Tuyển tập 45 đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán học có đáp án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ CẦN THƠ<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS<br /> CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013<br /> Khóa ngày 11/04/2013<br /> <br /> Đề chính thức<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.<br /> <br /> Câu 1 (5,0 điểm)<br /> √<br /> √<br /> 2m + 16m + 6<br /> m−2<br /> 3<br /> √<br /> 1. Cho biểu thức P =<br /> +√<br /> +√<br /> −2<br /> m+2 m−3<br /> m−1<br /> m+3<br /> a) Rút gọn P .<br /> b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên.<br /> p<br /> p<br /> √<br /> √<br /> 3<br /> 3<br /> 2013<br /> 2. Tính giá trị (a3 + 15a − 25)<br /> với a = 13 − 7 6 + 13 + 7 6.<br /> Câu 2 (5,0 điểm)<br /> 1. Giải phương trình:<br /> <br /> √<br />
<br /> √<br /> √<br /> x + 5 + 3 − x − 2 15 − 2x − x2 + 1 = 0.<br /> <br /> 2. Tìm giá trị của m để hệ phương trình sau có nghiệm:<br />  2<br /> 2x + mx − 1 = 0<br /> mx2 − x + 2 = 0<br /> Câu 3 (5,0 điểm)<br /> 1 1 1<br /> 1. Tìm tất cả các số nguyên dương x, y, z thỏa + + = 2.<br /> x y z<br /> <br /> x+y ≤2<br /> 2. Cho hai số x, y thỏa mãn:<br /> x2 + y 2 + xy = 3<br /> Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = x2 + y 2 − xy.<br /> Câu 4 (2,0 điểm)<br /> Cho đường tròn (O; R) và hai điểm A, B nằm ngoài đường tròn sao cho OA = 2R. Tìm điểm M<br /> trên đường tròn để M A + 2M B đạt giá trị nhỏ nhất.<br /> Câu 5 (3,0 điểm)<br /> Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi P là một điểm di động trên<br /> cung BC không chứa A.<br /> 1. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc hạ từ A xuống P B, P C. Chứng minh rằng đường<br /> thẳng M N luôn đi qua một điểm cố định.<br /> 2. Gọi I, D, E là chân các đường cao lần lượt hạ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB.<br /> Chứng minh rằng chu vi tam giác IDE không đổi khi A, B, C thay đổi trên đường tròn<br /> (O; R) sao cho diện tích của tam giác ABC luôn bằng a2 .<br /> —–HẾT—–<br /> Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.<br /> <br /> SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> THÀNH PHỐ CẦN THƠ<br /> <br /> KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS<br /> CẤP THÀNH PHỐ-NĂM HỌC 2012-2013<br /> Khóa ngày 11/04/2013<br /> <br /> Đề chính thức<br /> <br /> MÔN THI: TOÁN<br /> Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian phát đề.<br /> <br /> HƯỚNG DẪN CHẤM<br /> (Hướng dẫn chấm này có 03 trang.)<br /> <br /> CÂU<br /> <br /> NỘI DUNG<br /> <br /> 1. (3,5 điểm)<br /> a) Điều kiện: m ≥ 0, m 6= 1<br /> √<br /> m+1<br /> P =√<br /> m−1<br /> 2<br /> b) P = 1 + √<br /> m−1<br /> 1(5,0đ)<br /> Để P ∈ N =⇒ m ∈ {4; 9}<br /> 2.(1,5 điểm)<br /> p<br /> p<br /> √<br /> √<br /> 3<br /> 3<br /> a = 13 − 7 6 + 13 + 7 6 =⇒ a3 = 26 − 15a<br /> 2013<br /> <br /> a3 + 15a − 25 = 1 =⇒ (a3 + 15a − 25)<br /> 1. (2,5 điểm)<br /> <br /> =1<br /> <br /> Điều kiện: −5 ≤ x ≤ 3<br /> √<br /> √<br /> √<br /> √<br /> Đặt t = x + 5 + 3 − x, t2 = 8 + 2 15 − 2x − x2 =⇒ t ≥ 2 2<br /> <br /> t=3<br /> 2<br /> Phương trình đã cho có dạng: t − t − 6 = 0 ⇐⇒<br /> t = −2 (loại)<br /> √<br /> √<br /> t = 3 ⇐⇒ x + 5 + 3 − x <br /> =3<br /> √<br /> −2 + 3 7<br /> 2(5,0đ)<br />  x=<br /> 2 √<br /> ⇐⇒ 4x2 + 8x − 59 = 0 ⇐⇒ <br /> −2 − 3 7<br /> x=<br /> 2<br /> 2. (2,5 điểm)<br /> <br /> mx + 2y = 1<br /> 2<br /> Đặt x = y ≥ 0. Hệ trở thành:<br /> −x + my = −2<br /> <br /> m+4<br /> <br /> <br />  x= 2<br /> m +2<br /> Hệ luôn có nghiệm:<br /> <br /> 1 − 2m<br /> 1<br /> <br />  y=<br /> ≥ 0 (m ≤ )<br /> 2<br /> m +2<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> m<br /> +<br /> 4<br /> 1<br /> −<br /> 2m<br /> Ta có: x2 = y ⇐⇒<br /> = 2<br /> m2 + 2<br /> m +2<br /> ⇐⇒ (m + 1) (m2 − m + 7) = 0 ⇐⇒ m = −1<br /> 3(5,0đ) 1. (3,0 điểm)<br /> <br /> ĐIỂM<br /> 0,5đ<br /> 2,0đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 1,0đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 1,0đ<br /> 1,0đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> 1,0đ<br /> Tiếp<br /> <br /> CÂU<br /> <br /> NỘI DUNG<br /> Không mất tính tổng quát giả sử: 1 ≤ x ≤ y ≤ z<br /> 3<br /> 1 1 1<br /> =⇒ 2 = + + ≤ =⇒ x = 1<br /> x y z<br /> x<br /> 1 1<br /> 2<br /> y = 1 (vô lý)<br /> =⇒ + = 1 ≤ =⇒<br /> y = 2 =⇒ z = 2<br /> y z<br /> y<br /> Vậy (1; 2; 2) và các hoán vị của chúng là nghiệm của phương trình đã cho<br /> 2. (2,0 điểm)<br /> (<br /> (<br /> x+y ≤2<br /> x + y = 2 − a (a ≥ 0)<br /> Hệ<br /> ⇐⇒<br /> x2 + y 2 + xy = 3<br /> x2 + y 2 + xy = 3<br /> (<br /> x+y =2−a<br /> Do đó:<br /> , ∆ = S 2 − 4P ≥ 0 =⇒ 0 ≤ a ≤ 4<br /> 2<br /> xy = (2 − a) − 3<br /> <br /> ĐIỂM<br /> 1,0đ<br /> <br /> 1,0đ<br /> 1,0đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> T = x2 + y 2 + xy − 2xy = 9 − 2(2 − a)2<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> min T = 1 khi x = 1,<br /> −1<br /> √ y = 1 hoặc<br /> √ x = −1, y =√<br /> √<br /> max T = 9 khi x = 3, y = − 3 hoặc x = − 3, y = 3<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> B<br /> <br /> M0<br /> <br /> M<br /> <br /> C<br /> <br /> O<br /> <br /> A<br /> <br /> 4(2,0đ)<br /> Gọi C là điểm trên đoạn thẳng OA sao cho OC =<br /> <br /> R<br /> , ta có điểm C cố định<br /> 2<br /> <br /> Dễ thấy ∆OCM đồng dạng ∆OM A =⇒ M A = 2M C<br /> Ta có M A + M B ≥ BC (không đổi)<br /> M A + 2M B = 2(M B + M C) ≥ 2BC<br /> Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi M nằm giữa B và C<br /> Vậy khi điểm M là giao điểm của đoạn BC và đường tròn (O) thì M A+2M B<br /> đạt giá trị nhỏ nhất<br /> 5(3,0đ) 1. (2,0 điểm)<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> Tiếp<br /> <br /> CÂU<br /> <br /> NỘI DUNG<br /> <br /> ĐIỂM<br /> <br /> A<br /> <br /> D<br /> E<br /> <br /> O<br /> C<br /> <br /> M<br /> I<br /> <br /> B<br /> <br /> N<br /> A0<br /> P<br /> <br /> \<br /> [ = 90◦ nên tứ giác<br /> Kẻ AI ⊥ BC, I ∈ BC cố định. Ta có BM<br /> A = BIA<br /> [ = ABM<br /> \<br /> AM BI nội tiếp hay AIM<br /> \ = ACP<br /> [<br /> Ta lại có tứ giác ABP C nội tiếp nên ABM<br /> [ = ACP<br /> [ (1)<br /> Do đó AIM<br /> [ = AN<br /> \<br /> Mặt khác AIC<br /> C = 90◦ nên tứ giác AIN C nội tiếp, suy ra<br /> [ + AIN<br /> [ = 180◦ (2)<br /> ACP<br /> [ + AIN<br /> [ = 180◦<br /> Từ (1) và (2) suy ra AIM<br /> Vậy đường thẳng M N luôn đi qua điểm cố định I<br /> 2. (1,0 điểm)<br /> <br /> 1,0đ<br /> <br /> \ = ACB<br /> [<br /> Tứ giác BCDE nội tiếp suy ra AED<br /> 0<br /> Kéo dài AO cắt (O; R) tại điểm A . Ta có:<br /> [ + AED<br /> \ = BAA<br /> \0 + ACB<br /> [ = 90◦<br /> EAO<br /> 1<br /> 1<br /> =⇒ AO ⊥ DE =⇒ SAEOD = AO.DE = R.DE<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> Tương tự ta cũng có: SBEOI = R.EI, SCDOI = R.ID<br /> 2<br /> 2<br /> 1<br /> Vậy: SABC = SAEOD + SBIOE + SCDOI = R.(DE + EI + ID)<br /> 2<br /> 2SABC<br /> 2a2<br /> =⇒ DE + EI + ID =<br /> =<br /> (không đổi)<br /> R<br /> R<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br /> —–HẾT—–<br /> Ghi chú:<br /> • Mọi cách giải đúng khác đáp án đều cho điểm tối đa.<br /> <br /> 0,5đ<br /> 0,5đ<br /> <br /> 0,5đ<br /> <br />