Tổng quan về CAD/ CAM

Chia sẻ: Lan Lan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:82

Thêm vào BST

Báo xấu

240
lượt xem 85
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo sách 'tổng quan về cad/ cam', kỹ thuật - công nghệ, cơ khí - chế tạo máy phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tổng quan về CAD/ CAM

1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN Chương 1. TỔNG QUAN VỀ CAD/CAM 1.1 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA CAD/CAM TRONG NỀN SX HIỆN ĐẠI. 1.1.1 Giới thiệu về CAD/CAM hay CAO/FAO. Thiết kế và chế tạo có sự tham gia của máy vi tính (CAD/CAM hay CAO/FAO) thường được trình bày gắn liền với nhau. Thật vậy, hai lĩnh vực ứng dụng tin học trong ngành cơ khí chế tạo này có nhiều điểm giống nhau bởi chúng đều dựa trên cùng các chi tiết cơ khí và sử dụng dữ liệu tin học chung: đó là các nguồn đồ thị hiển thị và dữ liệu quản lý. Thực tế, CAD và CAM tương ứng với các hoạt động của hai quá trình hỗ trợ cho phép biến một ý tưởng trừu tượng thành một vật thể thật. Hai quá trình này thể hiện rõ trong công việc nghiên cứu (bureau d’étude) và triển khai chế tạo (bureau des méthodes). Xuất phát từ nhu cầu cho trước, việc nghiên cứu đảm nhận thiết kế một mô hình mẫu cho đến khi thể hiện trên bản vẽ biễu diễn chi tiết. Từ bản vẽ chi tiết, việc triển khai chế tạo đảm nhận lập ra quá trình chế tạo các chi tiết cùng các vấn đề liên quan đến dụng cụ và phương pháp thực hiện. Hai lĩnh vực hoạt động lớn này trong ngành chế tạo máy được thực hiện liên tiếp nhau và được phân biệt bởi kết quả của nó. * Kết quả của CAD là một bản vẽ xác định, một sự biểu diễn nhiều hình chiếu khác nhau của một chi tiết cơ khí với các đặc trưng hình học và chức năng. Các phần mềm CAD là các dụng cụ tin học đặc thù cho việc nghiên cứu và được chia thành hai loại: Các phần mềm thiết kế và các phần mềm vẽ. * Kết quả của CAM là cụ thể, đó là chi tiết cơ khí. Trong CAM không truyền đạt một sự biểu diễn của thực thể mà thực hiện một cách cụ thể công việc. Việc chế tạo bao gồm các vấn đề liên quan đến vật thể, cắt gọt vật liệu, công suất của trang thiết bị, các điều kiện sản xuất khác nhau có giá thành nhỏ nhất, với việc tối ưu hoá đồ gá và dụng cụ cắt nhằm đảm bảo các yêu cầu kỹ thuật của chi tiết cơ khí. Nhằm khai thác các công cụ hữu ích, những ứng dụng tin học trong chế tạo không chỉ hạn chế trong các phần mềm đồ hoạ hiển thị và quản lý mà còn sử dụng việc lập trình và điều khiển các máy công cụ điều khiển số, do vậy đòi hỏi khi thực hiện phải nắm vững các kiến thức về kỹ thuật gia công.
2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN Trong chế tạo, việc sử dụng các dữ liệu tin học phải lưu ý đến nhiều mối quan hệ ràng buộc. Các ràng buộc này nhiều hơn trong thiết kế. Việc cắt gọt vật liệu trên một máy công cụ điều khiển số hay một máy công cụ vạn năng thông thường là như nhau, trong hai trường hợp vật liệu không thay đổi về tính chất. Trong khi đó các dữ liệu tin học có trong môi trường công nghiệp cũng có trong các xưởng gia công. Các nguồn dữ liệu này cải thiện kỹ thuật chế tạo, chuyển đổi phương pháp và dẫn đến thay đổi quan trọng trong các công việc hoàn thành khi lập qui trình công nghệ cũng như trên vị trí làm việc. Ngoài công việc cho phép điều khiển số các nguyên công gia công, việc thiết lập các dữ liệu tin học mang lại nhiều sự cải thiện về kết cấu liên quan đến cấu trúc máy và đồ gá, các phương pháp chế tạo và kiểm tra sản phẩm, thiết kế dụng cụ cắt và các cơ cấu tự động khác. Mặt khác, các ứng dụng tin học này cũng cho phép khai thác tốt hơn các khả năng mới của máy và dụng cụ. Ngày nay việc chuyển biến từ một ý tưởng trừu tượng thành một sản phẩm thực tế có thể theo một quá trình hoàn toàn được chi phối bởi máy tính điện tử, như sơ đồ hình 1.1 đã chỉ rõ. BUREAUTIQUE ADMINISTRATION ET COMMUNICATION ET GESTION CONCEPTION, MODELISATION, BUREAU ANALYSE ET INGENIERIE ASSISTE PAR D’ETUDE ORDINATEUR (CAO - IAO) CAO DESSIN ASSISTE PAR FABRICATION ORDINATEUR (DAO) INTEGREE SUR ORDINATEUR (FIO) PROCEDES, SIMULATION, PROGRAMMATION BUREAU DE METHODES FAO MOCN MOCN AUTOMAT ROBOT CONTRÔLE DE QUALITÉ INVENTAIRE ET MANUTENTION ADMINISTRATION ET GESTION Hình 1.1 - Sơ đồ CAO - FAO - FIO
3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN Ta phân biệt hai loại dụng cụ tin học trong nghiên cứu thiết kế: - Các phần mềm vẽ có sự tham gia của máy tính điện tử (Dessin Assisté par Ordinateur-DAO hay Computer Aided Drawing - CAD). - Các phần mềm thiết kế có sự tham gia của máy tính điện tử (Conception Assistée par Ordinateur-CAO hay Computer Aided Design-CAD). Trong tiếng Anh ta sử dụng từ CAD chung cho cả hai phần mềm này. Trong triển khai chế tạo ra sản phẩm từ bản vẽ thiết kế, ngày nay có các phần mềm ứng dụng đó là các phần mềm chế tạo có sự tham gia của máy tính điện tử ( Fabrication Assistée par Ordinateur - FAO hay Computer Aided Manufacturing - CAM) Khi sự tích hợp trên máy tính điện tử cho các hoạt động thiết kế và chế tạo được thực hiện, tức là khi việc thực hiện có thể trực tiếp dựa vào các dữ liệu số được tạo ra bởi việc thiết kế, tập hợp các hoạt động đặc trưng của CAD/CAM được mô tả dưới khái niệm chế tạo được tích hợp bởi máy tính điện tử ( Fabrication Intégrée par Ordinateur - FIO hay Computer integrated Manufacturing - CIM). Do vậy CIM biểu diễn các hoạt động tương ứng với thiết kế, vẽ, chế tạo và kiểm tra chất lượng của một sản phẩm cơ khí. 1.1.2 Đối tượng phục vụ của CAD/CAM. Xu thế phát triển chung của các ngành công nghiệp chế tạo theo công nghệ tiên tiến là liên kết các thành phần của qui trình sản xuất trong một hệ thống tích hợp điều khiển bởi máy tính điện tử (Computer Integrated Manufacturing - CIM). Các thành phần của hệ thống CIM được quản lý và điều hành dựa trên cơ sở dữ liệu trung tâm với thành phần quan trọng là các dữ liệu từ quá trình CAD. Kết quả của quá trình CAD không chỉ là cơ sở dữ liệu để thực hiện phân tích kỹ thuật, lập qui trình chế tạo, gia công điều khiển số mà chính là dữ liệu điều khiển thiết bị sản xuất điều khiển số như các loại máy công cụ, người máy, tay máy công nghiệp và các thiết bị phụ trợ khác. Công việc chuẩn bị sản xuất có vai trò quan trọng trong việc hình thành bất kỳ một sản phẩm cơ khí nào.
4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN Công việc này bao gồm: - Chuẩn bị thiết kế ( thiết kế kết cấu sản phẩm, các bản vẽ lắp chung của sản phẩm, các cụm máy.v.v...) - Chuẩn bị công nghệ (đảm bảo tính năng công nghệ của kết cấu, thiết lập qui trình công nghệ) - Thiết kế và chế tạo các trang bị công nghệ và dụng cụ phụ v.v... - Kế hoạch hoá quá trình sản xuất và chế tạo sản phẩm trong thời gian yêu cầu. Hiện nay, qua phân tích tình hình thiết kế ta thấy rằng 90% thời lượng thiết kế là để tra cứu số liệu cần thiết mà chỉ có 10% thời gian dành cho lao động sáng tạo và quyết định phương án, do vậy các công việc trên có thể thực hiện bằng máy tính điện tử để vừa tiết kiệm thời gian vừa đảm bảo độ chính xác và chất lượng. CAD/CAM là lĩnh vực nghiên cứu nhằm tạo ra các hệ thống tự động thiết kế và chế tạo trong đó máy tính điện tử được sử dụng để thực hiện một số chức năng nhất định. CAD/CAM tạo ra mối quan hệ mật thiết giữa hai dạng hoạt động: Thiết kế và Chế tạo. Tự động hoá thiết kế là dùng các hệ thống và phương tiện tính toán giúp người kỹ sư thiết kế, mô phỏng, phân tích và tối ưu hoá các giải pháp thiết kế. Tự động hoá chế tạo là dùng máy tính điện tử để kế hoạch hoá, điều khiển và kiểm tra các nguyên công gia công. 1.1.3 Vai trò của CAD/CAM trong chu kỳ sản xuất. Khái niệm Thiết kế Vẽ SP mới sản phẩm chi tiết Nhu cầu Nhu cầu Kế hoạch hoá thị trường TTB mới QTSX Kiểm tra Sản xuất Lập chất lượng sản phẩm biểu đồ SX Hình 1.2- Sơ đồ chu kỳ sản xuất
5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN TĐH Vẽ bằng thiết kế MTĐT Khái niệm Thiết kế Vẽ chi tiết SP mới SP Nhu cầu Nhu cầu KHH TĐH KHH thị trường TTB mới QTSX QTSX Kiểm tra Sản xuất Lập biểu đồ chất lượng sản phẩm SX TĐ H TB ĐK bằng Vẽ BĐ, lập nhu cầu KTCL MTĐT NVL KT Hình 1.3 - Sơ đồ chu kỳ sản xuất khi dùng CAD/CAM Rõ ràng rằng CAD/CAM chi phối hầu hết các dạng hoạt động và chức năng của chu kỳ sản xuất. Ở các nhà máy hiện đại, trong công đoạn thiết kế và chế tạo, kỹ thuật tính toán ngày càng phát huy tác dụng và là nhu cầu không thể thiếu được. 1.1.4 Chức năng của CAD. Khác biệt cơ bản với qui trình thiết kế theo công nghệ truyền thống, CAD cho phép quản lý đối tượng thiết kế dưới dạng mô hình hình học số trong cơ sở dữ liệu trung tâm, do vậy CAD có khả năng hỗ trợ các chức năng kỹ thuật ngay từ giai đoạn phát triển sản phẩm cho đến giai đoạn cuối của quá trình sản xuất, tức là hỗ trợ điều khiển các thiết bị sản xuất bằng điều khiển số. Hệ thống CAD được đánh giá có đủ khả năng để thực hiện chức năng yêu cầu hay không, phụ thuộc chủ yếu vào chức năng xử lý của các phần mềm thiết kế. Ngày nay những bộ phần mềm CAD/CAM chuyên nghiệp phục vụ thiết kế và gia công khuôn mẫu có khả năng thực hiện được các chức năng cơ bản sau:
6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN - Thiết kế mô phỏng hình học 3 chiều (3D) những hình dạng phức tạp. - Giao tiếp với các thiết bị đo, quét toạ độ 3D thực hiện nhanh chóng các chức năng mô phỏng hình học từ dữ liệu số. - Phân tích và liên kết dữ liệu: tạo mặt phân khuôn, tách khuôn, quản lý kết cấu lắp ghép... - Tạo bản vẽ và ghi kích thước tự động: có khả năng liên kết các bản vẽ 2D với mô hình 3D và ngược lại. - Liên kết với các chương trình tính toán thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật: tính biến dạng khuôn, mô phỏng dòng chảy vật liệu, trường áp suất, trường nhiệt độ, độ co rút vật liệu,... - Nội suy hình học, biên dịch các kiểu đường chạy dao chính xác cho công nghệ gia công điều khiển số. - Giao tiếp dữ liệu theo các định dạng đồ hoạ chuẩn. - Xuất dữ liệu đồ hoạ 3D dưới dạng tập tin STL để giao tiếp với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể. Những ứng dụng của CAD trong ngành chế tạo máy: • Tạo mẫu nhanh thông qua giao tiếp dữ liệu với thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể (đo quét toạ độ) • Giảm đáng kể thời gian mô phỏng hình học bằng cách tạo mô hình hình học theo cấu trúc mặt cong từ dữ liệu số. • Chức năng mô phỏng hình học mạnh, có khả năng mô tả những hình dáng phức tạp nhất. • Khả năng mô hình hoá cao cho các phương pháp phân tích, cho phép lựa chọn giải pháp kỹ thuật tối ưu. 1.2 THIẾT KẾ VÀ GIA CÔNG TẠO HÌNH. Theo lịch sử hình thành và phát triển ta có thể phân biệt công nghệ thiết kế và gia công tạo hình như sau: - Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống. - Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM - Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp CIM 1.2.1 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống. Trong công nghệ truyền thống, các mặt cong 3D phức tạp được gia công trên máy vạn năng theo phương pháp chép hình sử dụng mẫu hoặc dưỡng. Do vậy qui trình thiết kế và gia công bao gồm có 4 giai đoan phân biệt (Hình 1.4): 1. Tạo mẫu sản phẩm, 2. Lập bản vẽ kỹ thuật, 3. Tạo mẫu chép hình, 4. Gia công chép hình. Qui trình này có những hạn chế:
7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN - Khó đạt được độ chính xác gia công, chủ yếu do quá trình chép hình, - Dễ dàng làm sai do nhầm lẫn hay hiểu sai vì phải xử lý một số lớn dữ liệu, - Năng suất thấp do mẫu được thiết kế theo phương pháp thủ công và qui trình được thực hiện tuần tự: tạo mẫu sản phẩm - lập bản vẽ chi tiết - tạo mẫu chép hình - phay chép hình. Ý TƯỞNG Hiệu chỉnh MẪU VẼ & THIẾT KẾ SẢN PHẨM Lấy mẫu BẢN VẼ KỸ THUẬT MẪU TẠO MẪU CHÉP HÌNH CHÉP HÌNH GIA CÔNG CHÉP HÌNH Hình 1.4 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống 1.2.2 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM. Sự phát triển của phương pháp mô hình hoá hình học cùng với thanh tựu của công nghệ thông tin, công nghệ điện tử, kỹ thuật điều khiển số đã có những ảnh hưởng trực tiếp đến công nghệ thiết kế và gia công tạo hình (Hình 1.5): - Bản vẽ kỹ thuật được tạo từ hệ thống vẽ và tạo bản vẽ với sự trợ giúp của máy vi tính. - Tạo mẫu thủ công được thay thế bằng mô hình hoá hình học trực tiếp từ giá trị lấy mẫu 3D. - Mẫu chép hình được thay thế bằng mô hình toán học - mô hình hình học lưu trữ trong bộ nhớ máy vi tính và ánh xạ trên màn hình dưới dạng mô hình khung lưới. - Gia công chép hình được thay thế bằng gia công điều khiển số (CAM). Về công nghệ, khác biệt cơ bản giữa gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống và công nghệ CAD/CAM là thay thế tạo hình theo mẫu bằng mô hình hoá hình học.
8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN Kết quả là mẫu chép hình và công nghệ gia công chép hình được thay thế bằng mô hình hình học số (Computational Geometric Model - CGM) và gia công điều khiển số. Mặt khác khả năng kiểm tra kích thước trực tiếp và khả năng lựa chọn chế độ gia công thích hợp (gia công thô, bán tinh và tinh). Theo công nghệ CAD/CAM phần lớn các khó khăn của quá trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ truyền thống được khắc phục vì rằng: • Bề mặt gia công đạt được chính xác và tinh xảo hơn. • Khả năng nhầm lẫn do chủ quan bị hạn chế đáng kể. • Giảm được nhiều tổng thời gian thực hiện qui trình thiết kế và gia công tạo hình. Ý TƯỞNG Hiệu chỉnh VẼ & TẠO BẢN VẼ MẪU (CADD) SẢN PHẨM Lấy mẫu, số hoá BẢN VẼ KỸ THUẬT MÔ HÌNH MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC HÌNH HỌC SỐ (CGM) GIA CÔNG ĐIỀU KHIỂN SỐ (CAM) Hình 1.5 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ CAD/CAM 1.2.3 Thiết kế và gia công tạo hình theo công nghệ tích hợp (CIM). Từ công nghệ CAD/CAM ta dễ dàng thực hiện ý tưởng liên kết mọi thành phần trong một hệ thống tích hợp (Hình 1.6). Theo công nghệ tích hợp, công việc mô hình hoá hình học - vẽ - tạo bản vẽ được tích hợp trong CAD; kết quả mọi thông tin về hình dáng được lưu lại dưới dạng CGM, lưu trữ trong cơ sở dữ liệu trung tâm. Công nghệ tiên tiến nhất có khả năng hỗ trợ thực hiện toàn bộ qui trình thiết kế và chế tạo theo công nghệ tích hợp: • Cho phép thiết lập mô hình hình học số CGM trực tiếp từ ý tưởng về hình dáng. • Được trợ giúp bởi thiết bị đồ hoạ mạnh và công nghệ tô màu, tạo bóng hiện đại.
9 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN • Có khả năng thực hiện các chức năng phân tích kỹ thuật; liên kết với các thiết bị tạo mẫu nhanh theo công nghệ tạo hình lập thể; lập trình chế tạo; điều khiển quá trình gia công điều khiển số; lập qui trình lắp ráp; tạo phôi,... Ý TƯỞNG CAD MÔ HÌNH MẪU FEM SẢN PHẨM MÔ HÌNH HÌNH HỌC SỐ (CGM) BẢN VẼ KỸ THUẬT MÀN HÌNH ĐỒ HOẠ CAPP Computer Aided Process Planning CAM Hình 1. 6 - Qui trình thiết kế và gia công tạo hình theo công nghê tích hợp 1.3 MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC. Mô hình hoá hình học là mô tả đối tượng hình học bởi mô hình toán học - mô hình hình học số. Khái niệm mô hình hình học được sử dụng cho thực thể hình học có thể mô tả được, đó là những thực thể hình học cơ sở, được sử dụng trên bản vẽ kỹ thuật hay trên màn hình, đó là: - Điểm, - Đường cong, bao gồm cả đoạn thẳng, - Mặt cong, bao gồm cả mặt phẳng, - Khối (cấu trúc đặc). Mô hình hình học được diễn giải bởi con người nhưng hình thức mô tả chúng phải thích hợp, rõ ràng sao cho có thể chuyển đổi thành mô hình hình học số duy nhất. Tức là yêu cầu mô hình hình học phải được mô tả bởi các giá trị số chính xác:
10 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN - Điểm có thể mô tả bởi giá trị toạ độ, - Đường cong có thể được mô tả bởi chuỗi điểm hoặc phương trình, - Mặt cong có thể được mô tả bởi tập hợp điểm hoặc lưới đường cong, hoặc phương trình, - Khối có thể được định nghĩa bởi các mặt cong bao quanh nó. 1.3.1 Phương pháp mô tả đường cong. 1. Đường cong 2D được mô tả bởi 2 phương pháp: a. Sử dụng các đường cong 2D cơ sở. b. Như là chuỗi điểm trên mặt phẳng. 2. Đường cong 3D được mô tả bởi một trong các cách sau: a. Chuỗi điểm 3D b. Giao tuyến giữa 2 mặt cong. c. Hình chiếu của đường cong 2D lên mặt cong 3D. d. Tập đường cong 2D trên các mặt phẳng hình chiếu trục đo. 3. Phương pháp đơn giản mô tả đường cong 2D. Người ta sử dụng họ đường cong bậc hai conic, bao gồm: đoạn thẳng, đường tròn, đường êlip, đường Parabol, đường Hyperbol. Chúng được xác định rõ ràng bởi thông số của chúng như: toạ độ tâm, bán kính, tiêu điểm. Ta có thể gọi họ đường cong conic là đường cong cơ sở tạo nên đường cong đa hợp bằng cách nối kết liên tục theo chuỗi, có thể sử dụng góc lượn tại vị trí yêu cầu để đạt độ trơn láng. 4. Phương pháp phổ biến nhất để mô tả đường cong tự do 2D và 3D. Đây là phương pháp xác định chuỗi điểm đường cong đi qua, phương pháp gián tiếp để mô tả đường cong 3D là xác định giao tuyến giữa 2 mặt cong. Trong trường hợp này ta không thể xác định đường cong một cách chính xác. Phương pháp phổ biến xác định dường cong 3D trong vẽ kỹ thuật là xác định hình chiếu 2D của chúng, sau đó xác định hình chiếu trên mặt cong, đây chính là phép chiếu ngược. 1.3.2 Phương pháp mô tả mặt cong. Ta không thể vẽ mặt cong hình học, nhưng có thể mô tả chúng trên bản vẽ dưới dạng mô hình: - Mặt hình học cơ sở, - Mặt nội suy lưới đường cong, - Mặt quét hình đường mặt cắt, - Mặt nội suy điểm, - Mặt kết nối hình. Tương ứng đó là: • Sử dụng các mặt cong cơ sở. • Mô tả mặt cong bởi mô hình lưới đường cong.
11 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C1 CAD-CAM> TONGQUAN • Mô tả mặt cong bởi phép quét hình. • Mặt cong nội suy điểm. • Mô hình mặt cong kết nối. 1.3.3 Phương pháp mô tả khối hình học. Khác biệt cơ bản với mô hình mặt cong, ngoài dữ liệu hình học thuộc mặt bao, phương pháp mô hình hoá theo cấu trúc khối, cho phép quản lý dữ liệu thuộc miền không gian bên trong thực thể hình học. Về phương pháp tạo hình, phương pháp mô hình hoá hình học theo cấu trúc khối sử dụng thuật toán BOOL (phép toán về tập hợp) trên các khối hình học cơ sở. Khối hình học cơ sở có thể là: - Khối cơ sở bậc hai. - Khối quét hình: hình thành trên cơ sở quét hình mặt giới hạn bởi đường viền 2D khép kín theo đường định hình. 1.3.4 Phương pháp mô hình hoá hình học. Theo phương pháp mô tả điểm, đường cong, mặt cong, khối hình học đã đề cập ở trên, ta có thể xây dựng giải thuật mô hình hoá hình học theo cấu trúc mặt cong và cấu trúc khối theo qui tắc chung như sau: • Thực thể hình học được mô tả như cấu trúc thể hiện mối tương quan giữa các thực thể hình học cơ sở cùng loại hoặc khác loại. • Mặt cong được mô tả bởi phép nội suy điểm; nội suy lưới đường cong; phép quét hình đường mặt cắt; mặt cong cơ sở bậc hai. • Khối hình học được mô tả bởi phép quét hình mặt cắt; khối cơ sở bậc 2. Trong trường hợp tổng quát, thực thể hình học được xác dịnh từ những thực thể cơ sở cấp thấp hơn. Ví dụ như đường cong được thiết lập từ điểm, mặt cong từ điểm và đường cong, khối từ các bề mặt bao,... Các thực thể hình học cấp thấp và tham số thiết kế được gọi là yếu tố điều khiển hình học, có thể hiệu chỉnh được để thay đổi hình dáng và kích thước.
1 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH Chương 2 CƠ SỞ CỦA MÔ HÌNH HOÁ HÌNH HỌC Trong chương này trình bày tóm tắt các kết quả cơ bản của hình học vi phân và phép biến đổi toạ độ sử dụng trong mô hình hoá hình học. 2.1 HÌNH HỌC ĐƯỜNG CONG. Về mặt trực quan, đường cong được định nghĩa như là quĩ đạo điểm thoả mãn một số điều kiện. 2.1.1 Biểu diễn đường cong. Về toán học, đường cong có thể dược biểu diễn dưới các dạng: - Phương trình ẩn. - Phương trình tường minh. - Phương trình tham số. Xét đường tròn đơn vị trên mặt phẳng (x - y), có tâm trùng với gốc hệ toạ độ trên hình 2.1. Mối quan hệ giữa các toạ độ x và y được mô tả bởi phương trình: f ( x, y ) = x 2 + y 2 − 1 = 0 : Phương trình ẩn (2.1) Nếu chỉ xét phần nửa trên của đường tròn, phương trình biểu diễn là: y = g ( x) = (1 − x)1 / 2 : Phương trình tường minh (2.2) Nếu đặt góc θ giữa đoạn thẳng PO và trục x là tham số của đường tròn, ta có: x = x(θ ) = cosθ ; y = y (θ ) = sin θ : Phương trình tham số (2.3) y y P(x,y) P(x,y) θ α x x o o Q y y Hình 2.1 : Tham số hoá đường tròn đơn vị Trường hợp đặt góc α tạo bởi PQ và trục x là tham số, thì t = tgα = y /( x + 1) Kết hợp với phương trình (2.1) ta có: x = x(t ) = (1 − t 2 ) /(1 + t 2 ) ; y = y (t ) = 2t /(1 + t 2 ) (2.4) Đây cũng là phương trình tham số của đường tròn và được gọi là phương trình tham số đa thức hữu tỷ. Quá trình thiết lập phương trình tham số hữu tỷ của đường cong và mặt cong từ phương trình đa thức ẩn được gọi là tham số hoá. Nên biểu diễn đường cong 3D thích hợp dưới dạng phương trình tham số: x = x(t ) ; y = y (t ) ; z = z (t ) r (t ) = [ x(t ), y (t ), z (t )] hay dưới dạng vectơ:
2 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH Theo dạng phương trình tham số, đường cong được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách xác định miền giới hạn của tham số. Không thể xác định đường cong 3D bởi phương trình ẩn hay tường minh, bởi vì phương trình ẩn g(x,y,z)=0 biểu diễn mặt cong, do đó cần hai phương trình để xác định đường cong 3D. Trong trường hợp này, đường cong được định nghĩa như giao tuyến giữa hai mặt cong. 2.1.2 Đặc tính của đường cong. Trong phần này để biểu diễn đường cong, ta sử dụng phương trình tham số r = r (t ) = [ x(t ), y (t ), z (t )] chuẩn tắc: Đặc tính cơ bản của đường cong, bao gồm: a. Độ chảy của đường cong. b. Vectơ tiếp tuyến đơn vị. c. Vectơ pháp tuyến chính. d. Độ cong và bán kính cong. 1. Độ chảy: Độ lớn của vectơ đạo hàm r (t ) được gọi là độ chảy của đường cong: & s (t ) = r (t ) (2.5) & & Hãy tưởng tượng đường cong là con đường và tham số t tượng trưng cho thời gian. Như vậy, độ chảy của đường cong tương ứng với tốc độ chạy xe. Đại lượng này được sử dụng trong thuật toán nội suy hình học theo phương pháp quét hình. Nếu đặt quãng đường đi được là tham số s, phương trình đường cong dạng r(s) trở thành phương trình tham số tự nhiên với độ chảy bằng 1. Độ chảy của đường cong không phải là đặc tính riêng của đường cong, đó là kết quả của phép tham số hoá. 2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị: Cho s là tham số tự nhiên của đường cong r(t), sao cho: θ s = ∫ r (t ) dt & 0 Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t) được định nghĩa như sau: T = dr / ds (2.6) T = r (t ) / r (t ) hay dưới dạng vi phân: (2.7) & & 3. Vectơ pháp tuyến chính: Lấy đạo hàm vectơ tiếp tuyến đơn vị T theo t và chuẩn hoá giá trị, chúng ta có vectơ đơn vị N, được gọi là vectơ pháp tuyến chính của đường cong: N = (dT / dt ) / dt / dt ≡ (dT / ds ) / dT / ds (2.8) T Vì T là vectơ đơn vị (T.T=1), do đó vectơ N vuông góc với vectơ T (Hình 2.2). Mặt phẳng định nghĩa bởi vectơ T N và N được gọi là mặt phẳng mật tiếp. Vectơ B vuông góc với vectơ N và T được gọi là Đường tròn mật tiếp vectơ pháp tuyến đôi xác định bởi quan hệ: Hình 2.2 : Vectơ pháp tuyến chính B = TxN và đường tròn mật tiếp
3 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 4. Độ cong và bán kính cong: Hãy cho s là tham số tự hiên và T là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong r(t). Độ cong được định nghĩa như sau: k = dT / ds (2.9) hay dưới dạng vi phân: r × && &r k= (2.10) 3 r & trong đó: r ≡ dr (t ) / dt ; && ≡ dr / dt . Đối với đường cong 2D dạng phương trình tường r & & minh y = y(x), phương trình trên có dạng: k = && /(1 + y 2 ) 3 / 2 y & y ≡ dy / dx ; && ≡ dy / dx trong đó: y & & Hãy xét đường tròn trên mặt phẳng mật tiếp (Hình 2.2), đi qua điểm hiện thời r(t) và độ cong của nó bằng chính độ cong của đường cong tại điểm này. Đường tròn này được gọi là đường tròn mật tiếp, bán kính của đường tròn mật tiếp được gọi là bán kính cong và được xác định bởi: ρ = 1/ k (2.11) 5. Độ xoắn của đường cong: Độ xoắn của đường cong 3D được định nghĩa như sau: τ = −(dB / ds).N trong đó N là vectơ pháp tuyến chính; B là vectơ pháp tuyến đôi. Phương trình cơ bản mô tả đặc tính của đường cong 3D được gọi là phương trình Serret-Frenet: dT / ds = kN dr / ds = T ; dB / ds = −τN −1 dN / ds = τB − kT ; (2.12) 2.2 HÌNH HỌC MẶT CONG. 2.2.1 Phương pháp biểu diễn mặt cong: 1. Mô hình mặt cong cong dạng phương trình ẩn. Hãy xét mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ Đề các. Các điểm phía trong mặt x 2 + y 2 + z 2 −1 < 0 cầu thoả bất đẳng thức: x2 + y2 + z 2 − 1 = 0 và phương trình: (2.13) biểu diễn các điểm thuộc mặt cầu. Xét một cách tổng quát, phương trình ẩn g(x,y,z) = 0 biểu diễn mặt cong giới hạn bởi hai nửa không gian g(x,y,z) > 0 và g(x,y,z) < 0. 2. Mô hình mặt cong dạng phương trình tham số. Theo hình học vi phân, mặt cong được định nghĩa như là ảnh của phép ánh xạ chính qui tập hợp điểm trong không gian 2D vào không gian 3D và được biểu diễn bởi phương trình: r (u , v) = [ x(u , v), y (u , v), z (u , v)] (2.14) trong đó: u và v là tham số của mặt cong. Đối với hình cầu đơn vị, ta có thể dễ dàng tham số hoá phương trình (2.13) bằng cách đặt tham số u là vĩ tuyến và tham số v là kinh tuyến của mặt cầu: r (u, v) = (cos v cos u, cos v sin u, sin v) (2.15)
4 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH với: 0 ≤ u ≤ 2π và − π / 2 ≤ v ≤ π / 2 Tương tự như đường tròn đơn vị có thể tham số hoá phương trình mặt cầu dưới hình thức khác, bằng cách sử dụng đa thức hữu tỷ. 3. Mô hình mặt cong dạng phương trình phi tham số. Khi miền xác định của mặt cong là mặt phẳng x-y của hệ toạ độ Descarte (u ≡ x, v ≡ y ) , mô hình tham số (2.14) trở thành phi tham số: r (u, v) = (u, v, z (u, v)) hay z = z ( x, y ) (2.16) Nếu chỉ xét bán cầu trên của mặt cầu đơn vị thì phương trình (2.13) được biểu diễn dưới dạng tường minh: z = (1 − x 2 − y 2 )1 / 2 với ( x 2 + y 2 ) ≤ 1 (2.17) đường sinh phương v ·điểm gốc v Hình học mặt cong (u=0,v=0) được minh hoạ trên hình · 2.3. Ta thường gọi phần u mặt cong trong miền tham số giới hạn là mặt lưới. Các đường biên mặt lưới liên kết theo điều đường sinh phương u kiện kết nối liên tục tạo thành mặt cong phức hợp. · (u=1,v=1) mặt lưới Hình 2.3 : Hình học mặt cong 2.2.2 Tiếp tuyến và pháp tuyến của mặt cong. Xét đường cong tham số 2D: q(t) trên miền (u,v) của mặt cong tham số r(u,v) (Hình 2.4): q(t ) = [u (t ), v(t )]T (2.18) Hãy cho đường cong r(t) là hình chiếu của đường cong q(t) trên mặt cong r(u,v), sao cho: r(t) = r(u(t), v(t)) = (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t))) (2.19) v r & rv Trường hợp đặc ru q(t) biệt của (2.19) là đường u v cong đẳng tham số: r(t) r(u,v) v = v * , u (t ) = t u u = u * , v(t ) = t Hình 2.4 - Đường cong trên mặt cong và mặt phẳng tiếp tuyến
5 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH Vectơ tiếp tuyến. Đạo hàm riêng của mặt cong r(u,v) được định nghĩa như sau: ru = ∂r / ∂u ; rv = ∂r / ∂v ; ruv = ∂ 2 r / ∂u∂v (2.20) Lấy đạo hàm phương trình (2.19) theo t, ta có: dr ∂r du ∂r dv r= = + = ru u + rv v (2.21) & & & dt ∂u dt ∂v dt trong đó: r là vectơ tiếp tuyến của đường cong r(t); ru và rv là vectơ tiếp tuyến của & đường cong đẳng tham số u = u* , v = v*. Ba vectơ tiếp tuyến r , ru, rv xác định mặt & phẳng tiếp tuyến với mặt cong (Hình 2.4). Vectơ pháp tuyến. Vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt phẳng tiếp tuyến được gọi là vectơ pháp tuyến đơn vị của mặt cong tại điểm cho trước và được xác định bởi: n = (ru × rv ) / ru × rv (2.22) Vectơ pháp tuyến đơn vị rất cần thiết trong các phép khảo sát mặt cong. Ma trận cơ sở thứ nhất. Vectơ tiếp tuyến (2.21) có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận: r = ru u + rv v = Λq (2.23) & & & & trong đó: Λ = ru , rv ; q = dq(t ) / dt = (du / dt , dv / dt ) = [u v]T . Giá trị vectơ tiếp tuyến & && được tính như sau: 2 r = (r )T (r ) = q T ΛT Λq = q T Gq (2.24) & &&& &&& ⎡r .r ru .rv ⎤ G = ΛT Λ = ⎢ u u trong đó: : Ma trận cơ sở thứ nhất. (2.25) rv .rv ⎥ ⎣ ru .rv ⎦ Do đó, vectơ tiếp tuyến đơn vị T được biểu diễn theo G như sau: T = r / r = (Λq ) /(q T Gq )1 / 2 (2.26) && &&& Áp dụng ma trận cơ sở thứ nhất, ta có thể tính diện tích mặt cong và diện tích mặt cắt theo công thức đơn giản sau: 1/ 2 S = ∫∫ ru × rv dudv = ∫∫ G (2.27) dudv 2.2.3 Độ cong. Ma trận cơ sở thứ hai. Xét đường cong r(t) trên mặt cong r(u,v) (Hình 2.4). từ (2.21), đạo hàm bậc hai của r(t) theo t có giá trị như sau: && = u (uruu + vruv ) + uru + v(vrvv + uruv ) + vrv (2.28) r && & && && & && Thực hiện phép nhân vô hướng với vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong với chú ý rằng ru.n = rv.n = 0, ta có: &&.n = (u ) 2 ruu .n + 2uvruv .n + (v) 2 rvv .n = q T Dq (2.29a) r & && & && ⎡r .n ruv .n ⎤ ⎡u ⎤ & D = ⎢ uu q=⎢ ⎥ ; trong đó: và ⎥ : ma trận cơ sở thứ hai. & ⎣ ruv .n rvv .n ⎦ ⎣v ⎦ &
6 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH Độ cong pháp tuyến. Từ phương trình (2.12), đạo hàm bậc hai của r(t) được tính như sau: dr d ( sT ) & & && s && = = = &&T + sT = &&T + s ( skN ) r s && dt dt Thực hiện phép nhân vô hướng một lần nữa với vectơ n và chú ya rằng:T.n = 0: &&.n = ( s) 2 kN .n (2.29b) r & Giá trị kN.n ở biểu thức trên được gọi là độ cong pháp tuyến kn. Từ các công thức (2.29) và (2.25), chú ý rằng s = r , độ cong pháp tuyến được xác dịnh bởi công && thức sau: &&.n q T Dq q T Dq r &&&& k n ≡ kN .n = = =T (2.30) 2 ( s) 2 ( s) q Gq & & && Ý nghĩa vật lý của độ cong pháp tuyến như sau: Tại điểm hiện thời r(u(t),v(t)) trên mặt cong r(u,v), dựng mặt phẳng π đi qua vectơ tiếp tuyến đơn vị T và vectơ pháp tuyến đơn vị n của mặt cong. Độ cong của đường cong với mặt phẳng π là độ cong pháp tuyến của mặt cong tại điểm r(t) theo phương vectơ q . & Độ cong chính. Độ cong pháp tuyến (2.30) là hàm của q : & q T Dq && k n (q ) = & q T Gq && Do đó có thể tính giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến từ biểu thức: ∂k n = 2 Dq − 2k n Gq = 0 (2.31) & & ∂q& Giá trị cực đại của độ cong pháp tuyến được gọi là độ cong chính và được xxác định từ (2.30) như sau: b + (b 2 − ac)1 / 2 b − (b 2 − ac)1 / 2 k n1 = k n2 = ; (2.32) a a ⎡g h⎤ ⎡d1 e⎤ g1 d 2 + g 2 d1 a= G =⎢ 1 ⎥ ; b= − eh ⎥ ; c= D =⎢e trong đó: ⎣h g2 ⎦ d2 ⎦ 2 ⎣ Với: g1, g2, h, d1, d2, e là các số hạng tương ứng của ma trận cơ sở G và D. Tích giá trị hai độ cong chính được gọi là độ cong Gauss được sử dụng để biểu diễn độ trơn láng của mặt cong.
7 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH 2.3 PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ. Mọi phép biến hình trong đồ hoạ điện toán và mô hình hoá hình học đều dựa trên 3 hình thức biến đổi toạ độ cơ bản là dịch chuyển tịnh tiến, lấy tỷ lệ và quay. 2.3.1 Phép biến đổi toạ độ 2D. Giả sử điểm P’(x’,y’) là vị trí của điểm P(x,y) sau phép biến đổi toạ độ. Toạ độ (x’,y’) của điểm P’ tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx,ty) (Hình 2.5a); hệ số tỷ lệ s (sx,sy) (Hình 2.5b); góc xoay θ ngược chiều quya kim đồng hồ (Hình 2.5c) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty (2.33) x’ = sx.x ; y’ = sy.y (2.34) x’ = xcosθ - ysinθ ; y’ = xsinθ + ycosθ (2.35) y y y P’(x’,y’) P’(x’,y’) P’(x’,y’) r ty P(x,y) P(x,y) r θ P(x,y) tx x x x α o o o a) b) c) Hình 2.5 - Phép biến đổi toạ độ 2D Phép biến đổi đồng nhất. Biểu diễn điểm dưới dạng toạ độ đồng nhất cho phép đơn giản hoá và thống nhất hoá biểu diễn các phép biến đổi hình học như phép nhân ma trận. Theo toạ độ đồng nhất, điểm trong không gian n chiều được ánh xạ vào không gian (n+1) chiều. Thí dụ điểm P(x,y) trong hệ toạ độ Đề các 3 chiều được biểu diễn dưới dạng toạ độ đồng nhất 4 chiều P’(x’,y’,z’,h) theo mối quan hệ: x = x’/h ; y = y’/h ; z = z’/h (2.36) h ≠ 0: hệ số vô hướng. trong đó: Môi quan hệ (2.36) dựa trên thực tế, nếu toạ độ Đè các của điểm P được nhân với hệ số h, điểm P sẽ được di chuyển tới vị trí mới P’(x’,y’,z’) theo phép lấy tỷ lệ với hệ số h. Tổng quát, có thể biểu diễn phép biến đổi 2D tuyến tính (2.33), (2.34), (2.35) dưới dạng ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất (chuẩn tắc) Ph, P’h và ma trận biến đổi đồng nhất M: P’h = PhM (2.37) trong đó: Ph = (x y 1) ; P’h = (x’ y’ 1)
8 GVC NGUYỄN THẾ TRANH C2 CAD-CAM> CO SO MHHHH Ma trận biến đổi toạ độ M tương ứng với phép dịch chuyển (T), phép lấy tỷ lệ (S) và phép quay (R) có giá trị như sau: ⎡ cosθ sin θ ⎡1 0⎤ ⎡s x 0⎤ 0⎤ 0 0 ⎢ ⎥ S =⎢0 0⎥ ; R = ⎢− sin θ 0⎥ cosθ T = ⎢0 0⎥ ; 1 sy ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢t x 1⎥ ⎢0 1⎥ ⎢0 1⎥ ty 0 0 ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2.3.2 Phép biến đổi toạ độ 3D. Phép biến đổi toạ độ 3D là mở rộng của phép biến đổi toạ độ 2D. Toạ độ (x’,y’,z’) của điểm P(x,y,z) sau phép biến đổi toạ độ, tương ứng với vectơ dịch chuyển t (tx, ty, tx); hệ số tỷ lệ s (sx, sy, sz) được xác định như sau: x’ = x + tx ; y’ = y + ty ; z’ = z + t z (2.38) x’ = sx.x ; y’ = sy.y ; z’ = sz.z (2.39) Tương tự như đối với trường hợp biến đổi 2D, có thể biểu diễn phép dịch chuyển 3D (2.38) và phép lấy tỷ lệ (2.39) dưới hình thức tích ma trận bởi vectơ toạ độ đồng nhất Ph, P’h, ma trận biến đổi T(S): P’h = PhT (2.40a) P’h = PhS (2.40b) trong đó: Ph = (x y z 1) ; P’h = (x’ y’ z’ 1) ⎡1 0⎤ 0 0 ⎡s x 0⎤ 0 0 ⎢0 0⎥ ⎢0 0⎥ 1 0 sy 0 T =⎢ ⎥; S=⎢ ⎥ ⎢0 0⎥ ⎢0 0⎥ 0 1 0 sz ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢t x ty tz 1⎥ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣ ⎦ Bởi vì rất khó xác định phép quay quanh trục bất kỳ trong không gian 3D, phép quay quanh trục bất kỳ thường được qui về các phép quay cơ bản quanh các trục hệ toạ độ, về cơ bản là phép quya 2D (bảng 2.1). Bảng 2.1 X’ Y’ Z’ Phép quay cơ bản y’ = ycosθ - zsinθ z’ = ysinθ + zcosθ x’ = x quanh trục x x’ = zsinθ + xcosθ z’ = zcosθ + xsinθ y’ = y quanh trục y ĩn’ = xcosθ + ysinθ y’ = xsinθ + ycosθ z’ = z quanh trục z Có thể thấy rằng ma trận biến đổi đồng nhất đối với phép quay (Bảng 2.1) có giá trị như sau (C = cosθ ; S = sinθ): 0 −S ⎡1 0 0 0⎤ ⎡C 0⎤ ⎡C 0⎤ S 0 ⎢0 C S 0 ⎥ ⎢0 0⎥ ⎢−S 0⎥ 10 C 0 R ( x, θ ) = ⎢ ⎥; R ( y ,θ ) = ⎢ ⎥; R( z ,θ ) = ⎢ ⎥ (2.41) ⎢0 − S C 0 ⎥ ⎢S 0⎥ ⎢0 C 0⎥ 0 C 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 1 ⎦ ⎣0 0 0 1⎦ ⎣0 0 0 1⎦