Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
TỔNG HỢP HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHI TUYẾN BẬC CAO CÓ<br />
THAM SỐ BIẾN ĐỔI DÙNG ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT BẬC HAI<br />
Lê Trần Thắng1, Trần Văn Nhân2*, Nguyễn Khắc Tuấn3<br />
Tóm tắt: Điều khiển trượt – Sliding mode control (SMC) là một phương pháp<br />
điều khiển được áp dụng rộng rãi với những ưu điểm nổi bật là sự bền vững chống<br />
lại nhiễu loạn và sự biến đổi của tham số, thiết kế hệ thống giảm bậc và cấu trúc<br />
điều khiển đơn giản. Tuy nhiên, nếu bậc của hệ thống lớn hơn 2 thì phải xử lý vấn<br />
đề siêu bề mặt trượt, điều này đòi hỏi những tính toán phức tạp. Bài báo này trình<br />
bày một phương pháp tổng hợp một lớp hệ thống phi tuyến bậc cao trên cơ sở sử<br />
dụng SMC bậc hai nhằm đơn giản hóa tính toán và tận dụng các ưu điểm của trượt<br />
bậc hai.<br />
Từ khóa: Điều khiển trượt bậc hai, Giảm chattering, Hàm chuyển mạch.<br />
<br />
1. ĐẶT VẤN ĐỀ<br />
Trong thực tế, nhiều giải pháp tổng hợp bộ điều khiển theo các phương pháp kinh điển<br />
gặp khó khăn với những hệ thống phi tuyến, hệ thống có các tham số thay đổi... Nếu<br />
không kiểm soát được sự biến động của các tham số, không loại trừ được nhiễu thì chất<br />
lượng động học hệ thống sẽ bị thay đổi, hệ thống sẽ mất ổn định. Có nhiều phương pháp<br />
để giải quyết những khó khăn này một trong số đó là sử dụng bộ điều khiển trượt (SMC)<br />
[3]. Đây là phương pháp điều khiển hiện đại có thế mạnh trong tổng hợp các hệ thống điều<br />
khiển phức tạp. Tuy nhiên, hạn chế cơ bản của SMC là hiện tượng “chattering” [6]. Hiện<br />
nay, SMC đang là một hướng được quan tâm nghiên cứu, phát triển và áp dụng cho nhiều<br />
hệ thống kỹ thuật, nhiều đối tượng, trong đó có các hệ thống tự động bám sát mục tiêu<br />
(HTĐBSMT) [3, 4].<br />
Khi thiết kế bộ điều khiển SMC cho các hệ thống bậc cao thì phương trình mặt trượt có<br />
bậc lớn, hay gọi là siêu mặt trượt, điều đó tăng mức độ phức tạp và khó khăn trong tính<br />
toán. Để giảm đi khó khăn trên bài báo này sẽ đề xuất một phương pháp tổng hợp SMC<br />
cho các hệ thống điều khiển phi tuyến bậc cao có tham số biến đổi trên cơ sở bộ điều khiển<br />
trượt bậc hai.<br />
2. MÔ TẢ VÀ TỔNG HỢP BỘ ĐIỀU KHIỂN CHO HỆ THỐNG<br />
2.1. Mô tả hệ thống<br />
Xét một lớp hệ thống điều khiển phi tuyến SISO bậc n có tham số biến đổi với nhiễu<br />
loạn, các yếu tố không chắc chắn được mô tả như sau:<br />
i =n<br />
(i )<br />
a x<br />
i =1<br />
i (t ) + f ( x) + d (t ) = u (t ) (1)<br />
<br />
Trong phương trình (1): x(t) là tín hiệu ra; x(i)(t) là vi phân cấp i của x(t); ai là hệ số<br />
tương ứng của x(i)(t); u(t) tín hiệu điều khiển đầu vào; d(t) là thành phần nhiễu bên ngoài<br />
và phụ thuộc vào thời gian; f(x) là nhiễu phụ thuộc trạng thái; ai là các hệ số thỏa mãn<br />
điều kiện Huzwit, lớn hơn không.<br />
Trong hệ thống (1) không mất tính tổng quát nếu chúng ta giả thiết các thành phần ai,<br />
d(t) và f ( ) bị chặn theo qui luật sau:<br />
<br />
ai aiM ; d d M và f f M<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 35<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Trong điều khiển nếu bậc của hệ thống lớn hơn hai thì phải giải quyết vấn đề siêu bề<br />
mặt trượt trong không gian nhiều chiều, điều này đòi hỏi những kỹ thuật tính toán phức<br />
tạp. Trong bài báo này đưa ra một phương pháp sử dụng bộ điều khiển trượt bậc hai cho hệ<br />
thống (1) được sử dụng bằng cách xem các thành phần bậc ba trở lên là nhiễu bậc cao.<br />
Trong [9] đã bỏ qua các thành phần bậc cao nếu hệ số nhỏ hơn nhiều so với thành phần<br />
bậc hai mà không ảnh hưởng nhiều đến các chỉ tiêu đặc trưng của quá trình điều khiển. Vì<br />
i=n<br />
(i )<br />
thế, trong hệ thống (1) nếu các thành phần a x<br />
i =3<br />
i (t ) bị chặn khi t tiến đến ∞ và các hệ<br />
<br />
số ai đủ nhỏ thì (1) được xem như hệ thống bậc hai được biểu diễn như sau:<br />
a2 <br />
x(t ) + a1 x (t ) + F ( x) + d (t ) = u (t ) , (2)<br />
trong đó:<br />
i =n <br />
F ( x) = ai x (i ) (t ) + f ( x) , F ( x) FM<br />
i =3 <br />
là thành phần nhiễu phụ thuộc trạng thái.<br />
Việc nghiên cứu hệ thống (1) sẽ được thay thế bởi hệ thống (2). Sơ đồ điều khiển (2)<br />
được mô tả như sau:<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 1. Sơ đồ cấu trúc hệ thống (2).<br />
Do ai biến đổi theo thời gian và hệ thống có các yếu tố nhiễu loạn, không chắc chắn<br />
nên chúng ta dùng mô hình danh định sau làm mô hình tham chiếu cho hệ thống (2):<br />
a2 n <br />
xn (t ) + a1n xn (t ) = (t ) (3)<br />
Trong đó: a1n , a2n – Các hệ số danh định, thỏa mãn điều kiện Huzwit, lớn hơn không;<br />
xn(t) – Tín hiệu ra danh định; xd(t) – Tín hiệu đặt; (t ) – Tín hiệu điều khiển danh định.<br />
Để điều khiển hệ thống (3) sử dụng bộ điều khiển sau [3]:<br />
a1 n<br />
= a 2 n ( <br />
xd + x d h1e h2 e )<br />
a2 n<br />
a1n<br />
với các hệ số h1 = k 2 và h2 = 2k , k 0 ; e = xn xd .<br />
a2 n<br />
2.2. Thiết kế bộ điều khiển cho hệ thống<br />
Với hệ thống (2) trong [2] các tác giả đã đề xuất một bộ điều khiển trượt và một hàm<br />
chuyển mạch mới trong vùng gần bề mặt trượt cho một hệ thống bậc hai có tham số biến<br />
đổi. Bộ điều khiển này đảm bảo tổng hợp hệ thống có các chỉ tiêu chất lượng cao như thời<br />
<br />
<br />
36 L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển… trượt bật hai.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
gian quá độ và sai số xác lập nhỏ, khả năng chống nhiễu tốt. Tuy nhiên, bài báo [2] chưa<br />
chứng minh được tính ổn định tiệm cận của hệ thống khi sử dụng hàm chuyển mạch mới<br />
trong vùng gần bề mặt trượt. Để giải quyết vấn đề đó cần tổng hợp một luật điều khiển cho<br />
hệ thống (2) và chứng minh tính ổn định tiệm cận của hệ thống (2) trong vùng gần bề mặt<br />
trượt theo tiêu chuẩn ổn định Lyapunov.<br />
Ta có bổ đề sau.<br />
Bổ đề 1: Xét hệ thống điều khiển (2) với p là số nguyên không âm; , , , K , h là các<br />
số thực dương và nếu hệ (2) thỏa mãn các điều kiện sau:<br />
1<br />
d M + FM 2 p +1<br />
h 0 khi s <br />
K <br />
1<br />
d + F<br />
<br />
h = d + F khi s M M 2 p +1 <br />
M M K <br />
<br />
<br />
h<br />
d + F sin( s ) ; khi s <br />
<br />
<br />
<br />
trong đó, s là mặt trượt, thì bộ điều khiển:<br />
(2 p +1) hsign ( s ) + a ( l x ) + a x khi s <br />
Ks 2<br />
a2 n 1<br />
<br />
u= (4)<br />
Ks (2 p +1) h sin( s ) + a ( l x ) + a x khi s <br />
2 1<br />
a2 n<br />
đảm bảo cho hệ thống (2) ổn định tiệm cận.<br />
Sau đây, ta sẽ chứng minh bổ đề 1 cho từng trường hợp.<br />
2.2.1. Chứng minh trường hợp s <br />
Để chứng minh bổ đề trên đặt en = x xn , lựa chọn mặt trượt như sau: s = en + l en<br />
a1n<br />
trong đó l = 0 . Vậy s = en + l en .<br />
a2 n<br />
1<br />
a2 s . Đạo hàm của V là: V = a2 ss , hay :<br />
2<br />
Chọn hàm Lyapunov dạng: V =<br />
2<br />
<br />
V = a2 s (en + l en ) = a2 s[( <br />
x <br />
xn ) + l ( x xn )]<br />
a a a<br />
= s[( a <br />
x + a1 x ) a1 x 2<br />
a2 n <br />
xn 2<br />
a1n xn + 2<br />
a1n xn + a l ( x xn )] .<br />
2 a2 n a2 n a2 n 2<br />
<br />
<br />
a1n<br />
Thay l= vào biểu thức trên, ta có:<br />
a2 n<br />
a<br />
V = s[( a2 x + a1 x ) 2 ( a2 n xn + a1n xn ) a1 x + a2l x ]<br />
a2 n<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 37<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
a2<br />
= s[u d F a1 x + a2l x ] . (5)<br />
a2 n<br />
Kết hợp (4) (trường hợp s ) và (5) được:<br />
<br />
V = a2 ss = Ks 2( p +1) h s s (d + F ) Ks 2( p +1) s (h d F ) , vì a2 0<br />
suy ra:<br />
1<br />
ss <br />
( Ks 2( p +1) + s (h d F ) . (6)<br />
a2<br />
Theo lý thuyết hàm Lyapunov để hệ thống (2) ổn định tiệm cận thì đạo hàm<br />
<br />
V = a2 ss 0 , tương ứng với vế phải của (6) phải nhỏ hơn không, điều đó đạt được khi bất<br />
đẳng thức sau thỏa mãn:<br />
(2 p +1)<br />
s (K s ( d + F )) + s h 0 . (7)<br />
Do d d M và F FM nên chỉ cần chứng minh:<br />
(2 p +1)<br />
s (K s (d M + FM )) + s h 0 (8)<br />
Từ (7) cho thấy:<br />
1<br />
d + FM 2 p +1<br />
- Nếu s M thì (7) luôn đúng nếu h>0 nhỏ tùy ý.<br />
K <br />
1<br />
d + FM 2 p +1<br />
- Nếu s M thì (8) được viết lại như sau:<br />
K <br />
(2 p +1)<br />
s [( K s + h (d M + FM )] 0 ,<br />
Khi đó do h = d M + FM (9)<br />
<br />
Nên (7) được thỏa mãn, hay đạo hàm của hàm Lyapunov V = a2 ss 0 . Điều kiện<br />
trượt được thỏa mãn chặt và hệ thống (2) ổn định tiệm cận. (đpcm)<br />
(2 p +1)<br />
Trong (4), do p là số nguyên không âm nên thành phần Ks sẽ nhanh chóng đưa<br />
hệ thống (1) tiến về mặt trượt khi s lớn và cũng nhanh chóng giảm về 0 khi hệ thống đã ở<br />
gần mặt trượt (s gần bằng không) mà không làm tăng “chattering” trong hệ thống do đây là<br />
một hàm liên tục.<br />
1<br />
d + FM 2 p +1<br />
Nhận xét: Khi s ở xa mặt trượt, s M thì chọn h>0 nhỏ tùy ý, khi s ở<br />
K <br />
1<br />
d + FM 2 p +1<br />
gần bề mặt trượt hơn s M thì phải chọn h thỏa mãn (9).<br />
K <br />
Vế thứ nhất của bộ điều khiển (4) đảm bảo cho hệ thống (2) ổn định tiệm cận [2], lúc<br />
này thành phần không liên tục trong bộ điều khiển: hsign( s ) chỉ phụ thuộc vào biên độ<br />
nhiễu, loại bỏ được sự ảnh hưởng về thay đổi các tham số của hệ thống. Điều này cho<br />
phép làm giảm “chattering” trong hệ thống. Tuy nhiên, hsign( s ) vẫn giao động với tần số<br />
<br />
<br />
38 L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển… trượt bật hai.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
cao trong biên độ h, h . Điều này gây ra “chattering” ảnh hưởng xấu đến các hệ thống<br />
cơ khí và có thể phá hủy phần dẫn động.<br />
2.2.2. Chứng minh trường hợp s <br />
<br />
Để giảm ảnh hưởng của “chattering”, trong vùng gần bề mặt trượt khi s tác giả sử dụng<br />
hàm liên tục sin( s ) / [2]. Trong [2] đã hạn định 1, mặt khác ta chỉ cần xét trong<br />
trường hợp s / 2 tức là / 2 vậy:<br />
1 / 2 (10)<br />
Kết hợp (4) (trường hợp s ) và (5) được:<br />
2( p +1) sin( s )<br />
V = Ks hs + s (d + F )<br />
<br />
Hệ thống sẽ ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov nếu:<br />
2( p +1) sin( s )<br />
Ks hs + s (d + F )0 (11)<br />
<br />
sin( s ) 2( p +1)<br />
Hay hs + s ( d + F ) 0 (do Ks 0 và p > 0)<br />
<br />
sin( s ) <br />
s h ( d + F ) 0<br />
<br />
sin( s ) <br />
h ( d + F ) 0 (12)<br />
<br />
Do giả thiết d + F sin( s ) (với là hằng số nào đó) khi s , khi đó chọn<br />
h h<br />
hay thì (12) đúng nên (11) đúng. (đpcm)<br />
<br />
Thông thường, hệ số được chọn đủ lớn để sin( s ) giảm về 0 từ giá trị biên ,<br />
giá trị này gấp lần giá trị biên chuyển mạch nhằm hạn định giá trị không quá lớn.<br />
3. KẾT QUẢ MÔ PHỎNG<br />
Mô phỏng HTĐBSMT sử dụng động cơ một chiều không chổi than (Torque BLDC<br />
motor) có mô hình toán học đầy đủ được mô tả như sau [1],[6]:<br />
K e [TeTm<br />
x (t ) + Tm <br />
x (t ) + x (t )] + f ( x ) + d (t ) = u (t )<br />
Trong đó, Te là hằng số điện từ, Tm là hằng số điện cơ, Ke là hệ số tỷ lệ.<br />
Vậy: a3=KeTeTm; a2=KeTm; a1=Ke;<br />
Đây là trường hợp riêng của (1) khi n=3. Biểu diễn dưới dạng (2) được:<br />
K eTm x + K e x + F ( x ) + d (t ) = u (t )<br />
F ( x ) = f ( x ) + K eTeTm<br />
x<br />
Thực hiện mô phỏng với động cơ điện S Series Brushless Torque Motor- Aerotech S-<br />
180-44-A có công suất 313W, các tham số được quy đổi theo [6], [7]. Tham số momen<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 39<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
quán tính của hệ thống được tính trên cơ sở tải cân bằng và có khối lượng 30 kg. Các tham<br />
số của đối tượng:<br />
1 2 3<br />
K t = 2, 2 Nm / A; J = 7, 40 10 kgm ; L = 3, 4 10 H<br />
1 3<br />
R = 12,8 ; K e = 2,5650897; Tm = 17 10 ( s ); Te = L R = 0, 27 10 (s)<br />
3<br />
K eTm = 4,3606525; K eTeTm = 1,177376 10<br />
Giả sử các hệ số ai biến thiên theo quy luật sau:<br />
a1 = 2,5650897 + sin(t ); a2 = 4,3606525 + 2sin(2t );<br />
a3 = 1,177376 103 + 103 sin(3t ).<br />
Vậy a1n = 2,5650897; a2 n = 4,3606525 .<br />
f x = 10 [ sin( x ) + 2 sin 2 x + sin x + cos x ]<br />
Đặt :<br />
d t = 20 [ sin(t ) + sin 2t + 3sin 3t + cos t ]<br />
<br />
Vậy: F ( x ) = f ( x ) + 1,177376 10 3<br />
x<br />
<br />
Tín hiệu đặt: xd t = sin( t ). Chọn = 0.02 . Trong (4), nếu chọn K > 0 quá lớn<br />
sẽ làm biên độ điện áp đầu ra bộ điều khiển quá lớn, có thế vượt qua các giới hạn vật lý<br />
của hệ thống. Trong trường hợp này, ví dụ chọn K = 10.<br />
Giá trị lớn nhất của nhiễu: f M = 50; d M = 120; FM = 50 + 1,177376 103.<br />
Đối với bộ điều khiển của hệ thống (3), do điều kiện k > 0 và k càng lớn thì thời gian<br />
phản ứng của hệ thống càng nhanh, ví dụ chọn k = 8, tính được: h1=k2=64 và<br />
a1n 2,5650897<br />
h2 = 2k = 2* 8 = 15.412 .<br />
a2 n 4,3606525<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 2. Sơ đồ mô phỏng hệ thống (2).<br />
1 - Bộ điều khiển cho hệ thống danh định; 2 - Mô hình danh định của hệ thống (2);<br />
3 - Bộ điều khiển đề xuất (4); 4 - Mô hình thực tế của hệ thống (2).<br />
Mô phỏng và so sánh trong trong các trường hợp sau :<br />
- Trường hợp 1: Mô phỏng hệ thống (2) trong trường hợp bộ điều khiển (4) chỉ sử dụng<br />
<br />
<br />
40 L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển… trượt bật hai.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
hàm dấu chuyển mạch sign(s).<br />
- Trường hợp 2: Mô phỏng hệ thống (2) trong trường hợp sử dụng bộ điều khiển (4)<br />
với các giá trị thỏa mãn (10). Kết quả cho thấy sai số xác lập giảm khi tăng. Lấy ba<br />
đại lượng sau làm ví dụ mô phỏng: α = 2; α = 20; α = π/2δ = 78.25975.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 3. Sai số bám khi sử dụng (4) với H=FM+dM ;sign(s).<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 4. Sai số bám khi sử dụng (4) với α = 2.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 5. Sai số bám khi sử dụng (4) với α = 20.<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 41<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 6. Sai số bám khi sử dụng (4) với α = 78.25975.<br />
Bảng 1. Bảng so sánh các kết quả mô phỏng và tính toán.<br />
<br />
Trường Bộ điều Giá trị h, tại Thời gian quá độ Sai số xác<br />
hợp khiển = 0.02 ( tqd ) lập ( )<br />
1 (4) H=FM+dM ;sign(s) 0.5669 (s) 1.3 102<br />
2 (4) h=FM+dM ; = 2 0.5539 (s) 102<br />
3 (4) h=FM+dM ; = 20 0.5894 (s) 5 103<br />
h=FM+dM<br />
4 (4) 0.5926 (s) 2 104<br />
= 78.25975<br />
Nhận xét : Khi mô phỏng với bộ điều khiển (4) trong các trường hợp khác nhau thì<br />
thời gian quá độ chênh lệch không đáng kể (nhỏ hơn 0.03 s). Trong các trường hợp, thời<br />
gian quá độ tqd 0.6(s) . Sai số xác lập khi sử dụng bộ điều khiển (4) với hàm chuyển<br />
mạch sign(s) lớn hơn đáng kể khi sử dụng bộ điều khiển (4) với hàm sign(s) kết hợp hàm<br />
đề xuất sin( s ) / . Sai số xác lập giảm nhanh khi tăng, đặc biệt khi = max = / 2<br />
thì sai số xác lập 2 104.<br />
4. KẾT LUẬN<br />
Bài báo đã đề xuất một phương pháp điều khiển hệ phi tuyến bậc cao sử dụng bộ điều<br />
khiển trượt bậc hai và tính toán hạn định một tham số trong hàm chuyển mạch đã đề xuất<br />
trong vùng gần bề mặt trượt. Tính ổn định theo tiêu chuẩn Lyapunov đã được chứng minh<br />
trong vùng xa và gần bề mặt trượt. Hệ thống tương đương (2) đạt được các chỉ tiêu chất<br />
lượng cao, có khả năng chống nhiễu tốt, không bị ảnh hưởng bởi sự thay đổi của các tham<br />
số và giảm thiểu được chattering trong quá trình xác lập.<br />
<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
[1]. Nguyễn Trung Kiên, “Xây dựng phương pháp tổng hợp hệ thống điều khiển các đài<br />
quan sát tự động định vị từ xa các đối tượng di động”, Luận án tiến sỹ kỹ thuật, Viện<br />
Khoa học và Công nghệ quân sự, 2015.<br />
[2]. Trần Văn Nhân, Lê Trần Thắng, Nguyễn Thượng San, “Một phương pháp tổng hợp<br />
hệ thống điều khiển phi tuyến có tham số biến đổi trong vùng gần bề mặt trượt” , Tạp<br />
chí Nghiên cứu KH và CN Quân sự, số đặc san Tên lửa, tháng 9/2016, tr. 77-83.<br />
<br />
<br />
42 L. T. Thắng, T. V. Nhân, N. K. Tuấn, “Tổng hợp hệ thống điều khiển… trượt bật hai.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
[3]. Jinkun Liu, Xinhua Wang, “Advanced Sliding Mode Control for Mechanical<br />
Systems”, Tsinghua University Press, Beijing, 2012.<br />
[4]. Xinghuo Yu, Okyay Kaynak,“Sliding-Mode Control With Soft Computing: A Survey”,<br />
IEEE Transactions on Industrial Electronics, Vol. 56, N0. 9, September 2009.<br />
[5]. Lee, H, & Utkin, V. I. “The Chattering Analysis”, Advances in Variable Structure and<br />
Sliding Mode Control, Lecture Notes in Control and Information Sciences (Vol. 334),<br />
2006.<br />
[6]. PITTMAN Motors, “Servo motor application note”.<br />
[7].http://www.aerotech.com/product-catalog/motors/rotary-motors/bm-<br />
series.aspx?p=%2fproduct-catalog%2fmotors.aspx<br />
[8].Смольников П.П, “Синтез квазиоптимальных систем aвтоматического<br />
управления”. Энергия, Ленинград 1967.<br />
ABSTRACT<br />
A SYNTHESIS METHOD OF HIGHER-ORDER NONLINEAR CONTROL SYSTEM<br />
WITH VARIABLE PARAMETERS USING 2ND SLIDING MODE CONTROL.<br />
Sliding mode control (SMC) is a widely used control method with outstanding<br />
advantages of durability against disturbance and variable parameters, reduced-<br />
order system design and simple control structure. However, if the system order is<br />
higher than 2, then the problem of hyperplane which requires complex calculations<br />
has to be treated. In this article, a second-order sliding mode control (2nd-SMC) is<br />
proposed for synthesizing a higher-order nonlinear system class based on the use of<br />
a second-order SMC to simplify calculations and take advantage of 2nd-SMC.<br />
Keywords: Second-order sliding mode control, Chattering reduction, Switching function.<br />
<br />
Nhận bài ngày 11 tháng 5 năm 2017<br />
Hoàn thiện ngày 01 tháng 6 năm 2017<br />
Chấp nhận đăng ngày 20 tháng 6 năm 2017<br />
<br />
Địa chỉ: 1 Viện Tự động hóa Kỹ thuật quân sự;<br />
2<br />
Học viện Hải quân;<br />
3<br />
Đại học Sư phạm Vinh.<br />
*<br />
Email: tranvannhannt@gmail.com.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 49, 06 - 2017 43<br />