Tuyển tập các bài toán từ đề thi chọn đội tuyển các tỉnh-thành phố năm học 2018-2019

Chia sẻ: Binh Huy | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tuyển chọn các bài toán thi đội tuyển 2018-2019 giới thiệu các bài toán trong các đề thi chọn đội tuyển của các tỉnh. Mời các bạn tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập các bài toán từ đề thi chọn đội tuyển các tỉnh-thành phố năm học 2018-2019

VÕ THÀNH ĐẠT - NGUYỄN THỊ MỘNG TUYỀN NGUYỄN MINH HUY - PHẠM HOÀNG MINH Tuyển tập các bài toán từ đề thi chọn đội tuyển các tỉnh - thành phố năm học 2018 - 2019 Tháng 1/ 2019
Bản quyền tài liệu thuộc về Blog Toán học cho mọi người và dự án Bring Math to Everyone. Hoan nghênh bạn đọc chia sẻ rộng rãi tài liệu trên tinh thần phi lợi nhuận và tôn trọng các tác giả. Mọi hành động sử dụng tài liệu vào mục đích thương mại cần được sự cho phép của Blog Toán học cho mọi người hoặc dự án Bring Math to Everyone. Chúng tôi không chịu trách nhiệm về những hậu quả có thể xảy ra với các bạn nếu các bạn dùng tài liệu này cho bất cứ mục đích thương mại nào.
LỜI NÓI ĐẦU "Đi nhiều người, bạn sẽ đi rất xa." Không dễ để duy trì hoạt động của một tổ chức thực sự phi lợi nhuận từ trong tư tưởng. Duy trì sự tồn tại của nó đã khó, duy trì các dự án, các hoạt động của nó lại còn khó khăn hơn gấp nhiều nhiều lần. Dù vậy, đó vẫn chưa phải là điều khó khăn nhất. Mối bận tâm lớn nhất của chúng tôi là làm sao giữ lại niềm đam mê, lòng nhiệt huyết của từng thành viên. Có đam mê, có nhiệt huyết, rồi sẽ có tất cả. Thật may là trong những lúc khó khăn như thế này, chúng tôi vẫn đứng vững. Nhìn lên trên, chúng tôi thấy dự án Bring Math to Everyone phát triển rực rỡ, hoạt động trải khắp Bắc Trung Nam. Nhìn ra xung quanh, chúng tôi thấy phong trào học Toán đang mỗi lúc một mạnh, được xã hội hưởng ứng nhiệt liệt. Nhìn xuống dưới, chúng tôi thấy nhu cầu học Toán của các bạn học sinh đang cao hơn bao giờ hết. Nhìn lại chính mình, chúng tôi nhận ra mình vẫn luôn sẵn sàng để duy trì những gì mà chúng tôi quyết tâm thực hiện. Thế là chúng tôi tiếp tục, mặc dù khó khăn là điều chắc chắn hiện hữu. Năm nay, ấn phẩm này ra đời trễ hơn mọi năm, và cũng lần đầu được chia làm hai tập. Tập đầu tiên sẽ gồm các bài toán về Bất đẳng thức, Đa thức, Phương trình - hệ phương trình, và Phương trình hàm. Tập hai là các bài toán về Hình học phẳng, Số học và Tổ hợp. Thời gian quá gấp rút, các biên tập viên ai cũng có quá nhiều việc phải làm, nên chúng tôi chọn cách tổng hợp lại các bài toán và lời giải đơn thuần, còn những nhận xét và bình luận, xin dành lại cho bạn đọc. Hẹn các bạn tới sau Tết Nguyên đán, phiên bản đầy đủ của ấn phẩm này sẽ được phát hành dưới dạng sách in, với những nhận xét, bình luận và các bài toán tương tự được thêm vào. Các biên tập viên của tập 1 gồm có: • Bạn Võ Thành Đạt (sinh viên năm 3 khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp. HCM): Phương trình hàm và Đa thức. • Bạn Nguyễn Thị Mộng Tuyền (sinh viên năm 3 khoa Toán - Tin học trường ĐH Sư phạm Tp. HCM): Phương trình và hệ phương trình. • Bạn Nguyễn Minh Huy (sinh viên năm 2 khoa Toán - Tin học trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp. HCM): Bất đẳng thức. Chúng tôi xin cảm ơn anh Lê Phúc Lữ (học viên cao học Công nghệ thông tin trường ĐH Khoa học Tự nhiên Tp. HCM) đã rất nhiệt tình sưu tầm các đề thi và lời giải, đóng góp rất nhiều cho quá trình biên tập. Cảm ơn thầy Nguyễn 5
Tài Chung (THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai) đã cung cấp một số code LTEX A giúp quá trình biên tập được dễ dàng hơn. Cảm ơn thầy Nguyễn Song Minh (Titan Education Hà Nội) và các thành viên Diễn đàn Mathscope đã tích cực thảo luận, giúp chúng tôi có thêm gợi ý để giải các bài toán. Mọi thắc mắc, ý kiến xin gửi tin nhắn về fanpage Toán học cho mọi người - Math for Everyone https://www.facebook.com/Math4E/ hoặc gửi email về địa chỉ blogtoanhocchomoinguoi@gmail.com. Cảm ơn tất cả các bạn! 6
Mục lục 1 CÁC BÀI TOÁN 8 2 LỜI GIẢI 16 1.1 Bất đẳng thức . . . . . 8 2.1 Bất đẳng thức . . . . . 16 1.2 Đa thức . . . . . . . . . 11 2.2 Đa thức . . . . . . . . . 29 1.3 Phương trình và hệ 2.3 Phương trình và hệ phương trình . . . . . . 12 phương trình . . . . . . 35 1.4 Phương trình hàm . . . 14 2.4 Phương trình hàm . . . 43 MỤC LỤC 7
Chương 1 CÁC BÀI TOÁN 1.1 BẤT ĐẲNG THỨC Bài 1. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn điều kiện 3a2 + 2b2 + c2 = 6. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2 (a + b + c) − abc. (Kon Tum) Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức 1 1 1 √ ab + bc + ca √ (a + b + c) + + +4 2 2 ≤ 9 + 4 2. a b c a + b2 + c 2 đúng với mọi số thực dương a, b, c. (Ninh Bình) Bài 3. Cho n ∈ N và a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng: 1 1 √ √ 2 (an − bn ) − ≥ 4n (n − 1) a− b bn−1 an−1 (Quảng Trị) Bài 4. a) Với mọi số thực a, chứng minh rằng (a − 4)2 (a + 2)2 3 2 + 16 + 2 ≥ . a a +8 2 b) Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a + b + c = 0. Chứng minh rằng a−1 b−1 c−1 3 2+8 + 2 + 2 ≥− . a b +8 c +8 8 (Vĩnh Long) 8 CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN
Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng 1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ . 4a2 + b2 + c2 a + 4b2 + c2 a + b2 + 4c2 2 (Nam Định) Bài 6. Giả sử α, β là các nghiệm thực của phương trình 4x2 − 4tx − 1 = 0 (t ∈ R) 2x − t và [α, β] là tập xác định của hàm số f (x) = 2 . x +1 a) Đặt g (t) = max f (x) − min f (x). Tìm g (t) theo t. π b) Chứng minh rằng: Với u1 , u2 , u3 ∈ 0, , nếu sin u1 + sin u2 + sin u3 = 1 thì 2 √ 1 1 1 3 6 + + < . g (tan u1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4 (Bến Tre) Bài 7. Cho các số thực dương a, b thoả mãn a − a3 ≥ b + b3 . Chứng minh rằng a2 + b2 < 1. (Đồng Tháp) Bài 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng 2 a b c 1 1 1 + + ≤ (a + b + c) + + . b c a a b c (Lạng Sơn) Bài 9. Cho các số thực dương a, b, c thoả mãn abc = 1. Chứng minh rằng a3 + 5 b3 + 5 c3 + 5 + 3 + 3 ≥ 9. a3 (b + c) b (c + a) c (a + b) (Quảng Ngãi) Bài 10. Cho a, b, c là các số thực dương và n ∈ N≥2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a2 + bc b2 + ca c2 + ab P = n + n + n . a (b + c) b (c + a) c (a + b) (Hưng Yên) Bài 11. Cho các số thực a, b, c ∈ (0, 1). Chứng minh rằng √ abc + (1 − a) (1 − b) (1 − c) < 1. (Kon Tum) CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN 9
Bài 12. Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn x3 + y 3 + z 3 = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức xyz + (x + y + z)2 P = . 5 (xy + yz + zx) + 1 (Quảng Nam) Bài 13. Cho số nguyên dương n ≥ 3 và 2n số thực dương a1 , a2 , . . . , an , b1 , b2 , . . . , bn n n thoả mãn ak = 1 và b2 = 1. Chứng minh rằng k k=1 k=1 n ak (bk + ak+1 ) < 1 k=1 với an+1 = a1 . (Quảng Ninh) π Bài 14. Cho x, y ∈ 0, . Chứng minh rằng 2 1 1 1 9 2 2 + 2 + 2 y + 1 cos2 x + 1 ≤ 2 . sin x. sin y + 1 sin x. cos 2 sin x. sin 2y + sin 2x. sin y + sin 2x. cos y (Bình Thuận) Bài 15. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng 6 (ab + bc + ca) (a + b) (b + c) + (b + c) (c + a) + (c + a) (a + b) ≥ . a+b+c (Vĩnh Phúc) Bài 16. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng c2 b a3 b 2 c + 2 + 2 ≥ ac + ab + 1. b ac (Yên Bái) Bài 17. Cho a, b, c là cá số thực dương thoả mãn ab ≥ 1 và c (a + b + c) ≥ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b + 2c a + 2c P = + + 6 ln (a + b + 2c) . 1+a 1+b (Tiền Giang) Bài 18. Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn xy + yz + zx = 2xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1 P = 2 + 2 + . x (2x − 1) y (2y − 1) z (2z − 1)2 (Hậu Giang) Bài 19. Cho n là một số nguyên lớn hơn 1 và (x1 , x2 , . . . , xn ) là hoán vị của tập {1, 2, 3, . . . , n} (tập hợp gồm n số nguyên dương đầu tiên). Chứng minh rằng: n n2 (n + 1)2 kxk (k + xk ) . k=1 2 (Sư phạm Hà Nội) 10 CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN
1.2 ĐA THỨC Bài 1. Ký hiệu tập hợp M = {−10; −9; −8; . . . ; 9; 10}. Xét đa thức P (x) = x3 + ax2 + bx + c √ 9 trong đó các hệ số a, b, c đều thuộc M . Biết rằng P 2 + 2 < , chứng 2018 minh đa thức P (x) có ba nghiệm thực phân biệt. (Hà Tĩnh) Bài 2. Cho đa thức P (x) có hệ số nguyên và a, b, c là các số nguyên thoả mãn P (a) = 1; P (b) = 2 và P (c) = 3. Chứng minh rằng a + c = 2b. (Ninh Bình) Bài 3. Cho n là số nguyên dương chẵn và P (x) = xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 là đa thức với hệ số thực và có n nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Giả sử y là số thực dương thoả mãn với mọi số thực t < y thì P (t) > 0. Chứng minh rằng n P (0) − n P (y) ≥ y. (Quảng Bình) Bài 4. Cho đa thức P (x) có hệ số nguyên, bậc 2 và hệ số bậc 2 bằng 1 thoả mãn tồn tại đa thức Q (x) có hệ số nguyên sao cho P (x) Q (x) là đa thức có tất cả các hệ số đều là ±1. a) Chứng minh rằng nếu đa thức P (x) có nghiệm thực x0 thì |x0 | < 2. b) Tìm tất cả các đa thức P (x). (Lạng Sơn) Bài 5. Cho P (x) là đa thức có bậc không vượt quá 2017 thoả mãn |P (k)| ≤ k + 1 ∀k ∈ {0; 1; ...; 2017}. Chứng minh rằng |P (2018)| + |P (−1)| ≤ 2019 (22018 − 1). (Hải Phòng) Bài 6. Tìm tất cả các đa thức f (x) thoả mãn f (x + y) = f (x) + f (y) − 3xy ∀x, y ∈ R. (Đăk Lăk) Bài 7. Cho đa thức bậc 3 P (x) = x3 − 3x. a) Chứng minh rằng tồn tại các số thực a, b, c đôi một phân biệt sao cho P (a) = b; P (b) = c; P (c) = a. CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN 11
b) Giả sử tồn tại 3 bộ số thực (ai , bi , ci ) với i = 1, 3 gồm 9 số đôi một phân biệt sao cho P (ai ) = bi ; P (bi ) = ci ; P (ci ) = ai với i = 1, 3. Đặt Si = ai + bi + ci với i = 1, 3. Chứng minh rằng 2 2 2 S1 + S2 + S3 = S1 S2 + S2 S3 + S3 S1 . (Tp. HCM) Bài 8. Cho P (x) là đa thức hệ số nguyên. Có hay không 3 số nguyên a, b, c phân biệt sao cho P (a) = b; P (b) = c; P (c) = a? (Trường Trung học Thực hành - Đại học Sư phạm Tp. HCM) Bài 9. Cho a1 , a2 , . . . , a2018 là các số nguyên đôi một khác nhau. Chứng minh rằng đa thức P (x) = (x − a1 )2 (x − a2 )2 . . . (x − a2018 )2 + 1 bất khả quy trên Z. (Trường Trung học Thực hành - Đại học Sư phạm Tp. HCM) 1.3 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Giải hệ phương trình: 2x2 − xy + y 2 + x + y − 1 = 0 √ √ (x, y ∈ R). 4 x+3+y =4 y+3+x (Đồng Nai) Bài 2. Giải hệ phương trình: 8(x4 + y 2 − xy 3 ) − 9x = 0 . 8(y 4 + x2 − yx3 ) − 9y = 0 (Đồng Tháp) Bài 3. Giải phương trình: 1 1+ =x 1 1+ 1+ ... 1 1+ x trong đó vế trái gồm có 2018 dấu phân số. (Hải Phòng) 12 CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN
Bài 4. Giải hệ phương trình: √ √ √ √ x−1+ x+1= y−1+ y+1 √ . x2 + x + 12 y + 1 = 36 (Kon Tum) Bài 5. Giải hệ phương trình: √ 2x + y − x + y = 1 √ √ . 2x + y + 4x + y = 2 (Long An) Bài 6. Giải hệ phương trình:  y + y2 + 1 (x − y)(x2 + xy + y 2 − 2) = 2ln √  x + x2 + 1 . 3x · 2x = 3y + 2y + 1  (Ninh Bình) Bài 7. Giải hệ phương trình: √ √ xy + x + xy − y = x + y √ √ . (x − 3) y − 1 + (x + 2) y + 4 = x2 − x (Bình Định) Bài 8. Giải hệ phương trình: x3 − 6x2 + 13x = y 3 + y + 10 √ √ (x, y ∈ R). 2x + y + 5 − 3 − x − y = x3 − 3x2 − 10y + 6 (Vĩnh Long) Bài 9. Giải bất phương trình: √ 2(x − 1) x2 + 2x − 1 ≤ x2 − 2x − 1 (x ∈ R). (Vĩnh Long) Bài 10. Giải phương trình: √ √ 4 x + 1 + 2 2x + 3 = (x − 1)(x2 − 2). Bình Dương CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN 13
1.4 PHƯƠNG TRÌNH HÀM Bài 1. Xác định tất cả các hàm f : R → R và g : R → R thoả mãn đồng thời các điều kiện: i. Với mọi x, y ∈ R: 2f (x) − g (x) = f (y) − y; ii. Với mọi x ∈ R: f (x) g (x) ≥ x + 1. (Bến Tre) Bài 2. Cho hàm số f : R → R thoả mãn f (xf (y)) + f (f (x) + f (y)) = yf (x) + f (x + f (y)) ∀x, y ∈ R. a) Chứng minh rằng: "Nếu tồn tại a ∈ R sao cho f (a) = 0 thì f là đơn ánh. b) Tìm tất cả các hàm số f . (Long An) Bài 3. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn f f (x) − y 2 = f x2 + y 2 f (y) − 2f (xy) ∀x, y ∈ R. (Phú Thọ) Bài 4. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn f (x − y) + f (xy) = f (x) − f (y) + f (x) f (y) ∀x, y ∈ R. (Quảng Bình) Bài 5. Cho hàm số f : R → R thoả mãn đồng thời 2 i. (f (x3 + x)) ≤ f (2x) + 2 ∀x ∈ R ii. (f (−2x))3 ≥ 3f (−x3 − x) + 2 ∀x ∈ R a) Chứng minh rằng f (x) không phải là đơn ánh trên R. b) Chứng minh rằng f (x) ≥ −1 ∀x ∈ R (Tp. HCM) Bài 6. Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên tục trên R và thoả mãn f (x + y) f (x − y) = (f (x) f (y))2 ∀x, y ∈ R. (Đà Nẵng) 14 CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN
Bài 7. Cho hàm số f : R → R thoả mãn f (x + f (y)) = f (x) + y n với mọi x, y ∈ R. Biết rằng f là hàm đơn điệu thực sự. a) Tìm tất cả các f khi n = 1. b) Có hay không hàm f khi n = 2019? (Trường Trung học Thực hành - Đại học Sư phạm Tp. HCM) Bài 8. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn f (x + y) = f (x) cos (y) + f (y) cos (x) ∀x, y ∈ R. (Trường Trung học Thực hành - Đại học Sư phạm Tp. HCM) Bài 9. Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn f x2 − f 2 (y) = xf (x) + y 2 ∀x, y ∈ R. (Hà Nam) Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f : R → R, biết rằng f là hàm số chẵn và thoả mãn f (xy) − f (x) f (y) = 2018 (f (x + y) − 2xy − 1) ∀x, y ∈ R. (Vĩnh Long) Bài 11. Tìm hàm số f (x) xác định và liên tục trên R+ thoả mãn x+y f = f (x) f (y) ∀x, y ∈ R+ . 2 (Đăk Lăk) Bài 12. Tìm tất cả các hàm số f : R+ → R+ thoả mãn f xf y 2 − yf x2 = (y − x) f (xy) với mọi y > x > 0 (Trường Phổ thông Năng khiếu, ĐHQG Tp. HCM) CHƯƠNG 1. CÁC BÀI TOÁN 15
Chương 2 LỜI GIẢI 2.1 BẤT ĐẲNG THỨC B ÀI 1 (KON TUM) Cho a, b, c là các s th c tho mãn đi u ki n 3a2 + 2b2 + c2 = 6. Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c P = 2 (a + b + c) − abc. Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có √ √ 2 P 2 = a (2 − bc) + 2. 2 (b + c) ≤ a2 + 2 2 − bc2 + 2 (b + c)2 = a2 + 2 b2 + 2 c2 + 2 . Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 a2 + 2 b2 + 2 c2 + 2 = .3 a2 + 2 b2 + 2 c2 + 2 6 3 1 3 (a2 + 2) + 2 (b2 + 2) + (c2 + 2) ≤ 6 3 = 36. Từ đó suy ra P 2 ≤ 36 hay −6 ≤ P ≤ 6. Mặt khác với a = 0, b = 1, c = 2 thì 3a2 + 2b2 + c2 = 6 và P = 6 và với a = 0, b = −1, c = −2 thì 3a2 + 2b2 + c2 = 6 và P = −6. Vậy Pmax = 6 và Pmin = −6. B ÀI 2 (NINH BÌNH) Ch ng minh b t đ ng th c 1 1 1 √ ab + bc + ca √ (a + b + c) + + +4 2 2 ≤ 9 + 4 2. a b c a + b2 + c 2 đúng v i m i s th c dương a, b, c. 16 CHƯƠNG 2. LỜI GIẢI
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1 √ √ ab + bc + ca (a + b + c) + + −9≤4 2−4 2 2 a b c a + b 2 + c2 (a − b)2 (b − c)2 (c − a)2 √ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ⇔ + + ≤2 2 (2.1) ab bc ca a2 + b 2 + c 2 (a − b)2 (a − c)2 Không mất tính tổng quát, giả sử rằng a ≤ b ≤ c. Khi đó: ≤ . b c Áp dụng bất đẳng thức Chebysev, ta có (a − b)2 (a − c)2 + (b + c) ≤ 2 (a − b)2 + (a − c)2 b c (a − b)2 (a − c)2 2 (a − b)2 + (a − c)2 ⇔ + ≤ (2.2) ab ac a (b + c) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2 a2 + b2 + c2 ≤ 2a2 + (b + c)2 . Suy ra 2 (a − b)2 + (a − c)2 √ (a − b)2 + (c − a)2 ≤2 2 (2.3) a (b + c) a2 + b 2 + c 2 √ Do a ≤ b ≤ c nên a2 + b2 + c2 ≤ 3bc ≤ 2 2bc. Suy ra (b − c)2 √ (b − c)2 ≤2 2 2 . (2.4) bc a + b2 + c 2 Từ (2.2), (2.3) và (2.4) ta có ngay bất đẳng thức (2.1) đúng. Phép chứng minh √ √ hoàn tất. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c hoặc a = 2b = 2c và các hoán vị. B ÀI 3 (QUẢNG TRỊ) Cho a, b, c là các s th c dương tho mãna + b + c = 1. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c a2 b2 3 P = 2 + 2 − (a + b)2 . (b + c) + 5bc (c + a) + 5ca 4 (x + y)2 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức xy ≤ , ∀x, y > 0, ta có 4 a2 a2 4a2 ≥ = . (2.5) (b + c)2 + 5bc 2 5 2 9 (b + c)2 (b + c) + (b + c) 4 Tương tự ta có b2 4b2 ≥ . (2.6) (c + a)2 + 5ca 9 (c + a)2 CHƯƠNG 2. LỜI GIẢI 17
Từ (2.5) và (2.6) ta có 2 4 a2 b2 3 2 a b 3 P ≥ + − (a + b)2 ≥ + − (a + b)2 9 (b + c)2 (c + a)2 4 9 b+c c+a 4 2 2a2 + b2 + c (a + b) 3 = 2 − (a + b)2 9ab + c (a + b) + c 4 2   (a + b) 2 + c (a + b)  3 ≥  2  − (a + b)2 9  (a + b)2  4 + c (a + b) + c2 4 2 8 2 3 = 1− − (1 − c)2 . 9 c+1 4 2 8 2 3 1 Xét hàm số f (x) = 1− − (1 − x)2 , ∀x ∈ (0, 1). Ta có f (x) = 0 ⇔ x = . 9 x+1 4 3 Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra 1 f (x) ≥ − , ∀x ∈ (0, 1) . 9 Do đó ta có 1 P ≥ f (c) ≥ − . (2.7) 9 1 1 Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = . Vậy giá trị nhỏ nhất của P là − . 3 9 B ÀI 4 (VĨNH L ONG) a) V i m i s th c a, ch ng minh r ng (a − 4)2 (a + 2)2 3 2 + 16 + 2 ≥ . a a +8 2 b) Cho a, b, c là các s th c tho mãn a + b + c = 0. Ch ng minh r ng a−1 b−1 c−1 3 + 2 + 2 ≥− . a2 + 8 b + 8 c + 8 8 Lời giải. a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với −8 a+8 a2 (a − 4)2 a 2 + 16 + 2 ≥0⇔ ≥0 a 2a + 16 (a2 + 16) (2a2 + 16) Điều này luôn đúng với mọi số thực a. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 0 hoặc a = 4. Vậy phép chứng minh hoàn tất. 18 CHƯƠNG 2. LỜI GIẢI
b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 4 (a − 1) 4 (b − 1) 4 (c − 1) 3 2+8 +1+ 2 +1+ 2 +1≥ a b +8 c +8 2 (a + 2)2 (b + 2)2 (c + 2)2 3 ⇔ 2 + 2 + 2 ≥ a +8 b +8 c +8 2 Vì a + b + c = 0 nên không mất tính tổng quát, ta giả sử ab ≥ 0. Khi đó a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab ≤ (a + b)2 . Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz kết hợp với (14), ta có (a + 2)2 (b + 2)2 (a + b + 4)2 (4 − c)2 + 2 ≥ 2 ≥ 2 . (2.8) a2 + 8 b +8 a + b2 + 16 c + 16 Áp dụng câu a), ta có (c − 4)2 (c + 2)2 3 + 2 ≥ (2.9) c2 + 16 c +8 2 Kết hợp (2.8) và (2.9) ta có bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0 hoặc a = b = 2, c = 4 cùng các hoán vị. B ÀI 5 (NAM ĐỊNH) Cho a, b, c là các s th c dương tho mãn a + b + c = 3. Ch ng minh r ng 1 1 1 1 + 2 + 2 ≤ . 4a2 + b2 + c2 a + 4b2 + c2 a + b2 + 4c2 2 Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 9 9 9 9 + 2 + 2 ≤ 4a2 +b 2 + c2 a + 4b 2 + c2 a +b 2 + 4c2 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có 9 (a + b + c)2 1 b2 c2 = 2 ≤ + 2 + 2 (2.10) 4a2 + b2 + c2 2a + (a2 + b2 ) + (a2 + c2 ) 2 a + b2 a + c 2 Hoàn toàn tương tự, ta có 9 1 c2 a2 ≤ + 2 + , (2.11) a2 + 4b2 + c2 2 b + c 2 b 2 + a2 9 1 a2 b2 ≤ + 2 + 2 . (2.12) a2 + b2 + 4c2 2 c + a2 c + b 2 Cộng từng vế của (2.10), (2.11) và (2.12)) ta được 9 9 9 3 9 + 2 + 2 ≤ +3= . 4a2 +b 2 + c2 a + 4b 2 + c2 a +b 2 + 4c2 2 2 Vậy phép chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. CHƯƠNG 2. LỜI GIẢI 19
B ÀI 6 (BẾN TRE) Gi s α, β là các nghi m th c c a phương trình 4x2 − 4tx − 1 = 0 (t ∈ R) và [α, β] là t p 2x − t xác đ nh c a hàm s f (x) = 2 . x +1 a) Đ t g (t) = max f (x) − min f (x). Tìm g (t) theo t. π b) Ch ng minh r ng: V i u1 , u2 , u3 ∈ 0, , n u sin u1 + sin u2 + sin u3 = 1 thì 2 √ 1 1 1 3 6 + + < . g (tanu1 ) g (tanu2 ) g (tanu3 ) 4 Lời giải. a) Đặt α ≤ x1 ≤ x2 ≤ β. Khi đó, 4x2 − 4tx1 − 1 ≤ 0 và 4x2 − 4tx2 − 1 ≤ 0. Do đó, 1 2 1 4 x2 + x2 − 4t (x1 + x2 ) − 2 ≤ 0 ⇔ 2x1 x2 − t (x1 + x2 ) − 1 2 ≤ 0. 2 Vì 2x2 − t 2x2 − t (x2 − x1 ) [t (x2 + x1 ) − 2x1 x2 + 2] f (x2 ) − f (x1 ) = 2 − 21 = (2.13) x2 + 1 x1 + 1 (x2 + 1) (x2 + 1) 1 2 và 1 t (x2 + x1 ) − 2x1 x2 + 2 > t (x2 + x1 ) − 2x1 x2 + ≥ 0. 2 nên f (x2 ) − f (x1 ) > 0 dẫn đến f là hàm tăng trên [α, β]. 1 Theo định lí Viete, ta có α + β = t và αβ = − nên thay vào (2.13) ta được 4 √ 5 t2 + 1 t2 + √ 2 8 t2 + 1 (2t2 + 5) g (t) = f (β) − f (α) = = . 25 16t2 + 25 t2 + 16 b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 8 2 16 +3 + 24 cos (ui ) √ cos (ui ) cos2 (ui ) cos (ui ) 16 6 g (tan (ui )) = = ≥ . 16 16 + 9 cos2 (ui ) 16 + 9 cos2 (ui ) +9 cos2 (ui ) Do đó, 3 3 3 1 1 2 1 ≤ √ 16 + 9 cos (ui ) = √ 75 − 9 sin2 (ui ) . (2.14) i=1 g (tan (ui )) 16 6 i=1 16 6 i=1 20 CHƯƠNG 2. LỜI GIẢI