intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Tuyển chọn đề thi thử đại học hay và đặc sắc môn Toán( phần 1)- Thầy Đặng Việt Hùng

Chia sẻ: Dương Lữ Điện | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST
Báo xấu
116
lượt xem 35
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển chọn đề thi thử đại học hay và đặc sắc do Thầy Đặng Việt Hùng biên soạn là những đề thi có chất lượng, sát với các đề thi tuyển sinh Đai học, cao đẳng trong những năm gần đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển chọn đề thi thử đại học hay và đặc sắc môn Toán( phần 1)- Thầy Đặng Việt Hùng

  1. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) LUY N THI I H C TR C TUY N ThÇy: §ÆNG VIÖT HïNG TUY N CH N THI TH IH C HAY VÀ C S C (PH N 1) NĂM H C 2013 - 2014 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  2. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) L I NÓI U Các em h c sinh thân m n! Luy n gi i trư c kỳ thi tuy n sinh i h c là m t quá trình h t s c quan tr ng trong vi c ôn thi, chu n b nh ng ki n th c n n t ng t t nh t cho kỳ thi i h c. Hi u ư c i u ó, th y quy t nh t ng h p l i các thi ư c gi i chi ti t mà th y so n riêng cho khóa LUY N THI I H C và LUY N GI I 2014 t i Moon.vn giúp các em có thêm tư li u ôn t p, h c t p cách trình bày theo balem i m mà B giáo d c thư ng áp d ng trong ch m thi i h c. V i cách trình bày khoa h c, rõ ràng th y tin tư ng cu n sách này s ánh b i m i cu n sách khác (^^^) v ch t c a nó các em nh ? Toán h c là môn h c ưa phong cách tài t (nó th hi n qua phong cách làm bài, tư duy gi i toán c a ngư i làm), nhưng ph i tài t m t cách khéo léo, thông minh. i v i Toán h c, không có trang sách nào là th a. T ng trang, t ng dòng ph i hi u. h c t t môn Toán, òi h i ph i kiên nh n, b n b ngay t nh ng bài t p ơn gi n nh t, nh ng ki n th c cơ b n nh t ó! Cu i cùng, th y chúc t t c các em ã theo th y su t m t ch ng ư ng dài S C KH E, S MAY M N, và c bi t là THÀNH CÔNG trong các kỳ thi l n s p t i! Th y ng Vi t Hùng (Han Dong Hae) Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  3. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 01. THI TH S 1 Th i gian làm bài: 180 phút PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) Câu 1 (2,0 i m). Cho hàm s y = ( 2 − m ) x3 − 6mx 2 + 9 ( 2 − m ) x − 2 có th là (Cm). a) Kh o sát s bi n thiên và v th hàm s v i m = 1. b) Tìm m ư ng th ng d : y = −2 c t th hàm s (Cm) t i ba i m phân bi t A(0 ; −2), B và C sao cho di n tích tam giác OBC b ng 13 (v i O là g c t a ). 1 Câu 2 (1,0 i m). Gi i phương trình tan 2 x − tan x = ( sin 4 x + sin 2 x ) . 6  x(4 x 2 + 1) − y 2 y − 1 = 0  Câu 3 (1,0 i m). Gi i h phương trình  x −2 x + xy + 3 x − +2 =0 2  2 x + x ln x + 1 x e 2 Câu 4 (1,0 i m). Tính tích phân I = ∫ e dx. 1 x Câu 5 (1,0 i m). Cho lăng tr ABCD. A ' B ' C ' D ' có áy ABCD là hình ch nh t, AB = a; AD = a 3 . Hình chi u vuông góc c a i m A ' trên m t ph ng (ABCD) trùng v i giao i m AC và BD. Góc gi a hai m t ph ng ( ADD ' A ') và (ABCD) b ng 600. Tính th tích kh i lăng tr ã cho và kho ng cách t i m B' n m t ph ng ( A ' BD ) theo a. Câu 6 (1,0 i m). Cho các s th c dương a, b, c th a mãn a 2 + b2 + c 2 + ab − 2bc − 2ca = 0. c2 c2 ab Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + 2 + . (a + b − c) a + b a + b 2 2 PH N RIÊNG (3,0 i m). Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) A. Theo chương trình Chu n Oxy cho ư ng tròn (C ) : ( x − 4 ) + y 2 = 4 và i m 2 Câu 7.a (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h t a E(4; 1). Tìm to i m M trên tr c tung sao cho t i m M k ư c hai ti p tuy n MA, MB n ư ng tròn (C) v i A, B là các ti p i m sao cho ư ng th ng AB i qua E. Câu 8.a (1,0 i m). Trong không gian v i h to Oxyz, cho hai ư ng th ng d1, d2 có phương trình x −1 y + 1 z x − 2 y z −1 d1 : = = và d 2 : = = . L p phương trình ư ng th ng d c t d1 và d2 và vuông 2 1 2 1 1 −2 góc v i m t ph ng ( P ) : 2 x + y + 5 z + 3 = 0 . 2 − iz z + 2i Câu 9.a (1,0 i m). Tìm s ph c z th a mãn − = 2 z. 2 + i 1 − 2i B. Theo chương trình Nâng cao x2 y2 Câu 7.b (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h to − Oxy cho Hypebol ( H ) : = 1. Vi t phương 16 9 trình chính t c c a elip (E) có tiêu i m trùng v i tiêu i m c a (H) và ngo i ti p hình ch nh t cơ s c a (H). Câu 8.b (1,0 i m). Trong không gian v i h t a Oxyz, cho m t ph ng (P ) : x + 2 y − z + 5 = 0 và x+3 ư ng th ng (d ) : = y + 1 = z − 3 , i m A(−2; 3; 4). G i ∆ là ư ng th ng n m trên (P) i qua 2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  4. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) giao i m c a ( d) và (P) ng th i vuông góc v i d. Tìm trên ∆ i m M sao cho dài o n AM ng n nh t. Câu 9.b (1,0 i m). Trong các s ph c z th a mãn z 2 − i = 1, tìm s ph c z có mô- un l n nh t. L I GI I 1: Câu áp án i m 1 a) (1,0 i m) 0,25 (2,0 i m) V i m = 1 thì hàm s có d ng y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 2 T p xác nh D = » . x =1 o hàm y ' = 3 x 2 − 12 x + 9 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 4 x + 3 = 0 ⇔  0,25 x = 3 Hàm s ng bi n trên các kho ng ( −∞;1) ; ( 3; +∞ ) và ngh ch bi n trên (1; 3). Hàm s tc c i t i x = 1; y = 2; t c c ti u t i x = 3; y = −2. ( ) ( Các gi i h n: lim x − 6 x + 9 x − 2 = +∞ ; lim x3 − 6 x 2 + 9 x − 2 = −∞ x →+∞ 3 2 x →−∞ ) 0,25 i m u n: y ' = 6 x − 12 ⇒ y '' = 0 ⇔ x = 2  U ( 2;0 ) . → B ng bi n thiên: x −∞ 1 3 +∞ y’ + 0 − 0 + 0,25 2 +∞ y −∞ −2 th hàm s có d ng như hình v : 0,25 Nh n xét: + th hàm s nh n i m U(2; 0) làm tâm i x ng. + th hàm s c t tr c Oy t i i m (0; −2). b) (1,0 i m) Phương trình hoành giao i m c a hai th : ( 2 − m ) x3 − 6mx 2 + 9 ( 2 − m ) x − 2 = −2 ⇔ ( 2 − m ) x3 − 6mx 2 + 9 ( 2 − m ) x = 0 ⇔ x ( 2 − m ) x 2 − 6mx + 9 ( 2 − m )  = 0   0,25  x = 0 ⇒ A(0; −2) ⇔ ( 2 − m ) x − 6mx + 9 ( 2 − m ) = 0 ⇔ g ( x) = 0 2 Hai th c t nhau t i ba i m phân bi t A, B, C khi phương trình g(x) = 0 có hai nghi m 0,25 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  5. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831)  ∆ = 9m 2 − 9 ( 2 − m ) > 0  m > 1  2 phân bi t và khác 0. Ta có i u ki n:  g ⇔  g (2) = 2 − m ≠ 0  m ≠ 2 Gi s B ( x1 ; −2 ) , C ( x2 ; −2 ) , v i x1; x2 là hai nghi m c a phương trình g(x) = 0.  6m  x1 + x2 = Theo nh lí Vi-ét ta có  2−m 0,25  x1 x2 = 9  1 1 Ta có S∆OBC = d ( O; d ) .BC ⇔ 13 = .2.BC ⇒ BC = 13 2 2  14  m = 13 2  6m  ⇔ x1 − x2 = 13 ⇔ ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = 13 ⇔   − 36 = 13 ⇔  2 2−m  m = 14  0,25 14 i chi u v i i u kiên ta ư c m = ; m = 14 là các giá tr c n tìm. 13 2  π mπ x≠ + (1,0 i m) cos 2 x ≠ 0   4 2 i u ki n  ⇔ cos x ≠ 0  x ≠ π + nπ 0,25   2 Phương trình ã cho tương ương v i 6sin x = cos 2 x cos x(sin 4 x + sin 2 x) ⇔ 6sin x = cos x cos 2 x(4sin x cos x cos 2 x + 2sin x cos x) 0,25 ⇔ sin x(4cos 2 x cos 2 2 x + 2cos 2 x cos 2 x − 6) = 0 ⇔ sin x  (2cos 2 2 x(1 + cos 2 x) + cos 2 x(1 + cos 2 x) − 6  = 0   ⇔ sin x(2cos3 2 x + 3cos 2 2 x + cos 2 x − 6) = 0 0,25 ⇔ sin x(cos 2 x − 1)(2cos 2 x + 5cos 2 x + 6) = 0 2 sin x = 0 ⇔ x = kπ ⇔ ⇔ x = kπ  cos 2 x = 1 ⇔ sin x = 0 2 0,25 K t h p v i iêu ki n ta ư c nghi m c a phương trình là x = kπ; k ∈ Z. 3 i u ki n: x ≥ −4, y ≥ 12 (1,0 i m) Ta có (1) ⇔ 2 x(4 x 2 + 1) = 2 y 2 y − 1 = 0 ⇔ (2 x)3 + 2 x = ( 2 y − 1)3 + 2 y − 1 (*) Xét hàm s f (t ) = t 3 + t ta có f ′(t ) = 3t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ » nên f (t ) ng bi n trên » . 0,25 (*) ⇔ x ≥ 0 (2 x)3 + 2 x = ( 2 y − 1)3 + 2 y − 1 ⇔ f (2 x) = f ( 2 y − 1) ⇔ 2 x = 2 y − 1 ⇔  2 4 x + 1 = 2 y x T (2) ta có −2 x 2 + xy + 3x − + 2 = 0 ⇔ −4 x 2 + x(2 y ) + 6 x − 2 x + 8 = 0 2 0,25 ⇔ −4 x 2 + x(4 x 2 + 1) + 6 x − 2 x + 8 = 0 ⇔ 4 x3 − 4 x 2 + 7 x − 2 x + 8 = 0 1 Xét hàm s g ( x) = −4 x 2 + 4 x3 + 7 x − 2 x + 8 ⇒ g ′( x) = 12 x 2 − 8 x + 7 − 2x + 8 0,25 5 2x + 8 −1 = 4 x + 2(2 x − 1) + 2 2 > 0, ∀x ≥ 0 nên g(x) ng bi n trên n a kho ng [0; +∞) 2x + 8 2() M t khác ta d th y g 1 ⇔ x = 1 ⇒ y = 1 2 0,25 V y, h ã cho có nghi m duy nh t x = 1 ; y = 1 2 4 x + x ln x + 1 x e 2 e e e x e (1,0 i m) Ta có I = ∫ e dx = ∫ xe x dx + ∫ ln x e x dx + ∫ dx = I1 + I 2 + I 3 0,25 1 x 1 1 1 x Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  6. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) e e + Xét I1 = ∫ xe x dx = xe x 1 − ∫ e x dx = ee (e − 1) e 0,25 1 1 e e e e ex ex + Xét I 2 = ∫ e x ln x dx = e x ln x − ∫ dx = ee − ∫ dx = ee − I 3 ⇔ I 2 + I 3 = ee 0,25 1 1 1 x 1 x e e ex ex T ó suy ra I = ee +1 − ee + ee − ∫ dx + ∫ dx = ee +1 0,25 1 x 1 x 5 (1,0 i m) 0,25 G i O là giao i m c a AC và BD, theo bài ta có A ' O ⊥ ( ABCD ). G i I là trung i m c a AD. Ta có OI ⊥ AD. ( ADD ' A ') ∩ ( ABCD ) = AD  Do  ⇒ góc gi a ( ADD ' A ') và ( ABCD ) là A ' IO = 600.   AD ⊥ ( A ' OI ) 1 a a a 3 Ta có OI = AB = ⇒ A ' O = OI .tan A ' IO = .tan 600 = 2 2 2 2 0,25 a 3 3a 3 Suy ra, th tích kh i lăng tr là VABCD. A ' B ' C ' D ' = A ' O.S ABCD = .a.a 3 = ( vtt). 2 2 Do AB′và A′B c t nhau t i trung i m c a m i ư ng nên A và B′ i x ng nhau qua ( A ' BD ). Suy ra d [ B;( A ' BD )] = d [ A;( A ' BD) ] 0,25  AH ⊥ BD Trong (ABCD) d ng AH ⊥ BD. Do  ⇒ AH ⊥ ( A ' BD ), hay  AH ⊥ A ' O AH = d [ A;( A ' BD )]. 1 1 1 AB. AD a 3 Trong tam giác vuông ABD ta có = + ⇒ AH = = AH 2 AB 2 AD 2 AB + AD 2 2 2 0,25 a 3 V y kho ng cách t B′ n (A′BD) b ng . 2 6 Ta có a 2 + b2 + c 2 − 2bc − 2ca = −ab ⇔ a 2 + b2 + c 2 + 2ab − 2bc − 2ca = ab ⇔ (a + b − c)2 = ab (1,0 i m) a b 0,25 t x = ; y = ( x, y > 0 ) . c c ( x + y)2 Theo b t ng th c Cô-si ta có x + y ≥ 2 xy ⇔ xy ≤ (*) 4 2 a b  ab a b 0,25 Khi ó (a + b − c)2 = ab ⇔  + − 1 = 2 = . ⇔ ( x + y − 1)2 = xy c c  c c c Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  7. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) ( x + y) 2 ( x + y )2 2 Áp d ng (*) ta ư c ( x + y − 1)2 = xy ≤ ⇔ ( x + y − 1) 2 ≤ ⇒ ≤ x+ y≤2 4 4 3 a b 2 2 . c c ab 1 1 c c = Ta có P = + + = + + (a + b − c)2 a 2 + b 2 a + b  a b 2  a 2  b 2 a + b  + − 1   +  c c c c  c c 1 1 xy 1 1 xy = + 2 + = + 2 + ( x + y − 1) x + y x + y xy x + y x + y 2 2 2 0,25 xy 2 xy 1 1 4 Áp d ng các b t ng th c cơ b n ≥ và + ≥ ta ư c x + y ( x + y) 2 x y x+ y 1 1 2 xy 1 1 2 xy 1 4  2 xy 1  P≥ + 2 + = + 2 + + ≥ 2 + +  xy x + y 2 ( x + y) 2 2 xy x + y 2 ( x + y) 2 2 xy x + 2 xy + y  ( x + y ) 2 2 2 xy  4 2 xy 1 4 2 4 2 ≥ +2 . = + ≥ + =1⇒ P ≥ 2 ( x + y) 2 ( x + y) 2 2 xy ( x + y ) 2 x + y 22 2 0,25 V y minP = 2 khi x = y = 1 t c a = b = c. 7.a ư ng tròn (C) có tâm I(4; 0), bán kinh (1,0 i m) R=2 M thu c Oy nên gi s M(0; m) Ta có IM = (−4; m) ⇒ ư ng th ng AB có m t véc tơ ch phương là u AB = (m;4) 0,25 ư ng th ng AB i qua E(4; 1) và có véc tơ ch phương u AB = (m;4) nên có  x = 4 + mt phương trình tham s là   y = 1 + 4t A thu c ư ng th ng AB nên có t a d ng A ( 4 + mt;1 + 4t ) .  A ∈ (C ) ( x A − 4) 2 + y A = 4 ⇔ (mt ) 2 + (1 + 4t )2 = 4, (*)  2 0,25 Do  ⇒  IA ⊥ MA  IA.MA = 0   IA = (mt;1 + 4t )  Ta có  ⇒ IA.MA = (mt )2 + 4mt + (1 + 4t ) 2 − m(1 + 4t ) = 0 0,25  MA = (4 + mt;1 + 4t − m)  ⇔ (mt ) 2 + (1 + 4t ) 2 − m = 0 . Thay (*) vào ta tìm ư c m = 4. 0,25 V y i m M(0; 4) là i m c n tìm. 8.a Vi t l i phương trình các ư ng th ng d ng tham s ta ư c (1,0 i m)  x = 1 + 2t1  x = 2 + t2   d1 :  y = −1 + t1 , d 2 :  y = t2 0,25  z = 2t1   z = 1 − 2t2  M t ph ng (P) có m t véc tơ pháp tuy n là nP = (2;1;5) Gi s : A = d ∩ d1 ⇒ A(1 + 2t1 ; −1 + t1 ;2t1 ); B = d ∩ d 2 ⇒ B (2 + 2t2 ; t2 ;1 − 2t2 ) 0,25 ⇒ AB = (t2 − 2t1 + 1; t2 − t1 + 1; −2t2 − 2t1 + 1) . t2 − 2t1 + 1 t2 − t1 + 1 −2t2 − 2t1 + 1 t1 = −1 Theo bài, d ⊥ ( P ) ⇒ AB = k nP ⇔ = = ⇔ 0,25 2 1 5 t2 = −1 x +1 y + 2 z + 2 Suy ra A(−1; −2; −2). Phương trình ư ng th ng c n tìm là d : = = . 0,25 2 1 5 9.a 2 − iz z + 2i (1,0 i m) Ta có − = 2 z ⇔ (2 − iz )(1 − 2i ) − ( z + 2i )(2 + i ) = 2(2 + i)(1 − 2i ) z 0,25 2 + i 1 − 2i ⇔ (2 − 4i ) − (2 + i) z = (4 − 3i) z (1) 0,25 Gi s z = a + bi, v i a, b ∈ R. 0,25 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  8. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) (1) ⇔ (2 − 4i ) − (2 + i )(a + bi) = (4 − 3i)(a − bi) ⇔ (2 − 2a + b) − (4 + a + 2b)i = (4a − 3b) − (3a + 4b)i  2 − 2a + b = 4a − 3b 3a − 2b = 1  a = 1 ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ z =1+ i  4 + a + 2b = 3a + 4b a + b = 2 b = 1 0,25 V y s ph c c n tìm là z = 1 + i. 7.b (H) có các tiêu i m F1 ( −5;0 ) ; F2 ( 5;0 ) . Hình ch nh t cơ s c a (H) có m t nh là A( 4; (1,0 i m) 0,25 3). x2 y2 0,25 Gi s phương trình chính t c c a (E) có d ng: 2 + 2 = 1, ( a > b > 0 ) a b (E) cũng có hai tiêu i m F1 ( −5;0 ) ; F2 ( 5;0 ) ⇒ a − b = 52 (1) 2 2 Do M ( 4;3) ∈ ( E ) ⇔ 9a 2 + 16b2 = a 2b2 (2) 0,25  a 2 = 52 + b 2   a 2 = 40  T (1) và (2) ta có h phương trình  2 ⇔ 2 9a + 16b = a b b = 15 2 2 2   x 2 y 2 0,25 V y phương trình chính t c c a (E) là ( E ) : + = 1. 40 15 8.b  x = 2t − 3 (1,0 i m)  Chuy n phương trình d v d ng tham s ta ư c:  y = t − 1 z = t + 3  0,25 G i I là giao i m c a d và (P) ⇒ I ( 2t − 3; t − 1; t + 3) Do I ∈ ( P ) ⇒ 2t − 3 + 2(t − 1) − (t − 3) + 5 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ I ( −1;0;4 ) . ư ng th ng d có vectơ ch phương ud = (2;1;1) , m t ph ng (P) có vectơ pháp tuy n nP = (1; 2; −1) . ⇒ ud , nP  = ( −3;3;3) = 3 ( −1;1;1)  u∆ = ( −1;1;1)   → 0,25 x = 1− u  Khi ó ư ng th ng ∆ có phương trình ∆ :  y = u z = 4 + u  Vì M ∈ ∆ ⇒ M ( −1 − u; u; 4 + u ) ⇒ AM = (1 − u; u − 3; u ) 0,25 4 AM ng n nh t ⇔ AM ⊥ ∆ ⇔ AM ⊥ u∆ ⇔ AM .u∆ = 0 ⇔ −(1 − u ) + (u − 3) + u = 0 ⇔ u = 3 0,25  7 4 16  V y M  − ; ;  là i m c n tìm.  3 3 3 9.b Trong các s ph c z th a mãn z 2 − i = 1, tìm s ph c z có mô- un l n nh t. (1,0 i m) Gi s z = a + bi, v i a, b ∈ R. Ta có z = a 2 + b 2 . 0,25 M t khác z 2 = (a + bi) 2 = a 2 − b 2 + 2abi ⇒ z 2 − i = (a 2 − b 2 ) + (2ab − 1)i Theo bài ta có z 2 − i = 1 ⇔ (a 2 − b 2 )2 + (2ab − 1) 2 = 1 ⇔ (a 2 − b 2 ) 2 + (2ab − 1) 2 = 1 0,25 ( ) 2 ⇔ a 4 + b 4 − 2a 2b 2 + 4a 2 b 2 + 1 − 4ab = 1 ⇔ a 2 + b 2 = 4ab 2 Theo b t ng th c Cô-si ta có a 2 + b 2 ≥ 2 a 2 b 2 = 2 ab ≥ 2ab ⇔ z ≥ 2ab 0,25 ( ) 4 2 2 4 2 2 Khi ó z = a 2 + b 2 = 4ab ≤ 2 z ⇔ z ≤ 2 z ⇔ z ≤ 2 ⇔ z ≤ 2 a = b  a = b = 1 Suy ra, z max = 2 t ư c khi  ab = ab ⇔   2  a = b = −1 0,25 a + b = 2 2 V y, có hai s ph c th a mãn yêu c u bài toán là z = 1 + i ho c z = –1 – i. Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  9. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 02. THI TH S 2 Th i gian làm bài: 180 phút I. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) Câu 1 (2,0 i m). Cho hàm s y= 1 3 1 3 2 ( ) x + ( m − 1) x 2 + m − 2m 2 x + 4m − 1, v i m là tham s . a) Kh o sát và v th c a hàm s v i m = –1. b) Tìm m hàm s ã cho tc c i, c c ti u t i các i m có hoành x1 ; x2 sao cho 2 x12 + x2 = 17. 2 3 ( tan x + 1)  7π  Câu 2 (1,0 i m). Gi i phương trình 3 tan 2 x + − 4 2 sin  x −  = 1. cos x  4   x5 − 5 x = y 5 − 5 y  Câu 3 (1,0 i m). Gi i h phương trình  ; ( x, y ∈ » ) . 2 1 − x + 2 x − y = 2 2 2 2  π  π 4 cos 2  x +  Câu 4 (1,0 i m). Tính tích phân I = ∫  8 dx. 0 sin 2 x + cos 2 x + 2 Câu 5 (1,0 i m). Cho hình chóp S.ABCD có áy ABCD là hình vuông c nh a. Các i m M, N l n lư t n m trên các o n th ng AB, AD sao cho MB = MA; ND = 3NA. Bi t SA = a, MN vuông góc v i SM và tam giác SMC cân t i S. Tính th tích kh i chóp S.MNDC và kho ng cách gi a hai ư ng th ng SA và MC theo a. Câu 6 (1,0 i m). Cho x, y, z là ba s th c th a mãn 2 x + 3 y + z = 40. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 x 2 + 1 + 3 y 2 + 16 + z 2 + 36. II. PH N RIÊNG (3,0 i m): Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) A. Theo chương trình Chu n Câu 7.a (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h t a Oxy cho ư ng th ng ∆ có phương trình x – y + 1 = 0 và ư ng tròn (C ) : x + y − 2 x + 4 y − 4 = 0. Tìm t a 2 2 i m M thu c ∆ sao cho qua M k ư c hai ti p tuy n MA; MB n ư ng tròn (C), (v i A, B là các ti p i m) ng th i kho ng cách t i m  3 N  −1;  n AB là l n nh t.  2 Câu 8.a (1,0 i m). Trong không gian v i h t a Oxyz cho hai i m M (0; −1; 2) và N (−1;1;3) . Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua M, N sao cho kho ng cách t K ( 0;0; 2 ) n (P) t giá tr l n nh t n−2  n  n +1 Câu 9.a (1,0 i m). Tìm h s ch a x 4 trong khai tri n 1 + x + 3 x 2  bi t Cn + 4 − Cn + 3 = 7(n + 3). n  6  B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 i m). Trong m t ph ng t a v i h Oxy, cho tam giác ABC có phương trình ư ng th ng AB :2 x + y − 1 = 0 , phương trình ư ng th ng AC : 3 x + 4 y + 6 = 0 và i m M (1; − 3) n m trên ư ng th ng BC th a mãn 3MB = 2 MC . Tìm t a tr ng tâm G c a tam giác ABC. Câu 8.b (1,0 i m). Trong không gian v i h t a Oxyz, cho hai i m A(2; 0;3); B (2; −2; −3) và ư ng x − 2 y +1 z th ng ∆ : = = . Ch ng minh A, B và ∆ cùng n m trong m t m t ph ng. Tìm to i mM 1 2 3 thu c ∆ sao cho ( MA4 + MB 4 ) nh nh t. Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  10. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) z 6 + 7i Câu 9.b (1,0 i m). Cho s ph c z tho mãn z − = . Tìm ph n th c c a s ph c z 2013 . 1 + 3i 5 L I GI I 2: Câu áp án i m 1 (2,0 ) a) Kh o sát hàm s 1 V i m = −1 hàm s có d ng y = x3 − x 2 − 3 x − 5. 3 T p xác nh: D = ».  x = −1 o hàm: y ' = x 2 − 2 x − 3 ⇒ y ' = 0 ⇔ x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇔  0,25 x = 3 Hàm s ng bi n trên (−∞; −1) và (3; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (−1; 3). 10 Hàm s t c c i t i x = −1; y = − , và t c c ti u t i x = 3; y = –14. 3 Gi i h n, i m u n: 1  1  lim y = lim  x3 − x 2 − 3x − 5  = +∞; lim y = lim  x 3 − x 2 − 3 x − 5  = −∞ x →+∞ x →+∞  3  x →−∞ x →−∞  3  0,25  26  Ta có y′′ = 2 x − 2 ⇒ y ′′ = 0 ⇔ x = 1  U  1; −  . →  3  B ng bi n thiên: x −∞ −1 3 +∞ y’ + 0 − 0 + 0,25 10 − +∞ y 3 −∞ −14 th hàm s có d ng như hình v : 0,25 Nh n xét:  26  + th nh n i m u n U 1; −  làm tâm i x ng.  3  + th c t tr c Oy t i i m (0; −5). b) Tìm m... Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  11. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Ta có y ' = x + ( m − 1) x + m − 2m 2 2 Hàm s có c c i, c c ti u khi phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t. 0,25 2 ( 2 ) i u ó x y ra khi ∆ > 0 ⇔ ( m − 1) − 4 m − 2m > 0 ⇔ ( 3m − 1) > 0 ⇔ m ≠ . 2 1 3  1 − m + 3m − 1 x = 2 =m Khi ó, phương trình y ' = 0 có hai nghi m phân bi t  0,25  x = 1 − m − 3m + 1 = 1 − 2m   2 Do vai trò x1; x2 bình ng có hai trư ng h p sau x y ra. Trư ng h p 1: x1 = m; x2 = 1 − 2m ⇒ 2 x12 + x2 = 17 ⇔ 2m2 + (1 − 2m)2 = 17 2 m = 2 0,25 ⇔ 6m − 4m − 16 = 0 ⇔  2 m = − 4   3 Trư ng h p 2: x1 = 1 − 2m; x2 = m ⇒ 2 x12 + x2 = 17 ⇔ 2(1 − 2m)2 + m2 = 17 2 4 ± 151 ⇔ 9m 2 − 8m − 15 = 0 ⇔ m = . 9 0,25 4 4 ± 151 V y có 4 giá tr c a m th a mãn yêu c u bài toán là m = 2; m = ; m = . 3 9 2 (1,0 ) 3 ( tan x + 1)  7π  Gi i phương trình 3tan 2 x + − 4 2 sin  x −  = 1, (1) . cos x  4  π i u ki n: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ + kπ, (*) 0,25 2  7π   π   π Ta có 2 sin  x −  = 2 sin  x + − 2π  = 2 sin  x +  = sin x + cos x.  4   4   4 sin 2 x 3 ( sin x + cos x ) Khi ó, (1) ⇔ 3 + − 4 ( sin x + cos x ) = 1 cos 2 x cos 2 x ⇔ 3sin 2 x + 3 ( sin x + cos x ) − 4cos 2 x ( sin x + cos x ) − cos 2 x = 0 ( ) ( ⇔ 3 − 4cos 2 x + ( sin x + cos x ) 3 − 4cos 2 x = 0 ⇔ (1 + sin x + cos x ) 3 − 4cos 2 x = 0 ) 0,25 3 − 4cos 2 x = 0 ⇔ 1 + sin x + cos x = 0 1 π π V i 3 − 4 cos 2 x = 0 ⇔ 3 − 2 (1 + cos 2 x ) = 0 ⇔ cos 2 x = ⇔ 2 x = ± + k 2π ⇒ x = ± + kπ. 2 3 6 0,25 Các nghi m này u th a mãn (*) nên là nghi m c a phương trình ã cho. V i  π  π 1 π 3π 1 + sin x + cos x = 0 ⇔ 1 + 2 cos  x −  = 0 ⇔ cos  x −  = − ⇔ x − = ± + k 2π  4  4 2 4 4  π 3π  x − 4 = 4 + k 2π  x = π + k 2π ⇔ ⇔ 0,25 π 3π  x − = − + k 2π  x = − π + k 2π   2  4 4 i chi u v i (*) ta ư c x = π + k 2π là nghi m c a phương trình. π V y phương trình ã cho có 3 h nghi m là x = ± + kπ; x = π + kπ, k ∈ ». 6 3 (1,0 ) x − 5x = y − 5 y  5 5 (1) Gi i h phương trình  2 1 − x + 2 x − y = 2  2 2 2 ( 2) 1 − x 2 ≥ 0  x2 ≤ 1 0,25   i u ki n:  2 ⇔ 2 2 x − y ≥ 0 2 x ≥ y 2 2   Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  12. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) ( ) Xét u = ( x; y ) , v = ( x′; y ′ ) ⇒ u.v = u . v .cos u; v ≤ u . v ⇒ u.v ≤ u . v ⇔ xx′ + yy′ ≤ x 2 + y 2 . x′2 + y′2 , (*) ( ) ( ) D u b ng x y ra khi cos u; v = 1 ⇔ u; v = 00 ⇔ u = kv ⇔ x y = . x′ y ′ Áp d ng (*) cho phương trình (2) ta ư c 2 2 = 2. 2 − 2 x 2 + 1. 2 x 2 − y 2 ≤ 2 + 1. 2 − 2 x 2 + 2 x 2 − y 2 ⇔ 2 − y 2 ≥ 3 0,25 4 2 ⇔ 2 − y2 ≥ ⇔ y 2 ≤ < 1 ⇒ y 2 < 1. Khi ó, x 2 ≤ 1; y 2 < 1. 3 3 Xét hàm s f (t ) = t − 5t v i 0 ≤ t ≤ 1. 5 ( )( ) Ta có f ′(t ) = 5t 4 − 5 = 5 t 2 − 1 t 2 + 1 ≤ 0 ∀t ∈ [ 0;1] ⇒ f (t ) là hàm ngh ch bi n trên [0; 1]. 0,25 Khi ó, (1) ⇔ f ( x) = f ( y) ⇒ x = y. Thay vào (2) ta ư c 2 1 − x 2 + x 2 = 2. t u = x 2 ; 0 ≤ u ≤ 1 ta ư c 2 1 − u + u = 2 ⇔ 2 1 − u = 2 − u ⇔ 4 (1 − u ) = 4 − 4 u + u ⇔ 5u − 4 u = 0  u =0 u = 0 ⇒ x = 0; y = 0 ⇔  ⇔ 0,25  u=4 u = 16 ⇒ x = ± 4 ⇒ y = ± 4   5   25 5 5   4 4   4 4  V y h phương trình ã cho có 3 c p nghi m: ( x; y ) = ( 0;0 ) ,  ;  ,  − ; −   .   5 5   5 5  4 (1,0 )  π 1 + cos  2 x +  π 14  4 π 1 Ta có I = ∫ dx . t t = 2 x − ⇒ dx = dt. 20  π 4 2 2 cos  2 x −  + 2  4 π π π i c n: x = 0 ⇒ t = − ; x = ⇒ t = . 0,25 4 4 4  π  π  1 + cos  t +  π π π 1 4  2  dt = 1 4 1 − sin t 1  4 dt 4 sin t  Khi ó, I = ∫ ∫ 1 + cos t dt = 4 2  ∫ 1 + cos t − ∫ 1 + cos t dt  . 4 π 2 cos t + 2 4 2 π  −π π  − − − 4 4  4 4  π π π t π d   t4  π ( ) 4 4 4 = ∫   =  tan  = tan − tan  −  = 2 tan = 2 2 − 1 dt dt 2 π π ∫ 1 + cos t = ∫ 2 t 2 t  2  −π 8  8 8 0,25 π π π − − 2cos − cos 4 4 4 2 4 2 π π π 4 sin t 4 d (1 + cos t ) ∫ 1 + cos t dt = − ∫ 1 + cos t = − ln 1 + cos t − 4 π =0 0,25 π π − − 4 4 4 π tan V y I= 1  π 8 = 2 −1 = 2 − 2 . 0,25  2 tan  = 4 2 8 2 2 2 2 4 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  13. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 5 (1,0 ) 0,25 2 2  3a  9a Ta có NC 2 = DC 2 + DN 2 = a 2 +   = a 2 +  4  16 2 2 a a a2 a2 a2 MN = AM + AN =   +   = 2 2 2 + ; MC 2 = BM 2 + BC 2 = + a2 2 4 4 16 4 2 2 2 2 2 2 a a a a a 9a MN 2 + MC 2 = + + + a2 = a2 + + = a2 + = NC 2 ⇒ ∆MNC vuông t i M. 4 16 4 2 16 16 G i H là trung i m c a MC, ∆SMC cân t i S nên SH ⊥ MC, (1) Theo bài ta có MN ⊥ SM ; MN ⊥ MC ⇒ MN ⊥ ( SMC ) ⊃ SH ⇒ MN ⊥ SH , (2) 1 T (1) và (2) suy ra SH ⊥ ( MNC ) hay SH ⊥ ( ABCD ) . Khi ó, VS .MNDC = SH .S MNDC 3 2 1 a a 1 a 11a Ta có S MNDC = S ABCD − S AMN − S BCM = a 2 − . . − . .a = ( vdt). 2 4 2 2 2 16 1 a K HF ⊥ AB ⇒ HF = BC = , ng th i F là trung i m c a BM . 2 2 2 2 2  3a   a  13a T ó ta ư c AH 2 = AF 2 + HF 2 =   +   = 0,25  4  2 16 13a 2 a 3 Trong tam giác vuông SAH ⇒ SH = SA2 − AH 2 = a 2 − = 16 4 1 a 3 11a 2 11a 3 3 ⇒ VS .MNDC = . . = ( vtt). 3 4 16 192 K AK // CM ⇒ CM // (SAK). Khi ó d ( SA; MC ) = d ( MC ;( SAK ) ) = d( H ;( SAK ) ) 0,25 K HL ⊥ AK ; HI ⊥ SL ⇒ HI ⊥ ( SAK ) ⇒ HI = d( H ;( SAK ) ) 1 a 1 a a2 Ta có S AMCK = S ABCD − S BCM − S ADK = a 2 − .a. − .a. = 0,25 2 2 2 2 2 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  14. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 2 a S 2 a 5 M t khác S AMCK = HL. AK ⇒ HL = AMCK = = . AK a2 5 a2 + 4 a 5 a 3 . 1 1 1 HL.SH 4 = a 93 . Xét tam giác vuông SHL ⇒ 2 = + ⇒ HI = = 5 HI HL SH 2 2 HL2 + SH 2 a 2 3a 2 31 + 5 16 a 93 V y d ( SA; MC ) = . 31 6 (1,0 ) Ta có P = ( 2x)2 + 22 + ( 3y)2 +122 + z2 + 62 Trong h to Oxy xét 3 véc tơ 0,25 a = ( 2 x;2 ) , b = ( 3 y;4 ) , c = ( z;6 ) ⇒ a + b + c = ( 2 x + 3 y + z;2 + 12 + 6 ) = ( 40; 20 ) a = ( 2 x )2 + 22 , b = ( 3 y )2 + 122 , c = ( z )2 + 62 , a + b + c = 20 5 0,25 S d ng b t ng th c v dài véc tơ ta có P = a + b + c ≥ a + b + c ⇒ P ≥ 20 5 . 2x 3 y z 2x + 3y + z ng th c x y ra khi các véc tơ a, b, c cùng hư ng, t c = = ⇒ =2 2 12 6 20 0,25 ⇒ x = 2, y = 8, z = 12 V y giá tr nh nh t c a P b ng 20 5 t ư c khi x = 2, y = 8, z = 12 0,25 7.a G i M ( t;1 + t ) ∈ ( ∆ ) . (1,0 ) qua M có th k ư c hai ti p tuy n n (C) thì M ph i n m ngoài (C), t c là MI > R. ư ng tròn (C) có tâm I(1; −2), bán kính R = 3. Khi ó MI > R ⇔ (t − 1) 2 + (t + 3)2 > 3 0,25  −2 + 2 t > 2 ⇔ 2t 2 + 4t + 1 > 0 ⇔  (*)  −2 − 2 t <  2 G i A(x; y) là ti p i m c a ti p tuy n qua M và (C), suy ra x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0, (1) M t khác, AI ⊥ AM ⇔ AI . AM = 0 ⇔ (1 − x; −2 − y ) . ( t − x;1 + t − y ) = 0 ⇔ (1 − x)(t − x) + (−2 − y )(1 + t − y ) = 0 ⇔ x 2 + y 2 − (t + 1) x − (t − 1) y − t − 2 = 0, (2) 0,25 Tr (1) cho( 2) v theo v ta ư c : ( t − 1) x + ( t + 3) y + t − 2 = 0 Suy ra phương trình ư ng th ng i qua A, B là (d ) : ( t − 1) x + ( t + 3) y + t − 2 = 0 Bi n i phương trình ư ng (d) ta ư c t ( x + y + 1) = x − 3 y + 2. G i P là m t i m c nh mà (d) luôn i qua, suy ra t a c a P th a mãn h phương trình sau  5 0,25 x + y +1 = 0 x = − 4   5 1  ⇔ ⇒ P  − ; . x − 3y + 2 = 0 y = 1  4 4   4 G i H là hình chi u vuông góc c a N lên (d) ⇒ NH ≤ NP. Kho ng cách t N n (AB) l n nh t khi NH ≡ NP hay NP ⊥ AB.  1 5 Ta có NP =  − ; −  , ud = ( t + 3;1 − t ) ⇒ NP.ud = 0 ⇔ t + 3 + 5 − 5t = 0 ⇔ t = 2 ⇒ M (2;3). 0,25  4 4 V y M (2;3) là i m c n tìm. Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  15. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 8.a G i nP = ( a, b, c ) , v i a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 là m t vectơ pháp tuy n c a m t ph ng (P). (1,0 ) Phương trình m t ph ng (P) có d ng ax + b ( y + 1) + c ( z − 2 ) = 0 0,25 N ( −1;1;3) ∈ ( P ) ⇒ a = 2b + c b b Kho ng cách t K n mp(P) là: d ( K , ( P ) ) = = a +b +c 2 2 2 4b + 4bc + 2c 2 2 0,25 - N u b = 0 thì d ( K , ( P ) ) = 0 (lo i) b - N u b ≠ 0 thì d ( K , ( P ) ) = 1 1 = ≤ 4b + 2c + 4bc 2 2 c  2 2 0,25 2  + 1 + 2 b  c D u “=” x y ra khi = −1 ⇔ b = −c . Ch n b = 1; c = −1 ⇒ a = 1 b 0,25 Khi ó (P): x + y – z + 3 = 0 9.a n +1 (n + 4)! (n + 3)! Ta có Cn + 4 − Cn + 3 = 7(n + 3) ⇔ n − = 7(n + 3) (1,0 ) (n + 1)!3! n !3! 0,25 ⇔ (n + 4)(n + 2) − (n + 1)(n + 2) = 42 ⇔ n = 12 10 10 10 k V i n = 12 ⇒ (1 + 2 x) + 3x 2  = ∑ C10 (3 x 2 )10− k .(1 + 2 x) k = ∑ ∑ C10Ck .310− k .2i.x 20− 2 k +i   k k i 0,25 k =0 k =0 i = 0 H s c a s h ng ch a x 4 có i, k th a mãn 0 ≤ k ≤ 10 0 ≤ k ≤ 10 i = 0; k = 8   ⇔ 0 ≤ i ≤ k ⇒ i = 2; k = 9 0,25 0 ≤ i ≤ k  20 − 2k + i = 4 16 + i = 2k i = 4; k = 10    H s c a s h ng ch a x 4 là C10C1016 + 3C10C92 4 + 9C10C80 = 8085 0 4 1 2 0,25 7.b Vì B thu c ư ng th ng (AB) nên B ( a;1 − 2a ) , C thu c (AC) nên C ( −2 − 4b;3b ) (1,0 ) 0,25 Ta có: MB = ( a − 1;4 − 2a ) , MC = ( −3 − 4b;3b + 3) : Ta có ( AB ) ∩ ( AC ) = A ⇒ A ( 2; −3) . 0,25 Vì B, M, C th ng hàng, 3MB = 2 MC nên ta có: 3MB = 2 MC ho c 3MB = −2 MC  11 3 ( a − 1) = 2 ( −3 − 4b )  a=   5 TH1: 3MB = 2 MC ⇔  ⇔ 3 ( 4 − 2a ) = 2 ( 3b + 3)  b = −6   5 0,25  11 17   14 18   7 10  ⇒ B ;−  , C  ;−  ⇒ G ;−  5 5 5 5 3 3 3 ( a − 1) = −2 ( −3 − 4b )  a = 3 TH2: 3MB = −2 MC ⇔  ⇔ 3 ( 4 − 2a ) = −2 ( 3b + 3)  b = 0  8 ⇒ B ( 3; −5 ) , C ( −2; 0 ) ⇒ G 1; −  0,25  3  7 10   8 V y có hai i m G  ; −  và G  1; −  th a mãn bài. 3 3   3 8.b x = 2 (1,0 )  Phương trình ư ng th ng AB:  y = t 0,25  z = 3 + 3t  Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  16. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) x = 2 + t ' 2 = 2 + t '   t = −1 Phương trình ∆ :  y = −1 + 2t ' , G i I = AB ∩ ∆ ⇒ t = −1 + 2t ' ⇒  ⇒ I (2; −1;0)  z = 3t ' 3 + 3t = 3t ' t ' = 0 0,25   V y AB và ∆ c t nhau t i I nên A, B và ∆ ng ph ng Ta có IA = (0;1;3), IB = (0; −1; −3) ⇒ IA = − IB ⇒ IA + IB = AB 0,25 2 1 ( MA2 + MB 2 ) ≥ 1  1 ( MA + MB )2  ≥ 1 AB 4 = 1 ( IA + IB )4 2 Khi ó MA4 + MB 4 ≥   2 2 2  8 8 0,25 ⇒ ( MA + MB 4 4 ) nh nh t khi M trùng v i I (2; −1; 0) . 9.b z 6 + 7i (1,0 ) Cho s ph c z tho mãn z − = . Tìm ph n th c c a s ph c z 2013 . 1 + 3i 5 0,25 a − bi 6 + 7i G i s ph c z = a + bi (a, b ∈ ») ⇒ z = a − bi thay vào (1) ta có a + bi − = 1 + 3i 5 (a − bi )(1 − 3i ) 6 + 7i a + bi − = ⇔ 10a + 10bi − a + 3b + i (b + 3a) = 12 + 14i 10 5 0,25 ⇔ 9a + 3b + i (11b + 3a ) = 12 + 14i 9a + 3b = 12 a = 1 ⇔ ⇔ 0,25 11b + 3a = 14 b = 1 2013   π π  V i a = b =1⇒ z =1+ i ⇒ z 2013 = (1 + i ) 2013 =  2  cos + i sin     4 4   2013π 2013π  = 21006 2  cos + i sin  0,25  4 4  2013π V y ph n th c c a z 2013 là 21006 2.cos = −21006 4 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  17. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 03. THI TH S 3 Th i gian làm bài: 180 phút PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 i m) 1 1 Câu 1 (2,0 i m). Cho hàm s y = x3 − 2 x 2 + 3 x − . 3 3 a) Kh o sát s bi n thiên và v th (C) c a hàm s . 1 b) Tìm m ư ng th ng ∆ : y = mx − c t th (C) t i ba i m phân bi t A, B, C sao cho i m A c 3 nh và di n tích tam giác OBC g p hai l n di n tích tam giác OAB, v i O là g c t a . Câu 2 (1,0 i m). x  3π  Tìm nghi m thu c kho ng (0; π) c a phương trình 4 sin 2 − 3 cos 2 x = 1 + 2 cos 2  x −  . 2  4  2( x − 2) x + 6 = 6 − y  Câu 3 (1,0 i m). Gi i h phương trình  ( x, y ∈ R )   ( x − 2) y + 2 = y + 1. x 2 − 4 x + 5 1 x Câu 4 (1,0 i m). Tính tích phân I = ∫ ln(2 x + 1)dx. 0 2x +1 Câu 5 (1,0 i m). Cho hình lăng tr ABC. A ' B ' C ' có áy ABC là tam giác cân, AB = BC = 3a, AC = 2a . Các m t ph ng ( B ' AB ), ( B ' AC ), ( B ' BC ) cùng t o v i m t ph ng (ABC) góc 600. Tính th tích kh i lăng tr ABC. A ' B ' C ' theo a. Câu 6 (1,0 i m). Cho x, y, z là các s th c dương. x2 y2 z2 Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c P = + + + 2( x 2 + y 2 + z 2 ). z ( z + x ) x( x + y ) y ( y + z ) 2 2 2 2 2 2 PH N RIÊNG (3,0 i m). Thí sinh ch ư c làm m t trong hai ph n (ph n A ho c ph n B) A. Theo chương trình Chu n Câu 7.a (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ư ng tròn (C ) : x + y − 8 x + 6 y + 21 = 0 và ư ng th ng d : x + y − 1 = 0. Xác 2 2 nh t a các nh c a hình vuông ABCD ngo i ti p (C) bi t A ∈ d. x +1 y z +1 Câu 8.a (1,0 i m). Trong không gian v i h t a Oxyz, cho ư ng th ng ∆ : = = và hai 2 3 −1 i m A(1; 2; −1), B (3; −1; −5) . Vi t phương trình ư ng th ng d i qua i m A và c t ư ng th ng ∆ sao cho kho ng cách t B n ư ng th ng d là l n nh t? nh nh t? Câu 9.a (1,0 i m). Tìm s ph c z th a mãn z 2 + z = z . B. Theo chương trình Nâng cao Câu 7.b (1,0 i m). Trong m t ph ng v i h t a Oxy, cho ư ng tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2 x + 2 y − 23 = 0 . Vi t phương trình ư ng th ng ∆ i qua i m A(7 ; 3) và c t ư ng tròn (C) t i hai i m B, C sao cho AB = 3AC. Câu 8.b (1,0 i m). Trong không gian v i h t a Oxyz, cho các i m A(2; 0; 0), H(1; 1; 1). Vi t phương trình m t ph ng (P) i qua A, H sao cho (P) c t Oy, Oz l n lư t t i B, C th a mãn di n tích c a tam giác ABC b ng 4 6. Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  18. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) Câu 9.b (1,0 i m). Gi i phương trình 1 + log 2 x 2 − 4 x = 2 log16  4( x − 3) 2  + log8 (2 + x)3 .   L I GI I 3: Câu áp án i m 1 a) (1,0 i m) (2,0 i m) T p xác nh: D = » . x =1 o hàm: y ' = x 2 − 4 x + 3 ⇒ y ' = 0 ⇔  x = 3 0,25 Hàm s ng bi n trên (−∞; 1) và (3; +∞); hàm s ngh ch bi n trên (1; 3). 1 Hàm s t c c i t i x = 1; y = 1 và t c c ti u t i x = 3; y = − . 3 Gi i h n, i m u n: 1 1 1 1 lim y = lim  x3 − 2 x 2 + 3 x −  = +∞; lim y = lim  x 3 − 2 x 2 + 3 x −  = −∞ x →+∞ x →+∞  3 3 x →−∞ x →−∞  3 3 0,25  1 Ta có y '' = 2 x − 4 ⇒ y '' = 0 ⇔ x = 2  U  2;  . →  3 B ng bi n thiên: x −∞ 1 3 +∞ y’ + 0 − 0 + 1 +∞ 0,25 y 1 −∞ − 3 th hàm s có d ng như hình v : 0,25 2. (1,0 i m) 1 3 1 1 Phương trình hoành giao i m c a ∆ và (C) là x − 2 x 2 + 3x − = mx − 3 3 3   1  x = 0 ⇒ A  0; − 3  0,25 x − 6 x + 9 x − 3mx = 0 ⇔ x( x − 6 x + 9 − 3m) = 0 ⇔  3 2 2    x − 6 x + 9 − 3m = 0, (1)  2 ư ng th ng ∆ c t (C) t i ba i m phân bi t A, B, C khi phương trình (2) có hai nghi m phân  , ∆ > 0 3m > 0  m > 0 0,25 bi t x1; x2 và khác 0 ⇔  ⇔ ⇔ , (*) 9 − 3m ≠ 0 m ≠ 3  m ≠ 3  1  1 0,25 Khi ó g i t a B, C l n lư t là B  x1 ; mx1 −  , C  x2 ; mx2 −  .  3  3 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  19. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 1 1 Theo bài, SOBC = 2 SOAB ⇔ d (O, ∆).BC = 2. d (O, ∆ ). AB ⇔ BC = 2 AB ⇔ BC 2 = 4 AB 2 2 2 ( ) ( ) ⇔ ( x2 − x1 ) + m 2 ( x2 − x1 ) 2 = 4 x12 + m 2 x2 ⇔ m 2 + 1 ( x2 − x1 ) = 4 m 2 + 1 x12 2 2 2 ( )  x2 = 3x1 ⇔ ( x2 − x1 ) = 4 x12 ⇔  2 ⇒ x2 = 3x1  x2 = − x1 ,( L)  x1 + x2 = 6 0,25 3 Mà x1; x2 là nghi m c a phương trình (2) nên   m = . →  x1 x2 = 9 − 3m 4 3 i chi u v i i u ki n (*) ta ư c m = là giá tr c n tìm. 4 2  3π  (1,0 i m) PT ⇔ 2 (1 − cos x ) − 3 cos 2 x = 1 + 1 + cos  2 x −  ⇔ 2 − 2cos x − 3 cos 2 x = 2 − sin 2 x 0,25  2  3 1 ⇔ −2cos x = 3 cos 2 x − sin 2 x ⇔ − cos x = cos 2 x − sin 2 x 2 2  5π 2π  π  x = 18 + k 3 0,25 ⇔ cos  2 x +  = cos ( π − x ) ⇔   6  x = − 7π + k 2π   6 5π 2π 5π 2π 5π 17 π +) V i x = +k , do 0 < x < π ⇒ 0 < +k < π ⇒ k = 0; k = 1 ⇒ x = ; x = . 0,25 18 3 18 3 18 18 7π 7π 5π +) V i x = − + k 2 π , do 0 < x < π ⇒ 0 < x = − + k 2π < π ⇒ k = 1 ⇒ x = . 6 6 6 0,25 5π 17 π 5π V y phương trình ã cho có ba nghi m thu c kho ng (0; π) là x = ; x = ;x = . 18 18 6 3 2( x − 2) x + 6 = 6 − y  (1,0 i m) Gi i h phương trình  ( x, y ∈ R ) ( x − 2) y + 2 = y + 1. x − 4 x + 5 2  0,25 +) T (2) suy ra y + 1 = ( x − 2)2 ⇔ y = x 2 − 4 x + 3 +) Thay vào (1) ta ư c x 2 − 4 x − 3 + 2( x − 2) x + 6 = 0 t t = x + 6; x ≥ 2 ⇒ t ≥ 2 2 0,25 Ta có pt bi n i thành t + 2t − 16t − 16t + 57 = 0 ⇔ (t − 3)(t + 5t − t − 19) = 0 4 3 2 3 0,25 Ta d dàng ch ng minh ư c phương trình t 3 + 5t − t − 19 = 0 vô nghi m v i t ≥ 2 2 0,25 V y phương trình có nghi m t = 3; suy ra x = 3; y = 0 4 1 ln(2 x + 1)  1 1 1 1 x 1 (2 x + 1) − 1 (1,0 i m) I= ∫ 0 2x + 1 ln(2 x + 1) dx = ∫ 2 0 2x + 1 ln(2 x + 1)dx =  ln(2 x + 1) dx − 2 0  ∫ 0 2x + 1 dx    ∫ 0,25 1 1 1 2x  1  ∫ ∫ ∫ 1 +) Xét I1 = ln(2 x + 1)dx = x ln(2 x + 1) 0 − dx = ln 3 −  1 −  dx 0 0 2x + 1 0 2x + 1  1 0,25  1  3 = ln 3 −  x − ln(2 x + 1)  = ln 3 − 1.  2 0 2 1 1 1 ln(2 x + 1) 1 1 ln 2 (2 x + 1) 1 +) Xét I 2 = 0 ∫ 2x + 1 dx = 20 ∫ ln(2 x + 1)d (ln(2 x + 1)) = 2 2 0 = ln 2 3. 4 0,25 1 x 13 1  ó ta ư c I = ∫ 2 x + 1 ln(2 x + 1)dx = 2  2 ln 3 − 1 − 4 ln 2 T 3. 0,25 0   Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
  20. Luy n gi i môn Toán 2014 Th y ng Vi t Hùng (0985.074.831) 5 B' C' (1,0 i m) G i H là hình chi u c a B ' trên m t ph ng (ABC), M, N, P l n lư t là hình chi u c a H trên AC, AB và BC. Khi ó A' AC ⊥ HM , AC ⊥ B ' H ⇒ AC ⊥ ( B ' BM ) 0,25 ⇒ ( B ' AC );( BAC ) = B ' MH B P C H M N A Tương t ta có B ' MH = B ' NH = B ' PH = 600 ⇒ ∆B ' MH = ∆B ' NH = ∆B ' PH ⇒ HM = HN = HP V y H là tâm ư ng tròn n i ti p tam giác ABC. 0,25 Ta có S ABC = p( p − a )( p − b)( p − c) = 4a.a.2a.a = 2 2a 2 S ABC 2 2a 2 2a M t khác S ABC = pr ⇒ r = HM = = = p 4a 2 0,25 2a a 6 Tam giác vuông B ' HM có B ' H = HM .tan 60 = 0 . 3= 2 2 a 6 Suy ra, VABC . A ' B 'C ' = S ABC .B ' H = 2 2a 2 . = 2 3a 3 ( vtt) 0,25 2 6 x2 z 2 + x2 z2 1 z 1 1 (1,0 i m) Ta có = − = − 2 ≥ − 0,25 z( z + x ) z( z + x ) z( z + x ) z z + x 2 2 2 2 2 2 2 z 2x y2 1 1 z2 1 1 Tương t ta cũng có ≥ − ; ≥ − . x( y + x ) x 2 y y ( y + z ) y 2 z 2 2 2 2 0,25 11 1 1  1   1   1  Suy ra P ≥  + +  + 2( x 2 + y 2 + z 2 ) =  + 2x2  +  + 2 y2  +  + 2z2  2 x y z   2x   2y   2z  1 Xét hàm s f ( x) = + 2 x2 , x > 0 2x 0,25 1 8 x3 − 1 1 f '( x) = − 2 + 4 x = 2 =0⇔ x= 2x 2x 2 1 3 L p b ng bi n thiên c a hàm s f(x) suy ra min f ( x) = f   = (0; +∞ ) 2 2 3 3 3 9 Suy ra P ≥ f ( x) + f ( y ) + f ( z ) ≥ + + = 0,25 2 2 2 2 1 9 ng th c x y ra khi x = y = z = . V y min P = . 2 2 7.a ư ng tròn (T) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2 (1,0 i m) Gi s AB và AD ti p xúc v i (T) l n lư t t i N và M. Khi ó AMIN là hình vuông c nh b ng 2 0,25 nên AI = 2 2. t = 6 Do A ∈ d ⇒ A(t;1 − t ) . AI = (4 − t ) 2 + (t − 4)2 = 2 t − 4 = 2 2 ⇔  0,25 t = 2 +) V i t = 2 ⇒ A(2; −1); B (2; −5); C (6; −5); D(6; −1). 0,25 +) V i t = 6 ⇒ A(6; −5); B(6; −1); C (2; −1); D (2; −5). 0,25 Tham gia tr n v n khóa LT H và Luy n gi i t i Moon.vn t ư c k t qu cao nh t trong kỳ TS H 2014!
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.04: Bộ 290+ Đề Thi Vào Lớp 10 Năm 2020
290 tài liệu
511 lượt tải
THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2