Tuyển tập Tích phân (đáp án chi tiết) - GV.Lưu Huy Thưởng

Chia sẻ: Lưu Huy Thưởng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:120

Thêm vào BST

Báo xấu

1.051
lượt xem 278
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cuốn sách Tuyển tập Tích phân tập hợp các bài tập tích phân từ dễ đến khó. Đây là tài liệu bổ ích giúp các em ôn tập và luyện thi tốt Toán tích phân để chuẩn bị tốt cho kì thi Đại học, Cao đẳng sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Tuyển tập Tích phân (đáp án chi tiết) - GV.Lưu Huy Thưởng

TUY N T P TÍCH PHÂN ( ÁP ÁN CHI TI T) BIÊN SO N: LƯU HUY THƯ NG Toàn b tài li u c a th y trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com H VÀ TÊN: ………………………………………………………………… L P :…………………………………………………………………. TRƯ NG :………………………………………………………………… HÀ N I, 4/2014
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 TÍCH PHÂN CƠ BẢN Toàn b tài li u luy n thi i h c môn toán c a th y Lưu Huy Thư ng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 1.Tính các tích phân sau: 1 1 1 ∫ x 3dx ∫ (2x + 1)3 dx ∫ (1 − 4x ) dx 3 a) I1 = b) I 2 = c) I 3 = 0 0 0 1 1 ∫ (x − 1)(x ∫ (2x − 3)(x 2 3 2 d) I 4 = − 2x + 5) dx e) I 5 = − 3x + 1)3 dx 0 0 Bài giải 1 x4 1 ∫ x 3dx = 1 a) I1 = 0= 4 4 0 1 1 ∫ (2x + 1) dx Chú ý: d(2x + 1) = 2dx ⇒ dx = 2 d(2x + 1) 3 b) I 2 = 0 1 1 1 1 (2x + 1)4 81 1 ∫ (2x + 1)3 dx = ∫ (2x + 1)3 d(2x + 1) = 1 ⇒ I2 = 0= − = 10 2 2 4 8 8 0 0 1 1 ∫ (1 − 4x ) dx Chú ý: d(1 − 4x ) = −4dx ⇒ dx = − 4 d(1 − 4x ) 3 c) I 3 = 0 1 1 1 1 (1 − 4x )4 81 1 ∫ ∫ 3 ⇒ I3 = (1 − 4x ) dx = − (1 − 4x )3 d(1 − 4x ) = − 1 0= − + = −5 4 4 4 16 16 0 0 1 1 ∫ (x − 1)(x − 2x + 5)3 dx Chú ý: d(x 2 − 2x + 5) = (2x − 2)dx ⇒ (x − 1)dx = d (x 2 − 2x + 5) 2 d) I 4 = 2 0 1 1 1 ∫ ∫ (x 2 3 2 ⇒ I4 = (x − 1)(x − 2x + 5) dx = − 2x + 5)3 d(x 2 − 2x + 5) 2 0 0 1 (x 2 − 2x + 5)4 1 615 671 = . 0 = 162 − = 2 4 8 8 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 1
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 1 ∫ (2x − 3)(x 2 e) I 5 = − 3x + 1)3 dx Chú ý: d (x 2 − 3x + 1) = (2x − 3)dx 0 1 1 ∫ (2x − 3)(x ∫ (x 2 3 2 ⇒ I5 = − 3x + 1) dx = − 3x + 1)3 d (x 2 − 3x + 1) 0 0 (x 2 − 3x + 1)4 1 1 1 = 0= − =0 4 4 4 HT 2.Tính các tích phân sau: 1 7 4 a) I 1 = ∫ xdx b) I 2 = ∫ x + 2dx c) I 3 = ∫ 2x + 1dx 0 2 0 1 1 1 ∫x ∫x ∫ (1 − x ) 2 2 d) I 4 = 1 + x dx e) I 5 = 1 − x dx f) I 6 = x 2 − 2x + 3dx 0 0 0 1 1 ∫ x 2 x 3 + 1dx ∫ (x 2 g) I 7 = h) I 8 = − 2x ) x 3 − 3x 2 + 2dx 0 0 Bài giải 1 2 2 ∫ 1 a) I 1 = xdx = x x 0= 3 3 0 7 2 16 38 ∫ 7 b) I 2 = x + 2dx = (x + 2) x + 2 2 = 18 − = 3 3 3 2 4 4 1 1 2 1 26 c) I 3 = ∫ 2x + 1dx = 2 ∫ 2x + 1d (2x + 1) = . (2x + 1) 2x + 1 4 = 9 − = 2 3 0 3 3 0 0 1 1 1 1 2 2 2 1 ∫ x 1 + x 2 dx = ∫ 1 + x 2 d (1 + x 2 ) = . (1 + x 2 ) 1 + x 2 1 d) I 4 = 0= − 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 1 2 1 1 ∫ ∫ 2 e) I 5 = x 1 − x dx = − 1 − x 2 d (1 − x 2 ) = − . (1 − x 2 ) 1 − x 2 1 0= 0+ = 2 2 3 3 3 0 0 1 1 1 ∫ ∫ 2 f) I 6 = (1 − x ) x − 2x + 3dx = − x 2 − 2x + 3d (x 2 − 2x + 3) 2 0 0 1 2 2 2 = − . (x 2 − 2x + 3) x 2 − 2x + 3 1 = − 0 + 3 2 3 3 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 2
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 1 1 1 1 2 3 4 2 −2 ∫x ∫ 2 3 g) I 7 = x + 1dx = x 3 + 1d (x 3 + 1) = . (x + 1) x 3 + 1 1 = 0 3 3 3 9 0 0 1 1 1 ∫ ∫ 2 3 2 h) I 8 = (x − 2x ) x − 3x + 2dx = x 3 − 3x 2 + 2d (x 3 − 3x 2 + 2) 3 0 0 1 2 3 4 2 4 2 = . (x − 3x 2 + 2) x 3 − 3x 2 + 2 1 = 0 − 0 =− 3 3 9 9 HT 3.Tính các tích phân sau: 4 1 0 dx dx dx a) I1 = ∫ x b) I 2 = ∫ 2x + 1 c) I 3 = ∫ 1 − 2x 1 0 −1 1 1 (x + 1)dx (x − 2)dx d) I 4 = ∫ 2 x + 2x + 2 e) I 5 = ∫ x 2 − 4x + 5 0 0 Bài giải 4 dx ∫ 4 a) I 1 = =2 x 1= 4−2 = 2 x 1 1 1 dx 1 d(2x + 1) b) I 2 = ∫ 2x + 1 = 2 ∫ 2x + 1 = 2x + 1 1 = 3 − 1 0 0 0 0 0 dx 1 d (1 − 2x ) ∫ ∫ 0 c) I 3 = =− = − 1 − 2x −1 = −1 + 3 1 − 2x 2 1 − 2x −1 −1 1 1 (x + 1)dx 1 d(x 2 + 2x + 2) d) I 4 = ∫ 2 x + 2x + 2 = 2 ∫ 2 x + 2x + 2 = x 2 + 2x + 2 1 = 5 − 2 0 0 0 1 1 (x − 2)dx 1 d (x 2 − 4x + 5) e) I 5 = ∫ x 2 − 4x + 5 = 2 ∫ 2 x − 4x + 5 = x 2 − 4x + 5 1 = 2 − 5 0 0 0 HT 4.Tính các tích phân sau: e 0 1 dx dx xdx a) I 1 = ∫ x b) I 2 = ∫ 1 − 2x c) I 3 = ∫ x2 + 1 1 −1 0 1 1 (x + 1)dx x −2 d) I 4 = ∫ x 2 + 2x + 2 e) I 5 = ∫ x 2 − 4x + 5 dx 0 0 Bài giải B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 3
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 e dx ∫ e a) I 1 = = ln x 1= ln e − ln 1 = 1 x 1 0 0 dx 1 d(1 − 2x ) 1 1 ln 3 ∫ ∫ 0 b) I 2 = =− = − ln 1 − 2x −1 = − (ln 1 − ln 3) = 1 − 2x 2 1 − 2x 2 2 2 −1 −1 1 xdx1 1 ( d x2 + 1 ) = 1 ln x 1 ln 2 ∫ ∫ 2 1 c) I 3 = = +1 0= (ln 2 − ln 1) = 2 2 2 2 2 2 0 x +1 0 x +1 1 1 (x + 1)dx1 d(x 2 + 2x + 2) 1 1 1 5 ∫ ∫ ln x 2 + 2x + 2 1 d) I 4 = = = 0= (ln 5 − ln 2) = ln 2 2 2 2 2 2 2 0 x + 2x + 2 0 x + 2x + 2 1 1 x −2 1 d (x 2 − 4x + 5) 1 1 1 2 ∫ x 2 − 4x + 5 ∫ ln x 2 − 4x + 5 1 e) I 5 = dx = = 0= (ln 2 − ln 5) = ln 2 2 2 2 2 5 0 0 x − 4x + 5 HT 5.Tính các tích phân sau: 2 0 1 dx dx dx a) I 1 = ∫ x2 b) I 2 = ∫ (2x − 1)2 c) I 3 = ∫ (3x + 1)2 1 −1 0 Bài giải 2 dx 1 1 1 ∫ x2 = − x 2 a) I 1 = 1= − +1 = 2 2 1 0 0 1 d(2x − 1) dx 1 1 1 1 1 ∫ ∫ 0 b) I 2 = = =− . −1 = − = (2x − 1)2 2 (2x − 1)2 2 2x − 1 2 6 3 −1 −1 1 1 dx 1 d (3x + 1) 1 1 1 1 1 ∫ (3x + 1)2 ∫ (3x + 1)2 = − 3 . 3x + 1 0 = − 12 + 4 = 6 1 c) I 3 = = 3 0 0 HT 6.Tính các tích phân sau: 1 1 1 ∫e ∫e ∫e 3x 3 a) I 1 = dx b) I 2 = x x (2e + 1) dx c) I 3 = x (1 − 4e x )3 dx 0 0 0 1 2 2 e x dx e 2x dx e 2x dx d) I 4 = ∫ ex + 1 e) I 5 = ∫ (e2x − 1)2 f) I 6 = ∫ (1 − 3e2x )3 0 1 1 1 1 1 e x dx ∫ ∫ ∫ x x 2x 2x g) I 7 = e 2e + 1dx h) I 8 = e 1 + 3e dx i) I 9 = 0 0 0 ex + 1 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 4
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 1 1 e3 1 ∫ e 3x dx = e 3x 1 a) I 1 = 0= − 3 3 3 0 1 1 1 1 (2e x + 1)4 ∫ ∫ 3 b) I 2 = x x e (2e + 1) dx = (2e x + 1)3 d(2e x + 1) = . 1 0 2 2 4 0 0   1 (2e + 1)4 81 (2e + 1)4 81  =  − =  − 2  4 4  8 8 1 1 1 ∫ ex (1 − 4e x )3 dx = − ∫ (1 − 4e x 3 c) I 3 = ) d(1 − 4ex ) 4 0 0   1 (1 − 4ex )4 1 (1 − 4e)4 81 81 − (1 − 4e)4  =− . 1 =−  − = 4 4 0  4  4 4   16 1 1 e x dx d (e x + 1) e +1 ∫ ex + 1 ∫ 1 d) I 4 = = = ln e x + 1 0= ln(e + 1) − ln 2 = ln x e +1 2 0 0 2 2 e2x dx 1 d (e2x − 1) 1 1 1 1 e2 ∫ (e2x ∫ (e2x 2 e) I 5 = = =− . =− + = − 1)2 2 − 1)2 2 e2x − 1 1 2(e 4 − 1) 2(e 2 − 1) 2(e 4 − 1) 1 1 2 2 e 2x dx 1 d(1 − 3e 2x ) 1 −1 1 1 ∫ (1 − 3e2x )3 ∫ (1 − 3e2x )3 = − 6 . 2(1 − 3e2x )2 2 f) I 6 = =− 1= − 4 1 6 1 12(1 − 3e ) 12(1 − 3e 2 ) 1 1 1 1 2 1 ∫e ∫ 2ex + 1d (2e x + 1) = . (2e x + 1) 2e x + 1 1 = (2e + 1) 2e + 1 − 3 x x g) I 7 = 2e + 1dx = 0 2 2 3 3 0 0 1 1 1 1 2 1 8 ∫e ∫ 2x 2x h) I 8 = 1 + 3e dx = 1 + 3e 2x d (1 + 3e2x ) = . (1 + 3e2x ) 1 + 3e 2x 1 0= (1 + 3e2 ) 1 + 3e2 − 6 6 3 9 9 0 0 1 1 e x dx d(ex + 1) i) I 9 = ∫ ex + 1 = ∫ ex + 1 = 2 ex + 1 1 = 2 e + 1 − 2 0 0 0 HT 7.Tính các tích phân sau: e e e ln x 3 ln x + 1 (3 ln x + 1)3 a) I1 = ∫ x dx b) I 2 = ∫ x dx c) I 3 = ∫ x dx 1 1 1 e e2 e 4 ln3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1 dx dx d) I 4 = ∫ x dx e) I 5 = ∫ x ln x f) I 6 = ∫ x(3 ln x + 1) 1 e 1 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 5
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 e e 3 ln x + 1dx dx g) I 7 = ∫ x h) I 8 = ∫x 3 ln x + 1 1 1 Bài giải e e ln x ln2 x e ln2 e ln2 1 1 a) I1 = ∫ x dx = ∫ ln xd (ln x ) = 2 1 = 2 − 2 = 2 1 1 e e   3 ln x + 1  3 ln2 x  3 5 b) I 2 = ∫ dx = ∫ (3 ln x + 1)d (ln x ) =   + ln x  e = ( + 1) − 0 = 1  x  2   2 2 1 1   e e (3 ln x + 1)3 1 1 (3 ln x + 1)4 e 64 1 85 c) I 3 = ∫ x dx = 3 ∫ (3 ln x + 1)3 d (3 ln x + 1) = 3 . 4 1= − 3 12 = 4 1 1 e e 4 ln 3 x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1 ∫ ∫ (4 ln 3 d) I 4 = dx = x + 3 ln2 x − 2 ln x + 1)d (ln x ) x 1 1 = (ln4 x + ln 3 x − ln2 x + ln x ) e 1 = (1 + 1 − 1 + 1) − 0 = 2 e2 e2 dx d (ln x ) 2 e) I 5 = ∫ x ln x = ∫ ln x = ln(ln x ) e = ln(ln e 2 ) − ln(ln e ) = ln 2 e e e e e dx 1 d(3 ln x + 1) 1 1 ln 4 f) I 6 = ∫ x (3 ln x + 1) = 3 ∫ 3 ln x + 1 = ln(3 ln x + 1) e = (ln 4 − ln 1) = 3 1 3 3 1 1 e e 3 ln x + 1dx 1 1 2 16 2 14 g) I 7 = ∫ x = 3 ∫ 3 ln x + 1d(3 ln x + 1) = . (3 ln x + 1) 3 ln x + 1 e = 3 3 1 9 − = 9 9 1 1 e e dx 1 d(3 ln x + 1) 1 4 2 2 h) I 8 = ∫x 3 ln x + 1 == 3 ∫ 3 ln x + 1 = 3 .2 3 ln x + 1 e = − = 1 3 3 3 1 1 HT 8.Tính các tích phân sau: π π π 2 2 4 ∫ cos ∫ sin ∫ sin 2 2 3 a) I 1 = x sin xdx b) I 2 = x cos xdx c) I 3 = 2x cos 2xdx 0 0 0 π π π 4 2 2 sin x cos x d) I 4 = ∫ cos x dx e) I 5 = ∫ sin x 3 cos x + 1dx f) I 6 = ∫ 3 sin x + 1 dx 0 0 0 Giải B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 6
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 π π 2 2 π cos3 x 1 a) I1 = ∫ cos2 x sin xdx = − ∫ cos2 xd(cos x ) = − 3 0= 2 3 0 0 π π 2 2 π sin3 x 1 ∫ sin ∫ 2 2 b) I 2 = x cos xdx = sin xd (sin x ) = 0= 2 3 3 0 0 π π 4 4 π 1 sin4 2x 4 1 c) I 3 = ∫ sin 3 2x cos 2xdx = 2 ∫ sin 3 2xd (sin 2x ) = 8 0= 8 0 0 π π 4 4 π sin x d (cos x ) 2 2 d) I 4 = ∫ cos x dx = − ∫ cos x = − ln(cos x ) 0 = − ln 4 2 + ln 1 = − ln 2 0 0 π π 2 2 π 1 1 2 1 4 e) I 5 = ∫ sin x 3 cos x + 1dx = 3 ∫ 3 cos x + 1d(3 cos x + 1) = . (3 cos x + 1) 3 cos x + 1 2 3 0= 2 − = −1 3 3 0 0 π π 2 2 π cos x 1 d(3 sin x + 1) 2 4 2 2 f) I 6 = ∫ 3 sin x + 1 dx = 3 ∫ 3 sin x + 1 = 3 3 sin x + 1 0= 2 − = 3 3 3 0 0 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 7
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 PHẦN II TÍCH PHẦN HÀM HỮU TỶ http://www.Luuhuythuong.blogspot.com dx 1 I.DẠNG 1: ∫ ax + b = a ln ax + b + C HT 1.Tính các tích phân sau: 1 0 1 dx dx  1 3  dx  a) ∫ 3x + 1 b) ∫ 1 − 3x c) ∫   −     2x + 1 4 − 2x   0 −1 0 Giải 1 dx 1 1 ln 4 ∫ 3x + 1 = 3 ln 3x + 1 0 = 3 (ln 4 − ln 1) = 1 a) 3 0 0 dx 1 1 ln 4 ∫ 1 − 3x = − 3 ln 1 − 3x 0 b) −1 = − (ln 1 − ln 4) = − 3 3 −1 1  1 3  dx =  1 ln 2x + 1 + 3 ln 4 − 2x  1 =  1 ln 3 + 3 ln 2 −  1 ln 1 + 3 ln 4         c) ∫   −     2x + 1 4 − 2x    2   2 0     2   2     2   2     0 1 3 1 = ln 3 + ln 2 2 2 HT 2.Tính các tích phân sau: 2 1 0 x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 x 3 − 3x 2 + 2x − 1 2x 3 − 3x 2 + 4x − 1 a) I1 = ∫ x2 dx b) I 2 = ∫ x −2 dx c) I 3 = ∫ 1 − 2x 1 0 −1 Giải 2 2 x 4 + 3x 3 − 2x 2 + 5x − 1 5 1 ∫ ∫ (x 2 a) I1 = dx = + 3x − 2 + − )dx 1 x2 1 x x2  3  x 3x 2 1 2 8 1 1 3  13  = + − 2x + 5 ln x +  1 =  + 6 − 4 + 5 ln 2 +  −  + − 2 + 5 ln 1 + 1 =    3       + 5 ln 2 3  2  x    3 2 2    3  1 1 x 3 − 3x 2 + 2x − 1  1   dx  b) I 2 = ∫ x −2 dx = ∫ x 2 − x −       x − 2) 0 0  3  1 1  x x2   1 = −  − ln x − 2  1 =  − − ln 1 − (− ln 2) = ln 2 − 0     3  2  3 2    6   0 0 2x 3 − 3x 2 + 4x − 1  3 1   dx  ∫ ∫ −x 2  c) I 3 = =  +x − +  1 − 2x    2 2(−2x + 1) −1 −1 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 8
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899    x3 x2 3 1  = −  + − x − ln −2x + 1    0 −1  3  2 2 4    1 1 1 3 1 ln 3 7 = (− ln 1) − ( + + − ln 3) = − 4 3 2 2 4 4 3 dx II.DẠNG 2: ∫ ax 2 + bx + c HT 3.Tính các tích phân sau (mẫu số có hai nghiệm phân biệt) 1 1 1 dx dx dx a) ∫ (x + 1)(x + 2) b) ∫ (x + 1)(3 − x ) c) ∫ (x + 1)(2x + 3) 0 0 0 Giải 1 1 1 dx (x + 2) − (x + 1)  1 1   a) ∫ (x + 1)(x + 2) = ∫ (x + 1)(x + 2) dx = ∫   − dx  x + 1 x + 2   0 0 0 x +1 ( = ln x + 1 − ln x + 2 ) 1 = ln x + 2 0 1 0= 2 1 ln − ln = ln 3 2 4 3 1 1 1 dx 1 (x + 1) + (3 − x ) 1  1 1   b) ∫ (x + 1)(3 − x ) = 4 ∫ (x + 1)(3 − x ) dx = 4 ∫  3 − x + x + 1dx        0 0 0 +1  1 = 1 4 ( − ln 3 − x + ln x + 1 ) 1 = 1 ln x − x 0 4 3 1 0 = 1 ln 1 − ln  = −   4    3 ln 3 4 1 1 1 dx (2x + 3) − 2(x + 1)  1 2   c) ∫ (x + 1)(2x + 3) = ∫ (x + 1)(2x + 3) dx = ∫  x + 1 − 2x + 3 dx        0 0 0 ( = ln x + 1 − ln 2x + 3 ) 1 = ln 2xx + 13 0 + 1 0= 2 1 ln − ln = ln 5 3 6 5 HT 4.Tính các tích phân sau: 1 0 2 dx dx dx a) ∫ x 2 − x − 12 b) ∫ 2x 2 − 5x + 2 c) ∫ 1 − 2x − 3x 2 0 −1 1 Giải 1 1 1 dx dx 1 (x + 3) − (x − 4) a) ∫ x 2 − x − 12 ∫ = = (x + 3)(x − 4) 7 ∫ (x + 3)(x − 4) dx 0 0 0 1  1 1  x −4 ∫  x − 4 − x + 3 dx = 7 (ln x − 4 − ln x + 3 ) 0 = 7 ln x + 3 1   1 1 1 1 =    7    0 0 1 3 4 1 9 = (ln − ln ) = ln 7 4 3 7 16 0 0 0 0 dx dx dx 1 (2x − 1) − 2(x − 2) b) ∫ 2x 2 − 5x + 2 = ∫ 1 = ∫ = (x − 2)(2x − 1) 3 ∫ (x − 2)(2x − 1) dx −1 −1 2(x − 2)(x − ) −1 −1 2 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 9
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 0  1  = 1 3 ∫    − 2    x − 2 2x − 1   1 dx = ln x − 2 − ln 2x − 1 3 ( ) −1 0 −1 1 x −2 0 1 ln 2 = ln −1 = (ln 2 − ln 1) = 3 2x − 1 3 3 2 2 2 2 dx dx dx 1 3(x + 1) + (1 − 3x ) c) ∫ 1 − 2x − 3x 2 ∫ = 1 = ∫ (x + 1)(1 − 3x ) = 4 ∫ (x + 1)(1 − 3x ) dx 1 1 −3(x + 1)(x − ) 1 1 3 2   x +1 2 1 ∫ 1 − 3x + x + 1dx = 4 (− ln 1 − 3x + ln x + 1 ) 1 = 4 ln 1 − 3x 1  3 1  1 2 1 3 1 3 =  1 = (ln − ln 1) = ln 4      4 5 4 5 1 HT 5.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 2 1 0 0 0 dx dx dx dx dx a) ∫ x2 b) ∫ (3x + 1)2 c) ∫ (1 − 2x )2 d) ∫ 9x 2 − 6x + 1 e) ∫ −16x 2 + 8x − 1 1 0 −1 −1 −1 Giải 2 dx 1 2 1 1 a) ∫ x2 =− x 1 = − +1 = 2 2 1 1 dx 1 1 1  1 1 ∫ (3x + 1)2 = − 3 . (3x + 1) 0 = −12 − 3  = 4 1 b)        0 0 0 dx dx 1 1  1  1 1 ∫ (1 − 2x )2 = ∫ (2x − 1)2 = − 2 . 2x − 1 −1 = −− 2 + 6  = 3 0 c)        −1 −1 0 0 dx dx 1 1  1  1 1 ∫ 9x 2 − 6x + 1 = ∫ (3x − 1)2 = − 3 . 3x − 1 −1 = −− 3 + 12  = 4 0 d)        −1 −1 0 0 0 dx dx dx 1 1 1 1 1 ∫ −16x 2 + 8x − 1 = −∫ 16x 2 − 8x + 1 = −∫ (4x − 1)2 = 4 . 4x − 1 −1= − 4 + 20 = − 5 0 e) −1 −1 −1 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 6.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 2 1 3 2 dx dx dx a) I1 = ∫ x2 + 1 b) ∫ x2 + 3 c) ∫ 2x 2 + 3 0 0 0 Giải 1 dx a) I1 = ∫ x2 + 1 0   π π   Đặt: x = tan t t ∈ − ;     2 2          dt ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 10
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 π Với x = 1 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ ∫ dt = t π ⇒ I1 = = 4 0 = 1 4 0 0 cos2 t. 0 cos2 t 3 dx b) I 2 = ∫ x2 + 3 0  π π Đặt: x = 3 tan t Với t ∈ − ;     2 2     3dt ⇒ dx = cos2 t π Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 ; Với x = 3 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π 3dt 3 dt 3 3 3π ⇒ I2 = ∫ 2 2 cos t(3 tan t + 3) = 3 ∫ 1 = 3 ∫ dt = 3 t 0= 4 12 0 0 cos2 t. 0 cos2 t 2 2 2 2 2 2 dx dx 1 dx c) I 3 = ∫ 2x 2 + 3 = ∫  2 3   = 2 ∫ 3 0 0 2 x +   0 x2 +    2 2 3  π π Đặt: x = tan t Với t ∈ − ;      2 2 2    6 dt ⇒ dx = 2 cos2 t 2 π Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0; Với x = ⇒t = 2 6 π π π 6 6 6 π 1 6dt 6 dt 6 6 6 6π ⇒ I3 = 2 ∫ 3 3 = 6 ∫ 1 = 6 ∫ dt = 6 t 0= 36 0 2 cos2 t ( tan2 t + ) 0 cos2 t . 0 2 2 cos2 t HT 7.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 0 4 1 dx dx dx a) I 1 = ∫ (x + 1)2 + 1 b) I 2 = ∫ x 2 − 4x + 8 c) I 3 = ∫ x2 + x + 1 −1 2 0 Giải 0 dx a) I 1 = ∫ (x + 1)2 + 1 −1  π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;        2 2  B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 11
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 dt ⇒ dx = cos2 t π Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ ∫ dt = t π ⇒ I1 = = 0= 4 1 4 0 0 cos2 t. 0 cos2 t 4 4 dx dx b) I 2 = ∫ x 2 − 4x + 8 ∫ (x − 2)2 + 4 = 2 2  π π Đặt: x − 2 = 2 tan t Với t ∈ − ;     2 2     2dt ⇒ dx = cos2 t π Đổi cận: Với x = 2 ⇒ t = 0; Với x = 4 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π 2dt 1 dt 1 1 ∫ cos2 t(4 tan2 t + 4) ∫ ∫ π ⇒ I2 = = = dt = t 0= 4 2 1 2 2 8 0 0 cos2 t. 0 cos2 t 1 1 dx dx c) I 3 = ∫ x2 + x + 1 ∫  = 2 0 0 x + 1  + 3       2 4 1 3  π π Đặt: x + = tan t Với t ∈ − ;      2 2 2 2    3 dt ⇒ dx = . 2 cos2 t π π Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = ;Với x = 1 ⇒ t = 6 3 π π 3 3 3dt 2 3 dt ⇒ I3 = ∫ 2 3 2 3 = 3 ∫ 2 1 = π 2 cos t ( tan t + ) π cos t . 6 4 4 6 cos2 t π 3 π 2 3 2 3 3 2 3π 2 3π 2 3π 3 ∫ dt = 3 t = π 9 − 18 = 18 π 6 6 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 12
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 mx + n III.Dạng 3: ∫ ax 2 + bx + c dx HT 8.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có 2 nghiệm phân biệt) 1 0 0 x −1 2x + 10 7 − 4x a) I 1 = ∫ x 2 + 4x + 3 dx b) I 2 = ∫ −x 2 + x + 2 dx c) I 3 = ∫ −2x 2 − 3x + 2 dx 0 −1 −1 Giải 1 1 x −1 (x − 1)dx a) I 1 = ∫ x 2 + 4x + 3 dx = ∫ (x + 1)(x + 3) 0 0 x −1 A B Ax + A + Bx + 3B (A + b)x + A + 3B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 3)(x + 1) x + 3 x + 1 (x + 3)(x + 1) (x + 3)(x + 1) A + B = 1  A = 2  Đồng nhất thức hai vế ta được:   ⇔  A + 3B = −1  B = −1    1  2 1  ∫  x + 3 − x + 1dx = (2 ln x + 3 − ln x + 1 ) 0 Vậy, I 1 =    1      0 4 = (2 ln 4 − ln 2) − (2 ln 3 − ln 1) = 2 ln − ln 2 3 0 0 2x + 10 2x + 10 b) ∫ −x 2 + x + 2 dx = ∫ (x + 2)(1 − x ) dx −1 −1 2x + 10 A B A − Ax + Bx + 2B (B − A)x + A + 2B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 2)(1 − x ) x + 2 1 − x (x + 2)(1 − x ) (x + 2)(1 − x ) B − A = 2  A = 2  Đồng nhất thức hai vế ta được:   ⇔  A + 2B = 10  B = 4    0  2 4  ∫  x + 2 + 1 − x dx = (2 ln x + 2 − 4 ln 1 − x ) −1 Vậy, I 2 =    0      −1 = (2 ln 2 − 4 ln 1) − (2 ln 1 − 4 ln 2) = 2 ln 2 + 4 ln 2 = ln 4 + ln 16 = ln 64 0 0 7 − 4x 7 − 4x c) I 3 = ∫ −2x 2 − 3x + 2 dx = ∫ (x + 2)(1 − 2x ) dx −1 −1 7 − 4x A B A − 2Ax + Bx + 2B (B − 2A)x + A + 2B Xét đồng nhất thức: = + = = (x + 2)(1 − 2x ) x + 2 1 − 2x (x + 2)(1 − 2x ) (x + 2)(1 − 2x ) B − 2A = −4  A = 3  Đồng nhất thức hai vế ta được:   ⇔  A + 2B = 7  B = 2    0   ∫ 1 − 2x + x + 2 dx = (− ln 1 − 2x + 3 ln x + 2 ) −1 2 3  0 Vậy, I 3 =        −1 3 = (− ln 1 + 2 ln 2) − (− ln 3 + 3 ln 2) = ln 3 − ln 2 = ln 2 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 13
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 HT 9.Tính các tích phân sau: (Mẫu số có nghiệm kép) 1 0 1 (3x + 1)dx 3x − 1 3x + 2 a) I 1 = ∫ x 2 + 2x + 1 b) I 2 = ∫ 4x 2 − 4x + 1 dx c) I 3 = ∫ 4x 2 + 12x + 9 dx 0 −1 0 Giải 1 1 1 1   (3x + 1)dx 3x + 1 3(x + 1) − 2   3 − 2   a) I 1 = ∫ x 2 + 2x + 1 ∫ (x + 1)2 = dx = ∫ (x + 1)2 dx = ∫  x + 1   dx    (x + 1)2  0 0 0 0  2 1   = 3 ln x + 1 +    = (3 ln 2 + 1) − (3 ln 1 + 2) = 3 ln 2 − 1   x + 1 0  3 0 3x − 1 (2x − 1) + 1 0 3x − 1 0 b) I 2 = ∫ 2 4x − 4x + 1 dx = (2x − 1)2 dx = ∫ 2 (2x − 1)2 2 dx ∫ −1 −1 −1 0      3 1 1 1 dx =  3 ln 2x − 1 − 1 . 1  ∫   0 =  . + .     2 2x − 1 2 2 4   −1 −1   (2x − 1)     4 2x − 1 3 1 3   1 3 1    =  ln 1 +  −  ln 3 +  = − ln 3 +  4  4 4    12   4 6 3 5 1 (2x + 3) − 1 1 3x + 2 3x + 2 c) I 3 = ∫ 4x 2 + 12x + 9 dx = (2x + 3)2 dx = 2 ∫(2x + 3)2 2 dx ∫ 0 0 0 1    3  3  . 1 − 5. 1   5 1  ∫  1 =   dx =  ln 2x + 3 + .   2 2x + 3 2  2   4    4 2x + 3  0 0  (2x + 3)  3 1  3   5 3 5 1     =  ln 5 +  −  ln 3 +  = ln − 4     4  4  12  4 3 6 HT 10.Tính các tích phân sau: (Mẫu số vô nghiệm) 1 3 1 3x + 1 3x + 2 3x − 1 a) I 1 = ∫ x2 + 1 dx b) I 2 = ∫ x 2 − 4x + 5 dx c) I 3 = ∫ 4x 2 − 4x + 2 dx 0 1 0 Giải 1 3x + 1 a) I 1 = ∫ x 2 + 1 dx 0 3 1 .2x + 1 1  3 2x 1 1  . 1   dx = 3 2x dx ∫ 2 ∫ ∫ x2 + 1 ∫ x2 + 1 2  Chú ý: (x + 1)' = 2x Nên: I 1 = dx = 2 2 +  dx +   x + 1 x 2 + 1  0 x2 + 1 0  2 0 0 1 1 3 2x 3 d (x 2 + 1) 3 3 3 ln 2 ∫ x2 + 1 ∫ ln x 2 + 1 1 Xét: M = dx = = 0= (ln 2 − ln 1) = 2 2 2 2 2 2 0 0 x +1 1 dx Xét: N = ∫ x2 + 1 0 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 14
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899   π π      Đặt: x = tan t t ∈ − ;    2 2       dt ⇒ dx = cos2 t Đổi cận: Với x = 0 ⇒ t = 0 π Với x = 1 ⇒ t = 4 π π π 4 4 4 π dt dt ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = ∫ ∫ dt = t π ⇒M = = 4 0 = 1 4 0 0 cos2 t. 0 cos2 t 3 ln 2 π Vậy, I 1 = M + N = + 2 4 3 3x + 2 b) I 2 = ∫ x 2 − 4x + 5 dx 1 Chú ý: (x 2 − 4x + 5)' = 2x − 4 3 (2x − 4) + 8 3 3 3   2x − 4 1  Khi đó: I 2 = 2 ∫ x 2 − 4x + 5 dx = ∫  2 x 2 − 4x + 5 + 8. x 2 − 4x + 5 dx        1 1 3 3 3 2x − 4 1 = 2 ∫ x 2 − 4x + 5 dx + 8∫ x 2 − 4x + 5 dx 1 1 3 3 3 2x − 4 3 d (x 2 − 4x + 5) 3 3 ∫ ∫ = ln x 2 − 4x + 5 3 + Xét: M = dx = 1= (ln 2 − ln 2) = 0 2 1 x 2 − 4x + 5 2 1 2 x − 4x + 5 2 2 3 3 1 dx + Xét: N = 8 ∫ x 2 − 4x + 5 dx = 8 ∫ (x − 2)2 + 1 1 1   π π      Đặt: x − 2 = tan t Với t ∈ − ;    2 2       dt ⇒ dx = cos2 t π π Đổi cận: Với x = 1 ⇒ t = − ; Với x = 3 ⇒ t = 4 4 π π 4 4 π dt ⇒N =8 ∫ cos2 t(tan2 t + 1) =8 ∫ dt = 8t 4 = −π 4π −π π 4 − 4 4 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 15
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 Vậy, I 2 = M + N = 4π 1 3x − 1 c) I 3 = ∫ 4x 2 − 4x + 2 dx 0 Chú ý: (4x 2 − 4x + 2)' = 8x − 4 3 1 1 (8x − 4) + 1 3x − 1 Ta có: I 3 = ∫ 4x 2 − 4x + 2 dx = 8 4x 2 − 4x + 2 2 dx ∫ 0 0 1 1 3 8x − 4 1 dx = 8 ∫ 2 4x − 4x + 2 dx + 2 ∫ 4x 2 − 4x + 2 0 0 1 1 3 8x − 4 3 d (4x 2 − 4x + 2) 3 3 ∫ ∫ ln 4x 2 − 4x + 2 1 +) Xét: M = dx = = 0= (ln 2 − ln 2) = 0 8 2 8 2 8 8 0 4x − 4x + 2 0 4x − 4x + 2 1 1 1 dx 1 dx +) Xét: N = 2 ∫ = 4x 2 − 4x + 2 2 ∫ (2x − 1)2 + 1 0 0   π π   Đặt: 2x − 1 = tan t Với t ∈ − ;       2 2        dt dt ⇒ 2dx = ⇔ dx = 2 cos t 2 cos2 t π π Đổi cận:Với x = 0 ⇒ t = − ; Với x = 1 ⇒ t = 4 4 π π 4 4 π 1 dt 1 1 ∫ ∫ π ⇒N = = dt = t 4 = 2 2 cos2 t(tan2 t + 1) 2 2 −π 4 − π − π 4 4 4 π Vậy, I 3 = M + N = 4 HT 11.Tính các tích phân sau: 0 1 x 3 − 5x 2 + 6x − 1 x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1 a) I1 = ∫ x 2 − 3x + 2 dx b) I 2 = ∫ x 2 + 2x + 1 dx −1 0 0 2 x 3 + 3x 2 − 6x + 1 x2 c) I 3 = ∫ x 2 + 2x + 2 dx d) I = ∫ x 2 − 7x + 12dx −1 1 Giải B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 16
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 0 0 0 0 x 3 − 5x 2 + 6x − 1   x − 2 + −2x + 3  dx = −2x + 3 a) I 1 = ∫ 2 x − 3x + 2 dx = ∫        x 2 − 3x + 2   ∫ (x − 2)dx + ∫ x 2 − 3x + 2 dx −1 −1 −1 −1 0  2   1  x 5 +) Xét: M = ∫   (x − 2)dx =  − 2x   0 −1 = −  + 2 = −  2   2       2 −1   0 0 −2x + 3 −2x + 3 +) Xét: N = ∫ x 2 − 3x + 2 dx = ∫ (x − 1)(x − 2) dx −1 −1 Dùng đồng nhất thức ta tách được: 0  −1  −1  ∫  x − 1 + x − 2 dx = (− ln x − 1 − ln x − 2 ) −1 = (− ln 1 − ln 2) − (− ln 2 − ln 3) = ln 3   0 N =      − 5 Vậy, I 1 = M + N = ln 3 − 2 1 1 x 4 + 5x 3 − 3x 2 + 2x − 1 19x + 9 ∫ ∫ (x 2 b) I 2 = dx = + 3x −10 + )dx 2 2 0 x + 2x + 1 0 x + 2x + 1 1  3  x 3x 2  1 3 49 +) Xét: M = ∫ (x 2 + 3x − 10)dx =  +  − 10x  1 = ( + − 10) − 0 = − 0  3  2  3 2 6 0   1 1 1   19x + 9 19(x + 1) − 10  19 10   +) Xét: N = ∫ x 2 + 2x + 1 dx = ∫ (x + 1)2 dx = ∫   x + 1  − dx  (x + 1)2   0 0 0    10  1   = 19 ln x + 1 +     = (19 ln 2 + 5) − (19 ln 1 + 10) = 19 ln 2 − 5   x + 1 0 79 Vậy, I 2 = M + N = 19 ln 2 − 6 0 0 x 3 + 3x 2 − 6x + 1   10x + 1   c) I 3 = ∫ x 2 + 2x + 2 dx = ∫ x + 1 − x 2 + 2x + 2 dx        −1 −1 0  2     x  1  1 ∫  0  +) Xét: M = (x + 1)dx =  + x   −1 = −   − 1 = 2    2  2  −1   0 0 0 10x + 1 5(2x + 2) − 9  5(2x + 2)    9 +) Xét: N = ∫ x 2 + 2x + 2 dx = ∫ x 2 + 2x + 2 dx = ∫   2  − 2  dx     x + 2x + 2 x + 2x + 2  −1 −1 −1 0 0 2x + 2 d(x 2 + 2x + 2) ∫ x 2 + 2x + 2 ∫ = 5 ln x 2 + 2x + 2 0 P =5 dx = 5 −1 = 5(ln 2 − ln 1) = 5 ln 2 2 −1 −1 x + 2x + 2 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 17
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 0 0 dx dx Q=9 ∫ x 2 + 2x + 2 = 9∫ (x + 1)2 + 1 −1 −1  π π Đặt: x + 1 = tan t Với t ∈ − ;     2 2     dt ⇒ dx = cos2 t π Đổi cận: Với x = −1 ⇒ t = 0; Với x = 0 ⇒ t = 4 π π 4 4 π dt 9π ⇒Q = 9 ∫ cos2 t(tan2 t + 1) = 9∫ dt = 9t 0= 4 4 0 0 9π 1 9π ⇒ N = P − Q = 5 ln 2 − ⇒ I 3 = M + N = + 5 ln 2 − 4 2 4 2  16 9   2  d) I = ∫ 1 + x − 4 − x − 3 dx = (x + 16 ln x − 4 − 9 ln x − 3 ) 1 = 1 + 25 ln 2 − 16 ln 3 .     1 HT 12.Tính các tích phân sau: 2 dx 1 xdx a) I = ∫ x5 + x3 b) I = ∫0 (x + 1)3 1 Giải 2 dx a) I = ∫ x5 + x3 1 1 1 1 x Ta có: =− + + 3 2 x x 3 2 x (x + 1) x +1  1 1 2 3 1 3 ⇒ I = − ln x − + ln(x 2 + 1) = − ln 2 + ln 5 + 1 2 2 2 2 8  2x 1 xdx b) I = ∫0 (x + 1)3 x x + 1−1 Ta có: = = (x + 1)−2 − (x + 1)−3 3 3 (x + 1) (x + 1) 1   1 ∫0 (x + 1) −2 ⇒I = − (x + 1)−3 dx = 8 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 18
GV. Lưu Huy Thư ng 0968.393.899 B H C VÔ B - CHUYÊN C N S NB N Page 19