Tóm tắt lý thuyết chuổi hàm

Chia sẻ: HOANG ANH TAI | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:30

Thêm vào BST

Báo xấu

511
lượt xem 119
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chuỗi số có thể chứa các biểu thức thuộc một trong nhiều tập hợp bao gồm số thực, số phức và hàm. Định nghĩa dưới đây đúng với số thực nhưng có thể được tổng quát hóa.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tóm tắt lý thuyết chuổi hàm

Tóm tắt lý thuyết ----------------------------------------------------------------------------------------------- CHƯƠNG I : CHUỔI HÀM 1) §ÞNH NGHÜA Chuỗi số có thể chứa các biểu thức thuộc một trong nhiều tập hợp bao gồm số thực, số phức và hàm. Định nghĩa dưới đây đúng với số thực, nhưng có thể được tổng quát hóa. Cho một dãy số thực vô hạn {an}, được gọi là tổng hữu hạn đến N của dãy số {an}, hay tổng hữu hạn của chuỗi số. Một chuỗi số là một dãy các tổng hữu hạn {SN}. [sửa] Nhầm lẫn có thể có Khi nói về chuỗi số, người ta có thể đang chỉ dãy các tổng hữu hạn {SN}, hoặc nói về tổng của chuỗi số, hay còn gọi là giới hạn của dãy các tổng hữu hạn (xem định nghĩa ở phần sau). Để phân biệt giữa hai khái niệm hoàn toàn khác biệt (một bên là chuỗi số, bên kia là tổng các giá trị), người ta đôi khi bỏ không viết các giới hạn (bên trên và bên dưới ký hiệu tổng), ví dụ như: để chỉ chuỗi vô hạn. Chuỗi này có thể có hoặc không tương đương với một giá trị hữu hạn. [sửa] Chuỗi hội tụ Chuỗi ∑an được gọi là 'hội tụ' khi dãy các tổng hữu hạn {SN} có một giới hạn hữu hạn. Nếu giới hạn của SN là vô hạn hoặc không tồn tại, chuỗi số được gọi là phân kỳ. Khi giới hạn của một dãy các tổng vô hạn tồn tại, giới hạn đó được gọi là tổng của chuỗi số Cách dễ nhất để một chuỗi vô hạn hội tụ là nếu an bằng không với mọi n đủ lớn. Dễ thấy một chuỗi số như vậy có thể được viết dưới dạng một tổng hữu hạn, cho nên chuyện dãy số đó là vô hạn không có ý nghĩa gì. Tìm ra các giá trị của một chuỗi hội tụ kể cả khi tất cả các biểu thức đều khác không là tiêu điểm của việc nghiên cứu chuỗi. Xem xét ví dụ sau: Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Có thể "hình dung" sự hội tụ của chuỗi trên trục số thực: ta có thể hình dung một đoạn thẳng có chiều dài bằng 2, trên đó lần lượt bôi đen các phần với chiều dài 1, ½, ¼, v.v. Luôn luôn còn chỗ để bôi đen phần tiếp theo vì phần đoạn th ẳng còn lại luôn luôn bằng phần đoạn thẳng vừa đánh dấu. Thật vậy, khi ta đã bôi đen ½, ta vẫn còn một phần có chiều dài ½ chưa bị bôi đen, nên hoàn toàn có thể bôi đen tiếp ¼, và cứ nh ư th ế. Điều này không chứng minh rằng tổng này bằng 2 (mặc dù đúng là như thế), nhưng nó chứng minh rằng tổng này nhỏ hơn hoặc bằng 2. Nói cách khác, chuỗi này có giới hạn trên. Toán học gia mở rộng đặc ngữ này để thể hiện các khái niệm khác, tương đương của chuỗi. Ví dụ, khi ta nói về số thực lặp phần thập phân, như: thực ra ta đang nói về chuỗi số mà nó thể hiện (0.1 + 0.01 + 0.001 + …). Tuy nhiên, vì những chuỗi này luôn hội tụ về số thực (bởi tính toàn diện của số thực), nói về chuỗi số theo cách này cũng giống như nói về các số mà chúng thể hiện. Đặc biệt, không nên thấy bất hợp lý khi coi 0.111… và 1/9 là một. Lập luận rằng 9 × 0.111… = 0.999… = 1 không hiển nhiên, nhưng hoàn toàn chứng minh được một khi đã bi ết các định luật về giới hạn bảo toàn các phép tính số học. Xem 0.999... để biết thêm chi tiết. >>Một số dạng chuỗi vô hạn Chuỗi hình học là chuỗi mà mỗi hạng tử của nó là tích của hạng tử đứng trước • với một hằng số. Chẳng hạn: Tổng quát, chuỗi hình học hội tụ nếu và chỉ nếu |z| < 1. Chuỗi điều hòa là chuỗi • Chuỗi đan dấu là chuỗi trong đó các số hạng của nó đan dấu nhau. Chẳng hạn: • Chuỗi • hội tụ nếu r > 1 và phân kỳ nếu r ≤ 1, nó là một mô tả tốt cho tiêu chuẩn hội tụ tích phân. Khi xem như một hàm của r, tổng của chuỗi này là hàm zeta của Riemann. Chuỗi lồng nhau • Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
hội tụ nếu dãy bn hội tụ tới giới hạn L khi n dần tới vô cực. Giá trị của chuỗi này là b1 − L. Các tính chất của chuỗi Chuỗi được phân loại không chỉ theo chúng hội tụ hay phân kỳ: chúng còn được phân biệt dựa vào các tính chất của các biểu thức an (hội tụ tuyệt đối hay có hội tụ có điều kiện); kiểu hội tụ của chuỗi (theo điểm hay đều); dạng của biểu thức an (số thực, cấp số, hàm lượng giác); vân vân. Biểu thức không âm Khi an là một số thực không âm với mọi n, chuỗi các tổng một phần SN không giảm dần. Do đó chuỗi ∑an với toàn biểu thức không âm hội tụ khi và chỉ khi dãy các tổng một phần SN bị giới hạn. Ví dụ, chuỗi hội tụ, do có bất đẳng thức và theo lập luận về chuỗi lồng nhau, các tổng một phần bị giới hạn bởi 2. [sửa] Hội tụ tuyệt đối Bài chi tiết: Hội tụ tuyệt đối Một chuỗi được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của các biểu thức của nó hội tụ. Có thể chứng minh rằng điều kiện này là đủ để không chỉ chuỗi gốc hội tụ về một giới hạn, mà cả các chuỗi tạo ra bằng cách sắp xếp lại các biểu thức của chuỗi gốc cũng hội tụ về cùng giới hạn đó. [sửa] Hội tụ có điều kiện Bài chi tiết: Hội tụ có điều kiện Một chuỗi số thực hoặc số phức được gọi là hội tụ có điều kiện (hoặc hội tụ bán phần) nếu nó hội tụ nhưng không hội tụ tuyệt đối. Một ví dụ nổi tiếng là chuỗi đan dấu Chuỗi này hội tụ (có tổng các biểu thức đúng bằng ln 2), nhưng chuỗi gồm toàn giá trị tuyệt đối của mỗi biểu thức của chuỗi này lại là chuỗi phân kỳ (xem chuỗi điều hòa). Định lý chuỗi Riemann nói rằng bất cứ chuỗi nào hội tụ có điều kiện đều có thể được sắp xếp lại để trở thành một chuỗi phân kỳ, hơn nữa, nếu an là số thực thì ta có thể Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
tìm được một cách sắp xếp sao cho chuỗi mới hội tụ và có tổng bằng bất kỳ số thực S nào. Abel's test is an important tool for handling semi-convergent series. If a series has the form where the partial sums BN = b0 + ··· + bn are bounded, λn has bounded variation, and lim λnBn exists: then the series ∑an is convergent. This applies to the pointwise convergence of many trigonometric series, as in with 0 < x < 2π. Abel's method consists in writing bn+1 = Bn+1 − Bn, and in performing a transformation similar to integration by parts (called summation by parts), that relates the given series ∑an to the absolutely convergent series Ví dụ Ví dụ, một danh sách các số có dấu cộng ở giữa như sau 1 + 2 + 3 + 4 + 5... là một chuỗi vô hạn. Nó có thể được biểu diễn là --------------------------------------------------------------- Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng Nếu sử dụng phép tịnh tiến thì một chuỗi lũy thừa bất kỳ luôn đưa được về dạng Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Xét chuỗi lũy thừa dạng Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Dễ thấy, chuỗi hội tụ tại điểm và có những chuỗi lũy thừa chỉ hội tụ tại đúng một điểm. Chẳng hạn, chuỗi chỉ hội tụ tại Tuy nhiên, nếu chuỗi (1) hội tụ tại một điểm nào đó thì nó sẽ tồn tại số thực dương (cũng có thể là ) sao cho miền hội tụ của nó có thể là khoảng đóng, khoảng mở hoặc nửa kho ảng tâm là điểm bán kính là $R.$ Số $R đó được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi (1). Định lý 29 (Abel). Nếu chuỗi (1) hội tụ tại một điểm nào đó thì nó hội tụ tuyệt đối trên khoảng Hệ quả 30. Nếu chuỗi (1) phân kỳ tại một điểm nào đó thì nó phân kỳ tại mọi điểm ngoài đoạn Ký hiệu là miền hội tụ của chuỗi (1). Đặt Theo định lý Abel, Nếu Nếu R>0 còn là số thực thỏa mãn 0
V ậy là bán kính hội tụ của chuỗi (1). Định lý 31 (Cauchy - Hadmard). Đặt Khi đó bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa (1) xác định bởi công thức Định lý 32. Nếu (Hoặc ) thì Định lý 31. Nếu chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ $R>0$ thì nó hội tụ tuyệt đối và đều trên mỗi đoạn con của khoảng hội tụ Các tính chất cơ bản của tổng chuỗi lũy thừa Tương tự các định lý: định lý 26, định lý 27, định lý 28, với tổng của chuỗi lũy th ừa ta có các kết quả sau đây: Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Định lý 32. Giả sử chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R>0; miền hội tụ là X ; tổng là hàm Khi đó, liên tục trên (i) hàm ; khả vi liên tục cấp vô hạn trong khoảng (ii) hàm và khả tích trên mỗi đoạn con của khoảng hội tụ Nói riêng, với (iii) hàm mỗi ta có Theo khẳng định của định lý 32, hàm khả vi liên tục mọi cấp trong khoảng hội tụ . Lấy đạo hàm từng số hạng cho đến cấp rồi thay ta có Hệ quả 33. Các hệ số của chuỗi (ở đây là tổng của chuỗi trên miền hội tụ) được tính theo công thức Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Nếu tồn tại lân cận của điểm sao cho thì Chuỗi Taylor Giả sử là hàm số xác định trong lân cận của điểm khả vi mọi cấp tại Khi đó chuỗi lũy thừa được gọi là chuỗi Taylor của hàm tại Chuỗi Taylor tại điểm được gọi là chuỗi Mac Laurin. Như vậy, chuỗi Mac Laurin của hàm là chuỗi lũy thừa Ta nói hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận điểm nế u tồn tại một chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R>0 và một lân cận của điểm sao cho Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Khi hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận điểm , theo hệ quả 33 Như vậy, nếu khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận của điểm thì khai triển đó là duy nhất; chuỗi lũy thừa đó chính là chuỗi Taylor c ủa tại Có những hàm số khả vi mọi cấp nhưng không khai triển được thành chuỗi lũy thừa và có khi chuỗi Taylor của một hàm khả vi vô hạn không hội tụ về hàm số đó. Thật vậy, xét hàm số Dễ thấy, hàm khả vi mọi cấp tại Do đó, nếu hàm số khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận điểm tức là thì Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Thành thử trên một lân cận nào đó của điểm Điều này là không thể xảy ra! Mâu thuẫn này chứng tỏ hàm số mặc dù khả vi mọi cấp tại điểm nhưng không khai triển được thành chuỗi lũy thừa trong lân cận điểm Giả sử hàm khai triển được thành chuỗi lũy thừa tại Đặt là hàm số khả vi mọi cấp tại với mọi n. Rõ ràng, và Như vậy, chuỗi Mac Laurin của là một nhưng chuỗi này hội tụ về và mà không hội tụ về Định lý 34. Cho hàm số khả vi mọi cấp trong khoảng Nếu đạo hàm các cấp bị chặn đều theo và n, nghĩa là tồn tại số thực sao cho khai triển được thành chuỗi lũy thừa trên . Tức là, thì Khai triển một số hàm thường gặp Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
|x|
[ Mục lục ] Các ví dụ 62. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Hướng dẫn. Bán kính hội tụ , chuỗi phân kỳ .(Trường hợp Khi ). , chuỗi đan dấu hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz .Vậy miền hội Khi tụ của chuỗi đã cho là 63. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa Hướng dẫn. Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Bán kính hội tụ của chuỗi đã cho là 64. Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Hướng dẫn. Ta có ta được Cho Theo dấu hiệu D'Alembert, chuỗi hội tụ khi Khi ta có Để ý rằng Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Như vậy, dãy dần tới nhưng luôn luôn lớn hơn 1. Theo dấu hiệu D'Alembert, tại chuỗi phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi là 65. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi lũy thừa Hướng dẫn. Bán kính hội tụ Theo điều kiện cần, trong cả hai trường Khi hợp, chuỗi đã cho phân kỳ. Vậy miền hội tụ của chuỗi là Để tính tổng, ta sử dụng khai triển Mac Laurin sau Theo tính chất khả vi của tổng chuỗi lũy thừa trên khoảng hội tụ, với ta có Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Hay Từ đó suy ra Lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi ở vế trái, ta được 66. Chứng minh rằng Hướng dẫn. Nếu thay bởi trong khai triển ta được Vởy Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Theo tính chất khả tích của tổng chuỗi lũy thừa, Từ đó suy ra Hay 67. Tính tổng chuỗi Hướng dẫn. Xét chuỗi lũy thừa Dễ dàng nhận thấy miền hội tụ của chuỗi này là . Do tính chất liên tục của tổng chuỗi lũy thừa trên miền hội tụ, ta có thể chuyển dấu giới hạn bên phải điểm qua dấu tổng. Tức là, Hay Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Suy ra 68. Tìm miền hội tụ và tính tổng Từ đó chứng minh rằng Hướng dẫn. Ta có Theo dấu hiệu D'Alembert, chuỗi hội tụ khi Như vậy, bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa đã cho là ta có chuỗi đan dấu khi Vì dãy số Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
đơn điệu giảm về 0, theo tiêu chuẩn Leibnitz, chuỗi đan dấu là chuỗi h ội tụ. Vậy mi ền hội tụ của chuỗi đã cho là Để tính tổng, ta sử dụng khai triển bởi ta được Thay Do tính liên tục của tổng chuỗi lũy thừa trên miền hội tụ, ta có 69. Cho chuỗi lũy thừa (a) Tìm bán kính hội tụ và tìm miền hội tụ của chuỗi đã cho. Chứng minh chuỗi đó liên tục đều trên miền hội tụ. (b) Tìm tổng với (c) Tính tổng của chuỗi số Hướng dẫn. Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
(a) Ta có Do đó Bán kính hội tụ ta có chuỗi Khi Vì nên chuỗi lũy thừa đã cho hội tụ tuyệt đối tại Vậy miền hội tụ của chuỗi đã cho là Với mọi và mọi ta có Chuỗi đã cho so sánh được với chuỗi số dương hội tụ Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com
Theo dấu hiệu Weiersstras, chuỗi đã cho hội tụ đều trên đoạn (b) Bằng cách lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi, ta được Vì cho nên Vậy liên tục trên miền hội tụ (c) Hàm do đó Tức là, 70. Tìm miền hội tụ và tính tổng Hoàng anh tài Anhtai121291@gmail.com