Tuyển tập đề thi IMO

Chia sẻ: Phan Cảnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

143
lượt xem 26
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cho trước độ dài |AC|, hãy dựng tam giác ABC với góc ·ABC = 90 độ, và trung tuyến BM thỏa mãn BM 2 = AB.BC. Cho điểm M tuỳ ý trong đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuông AMCD và MBEF nằm cùng phía đối với đường thẳng AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các hình vuông AMCD và MBEF. Các đường tròn này giao nhau tại M và N. (a) Chứng minh rằng AF và BC cắt nhau tại N. (b) Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định S (không phụ thuộc vào M). (c)...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập đề thi IMO

http://www.d iend anto anho c.net Upload by Magus Tuyển tập đề thi IMO IMO Task Collection Hà Nội 2002
Tuyển tập các đề thi IMO Kỳ thi IM O lần thứ nhất 1959 21n + 4 1. Ch ứng minh rằng là ph ân số tố i giản với mọi số tự nhiên n . 14 n + 3 2. Với giá trị thực nào của x thì b iểu thức x + 2 x + 1 + x - 2 x - 1 = A nh ận các giá trị: (a) A = 2 (b) A = 1 (c) A = 2 Ở đây chỉ có các số thực khôn g âm cho ph ép trong dấu căn và giá trị củ a căn luôn lấ y giá trị không âm? 3. Giả sử a, b, c là các số thực. Cho ph ươn g trình sau của co sx: 2 a cos x + b cos x + c = 0 Hã y thiết lập phươn g trình b ậc 2 đối với cos2 x sao cho có cùng n gh iệm x với phương trình trên. So sánh các phương trình trên với a = 4, b = 2, c = 1. 4. Cho trư ớc độ dài |AC|, h ãy dựn g tam giác ABC vớ i gó c · = 90 độ , và ABC 2 trun g tu yến BM thỏa mãn BM = AB.BC. 5. Cho đ iểm M tu ỳ ý tron g đoạn thẳng AB. Dựng các hình vuôn g AMCD và MBEF n ằm cùng phía đ ối với đường thẳng AB. Gọi P, Q lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp các hình vuôn g AMCD và MBEF. Các đườn g tròn n ày giao nhau tại M và N. (a) Chứng minh rằng AF và BC cắt nh au tại N. (b) Chứng minh rằng M N đ i qua một điểm cố định S (khôn g phụ thuộ c vào M). (c) Tìm qu ĩ tích trung điểm của đoạn thẳng PQ kh i M th ay đổ i. 6. Cho h ai mặt ph ẳng P và Q không song song với nhau. Điểm A n ằm tron g P nhưng khô ng thuộc Q, điểm C n ằm tron g Q nhưn g khôn g thuộc P. Dựng điểm B tron g P và D trong Q sao cho tứ giác ABCD thoả mãn các đ iều kiện sau: nằm trênng một mặt ph ẳn g, AB son g son g với CD, AD = BC, và ngoại tiếp một đường tròn. Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 2
Kỳ thi IM O lần thứ hai 1960 1. Tìm tất cả các số có ba chữ số sao cho số đó chia hết cho 11, và kết quả củ a số đó sau khi ch ia cho 11 bằng tổng bình phương các chữ số của nó . 2. Với giá trị thực nào của x bất đẳng thức sau tho ả mãn: 4 2 x
ì x + y + z = a ï2 2 2 2 í x + y + z = b ï x y = z 2 î Với điều kiện n ào củ a a, b để x, y, z là các số dương kh ác nhau ? 2. Cho a, b , c là các cạnh của một tam giác và A là d iện tích của nó. Chứn g m inh rằn g: a 2 + b 2 + c 2 ³ 4 3A Dấu đẳng thức xả y ra kh i nào? n n 3. Giải phươn g trình cos x sin x = 1, trong đó n là một số tự nhiên. 4. P là mộ t điểm bên tron g tam giác ABC. PA cắt BC tại D, P B cắt AC tại E, và AP BP CP PC cắt AB tại F. Ch ứng minh rằng ít nhất mộ t tron g các tỉ số : , , PD PE PF không vượ t qu á 2, và ít nhất có một tỉ số không nhỏ hơn 2. · 5. Dựn g tam giác ABC biết độ d ài đoạn AC = b , AB = c và gó c nhọn A M B = a , tron g đó M là trung điểm của BC. Chứn g m inh rằn g tam giác n ày dựn g được nếu và ch ỉ nếu: a btg £ c
3. Hình lập phương ABCDA'B 'C 'D ' có mặt trên là ABCD và m ặt dưới là ' ' ' ' A'B 'C 'D ' với A ở trên A , B ở trên B , C ở trên C , D ở trên D . Điểm X d i chu yển theo chu vi của ABCD với tố c độ không đổi, và điểm Y cũn g d i chu yển với tốc độ như vậ y theo chu vi của B'C'CB, khi X chuyển từ A tới B th ì Y đồn g thời cũng di chu yển tươ ng ứng từ B' tới C'. Tìm quỹ tích trung điểm của XY ? 2 2 2 4. Tìm tất cả các n ghiệm thự c thoả mãn: cos x + cos 2x + cos 3x = 1. 5. Cho b a đ iểm ph ân biệt A, B, C trên đường tròn K. Dựn g đ iểm D trên K sao cho tứ giác ABCD ngo ại tiếp đư ờng tròn . 6. Cho tam giác cân ABC. Gọ i O , O lần lượ t là tâm của đường tròn ngo ại tiếp, 1 2 nội tiếp tam giác và gọi R, r lần lượt là bán kính của đ ường tròn O , O . Chứn g 1 2 minh rằng: O O = ( R ( R - 2r )) 12 7. Tứ diện SABC có tính chất sau: tồn tại 5 hình cầu, mỗi h ình cầu đ ều tiếp xú c với 6 cạnh của tứ giác hoặc đườn g kéo dài củ a chúng. (a) Chứng minh rằng tứ diện SABC là đ ều . (b) Chứng minh rằng với mỗi tứ diện đều 5 hình cầu nh ư vậ y tồn tại. Kỳ thi IM O lần thứ 5 1963 1. Với giá trị thực nào của p thì phươn g trình sau có n gh iệm thự c: (x 2 - p ) + 2 (x 2 - 1) = x Tìm các n ghiệm đó. 2. Cho đ iểm A và đo ạn thẳng BC, xác định quỹ tích tất cả các điểm P trong · không gian sao cho gó c APX = 90 với X n ằm trên BC. o 3. Cho đ a giác n cạnh có tất cả các gó c bằng nhau và đ ộ d ài các cạnh thoả m ãn: a1 ³ a2 ³ . .. ³ an. Chứn g m inh rằn g tất cả các cạnh cũn g bằng nh au. 4. Tìm tất cả các n ghiệm x , ..., x từ hệ năm phương trình: 1 5 x5 + x2 = yx1 x1 + x3 = yx2 x + x = yx 2 4 3 Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 5
x + x = yx 3 5 4 x + x = yx 4 1 5 Ở đây y là tham số. 5. Ch ứng minh rằng: p 2p p 3 1 = co s - cos + cos 7 7 7 2 6. Có năm sinh viên A, B, C, D, E được xếp hạng từ 1 đến 5 tron g một cuộ c thi với không ai xếp cùng thứ hạng như nh au. Người ta dự đoán rằng kết qu ả đó có thể theo thứ tự là A, B, C, D, E. Nhưng khôn g có sinh viên nào đạt đ ược kết quả theo như dự đoán trên và không có hai sinh viên liên tiếp tron g d anh sách dự đoán có kết qu ả liên tiếp. Ví dụ, kết quả cho C và D không thể tương ứng là 1,2 hoặc 2,3 ho ặc 3,4 hoặc 4,5. Một d ự đo án kh ác là có thể th eo thứ tự là của D, A, E, C, B. Ch ính xác là chỉ có hai sinh viên đ ạt được kết quả nh ư dự đo án và có hai cặp không liên tiếp trong dự đoán đạt được kết quả liên tiếp. Xác định kết quả đạt đượ c của 5 sinh viên trên. Kỳ thi IM O lần thứ 6 1964 n 1. (a) Tìm tất cả các số tự nh iên n với 2 1 chia hết cho 7. n (b ) Chứn g m inh rằn g khôn g có số tự nhiên n nào đ ể 2 + 1 ch ia hết cho 7 . 2. Giả sử a, b, c là các cạnh của mộ t tam giác. Chứn g m inh rằn g: 2 2 2 a (b + c a) + b (c + a b ) + c (a + b c) £ 3ab c. 3. Tam giác ABC có độ dài các cạn h là a, b, c. Các đường tiếp tu yến củ a đườn g tròn nội tiếp tam giác được dựn g son g son g với các cạnh của tam giác và cắt hai cạnh kia tạo th àn h b a tam giác. Đố i vớ i mỗ i tam giác nà y lại có một đường tròn nội tiếp. Tính tổng diện tích củ a cả bốn đường tròn nội tiếp trên. 4. Có 17 người, mỗi mộ t cặp trong số họ đều trao đổi thư từ cho nhau với một tron g ba chủ đề. Chứn g m inh rằn g có ít nh ất 3 người viết cho nhau th eo cùng một chủ đ ề. (Ha y n ói một cách khác, nếu ta tô màu cho các cạnh của một đồ thị đầy đủ 17 đỉnh vớ i ba m àu khác nhau, kh i đó ta có thể tìm thấ y một tam giác có tất cả các cạnh cùng màu). Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 6
5. Cho n ăm điểm trong mộ t mặt phẳng sao cho không có hai đườn g th ẳn g (tron g số các đường thẳng nối hai tron g số các đ iểm trên) nào trùng nh au, song son g với nhau hoặc vuông góc với nhau (các đường thẳng được n ối từ hai tron g n ăm điểm đã cho). Từ mỗ i một đ iểm ta kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng đượ c nối hai tron g bốn điểm còn lại. Hãy xác đ ịnh số điểm giao nhau lớn n hất giữa các đường thẳng vuông góc có th ể có. 6. Cho tứ diện ABCD và D là trọng tâm tam giác ABC. Từ A, B, C kẻ các 0 đường thẳng song song với DD lần lư ợt cắt các m ặt phẳng BCD, CAD, ABD 0 tươn g ứng tại A0, B0, C0 . Chứn g m inh rằn g thể tích củ a A0B0C0D0 gấp ba lần th ể tích của ABCD. Kết quả có đúng kh i D là một điểm tu ỳ ý tron g tam giác ABC 0 không ?. Kỳ thi IM O lần thứ 7 1965 1. Tìm tất cả x trong đoạn [0, 2p ] tho ả m ãn : 2cosx £ | (1+sin2x) - (1 - sin 2x ) | £ 2 2. Cho h ệ phương trình: ìa11x 1 + a12 x 2 + a13 x 3 = 0 ï ía21x 1 + a22 x 2 + a23 x 3 = 0 ïa x + a x + a x = 0 î 31 1 32 2 33 3 Trong đó các hệ số aịj (i,j = 1, 3 ) thoả mãn: (a) aii là các số dư ơng. (b) aịj là các số âm (i ¹ j). (c) Tổng các hệ số tron g m ỗi phương trình là dươn g. Chứn g m inh rằn g x1 = x2 = x3 = 0 là n ghiệm du y nh ất của h ệ phương trình trên. 3. Tứ diện ABCD đượ c chia th ành hai phần bởi một m ặt phẳng song song vớ i AB và CD. Kho ản g cách từ mặt phẳng đó đến AB gấp k lần đến CD. Tính tỉ lệ giữa th ể tích củ a h ai phần được chia đó. 4. Tìm tất cả các bộ bốn số thự c sao cho tổn g của bất kì mộ t số n ào đó và tích của ba số còn lại là b ằn g 2 . 5. Cho tam giác OAB có gó c O n họn. M là một đ iểm tu ỳ ý trên AB. Gọ i P, Q lần lượt là chân đườn g vuông góc hạ từ M xuống OA và OB. Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 7
(a) Tìm qu ỹ tích tất cả các điểm H là trực tâm của tam giác OPQ kh i M th ay đổ i trên AB. (b) Qu ỹ tích đó sẽ thay đổ i như th ế n ào nếu M là một điểm tu ỳ ý tron g tam giác OAB? 6. Cho n điểm trong mặt phẳng (n >2). Chứng minh rằng: có nh iều nh ất n cặp điểm là có kho ảng cách lớn nhất (giữa các khoảng cách giữ a h ai điểm b ất k ỳ). Kỳ thi IM O lần thứ 8 1966 1. Đề thi toán gồm có 3 b ài toán A, B, C. Có 25 th í sinh đã giải ít nhất một trong b a bài trên . Tron g số những thí sinh không giải được bài A, số th í sinh giải b ài B nhiều gấp đô i số th í sinh giải bài C. Số thí sinh chỉ giải bài A nhiều hơn so vớ i th í sinh giải bài A và ít nhất một trong các bài cò n lại là 1 . Số thí sinh chỉ giải bài A bằng số thí sinh chỉ giải bài B cộng vớ i thí sinh chỉ giải bài C. Hỏ i có tất cả có bao nh iêu thí sinh chỉ giải được bài B?. 2. Ch ứng minh rằng nếu : C BC + AC = tg (BC tgA + AC tgB) 2 thì tam giác ABC cân . 3. Ch ứng minh rằng tổn g khoảng cách từ một điểm tới các đỉnh của một tứ diện đều là nhỏ nhất nếu nó là tâm của tứ diện. 4. Ch ứng minh rằng: 1 1 1 = cot x - cot 2 x n + + ... + n sin 2 x sin 4x sin 2 x n với bất kì số tự nhiên n và số thực x (với sin2 x ¹ 0). 5. Giải hệ phươn g trình: |ai a1|x1 + |ai a2|x2 +|ai a3|x3 + |ai a4|x4 = 1 với i = 1,2, 3, 4. Trong đó : ai là các số th ực khác nhau. 6. Lấy bất kì các điểm K, L, M lần lư ợt trên các cạnh BC, CA, AB củ a tam giác ABC. Ch ứng minh rằng có ít nhất mộ t tron g số các tam giác AML, BKM, CLK 1 có diện tích £ d iện tích tam giác ABC. 4 Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 8
Kỳ thi IM O lần thứ 9 1967 · 1. Cho h ình bình hành ABCD có AB = a, AD = 1, B A D = A và tam giác ABD có tất cả các gó c đ ều nhọn. Chứn g m inh rằng các đư ờng tròn có bán kính bằng 1 và tâm là A, B, C, D b ao trùm hình b ình hành n ếu và chỉ n ếu : a £ cosA+ 3 sin A 2. Ch ứng minh rằng tứ d iện chỉ có một cạnh có độ dài lớn hơn 1 có thể tích lớn 1 nhất là . 8 3. Cho k, m, n là các số tự nh iên sao cho m + k + 1 là số ngu yên tố lớn hơn n + 1. Và cho cs = s (s+1 ). Chứn g m inh rằn g: (cm+1 ck)(cm+2 ck)...(cm+n ck) ch ia h ết cho tích c1c2 ... cn. 4. Cho các tam giác nhọn A0B0C0 và A1B1C1 (tam giác nhọn là tam giác có tất cả các góc đều nhọn). Dựn g tam giác ABC có diện tích lớn nh ất sao cho nó ngo ại tiếp tam giác A B C0 (BC chứa A , CA chứa B0 , AB chứa C ) và đồn g dạng vớ i 00 0 0 tam giác A B C . 1 1 1 5. Giả sử a , ... , a là các số thự c khôn g đồng th ời bằng 0. Cho c = a n + a n + ... 1 8 n 1 2 + a8 n vớ i n = 1,2 ,3, ... Biết rằng có vô hạn số cn bằn g 0. Hãy tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho cn = 0. 6. Tổng số hu y chư ơng được trao tặn g trong một cuộc thi đ ấu thể th ao kéo d ài n ngà y là m. Trong ngà y thứ n hất có 1 hu y chươn g và 1/7 hu y ch ươn g còn lại được trao tặng. Trong ngày thứ hai có 2 hu y chươn g và 1 /7 hu y ch ươn g được trao tặng, .... và cứ theo qu y luật như th ế. Trong ngày cu ối cùn g, còn lại n hu y ch ương đư ợc trao tặng. Tìm m, n . Kỳ thi IM O lần thứ 10 1968 1. Tìm tất cả các tam giác có ch iều dài các cạnh là các số ngu yên liên tiếp, và mộ t tron g các góc củ a tam giác đó gấp đô i mộ t gó c khác. 2 2. Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho tích của tất cả các chữ số củ a nó là n 10n 2 2. Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 9
3. a, b , c là các số thự c với a ¹ 0. x , x , ..., x thoả m ãn hệ phương trình gồm n phươn g trình sau: 1 2 n axi 2 + bxi + c = xi+1 , với 1 £ i 1 ngh iệm thực tu ỳ theo (b 1)2 4 ac là 0 . 4. Ch ứng minh rằng mọ i tứ d iện tồn tại đỉnh mà ba cạnh xu ất phát từ đỉnh nà y tạo thành ba cạnh của một tam giác. 5. Cho f : R ® R (R là tập hợp tất cả các số thực), sao cho tồn tại a > 0 thỏa mãn: 1 + (f ( x ) - f ( x ) 2 ) vớ i mọ i x. f (x + a) = 2 Chứn g m inh: hàm số f tuần hoàn, và hãy chỉ ra mộ t hàm f như vậ y khôn g là h ằn g số vớ i a = 1. 6. Với mọ i số tự nhiên n h ãy ước lượng tổng: é ( n + 2k ) ù é (n+1) ù é ( n + 2) ù é ( n + 4) ù +ê +ê + ... + ê k +1 ú + ... ê2úë4úë8ú ë 2 ë û û û û Trong đó : [x] b iểu diễn số ngu yên lớn nhất £ x. Kỳ thi IM O lần thứ 11 1969 4 1. Ch ứng minh rằng tồn tại vô số các số n gu yên dương m đ ể n + m không là số ngu yên tố vớ i mọi n ngu yên d ươn g. 1 1 1 2. Cho f(x) = cos(a 1 + x) + cos(a 2 + x ) + cos(a 3 + x ) + ... + cos(a n + x ) tro ng 2 -1 n 2 4 đó ai là các hằn g số thực, x là biến thực. Chứn g m inh rằn g: Nếu f(x1) = f(x2) = 0 thì (x1 x2 ) = kp, vớ i k là một số ngu yên. 3. Với mỗ i k = 1, 2, 3 , 4, 5 tìm đ iều kiện cần và đủ với a > 0 sao cho tồ n tại một tứ d iện có k cạnh ch iều dài a và các cạnh còn lại có chiều dài là 1. Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 10
4. C là một điểm n ằm trên nử a đườn g tròn đường kính AB (ở giữa A và B). D là ch ân đường vuông góc kẻ từ C xuống AB. Đường tròn K nội tiếp tam giác ABC, 1 đường tròn K2 tiếp xúc với CD, DA và nửa đường tròn đường kính AB. Đường tròn K3 tiếp xú c với CD, DB và nửa đường tròn đư ờng kính AB. Chứng minh rằn g K , K , K có chun g một tiếp tu yến khác AB. 1 2 3 5. Cho n điểm nằm trong một mặt ph ẳn g (n > 4), trong đó không có b a đ iểm nào ( n - 3)( n - 4) thẳng hàng. Chứn g m inh rằn g có nhiều nhất tứ diện lồi có các đ ỉnh 2 tron g số n điểm trên . 6. Cho các số thực x , x , y , y , z , z thoả mãn x > 0 , x > 0, x y > z 2 và x y > 1 2 1 2 1 2 1 2 11 1 22 z 2 . 2 Chứn g m inh rằn g: 1 1 8 £ + 2 2 2 ( x 1 + x 2 )( y 1 + y 2 ) - (z 1 + z 2 ) x 1 y 1 - z 1 x 2 y 2 - z 2 Điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xả y ra. Kỳ thi IM O lần thứ 12 1970 1. M là một điểm trên cạnh AB của tam giác ABC. r, r1, r2 lần lượt là b án kín h củ a các đ ườn g tròn nộ i tiếp các tam giác ABC, AMC, BMC. q là bán kính của đường tròn tiếp xú c với b a cạnh AB, và CA, CB kéo dài. q là b án kính của 1 đường tròn tiếp xú c với BC và AB, AC kéo d ài. q là b án kính của đường tròn 2 tiếp xú c với CA và BA, BC kéo dài. Chứn g m inh rằn g: r1r2q = rq1q2 2. Cho 0 £ xi 0, xn1 > 0. Nếu a > b, và: A = xna + xn1a 1 + ... + x0a ; B = xnb + xn1b 1 + ... + x0b n n 0 n n 0 n1 n2 0 n1 n2 0 A' = x 1 a + x 2 a + ... + x a ; B' = x 1 b + x 2 b + ... + x b . n n 0 n n 0 Chứn g m inh rằn g: A'B
(b) Cho c tho ả m ãn 0 £ c c với mọ i n đủ lớn. 4. Tìm tất cả các số ngu yên dươn g n sao cho tập {n, n+1, n+2 , n+3, n +4, n+5} có thể đư ợc ch ia ra th ành hai tập con mà tích của tất cả các số trong mỗ i tập con là bằng nhau. · 5. Cho tứ diện ABCD có B DC = 90o và chân đư ờng cao hạ từ D xuốn g m ặt phẳng ABC là trực tâm của tam giác ABC. Chứn g m inh rằn g: (AB + BC +CA)2 £ 6(AD + BD + CD ). 2 2 2 Trong trường hợp nào th ì dấu đẳn g thức xả y ra ?. 6. Cho 100 điểm đồng ph ẳn g, trong đó không có ba điểm nào th ẳn g hàng. Chứng minh rằng nhiều nhất có 70% số tam giác đư ợc tạo thành từ các đ iểm trên có tất cả các gó c đ ều nhọn. Kỳ thi IM O lần thứ 13 1971 1. Cho E = (a a )(a a )...(a a ) + (a a )(a a )... (a a ) + ... + (a a )(a n 1 2 1 3 1 n 2 1 2 3 2 n n 1 n a ) ... (a a 1 ). S là định đ ề m à E ³ 0 vớ i mọ i số th ực a . 2 n n n n i Chứn g m inh rằn g: S đúng với n = 3 và n = 5, nhưng lại sai vớ i những giá trị n khác củ a n (vớ i n>2). 2. Cho P1 là một đa giác lồi với các đỉnh A1, A2, . .., A9. Pi là đ a giác thu đ ược từ P1 bằng cách tịnh tiến mà di chu yển A1 tới Ai. Chứn g m inh rằn g: có ít nhất h ai đa giác trong số các đa giác P , P , ..., P có chung một điểm trong. 1 2 9 3. Ch ứng minh rằng ta có thể tìm đượ c một tập vô hạn các số ngu yên dương dạng n 2 3 (tron g đ ó n cũng là một số ngu yên dương) m à với mọi cặp của nó ngu yên tố cùn g nhau. 4. Tất cả các mặt củ a tứ diện ABCD có các góc đ ều là nhọn. Lấy điểm X trong đoạn AB, Y trong BC, Z tron g CD, và T trong AD. ···· (a) Nếu DA B + B CD ¹ CDA + A B C , chứng m inh rằng: khôn g có đường đi đón g XYZTX có độ dài n gắn nhất. ···· (b) Nếu DA B + B CD = CDA + A B C thì có vô số các đườn g đ i ngắn nhất XYZTX ··· mà mỗ i đư ờng có độ dài là 2AC sin k, trong đó: 2k = B A C + CA D + DA B . Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 12
5. Ch ứng minh rằng với mọ i số n gu yên dương m ta có th ể tìm đ ược mộ t tập S hữu hạn các đ iểm tron g m ặt phẳng sao cho với bất kì điểm A thuộ c S tồn tại đúng m điểm thuộc S có khoảng cách từ A đến là 1 đ ơn vị. 6. Cho A = (a j ), i,j = 1, 2, ..., n là mộ t ma trận vuông với a j là các số ngu yên i i không âm . Với mỗi i, j m à có aij = 0 th ì tổn g của các ph ần tử ở hàng thứ i và cộ t thứ j sẽ khô ng nhỏ hơn n. Chứn g m inh rằng: tổng của tất cả các phần tử củ a m a n 2 trận không nhỏ hơn . 2 Kỳ thi IM O lần thứ 14 1972 1. Cho b ất kì m ột tập 10 số khác nhau trong đoạn [10, 99 ]. Chứn g m inh rằn g: luôn tìm đư ợc hai tập con rờ i nh au sao cho các tập đ ều có tổn g như nhau. 2. Cho n > 4. Chứn g m inh rằn g: mọi tứ giác nội tiếp đường tròn đều có thể ch ia thành n tứ giác nội tiếp đ ường tròn . 3. Ch ứng minh rằng: (2m )!(2 n)! là bộ i số của m !n!(m+n )! với mọi số ngu yên không âm n và m. 4. Tìm tất cả các n ghiệm thự c dương của hệ bất phươn g trình: ì( x12 - x3 x5 )( x2 2 - x3 x5 ) £ 0 ï2 2 ï( x2 - x4 x1 )( x3 - x4 x1 ) £ 0 ï2 2 í( x3 - x5 x2 )( x4 - x5 x ) £ 0 2 ï2 2 ï( x4 - x1 x3 )( x5 - x1 x ) £ 0 3 ï( x 2 - x x )( x 2 - x x ) £ 0 î 5 24 1 2 4 5. Cho f và g là hai hàm nhận giá trị th ực trên tập các số thực. Với mọ i x và y: f(x + y) + f(x y) = 2 f(x)g(y). Hàm f không đồ ng nhất bằng 0 và |f(x)| £ 1 vớ i mọ i x. Chứn g m inh rằn g: |g(x)| £ 1 với mọ i x. 6. Cho 4 mặt p hẳn g khác nhau và song so ng với nhau. Chứn g m inh rằn g: tồn tại m ột tứ diện đ ều vớ i mỗ i đỉnh n ằm trên mỗi m ặt phẳng. Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 13
Kỳ thi IM O lần thứ 15 1973 1. OP1, OP 2, ..., OP 2n+1 là các vectơ đ ơn vị trong một m ặt ph ẳng. P1, P2, .. ., P2n+1 là các điểm nằm cùng phía đối với một đ ườn g th ẳn g đ i qu a O. Chứn g m inh rằn g: |OP + ... + OP n+1 | ³ 1. 1 2 2. Liệu có thể tìm đư ợc một tập hữu hạn các đ iểm khôn g đồng ph ẳn g sao cho n ếu có hai điểm bất kì A, B thì sẽ tồn tại hai điểm khác C và D mà hai đ ường thẳng AB và CD son g son g với nhau và khác nhau. 4 3 2 3. Cho a, b là các số thực đ ể p hương trình x + ax + bx + ax + 1 = 0 có ít nhất 2 2 mộ t nghiệm thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của a + b . 4. Một n gười lính cần di chu yển trên một vùng có hình dán g là một tam giác đ ều để dò mìn. Má y d ò có h iệu lực trong vòn g b án kính bằng mộ t nử a đườn g cao củ a tam giác. Anh ta b ắt đầu từ mộ t đỉnh của tam giác. Tiếp theo anh ta phải đi như thế nào để di chu yển ngắn nh ất mà vẫn dò m ìn trong toàn bộ vùng đó. 5. G là tập h ợp củ a các h àm f, tron g đó f không phải là hằng số và là hàm tu yến tính thự c có d ạn g: f(x) = ax + b với số thực a, b n ào đó. Tập G thỏ a mãn các tính ch ất sau: N ếu f và g thuộ c G th ì fg cũn g thuộ c G, trong đó fg được định nghĩa bở i fg(x) = f(g(x)). Hàm n gược f 1 củ a f được đ ịnh ngh ĩa như sau: Nếu f = ax + b thì f 1 = x b 1 - . Nếu f thuộc G thì hàm n gược của nó f cũng thuộc G. Mọ i hàm f thuộ c G aa đều có một điểm cố đ ịnh, nó i cách khác ta có th ể tìm đ ược xf sao cho f(xf) = xf . Chứn g m inh rằn g tất cả các h àm thuộc G đều có chung một điểm cố đ ịnh . 6. a1, a2, ..., an l à các số thự c dươn g và q tho ả mãn: 0
Kỳ thi IM O lần thứ 16 1974 1. Ba người chơi một trò chơi như sau: Có ba lá bài, mỗi lá đ ược gh i bởi các số ngu yên dươn g khác nhau. Mỗ i một vòng chơi các lá bài được ph ân phối n gẫu nhiên cho nhữn g người chơi và mỗi n gười sẽ nhận được mộ t số trên lá b ài của mình. Cộng tất cả các số thu đư ợc ở các vòng ch ơi của mỗ i người để tính điểm. Biết rằng: sau 2 vòn g ha y nhiều hơn 2 vòng người thứ nhất nh ận được 20, người thứ hai là 10, và người thứ b a là 9 . Tron g vòng chơi cuố i cùng người thứ h ai nhận được số lớn nhất. Hỏi ai đ ã nhận được con số ở giữa tron g vòng thứ nhất. 2. Ch ứng minh rằng tồn tại mộ t điểm D trên cạnh AB của tam giác ABC để CD = C A D .DB nếu và chỉ nếu sinA.sinB £ sin 2 . 2 3. Ch ứng minh rằng: n 3k 2 k +1 å 2 C 2 n +1 k = 0 không ch ia hết ch o 5 vớ i bất kì số ngu yên không âm n. r ! s Cr = Trong đó : s!( r - s ) ! 4. Một b àn cờ 8 x 8 được chia thành p h ình chữ nhật rời nhau (theo đường lưới giữa các ô vuông) sao cho mỗ i một h ình ch ữ nh ật sẽ có số ô trắng bằng với số ô đen, và các h ình có số ô vuông kh ác nh au . Tìm giá trị lớn nhất có thể của p và tất cả các bộ có thể của kích thước các hình chữ nh ật. 5. Xác đ ịnh tất cả các giá trị dươn g của: a b c d + + + a + b + d a + b + c b + c + d a + c + d với a, b, c, d là các số thự c d ươn g. 6. Cho P(x) là một đa thứ c b ậc d (d > 0 ) vớ i các hệ số n gu yên . Giả sử n là số nghiệm n gu yên kh ác nh au củ a P (x) = 1 ho ặc P(x) = 1. Ch ứng minh rằng: n £ d + 2. Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 15
Kỳ thi IM O lần thứ 17 1975 1. Cho x1 ³ x2 ³ ... ³ xn và y1 ³ y2 ³ ... ³ yn là các số thực. Chứn g m inh rằn g: nếu z là một hoán vị bất kì củ a y thì: i i n n 2 2 å ( xi - yi ) £ å xi - zi ) ( i =1 i =1 2. Cho a
4. Xác đ ịnh số lớn nh ất là tích củ a các số ngu yên dươn g có tổng là 1976. 5. Cho n là mộ t số ngu yên dương và m = 2n. aij = 0, 1, hoặc 1 (với 1 £ i £ n, 1 £ j £ m ). x , x , ..., x là m ẩn chưa biết thoả mãn n phươn g trình sau: 1 2 m ai1x1 + ai2x2 +... + aimxm = 0, với i = 1, 2, 3 , ..., n. Chứn g m inh rằn g: h ệ phương trình trên có các ngh iệm ngu yên có giá trị tu yệt đố i lớn nhất là b ằng m và không đồng thời bằng 0. 5 6. Cho d ãy u , u , u , ... được đ ịnh ngh ĩa bởi: u = 2, u = , u +1 = u (u 1 2 2) 0 1 3 0 1 n n n 2 u với n = 1 , 2, ... Ch ứng minh rằng: 1 ( 2 n - ( - ) n ) 1 [un] = 2 3 Trong đó : [x] b iểu diễn số ngu yên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng x. Kỳ thi IM O lần thứ 19 1977 1. Dựn g về phía bên trong hình vuôn g ABCD các tam giác đều ABK, BCL, CDM, DAN. Hãy ch ỉ ra rằn g các trun g đ iểm của KL, LM, MN, NK và các trun g điểm của AK, BK, BL, CL, CM, DM, DM, AN tạo thành đ a giác đ ều có 12 cạnh. 2. Trong mộ t dã y h ữu hạn các số thực, tổn g của bất kì 7 số hạng liên tiếp là âm, và tổn g của bất kì 11 số hạng liên tiếp là dương. Xác đ ịnh số lớn nh ất trong các số hạng củ a dãy. 3. Cho số ngu yên n > 2. Giả sử V là tập các số ngu yên dạng 1 + kn , tron g đó k là n mộ t số n gu yên dương. Số m thuộ c Vn được gọi là không phân tích đượ c nếu nó không thể biểu diễn đ ưới d ạn g tích của h ai số thuộc Vn. Chứn g m inh rằng: có mộ t số thuộc V mà có th ể b iểu diễn đưới dạng tích của các số kh ông ph ân tích n đượ c thuộ c V b ằng nh iều hơn một cách. n 4. Cho f(x) = 1 a cos x b sin x A cos 2 x B sin 2x, trong đó a, b, A, B là các hằng số thự c. Giả sử rằng: f(x) ³ 0 vớ i mọ i số thực x. 2 2 2 2 Chứn g m inh rằn g: a + b £ 2 và A + B £ 1. 2 2 5. Cho a, b là các số ngu yên dươn g. Khi (a + b ) chia cho (a + b) được thương số là q và số dư là r. 2 Tìm tất cả các cặp số a và b thoả mãn: q + r = 1997. Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 17
6. Cho h àm f : Z+ ® Z , Z+ là tập các số ngu yên dươn g. + Cho f(n + 1 ) > f(f(n)) với mọi n . Chứn g m inh rằn g: f(n) = n với mọi n. Kỳ thi IM O lần thứ 20 1978 1. Cho m , n là các số ngu yên dươn g với m
Kỳ thi IM O lần thứ 21 1979 1. Cho m , n là những số ngu yên d ươn g thoả mãn: m 111 1 1 = 1 - + - + ... - + n 1318 1319 234 Chứn g m inh rằn g: m ch ia hết cho 1979 . 2. Hình lăng trụ có các m ặt trên và mặt đ áy là các n gũ giác A A A A A và 12345 B1B2B3B4B5. Mỗi cạnh củ a h ai ngũ giác và củ a 25 đoạn AiBi đượ c tô m àu đỏ hoặc xanh. Mọi tam giác mà các đỉnh là đỉnh của h ình lăn g trụ , tất cả các cạnh củ a nó đ ều được tô m àu sẽ có h ai cạnh được tô màu khác nhau. Chứng minh rằng tất cả 10 cạnh của mặt trên và m ặt dưới củ a h ình lăng trụ được tô m àu giố ng nhau. 3. Trong mộ t mặt phẳng cho hai đường tròn giao nhau. A là một trong các giao điểm đó. Đồng thời bắt đầu từ A hai điểm di chu yển vớ i tốc độ khôn g đổi, mỗi mộ t điểm di chu yển th eo một đường tròn và cùng hướn g. Hai điểm trở lại A cùng mộ t lúc (tức là sau mộ t vòng). Chứn g m inh rằng tồn tại một đ iểm cố định P tron g mặt ph ẳn g sao cho hai điểm chu yển động đó luôn cách đều P. 4. Cho m ặt phẳng k, một điểm P tron g k và một điểm Q n go ài k. Tìm tất cả các QP + PR điểm R trong k sao cho tỷ số : lớn nh ất. QR 5. Tìm tất cả các số thực a sao cho tồn tại các số thực không âm x1, x2, x3, x4, x5 tho ả m ãn : ì x 1 + 2 x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 5 5 = a x ï 3 3 3 3 2 í x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 = a ï 5 5 5 5 3 î 1 + 2 x 2 + 3 x 3 + 4 x 4 + 5 x 5 = a x 6. Cho A và E là h ai đỉnh đố i diện của b át giác. Một con ếch b ắt đầu nh ảy tại đỉnh A. Từ một đỉnh bất kì (kh ác E) nó nhảy tới một tron g hai đ ỉnh liền kề. Khi tới E thì nó d ừng lại. Cho a là số đường đ i kh ác nhau sau n bước nh ảy kết thúc n tại E. Chứng minh rằng: a2n1 = 0 n -1 n -1 (2 + 2 ) ( 2 - 2 ) a2 n = - 2 2 Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 19
Kỳ thi IM O lần thứ 22 1981 1. Cho P là một điểm b ên tron g tam giác ABC. D, E, F là chân đường cao tươ ng ứng hạ từ P xu ống BC, CA, AB. Tìm tất cả các điểm P sao cho: B C CA A B đạt giá trị nhỏ nh ất. + + PD PE PF 2. Lấy r sao cho 1 £ r £ n, và xét tất cả các tập con gồm r phần tử củ a tập {1 , 2, ..., n}. Mỗi một tập con có một số nhỏ nhất. Gọi F(n, r) là giá trị trung bình của các phần tử nhỏ nhất nà y. Chứng minh rằng: ( n + 1) F (n , r ) = ( r + 1) 2 3. Cho m , n là các số ngu yên dươn g trong đoạn [1, 1981] thoả m ãn : (n mn m )2 = 1. 2 2 2 Xác địn h giá trị lớn nh ất của m + n 4. (a) Với giá trị nào của n (n > 2 ) thì tồn tại một tập n số ngu yên dươn g liên tiếp mà số lớn nhất tron g n số đó là ước số của bộ i số chung nhỏ nh ất của (n 1) số còn lại ? (b ) Vớ i giá trị n ào của n (n > 2) thì có du y nhất một tập có tính ch ất như trên. 5. Ba đư ờng tròn cùng mộ t bán kính có chung một đ iểm O và nằm bên tron g m ột tam giác đã cho. Mỗi một đườn g tròn tiếp xúc với hai cạnh của tam giác. Chứn g m inh rằn g: tâm của đ ường tròn nộ i tiếp, ngo ại tiếp tam giác và điểm O thẳng hàng. 6. Cho h àm f(x, y) vớ i mọ i x, y là số ngu yên khôn g âm, thoả m ãn : f(0, y) = y + 1 f(x + 1, 0 ) = f(x, 1) f(x + 1, y + 1) = f(x, f(x +1, y)) Tìm f(4, 1981 ). Kỳ thi IM O lần thứ 23 1982 1. Hàm f(n ) đượ c xác định trên tập các số ngu yên dươn g và nhận giá trị ngu yên không âm . f(2) = 0, f(3) > 0, f(9999) = 3333 và với mọi m, n có : f(m + n) f(m ) f(n) = 0 hoặc 1. Xác định f(1982). Tu yển tập các đ ề thi IMO Page 20