam giác ABC khi biết diện tích tam giác OBN = m (đvdt). Bài toán 2.17:(Đề thi Olympic Toán quốc tế, 1996) Cho tam giác ABC có BC=a, AB=c, CA=b. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Tính   a.A2  b.IB2  c.IC2 theo a,b,c. Bài toán 2.18:(Đề thi đề nghị Olympic 30-4, Thành phố Hồ Chí Minh, lần 7) Cho lục giác đều A1A2 A3A4 A5A6 có tâm là điểm I. Một hình tròn (O,R) chứa điểm I, các tia IAi (i  1.6) cắt đường tròn (O) tại IAi (i  1.6) .Tính tổng sau theo R:   IB  IB  IB  IB  IB  IB 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 Trang 10
Bài tập tham khảo 2.4 Các bài toán về chứng minh bất đẳng thức hình học 2.4.1 Cơ sở lý thuyết - Sử dụng quy tắc 3 điểm và bất đẳng thức trong tam giác. - Sử dụng các bất đẳng thức dạng véc tơ: + | a | 0,| a | 0  a  0 + | a || b || ab | Dấu bằng xảy ra khi a , b cùng phương + | a  b || a |  | b | . Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng. Tổng quát: a1  a2  an  a1  a2  an Dấu bằng xảy ra khi các véc tơ cùng hướng. + | a  b ||| a |  | b || . Dấu bằng xảy ra khi a.b cùng hướng. 2.4.2 Các bài toán minh họa Bài toán 2.22: Cho tam giác ABC, BC=a. CA=b, AB=c. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất một đểm H trên mặt phẳng thỏa mãn: a.HA2  b.HB2  c.HC2  abc Bài toán 2.23:(Đề thi đề nghị Olympic 30-4, Thành phố Hồ Chí Minh, lần 7) Cho x,y,z là 3 số dương. Chứng minh: x2  y 2  z 2  2 xy  cos C  2 yz cos A  2 zxcos B (2.21) Bài toán 2.24: Cho tam giác ABC, chứng minh rằng: x 2  y 2  z 2  2[ yz cos 2 A  zx cos 2B  xy  cos 2C ] x, y, z  2.5 Các bài toán chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc 2.5.1 Cơ sở lý thuyết a. Chứng minh hai đường thẳng a và b song song Giả sử AB là vectơ chỉ phương của đường thẳnga và CD là vectơ chỉ phương của đường thẳng b. Ta có : a / / b  AB  kCD với k  0 và A  a, A  b Chú ý: Nếu chỉ có điều kiện AB  kCD thì mới chỉ kết luận được a trùng b hoặc a song song với b. b. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc Trang 11
Hai vectơ a và b (khác vectơ - không) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a.b  0 . Từ đó, nếu AB là vectơ chỉ phương của đường thẳng a (có thể chọn A, B  a) và CD là vectơ chỉ phương của đường thẳng b (có thể chọn C, D thuộc b thì: a  b  AB.CD  0 ) Chú ý: Nhờ định lý cosin trong tam giác, biểu thức tích vô hướng của hai vectơ AB và AC có thể viết dưới dạng: AB.AC   AB2  AC2  BC2  1 2 2.5.2 Các bài toán minh họa Bài toán 2.25: Cho tứ giác ABCD. Đường thẳng đi qua đỉnh A, song song với BC cắt BC ở M; đường thẳng đi qua đỉnh B, song song với AD cắt AC ở N. Chứng minh MN / /DC Bài toán 2.26: Trên các cạnh AB, BC,CA của tam giác ABC lấy tương ứng các điểm AC1 BA1 CB1  C1 , A1 , B1 sao cho   k (k  1) Trên các cạnh A1B1 , B1C1.C1A1 của tam C1B A1C B1A AC BA CB giác AiB1C1 theo thứ tự lấy các điểm C2 , A2 , B2 sao cho: 1 2  1 2  1 2  k C2 B1 A 2C1 B2 A1 (k  1) . Chứng minh rằng: A2C2 / /AC;C2B2 / /CB;B2A2 / /BA Bài toán 2.27: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh: AM  BD Bài toán 2.28: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BK vuông góc với AC, gọi M,N lần lượt là trung điểm của AK và CD. i) Chứng minh rằng: BMN  900 ii) Tìm điều kiện của hình chữ nhật để tam giác BMN vuông cân. Bài toán 2.29:(Cuộc thi toán mùa xuân tại Bulgaria 11.2.1996) Gọi điểm D nằm trên cung BC (không chứa điểm A) của đường tròn ngoại tiếp ABC sao cho D  B D  B và D  C Trên hai tia BD, CD ta lấy lần lượt các điểm E và F sao cho BE = AC và CF=AB. Gọi M là trung điểm đoạn thẳng EF. i) Chứng minh rằng BMC BMC là góc vuông. ii) Tìm quỹ tích các điểm M khi D vẽ nên cung BC. Trang 12
Bài tập tham khảo 2.6 Các bài toán về chứng minh tính đồng quy, thẳng hàng 2.6.1 Cơ sở lý thuyết a. Điều kiện để ba điểm A, B, C phân biệt thẳng hàng: - A, B, C phân biệt thẳng hàng  k  : AB  kAC - A, B, C phân biệt thẳng hàng  m, n  , m  n  1 OC  mOA  nOB (với O bất kì) b. Điều kiện để ba đường thẳng đồng quy: - Chuyển về chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng cách xác định giao điểm của hai đường thẳng sau đó chứng minh điểm này thẳng hàng với hai điểm cùng nằm trên một đường thẳng còn lại. - Chứng tỏ tồn tại một điểm thuộc tất cả các đường. 2.6.2 Các bài toán minh họa Bài toán 2.32: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là các điểm chia cạnh AB, BC, CA, theo tỉ số m, n, p. Chứng minh rằng: i) M, N, P thẳng hàng  m.n.p  1(Định lí Menelaus) ii) AN, BP, CM đồng quy hoặc song song  m.n.p  1(Định lí Xeva) Bài toán 2.33: Cho tam giác ABC, các đường thẳng đi qua các đỉnh của tam giác và song song với nhau cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tương ứng tại A1 , B1 , C1 Chứng minh rằng trọng tâm các tam giác ABC1 , BCA1 ,CAB1 thẳng hàng. Bài toán 2.34: Cho tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp đường tròn (O). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng M, N, O thẳng hàng. Bài toán 2.35: Cho tam giác ABC. Xét các điểm M G BC, N G CAvà P G AB sao cho tứ giác APMN là một hình bình hành. Các đường thẳng BN và CP cắt nhau tại O. Chứng minh rằng đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 2.36: Cho lục giác lồi ABCDEF Gọi M, M , N, N , P, P theo thứ tự là trung điểm của các đọan AB, DE, BC, EF,CD, FA Chứng minh rằng MM , NN , PP đồng quy khi và chỉ khi SAEC  SBFD Trang 13
Bài tập tham khảo 2.6 Các bài toán hình học không gian ba chiều 2.6.1 Biểu diễn véc tơ theo cơ sở, kỹ thuật chọn gốc Bài toán 2.6.1: Cho SABC là hình chóp đều đỉnh S, có SA=4. Điểm D  SC mà CD = 3, khoảng cách từ A đến BD bằng 2. Gọi O là tâm ABC Tính độ dài SO ? Bài toán 2.6.2: Cho tứ diện đều ABCD có M là trung điểm của AC, N là tâm mặt BCD, E là trung điểm cạnh AB. Tính góc giữa MN và DE. 2.6.2 Chứng minh các bài toán song song, đồng phẳng trong không gian Các điều kiện song song, đồng quy, thẳng hàng có thể sử dụng như trong hình học phẳng. Đa số các trường hợp vẫn cần chọn cơ sở và gốc. Để chứng minh AB / /CD ta đi chứng minh k  : AB  kCD Để có d / /mp( ) ta lấy trên d một véc tơ a trên ( ) hai véc tơ b, c sau đó chứng minh 3 véc tơ đó đồng phẳng (k ,1 : a  kb  1c) . Để chứng minh 2 mặt phẳng song song (P) / /(Q) ta lấy trên (P) hai véc tơ a , b trên (Q) hai véc tơ x, y Sau đó chứng minh các bộ 3 véc tơ (a, x, y);(b , x, y) đồng phẳng Để chứng minh 3 véc tơ đồng phẳng  k,1 : c  ka  1b Bốn điểm A,B,C,D thuộc một mặt phẳng   ,   : OA   OC   OC  (1     )O ( O) Bài toán 2.6.3: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi P, Q là các điểm xác   định bởi: AP  AD ;CQ  C D Gọi M là trung điểm BB’. Chứng minh P,M,Q thẳng hàng. Bài toán 2.6.4: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Giả sử M,N,E,F lần lượt là trọng tâm các tam giác AA B , ABC , ABC, BCC Chứng minh rằng: MN / /EF Bài toán 2.6.5: Cho hình hộp ABCDA BCD Giả sử M,N lần lượt là trung điểm các cạnh AA vàChứng minh rằng: MN / /  DAC  Bài toán 2.6.6: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AA’, CC’. Gọi G là trọng tâm của tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng: mp  MGC   / / mp  AB N  Bài toán 2.6.7: Cho tứ diên ABCD và các điểm I. K, E, F thỏa mãn: 2IB  IA  0 ; 2KC  KD  0 ; 2EB  3EC  0 ; 2FA  3FD  0 . Chứng minh rằng: i) Các véc tơ BCIK.AD đồng phẳng. Trang 14
ii) Các véc tơ BA, EF,CD BA, EF,CD đồng phẳng. iii) Bốn điểm I,E,K,F cùng thuộc 1 mặt phẳng Bài toán 2.6.8: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N là trung điểm của AB và CD; P,Q là 2 PA QB điểm thứ tự thuộc AC, BD sao cho  Chứng minh rằng bốn điểm M,N,P,Q cùng PC QD thuộc một mặt phẳng. Bài tập tham khảo 2.6.3 Chứng minh tính vuông góc trong không gian Tích vô hướng của hai véc tơ giúp cho các bài toán chứng minh tính vuông góc trong không gian trở thành các bài toán tính toán. Ta xét các ví dụ sau: Bài toán 2.6.12:(Đề thi ĐH môn toán khối B, năm 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: MN  BD và tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. Bài toán 2.6.13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết rằng SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: SO  mp(ABCD) và AC  SD Bài toán 2.6.14: (Bài tập 5, trang 69-SGK 11) Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng nếu AB  CD;AC  BD thì AD  BC Bài tập tham khảo 2.6.4 Tính các đại lượng góc, khoảng cách, diện tích, thể tích nhờ véc tơ Tích vô hướng được sử dụng thường xuyên trong các bài toán hình học không gian để tính khoảng cách, tính góc, tính tỷ số, diện tích thiết diện (và xác định thiết diện), thể tích ... Kỹ năng sử dụng tích vô hướng ở đây được thể hiện qua: - Kĩ năng chọn cơ sở để lập bảng nhân vô hướng. - Kĩ năng biểu diễn một vectơ qua cơ sở đã chọn. - Kĩ năng nhân vô hướng cùng các phép biến đổi đại số trên các vectơ. Với các bài toán tính khoảng cách và góc trong không gian, có thể chia làm 4 dạng cơ bản cùng cách giải (bằng vectơ) như sau: Dạng I: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng Bài toán 2.6.17: Cho điểm M và 1 đường thẳng l có vectơ chỉ phương a trên l có điểm A mà AM  m Tính khoảng cách d(M,1) từ M đến đường thẳng l. Trang 15
Dạng II: Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Bài toán 2.6.18: Cho mặt phẳng (a) với cặp vectơ chỉ phương a, b . Điểm A thuộc mặt phẳng ( ); M không thuộc mặt phẳng ( ), AM  m . Tính khoảng cách d(M,  ) từ đến ( ) và góc giữa AM với mặt phẳng ( ) Dạng III: Khoảng cách và góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau. Bài toán 2.6.19: Cho các đường thẳng l1 , l2 với vectơ chỉ phương lần lượt là a1 , a2 ; cho các điểm A1  l1 , A2  l2 mà A1A2  m . Tính khoảng cách và góc giữa l2 và l2. Dạng IV: Góc giữa hai mặt phẳng. Ta chuyển về tính góc giữa 2 đường thẳng hoặc tính góc giữa hai phép vectơ n1; n2 của 2 mặt phẳng. Bài toán 2.6.20: S.ABC là hình chóp tam giác đều đỉnh S có SA = 4. Một điểm D thuộc SC mà CD = 3, khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng 2. Tính thể tích hình chóp S.ABC Bài toán 2.6.21: Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC, cạnh AB = 1, cạnh bên SA  (ABC) và SA  3 Mặt phẳng (a) song song với SB và AC; mặt phẳng (ß) song song với SC và AB. Tính góc giữa và ? Bài toán 2.6.22: Hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh bằng 1. Lấy các điểm E thuộc 1 1 AAi, F thuộc BC sao cho: AE  ; BF  Qua tâm K của hình lập phương và 2 điểm E, 3 4 F dựng mặt phẳng ( ) Tính khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng ( ) Bài tập tham khảo KẾT LUẬN CHƯƠNG 2: Trang 16