intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn Toán 11 (Quyển 1)

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:188

Thêm vào BST
Báo xấu
24
lượt xem 8
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách "Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn Toán 11 (Quyển 1)" tổng hợp trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn Toán 11 (Quyển 1): hàm số lượng giác và phương trình lượng giác; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 1. Mời thầy cô và các em cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải bài tập môn Toán 11 (Quyển 1)

  1. MSE EDUCATION SÁCH CÓ BÁN TẠI VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC LƯU HÀNH NỘI BỘ
  2. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuû ñeà HAØM SOÁ LÖÔÏNG GIAÙC 1 PHÖÔNG TRÌNH LÖÔÏNG GIAÙC PHAÀN 1. TÖÏ LUAÄN BÀI 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ: 1. Hàm số chẵn, hàm số lẻ:  Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu: với mọi x  D thì  x  D và f x  f  x .  Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu: với mọi x  D thì  x  D và f x   f  x .  Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.  Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. 2. Hàm số đơn điệu: Cho hàm số y  f  x  xác định trên tập  a; b    .  Hàm số y  f  x  gọi là đồng biến (hay hàm số tăng) trên  a; b  nếu x1 , x2   a; b  có x1  x2  f  x1   f  x2  .  Hàm số y  f  x  gọi là nghịch biến (hay hàm số giảm) trên  a; b  nếu x1 , x2   a; b  có x1  x2  f  x1   f  x2  . 3. Hàm số tuần hoàn: Hàm số y  f  x  xác định trên tập hợp D, được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0 sao cho với mọi x  D ta có ( x  T )  D và ( x  T )  D và f  x  T   f  x  . Nếu có số dương T nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T gọi là chu kì của hàm tuần hoàn f. II. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC: 1. Hàm số sin: y  sin x  Tập xác định  .  Tập giá trị:  1;1 ,có nghĩa là 1  sin x  1, x   .  Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa sin  x  k 2   sin x với k   .      Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ;  k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  2 2  Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 1
  3. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  3    k 2 ;  k 2  , k   . 2 2   Đồ thị: y  sin x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O là tâm đối xứng. y 1 f(x) = sin(x) π 3π -3π -2π -π - π 2π 3π 2 2 3π O π x - 2 2 -1  Một số giá trị đặc biệt:  sin x  0  x  k , (k  )   sin x  1  x   k 2 , (k  ) 2   sin x  1  x    k 2 , (k  ) 2 2. Hàm số côsin: y  cos x :  Tính chất:  Tập xác định  .  Tập giá trị:  1;1 , có nghĩa là 1  cos x  1, x   .  Hàm số tuần hoàn với chu kì 2 , có nghĩa cos  x  k 2   cos x với k   .  Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k 2 ; k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng  k 2 ;   k 2  , k   .  Đồ thị: y  cos x là hàm số chẵn, đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. y 1 f(x) = cos (x) -3π -π π 3π -2π 3π π O π 3π 2π x - - 2 2 2 2 -1  Một số giá trị đặc biệt:   cos x  0  x   k , (k  ) 2  cos x  1  x  k 2 , (k  ) .  cos x  1  x    k 2 , (k  ) . sin x 3. Hàm số tang: y  tan x  : cos x    Tập xác định:  \   k k    2   Tâp giá trị là  .  Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa tan  x  k   tan x, (k  ) .      Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng    k ;  k  ,  k    .  2 2   Đồ thị: y  tan x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 2
  4. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  mỗi đường thẳng x   k , k   làm đường tiệm cận. 2 y fx = tanx -2π 3π -π π π π 3π 2π - - O x 2 2 2 2  Một số giá trị đặc biệt :  tan x  0  x  k , k     tan x  1  x   k , k   . 4   tan x  1  x    k , k   . 4 cos x 4. Hàm số cotang: y  cot x  : sin x  Tập xác định:  \ k k   .  Tập giá trị:  .  Hàm số tuần hoàn với chu kì  , có nghĩa cot  x  k   cot x, (k  ) .  Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng  k ;   k  , k   .  Đồ thị: y  cot x là hàm số lẻ, đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng và nhận mỗi đường thẳng x  k , k   làm đường tiệm cận. y f(x)=cotan(x) 3π π π 3π 2π -2π - -π - π 2 2 O 2 2 x  Một số giá trị đặc biệt :   cot x  0  x   k , k   . 2   cot x  1  x   k , k   . 4   cot x  1  x    k , k   . 4 Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 3
  5. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ DẠNG TOÁN VẤN ĐỀ 01. TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để tìm tập xác định của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:  Tập xác định của hàm số y  f  x  là D   x   f  x    .  Tập xác định của các hàm số cơ bản:  y  sin  f  x   xác định  f  x  xác định.  y  cos  f  x   xác định  f  x  xác định.   y  tan  f  x   xác định  f  x  xác định và f  x    k ,  k    . 2  y  cot  f  x   xác định  f  x  xác định và f  x   k ,  k    .  Chú ý: A  có nghĩa khi B  0 và A có nghĩa. B  A có nghĩa khi A  0 và A có nghĩa. B- CÁC VÍ DỤ Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau  2x    a) y  sin  . b) y  tan  x   .  x 1  6 Lời giải a) Hàm số xác định khi x  1  0  x  1 . Vậy tập xác định của hàm số là D   \ 1 .   2 b) Hàm số xác định khi x    k  x   k ,  k    . 6 2 3  2  Vậy tập xác định của hàm số là D   \   k k    .  3  Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau   a) y  tan  .cos x  . b) y  sin x  1  2  cos 2 x . 2  Lời giải   cos x  1 a) Hàm số xác định khi .cos x   k  cos x  1  2k    x  l ,  l    . 2 2 cos x  1 Vậy tập xác định của hàm số là D   \ l l   .  b) Hàm số xác định khi sin x  1  0  sin x  1  sin x  1  x   k 2 ,  k    . 2   Vậy tập xác định của hàm số là D   \   k 2 k    . 2  Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 4
  6. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau tan x  cot x a) y  cos x  sin x . b) y  . cos 2 x Lời giải     a) Hàm số xác định khi cos x  sin x  0  2 sin  x    0  sin  x    0  4  4   3  k 2  x     k 2    k 2  x   k 2 ,  k    . 4 4 4   3  Vậy tập xác định của hàm số là D   x     k 2  x   k 2 , k    .  4 4  cos x  0  sin 2 x  0 b) Hàm số xác định khi sin x  0   cos 2 x  0 cos 2 x  0    sin 4 x  0  4 x  k  x  k , k  . 4    Vậy tập xác định của hàm số là D   \ k k    .  4  Bài 4. Tìm tập xác định của các hàm số sau 1  cos x a) y  sin x  1  cos x  1 . b) y  . 2  sin x Lời giải sin x  1  0 sin x  1 sin x  1 a) Hàm số xác định khi    : vô lý. cos x  1  0 cos x  1 cos x  1 Vậy tập xác định của hàm số là D   . b) Hàm số xác định khi 2  sin x  0  sin x  2  x   . Vậy tập xác định của hàm số là D   . Bài 5. Tìm tập xác định của các hàm số sau tan x a) y  2 . b) y  1  sin  x 2  2 x  1 . cos x  2cos x  4 Lời giải   tan x  0  k  x   k a) Hàm số xác định khi  2  2  cos x  2 cos x  4  0  x     k  x   k ,  k    . 2    Vậy tập xác định của hàm số là D   x   k  x   k , k    .  2  b) Hàm số xác định khi 1  sin  x 2  2 x  1  0  sin  x 2  2 x  1  1  x 2  2 x  1    x   . Vậy tập xác định của hàm số là D   . Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 5
  7. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VẤN ĐỀ 02. XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để xét tính chẵn, lẻ của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:  Hàm số y  f  x  được goi là hàm số chẵn nếu  Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là x  D suy ra  x  D .  f   x   f  x  , x  D .  Hàm số y  f  x  được goi là hàm số lẻ nếu  Tập xác định của các hàm số có tính đối xứng, nghĩa là x  D suy ra  x  D .  f   x    f  x  , x  D .  Chú ý: Nếu hàm số f  x  vi phạm một trong hai điều kiện thì ta kết luận hàm số f  x  không chẵn, không lẻ. B- CÁC VÍ DỤ Bài 6. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau a) y  3x 2  cos 2 x . b) y  x 2 sin x  tan x . Lời giải a) Tập xác định D   suy ra x  D thì  x  D . 2 Ta có f   x   3   x   cos  2 x   3 x 2  cos 2 x  f  x  . Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.   b) Tập xác định D   \   k k    . Ta thấy x  D thì  x  D . 2  2 Ta có f   x     x  sin   x   tan   x    x 2 sin x  tan x    x 2 sin x  tan x    f  x  . Do đó hàm số đã cho là hàm số lẻ. Bài 7. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau   1 a) y  5cos  2 x   . b) y  cos 2 x .  3 x 1 Lời giải a) Tập xác định D   suy ra x  D thì  x  D .           5 3        f     5cos      5cos       f   12   f  12   12   6 3  6 3 2      Ta có    .  f     5cos       5cos     0  f      f      12   6 3    2   12     12  Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ. b) Tập xác định D   \ 1 . Ta có x  1 D nhưng  x  1 D nên D không có tính đối xứng. Do đó hàm số đã cho không chẵn, không lẻ. Bài 8. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau sin x  tan x cos3 x  sin 2 x a) y  . b) y  . sin x  cot x cos 2 x Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 6
  8. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải cos x  0 cos x  0   cos x  0  a) Hàm số xác định khi sin x  0  sin x  0  xk , sin x  cot x  0 sin 2 x  cos x  0 sin x  0 2   k  .    Tập xác định D   \ k k    suy ra x  D thì  x  D .  2  sin   x   tan   x   sin x  tan x sin x  tan x Ta có f   x      f  x . sin   x   cot   x   sin x  cot x sin x  cot x Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.    b) Hàm số xác định khi cos 2 x  0  2 x   k  x   k ,  k    . 2 4 2    Tập xác định D   \   k k    suy ra x  D thì  x  D . 4 2  cos3   x   sin 2   x  cos 3 x  sin 2 x Ta có f   x     f  x . cos  2 x  cos 2 x Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn. VẤN ĐỀ 03. XÉT TÍNH TUẦN HOÀN VÀ TÌM CHU KỲ CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Để xét tính tuần hoàn của các hàm số ta dựa vào khái niệm sau:  Hàm số y  f  x  xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu x  D  x  T  D T  0 sao cho  .  f  x  T   f  x  , x  D  Nếu tồn tại số T  0 nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì T được gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn y  f  x  . 2  Chú ý: ● y  sin  ax  b  có chu kỳ T0  . a 2 ● y  cos  ax  b  có chu kỳ T0  . a  ● y  tan  ax  b  có chu kỳ T0  . a  ● y  cot  ax  b  có chu kỳ T0  . a ● y  f1  x  có chu kỳ T1 và y  f 2  x  có chu kỳ T2 thì hàm số y  f1  x   f 2  x  có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2 . Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 7
  9. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B- CÁC VÍ DỤ Bài 9. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau 1 a) y  1  sin 2 2 x . b) y  . sin 2 x Lời giải 1  cos 4 x 3 1 a) Ta có y  f  x   1  sin 2 2 x  1    cos 4 x . 2 2 2 Tập xác định D   . Giả sử f  x  T   f  x  , x  D 3 1 3 1   cos 4  x  T    cos 4 x , x  D 2 2 2 2  cos  4 x  4T   cos 4 x , x  D .  * Khi cho x  0 thì  * cũng phải đúng, tức là  cos 4T  cos 0  cos 4T  1  4T  k 2  T  k , k  . 2 Ngược lại, dễ thấy 3 1   3 1 3 1  cos 4  x  k    cos  4 x  k 2    cos 4 x , x  D . 2 2  2 2 2 2 2  x  D  x  T  D Vậy khi T  k ,  k    thì ta có  . 2  f  x  T   f  x  , x  D Tức là y  f  x   1  sin 2 2 x làm hàm số tuần hoàn.   Mặt khác trong các số T  k thì số dương nhỏ nhất là T  . 2 2  Do đó hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T  . 2  b) Hàm số xác định khi sin 2 x  0  2 x  k  x  k ,  k    . 2    Tập xác định D   \ k k    .  2  Giả sử f  x  T   f  x  , x   1 1   , x  D  sin  2 x  2T   sin 2 x , x  D .  * sin 2  x  T  sin 2 x  Khi cho x  thì  * cũng phải đúng, tức là 4        sin   2T   sin  sin   2T   1   2T   k 2  T  k ,  k    . 2  2 2  2 2 1 1 1 Ngược lại, dễ thấy   , x  D . sin 2  x  k  sin  2 x  2k  sin 2 x x  D  x  T  D Vậy khi T  k ,  k    thì ta có  .  f  x  T   f  x  , x  D Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 8
  10. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 Tức là y  f  x   làm hàm số tuần hoàn. sin 2 x Mặt khác trong các số T  k thì số dương nhỏ nhất là T   . Do đó hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn có chu kỳ T   . Bài 10. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ của các hàm số sau a) y  x  sin x . b) y  sin 2 2 x  cos 2 2 x . Lời giải a) Tập xác định D   . Giả sử f  x  T   f  x  , x  D   x  T   sin  x  T   x  sin x , x  D  T  sin  x  T   sin x , x  D .  * Cho x  0 và x   , ta được T  sin x  sin 0  0  suy ra 2T  sin T  sin   T   0  T  0 . T  sin    T   sin   0 Điều này trái với định nghĩa là T  0 . Vậy hàm số y  x  sin x không phải là hàm số tuần hoàn. b) Tập xác định D   . Ta có sin 2 2  x  T   cos 2 2  x  T   1  sin 2 2 x  cos 2 2 x , x  D hay f  x  T   f  x  , x  D . Vậy hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn. Nhưng trong các số thực T dương không có số nhỏ nhất nên hàm số đã cho tuần hoàn nhưng không có chu kỳ. VẤN ĐỀ 04. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN  Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng, đoạn (nhỏ hơn một chu kỳ của hàm số đó) ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, đoạn đó rồi dựa vào bảng biến thiên suy ra kết quả.  Nếu phải tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên toàn bộ tập xác định của nó ta có thể biến đổi hàm số về dạng đơn giản nhất rồi dựa vào miền giá trị của hàm số đã cho để suy ra kết quả.  Chú ý:  Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f  x  trên X nếu x  X : f  x   M  . Kí hiệu: M  max f  x  . x0  X : f  x0   M X  Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x  trên X nếu x  X : f  x   m  . Kí hiệu: m  min f  x  . x0  X : f  x0   m X Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 9
  11. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B- CÁC VÍ DỤ Bài 11. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau   2         a) y  sin x trên đoạn   ;  . b) y  cos  2 x    cos  2 x   trên   ;  .  3 3   4  4  3 6 Lời giải   2  a) Ta có bảng biến thiên của hàm số y  sin x trên đoạn   ;  .  3 3   0 3 x  0 3 2 1 sin x 0 3 3 2  2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy     3 max f  x   f    1 và min f  x   f      .   2   3 ; 3  2   2   3 ; 3   3 2          b) Ta có y  cos  2 x    cos  2 x    2sin 2 x.sin   2 sin 2 x .  4  4 4    Bảng biến thiên của hàm số y   2 sin 2 x trên đoạn   ;  .  3 6    x   0 3 4 6 2   2x   0 3 2 3 2  2 sin 2x 0 6 6  2 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy     6 max f  x   f     2 và min f  x   f     .     3 ; 6   4     3 ; 6  6 2     Bài 12. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau   a) y  3  sin  2 x   . b) y  5  4sin 2 x cos 2 x .  4 c) y  1  sin  x 2   1 . d) y  tan x  cot x . Lời giải a) Hàm số có tập xác định D   .     Ta có 1  sin  2 x    1  1   sin  2 x    1  4  4    4  3  sin  2 x    2  4  y  2 .  4 Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 10
  12. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC      ● y  2  sin  2 x    1  2 x    k 2  x   k ,  k    .  4 4 2 8  Vậy min y  2 khi x   k ,  k    .  8     3 ● y  4  sin  2 x    1  2 x     k 2  x    k ,  k    .  4 4 2 8 3 Vậy max y  4 khi x    k ,  k    .  8 b) Hàm số có tập xác định D   . Ta có y  5  4sin 2 x cos 2 x  5  2sin 4 x . Do 1  sin 4 x  1   2  2sin 4 x  2  3  5  2sin 4 x  7  3  y  7 .    ● y  3  sin 4 x  1  4 x    k 2  x    k ,  k    . 2 8 2   Vậy min y  3 khi x    k ,  k    .  8 2    ● y  7  sin 4 x  1  4 x   k 2  x   k ,  k    . 2 8 2   Vậy max y  7 khi x   k ,  k    .  8 2 c) Hàm số có tập xác định D   . Ta có 1  sin  x 2   1  1   sin  x 2   1  2  1  sin  x 2   0  2  1  sin  x 2   0  2  1  1  sin  x 2   1  1  2  1  y  1 .   ● y  1  sin  x 2   1  x 2   k 2  x   k 2 ,  k     . 2 2  Vậy min y  1 khi x   k 2 ,  k     .  2   ● y  2  1  sin x 2  1  x 2    k 2  x    k 2 ,  k     . 2 2  Vậy max y  2  1 khi x    k 2 ,  k     .  2    d) Hàm số có tập xác định D   \ k k    .  2  sin x cos x sin 2 x  cos2 x 2 Ta có y  tan x  cot x     . cos x sin x sin x cos x sin 2 x Với x  D thì 1  sin 2 x  0 hoặc 0  sin 2 x  1 . 1 2 ● Trường hợp 1  sin 2 x  0   1   2 hay y   ; 2 . sin 2 x sin 2 x 1 2 ● Trường hợp 0  sin 2 x  1  1   2 hay y   2;   . sin 2 x sin 2 x Vậy hàm số y  tan x  cot x không có giá trị lớn nhất và không có giá trị nhỏ nhất. Bài 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) y  cos 2 x  2sin x  2 . b) y  sin 4 x  2 cos 2 x  1 . c) y  3sin 4 x  cos 4 x . d) y  2sin 4 x  cos 4 x . Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 11
  13. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Lời giải a) Hàm số có tập xác định D   . Ta có 2 y  cos2 x  2sin x  2  1  sin 2 x   2sin x  2   sin 2 x  2sin x  3    sin x  1  4 . 2 Do 1  sin x  1   2  sin x  1  0  4   sin x  1  0 2 2   4    sin x  1  0  0    sin x  1  4  4  0 y  4.  ● y  0  sin x  1  x    k 2 ,  k    . 2  Vậy min y  0 khi x    k 2 ,  k    .  2  ● y  4  sin x  1  x   k 2 ,  k    . 2  Vậy max y  4 khi x   k 2 ,  k    .  2 b) Hàm số có tập xác định D   . 2 2 Ta có y   1  cos 2 x   2cos2 x  1  cos4 x  4 cos 2 x  2   cos2 x  2   2 . 2 Do 0  cos 2 x  1   2  cos2 x  2  1  4   cos 2 x  2   1 2  2   cos 2 x  2   2  1  2  y  1 . ● y  1  cos 2 x  1  cos x  1  x  k ,  k    . Vậy min y  1 khi x  k ,  k    .   ● y  2  cos 2 x  0  cos x  0  x   k ,  k    . 2  Vậy max y  2 khi x   k ,  k    .  2 c) Hàm số có tập xác định D   . 2 4  1  cos 2 x  2 Ta có y  3sin x  cos 4 x  3    2 cos 2 x  1  2  2 11 2 3 1 11  3 5  cos 2 x  cos 2 x    cos 2 x    . 4 2 4 4 11  11 2 14 3 8  3  196 Do 1  cos 2 x  1    cos 2 x    0   cos 2 x    11 11 11  11  121 2 2 11  3  49 5 11  3 5 5  0   cos 2 x        cos 2 x     4    y  4 . 4 11  11 11 4  11  11 11 5 3 3 1 3 ● y  cos 2 x   2 x   arccos  k 2  x   arccos  k ,  k    . 11 11 11 2 11 5 1 3 Vậy min y   khi x   arccos  k ,  k    .  11 2 11  ● y  4  cos 2 x  1  2 x    k 2  x   k ,  k    . 2 Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 12
  14. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  Vậy max y  4 khi x   k ,  k    .  2 d) Hàm số có tập xác định D   . 2 2 4 4  1  cos 2 x   1  cos 2 x  Ta có y  2sin x  cos x  2      2   2  2 3 1 3 3 1 2  cos 2 2 x  cos 2 x    cos 2 x    . 4 2 4 4 3 3 2 4 1 2  1  16 Do 1  cos 2 x  1    cos 2 x    0   cos 2 x    3 3 3  3 9 2 2 3 1 4 2 3 1 2 2  0   cos 2 x       cos 2 x     2   y  2 . 4 3 3 3 4 3 3 3 2 1 1 1 1 ● y   cos 2 x   2 x   arccos  k 2  x   arccos  k ,  k    . 3 3 3 2 3 2 1 1 Vậy min y  khi x   arccos  k ,  k    .  3 2 3  ● y  2  cos 2 x  1  2 x    k 2  x   k ,  k    . 2  Vậy max y  2 khi x   k ,  k    .  2 Bài 14. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau   a) y  4sin 2 x  2 sin  2 x   . b) y  sin 6 x  cos 6 x .  4 Lời giải a) Hàm số có tập xác định D   .   Ta có y  4sin 2 x  2 sin  2 x    2 1  cos 2 x   sin 2 x  cos 2 x  4    sin 2 x  cos 2 x  2  2 sin  2 x    2 .  4     Do 1  sin  2 x    1   2  2 sin  2 x    2  4  4    2  2  2 sin  2 x    2  2  2 .  4      ● y  2  2  sin  2 x    1  2 x     k 2  x    k ,  k    .  4 4 2 8  Vậy min y  2  2 khi x    k ,  k    .  8     3 ● y  2  2  sin  2 x    1  2 x    k 2  x   k ,  k    .  4 4 2 8 3 Vậy max y  2  2 khi x   k ,  k    .  8 b) Hàm số có tập xác định D   . Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 13
  15. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 3 3 Ta có y  sin 6 x  cos 6 x   sin 2 x  cos 2 x   3sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   1  sin 2 2 x . 4 3 3 3 1 1 Do 0  sin 2 2 x  1  0   sin 2 2 x    1  1  sin 2 2 x   1 y  . 4 4 4 4 4 1    ● y   sin 2 2 x  1  sin 2 x  1  2 x   k  x   k ,  k    . 4 2 4 2 1   Vậy min y  khi x   k ,  k    .  4 4 2  ● y  1  sin 2 2 x  0  sin 2 x  0  2 x  k  x  k ,  k    . 2 Vậy max y  1 khi x  k ,  k    .  Bài 15. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) y  a sin x  b cos x  c . b) y  sin x  3 cos x  3 . Lời giải a) Hàm số có tập xác định D   . Ta có y  a sin x  b cos x  c  a sin x  b cos x  c  y  0 .  * Nhận xét. Ta xem phương trình  * như phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 c  y   a2  b2   a 2  b2  y  c  a 2  b2  c  a 2  b2  y  c  a 2  b2 . ● y  c  a 2  b 2  c  a 2  b 2  a sin x  b cos x  c  0 a b  sin x  cos x  1 2 2 a b a  b2 2    sin  x     1  x      k 2  x     k 2 ,  k    . 2 2 a b với  thỏa mãn cos   ;sin   . 2 2 a b a  b2 2  Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng c  a 2  b 2 khi x     k 2 ,  k    . 2 ● y  c  a 2  b 2  c  a 2  b 2  a sin x  b cos x  c  0 a b  sin x  cos x  1 2 2 a b a  b2 2    sin  x     1  x     k 2  x     k 2 ,  k    . 2 2 a b với  thỏa mãn cos   ;sin   . a2  b2 a 2  b2  Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng c  a 2  b 2 khi x     k 2 ,  k    . 2 b) Cách 1. Tương tự như câu a. Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 14
  16. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1 3    Cách 2. Ta có y  sin x  3 cos x  3  2  sin x  cos x   3  2sin  x    3 . 2 2   3       Do 1  sin  x    1  2  2sin  x    2  1  2sin  x    3  5  1  y  5 .  3  3  3     5 ● y  1  sin  x    1  x     k 2  x    k 2 ,  k    .  3 3 2 6 5 Vậy min y  1 khi x    k 2 ,  k    .  6      ● y  5  sin  x    1  x    k 2  x   k 2 ,  k    .  3 3 2 6  Vậy max y  5 khi x   k 2 ,  k    .  6 Bài 16. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a) y  A sin 2 x  B sin x cos x  C cos 2 x . b) y  2sin 2 x  3sin x cos x  5cos 2 x . Lời giải a) Hàm số có tập xác định D   .  1  cos 2 x  sin 2 x  1  cos 2 x  Ta có y  A sin 2 x  B sin x cos x  C cos 2 x  A   B C   2  2  2  B C A AC  sin 2 x    cos 2 x  . 2  2  2 Đến đây bạn đọc giải hoàn toàn như bài 14 a). b) Cách 1. Tương tự như câu a. 3  1  cos 2 x  Cách 2. Ta có y  2sin 2 x  3sin x cos x  5cos 2 x  1  cos 2 x   sin 2 x  5   2  2  3 3 7 3 2   7  sin 2 x  cos 2 x   sin  2 x    . 2 2 2 2  4 2   3 2 3 2   3 2 Do 1  sin  2 x    1    sin  2 x     4 2 2  4 2 73 2 3 2    7 3 2 7   sin  2 x     . 2 2  4 2 2 73 2     3 ● y  sin  2 x    1  2 x     k 2  x    k ,  k    . 2  4 4 2 8 73 2 3 Vậy min y  khi x    k ,  k    .  2 8 73 2      ● y  sin  2 x    1  2 x    k 2  x   k ,  k    . 2  4 4 2 8 73 2  Vậy max y  khi x   k ,  k    .  2 8 Bài 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a sin x  b cos x  c sin x  2 cos x  1 a) y  . b) y  . A sin x  B cos x  C sin x  cos x  2 Lời giải Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 15
  17. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC a) Điều kiện: A sin x  B cos x  C  0 . a sin x  b cos x  c Ta có y   y  A sin x  B cos x  C   a sin x  b cos x  c A sin x  B cos x  C   Ay  a  sin x   By  b  cos x  Cy  c  0 . Đến đây các em giải hoàn toàn như bài 14 a). b) Hàm số có tập xác định D   . sin x  2 cos x  1 Ta có y   y  sin x  cos x  2   sin x  2cos x  1 sin x  cos x  2  1  y  sin x   2  y  cos x  1  2 y  0 .  * Nhận xét. Ta xem phương trình  * như phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 2 2 2 1  2 y   1  y    2  y   2 y 2  2 y  4  0  2  y  1 . 3 4 ● y  2 . Thay vào  * , ta được 3sin x  4cos x  5  0  sin x  cos x  1 5 5  3 4  sin  x     1  x     k 2 ,  k    với  thỏa mãn cos   ;sin   . 2 5 5  Vậy min y  2 khi x     k 2 ,  k    .  2 ● y  1 . Thay vào  * , ta được cos x  1  x  k 2 . Vậy max y  1 khi x  k 2 ,  k    .  VẤN ĐỀ 05: VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT HÀM SỐ SUY RA TỪ MỘT ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ĐÃ BIẾT A- PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Giả sử hàm số y  f  x  có đồ thị là  C  .  Đồ thị  C   của hàm số y  k . f  x  , k   được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y  của  C  thành điểm  x; ky  của  C   .  Đồ thị  C   của hàm số y  f  kx  , k   được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm 1  1   x; y  của  C  thành điểm  x; y  của  C   nếu k  0 hoặc thành điểm  x;  y  k  k  của  C   nếu k  0 .  Đồ thị  C   của hàm số y  f  x  k  , k   được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y  của  C  thành điểm  x  k ; y  của  C   hoặc thực hiện phép tịnh tiến đồ thị   C  theo véc tơ u   k ;0  .  Đồ thị  C '  của hàm số y  f  x   k, k   được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y  của  C  thành điểm  x; y  k  của  C   hoặc thực hiện phép tịnh tiến đồ thị   C  theo véc tơ u   0; k  .  Đồ thị của hai hàm số y  f  x  và y   f  x  đối xứng với nhau qua trục hoành.  Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng.  Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 16
  18. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B- CÁC VÍ DỤ Bài 18. Từ đồ thị hàm số y  sin x hãy suy ra đồ thị của mỗi hàm số sau: 1  1  a) y  2sin x b) y   sin x c) y  sin 3 x d) y  sin   x  2  2      e) y  sin  x   f) y  sin  x   g) y  sin x  2 h) y  2 cos 2 x  1 .  3  4 Lời giải Gọi đồ thị của hàm số y  sin x là  C  a) Đồ thị  C1  của hàm số y  2sin x được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y  của C  thành điểm  x; 2 y  của  C1  , hay nói cách khác đồ thị  C1  nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị  C  theo phương trục tung hai lần (hình 1). y gx = 2∙sinx 2 1 fx = sinx -2π -π π 2π O x -1 -2 Hình 1 1 b) Đồ thị  C2  của hàm số y   sin x được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y  2  1  của  C  thành điểm  x;  y  của  C2  , hay nói cách khác đồ thị  C2  nhận được bằng  2  cách thực hiện phép giãn đồ thị  C  theo phương trục tung hai lần (hình 2). y 2 1 (C2) -2π -π π 2π O x -1 (C) -2 Hình 2 c) Đồ thị  C3  của hàm số y  sin 3 x được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y  của x   C  thành điểm  ; y  của  C3  , hay nói cách khác đồ thị  C3  nhận được bằng cách thực 3  hiện phép co đồ thị  C  theo phương trục hoành ba lần (hình 3). y 2 1 (C3) -2π -π π 2π O x -1 (C) -2 Hình 3 Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 17
  19. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  1  d) Đồ thị  C4  của hàm số y  sin   x  được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y   2  của  C  thành điểm  2 x;  y  của  C4  , hay nói cách khác đồ thị  C4  nhận được bằng cách thực hiện phép giãn đồ thị  C  theo phương trục hoành hai lần để được đồ thị  C   và sau đó thực hiện phép đối xứng  C   qua trục hoành được  C4  (hình 4). y 2 (C4) 1 -2π -π π 2π O x -1 (C) -2 Hình 4   e) Đồ thị  C5  của hàm số y  sin  x   được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  3   x; y  của  C  thành điểm  x  ; y  của  C5  , hay nói cách khác đồ thị  C5  nhận được  3      bằng cách thực hiện phép tịnh tiến  C  ) theo véctơ u    ; 0  tức là tịnh tiến  C  theo  3   phương trục hoành sang trái một đoạn đơn vị (hình 5). 3 y 2 (C5) 1 -2π -π π 2π O x -1 (C) -2 Hình 5   f) Đồ thị  C6  của hàm số y  sin  x   được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  4   x; y  của  C  thành điểm  x  ; y  của  C6  , hay nói cách khác đồ thị  C6  nhận được  4     bằng cách thực hiện phép tịnh tiến  C  theo véctơ u   ; 0  tức là tịnh tiến  C  theo 4   phương trục hoành sang phải một đoạn đơn vị (hình 6). 4 y 2 (C6) 1 -2π -π π 2π O x -1 (C) -2 Hình 6 Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 18
  20. PHÂN DẠNG VÀ PP GIẢI TOÁN 11 CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC g) Đồ thị  C7  của hàm số y  sin x  2 được suy ra từ  C  bằng cách biến mỗi điểm  x; y  của  C  thành điểm  x; y  2  của  C7  , hay nói cách khác đồ thị  C7  nhận được bằng  cách thực hiện phép tịnh tiến  C  theo véctơ u   0; 2  tức là tịnh tiến  C  theo phương trục tung lên trên một đoạn 2 đơn vị (hình 7). y (C7) 2 1 -2π -π π 2π O x -1 (C) -2 Hình 7   h) Ta có y  2cos2 x  1  cos 2 x  2  sin  2 x    2 .  2 Đồ thị  C8  của hàm số y  2 cos 2 x  1 được suy ra từ đồ thị  C  bằn cách thực hiện các phép biến đổi sau: Phép co đồ thị  C  hai lần theo phương trục hoành được đồ thị  C   và lấy đối xứng  C   qua trục hoành được  C   .  Tịnh tiến  C   theo phương trục hoành sang trái một đoạn đơn vị được  C   . 4 Tịnh tiến  C   theo phương trục tung lên trên một đoạn 2 đơn vị được đồ thị  C8  cần tìm (Hình 8). y (C8) 2 1 -2π -π π 2π O x -1 (C) -2 Hình 8 Bài 19. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:   x a) y  sin x b) y  tan 2 x c) y  cot  x   d) y  cos x e). y  tan  4 3 Lời giải sin x khi sin x  0 a) y  sin x   , do đó đồ thị hàm số y  sin x được vẽ dựa vào đồ thị   sin x khi sin x  0 y  sin x như sau:  Giữ nguyên phần đồ thị của hàm số y  sin x nằm phía trên trục Ox được đồ thị C1 .    Lấy đối xứng qua trục Ox phần đồ thị của hàm số y  sin x nằm phía dưới trục Ox được   đồ thị C1 . Đồ thị hàm số y  sin x là hợp của hai đồ thị C1 và C1 .     Tài liệu có tại VPP-PHOTOCOPY TÂM PHÚC Trang 19
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022
304 tài liệu
922 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2