Tham khảo tài liệu 'tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Tự ôn toán với các công thức tính đạo hàm giới hạn và vi phân - 2
- y
y ' lim
x 0 x
Đạo hàm bên trái:
Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
-
trong khoảng đó,
f(x) có đạo hàm trên đoạn [a,b] nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trong khoảng
-
(a,b), có đạo hàm phải tại a và đạo hàm trái tại b
Ví dụ: Tìm đạo hàm của y = x2, y = sinx
Đạo hàm của tổng thương tích của hai hàm số:
Nếu các hàm số u, v có đạo hàm tại x thì:
u + v cũng có đạo hàm tại x và (u + v)’ = u’ + v’
•
u.v cũng có đạo hàm tại x và (u.v)’ = u’v + v’u
•
'
u u' v v' u
v2
v
u/v cũng có đạo hàm tại x\V(x)0 và
•
Đạo hàm của hàm số hợp:
Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm theo x, hàm y = f(u) có đạo hàm tương ứng u =
u(x) thì hàm số hợp f(u) có đạo hàm theo x và y’(x) = y’(u).u’(x).
Đạo hàm của hàm số ngược:
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x, f’(x) ≠ 0 và có hàm số ngược x = f-
1
(y) thì hàm số x = f-1(y) có đạo hàm tại y = f(x):
1 1
( f 1 )' ( y )
f ' ( x) f '[ f 1 ( y )]
- Ví dụ, tìm đạoA hàm của y = arcsinx
Đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản:
(c)’ = 0 1 1
(log a x)' (ln x)'
x ln a x
(x)’ = x-1
(ax)’ = axlna
1 1
(arccos x)'
(arcsin x)'
1 x2
1 x2
(ex)’ = ex
(sinx)’ = cosx 1 1
(cot gx )' (arctgx )'
sin 2 x 1 x2
(cosx)’ = -sinx
1 1
(tgx )' (arc cot gx)'
cos2 x 1 x2
Đạo hàm cấp cao :
Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm thì y’ = f’(x) gọi là đạo hàm cấp 1. Đạo
hàm, nếu có, của đạo hàm cấp 1 gọi là đạo hàm cấp 2. Ký hiệu: y’’(x), f’’(x)
d2y d2 f
,
dx 2 dx 2
Tương tự, đạo hàm của đạo hàm cấp (n-1) là đạo hàm cấp n. Ký hiệu: f(n)(x),
y(n)(x).
dny dn f
,
dx n dx n
- Ví dụ: Cho y = x ( R, x > 0), y = kex, tìm y(n)
Công thức Leibniz:
Giả sử hàm số u, v có đạo hàm liên tiếp đến n. Khi đó ta có:
(u + v)(n) = u(n) + v(n)
n
(uv)( n ) Cn u ( n k ) .v k
k
k 0
trong đó u(0) = u, v(0) = v
2. VI PHÂN
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) khả vi, ta ký hiệu dy = y’dx (df = f’dx) được gọi
u vdu udv
d
là vi phân cấp 1 của hàm số f.
v2
v
Vi phân của tổng, tích, thương:
d(u + v) = du + dv
d(u.v) = vdu + udv
Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) và f(n-1) khả vi, ta ký hiệu d(n)y = y(n)dxn
(d(n)f = f(n)dx) được gọi là vi phân cấp n của hàm số f.
- 3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐẠO HÀM
Định lý Rolle: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) và f(a) = f(b)
thì tồn tại c (a,b) sao cho f’(c) = 0.
Định lý Lagrange: Nếu f là hàm số liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b) thì tồn tại
c (a,b) sao cho
f (b) f (a )
f ' (c )
ba
Nhận xét: Định lý Rolle là một trường hợp đặc biệt của định lý Lagrange trong
trường hợp f(b) = f(a).
Định lý Cauchy: Nếu f , g cùng liên tục trên [a,b], khả vi trong khoảng (a,b) và
g’(x) ≠ 0, x (a,b) thì tồn tại c (a,b) sao cho
f (b) f (a ) f ' (c)
g (b) g (a ) g ' (c)
Nhận xét: Định lý Lagrange là một trường hợp đặc biệt của định lý Cauchy trong
trường hợp g(x) = x.
Định lý Taylor: Nếu hàm số f khả vi đến cấp (n+1) trong lân cận D của x0 thì x
D, x ≠ x0 thì tồn tại c nằm giữa x và x0 sao cho:
f ' ( x0 ) f " ( x0 )
( x x0 ) 2 ...
f ( x) f ( x0 ) ( x x0 )
1! 2!
( n 1)
(n)
f ( x0 ) f (c )
( x x0 ) n 1
( x x0 ) n
...
(n 1)!
n!
- Số hạng cuối cùng được gọi là phần dư Lagrang
f ( n 1) (c )
( x x0 ) n1
Rn ( x)
(n 1)!
• Đa thức Taylor:
f k ( x0 )
n
( x x0 ) k
Pn ( x)
k!
k 0
Khi x0=0 thì công thức Taylor trở thành công thức Maclaurin
f ( n) (0) n f ( n1) (c) n1
f ' ( 0) f " ( 0) 2
f ( x ) f ( 0) x x ... x x
(n 1)!
1! 2! n!
L’Hospital khử dựng vô định khi tìm giới hạn
Định lý: Giả sử f, g khả vi trong (a,b), g’(x) ≠ 0 với mọi x (a,b)
f ' ( x) f ' ( x)
lim L
lim
lim f ( x ) lim g ( x) 0
g ' ( x) x a g ' ( x)
x a
x a xa
Nhận xét: Qui tắc L’Hospital vẫn đúng nếu:
lim f ( x) lim g ( x) 0 lim f ( x) lim g ( x )
x x x a xa
- lim f ( x) lim g ( x )
x x
Qui tắc L’Hospital có thể áp dụng nhiều lần.
•
1. Dạng 0/0, /
Ví dụ: Tìm các giới hạn sau (dạng 0/0)
x 3 27 tgx x x sin x
arctgx
lim lim
lim
x3 lim 2
x2 4x 3 x sin x
x 0 x 0
x 3
1
x
x
Ví dụ: Tìm giới hạn sau (dạng /)
xn
ln x ln x
lim
lim lim
x e x
x x n
x 0 cot gx
2. Dạng 0., - : Chuyển chúng về dạng 0/0, /.
Ví dụ: 1
tgx )
lim (
cos x
x / 2
lim x 5 ln x lim (4 x 2 )tg (x / 4)
x 0 x2
3. Dạng vô định: 00, 1, 0:
Ta xét [f(x)]g(x) = eg(x).ln f(x) (f(x) > 0)
Ví dụ: 2 1
lim x 1 x lim (cot gx) ln x
x 1 x 1
2
lim x x
x 0
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
