zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Trung học phổ thông

Ứng dụng các định lý tam thức bậc hai giai hpt

Chia sẻ: Trần Bá Trung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Báo xấu

547
lượt xem 122
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 Các định lý được sử dụng (với f (x) = ax + bx + c ; a ≠ 0) 2 1. af(x) 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng các định lý tam thức bậc hai giai hpt

www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng ĐẠI SỐ - BÀI 18 SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ VÈ TAM THỨC BẬC HAI ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 2 Các định lý được sử dụng (với f (x) = ax + bx + c ; a ≠ 0) 2 1. af(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac < 0 . 2 2. af(x) ≥ 0 với mọi x ⇔ ∆ x = b − 4ac ≤ 0 . Nếu af(x) ≥ 0 với mọi x thì f(x) = 0 ∆ x = 9  ⇔  b  x = − 2a  3. Nếu tồn tại α sao cho af(α) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm x1 , x 2 thỏa mãn x1 < α < x 2 . 4. Nếu tồn tại α, β (α < β) sao cho f (α).f (β) < 0 thì f(x) có một nghiệm thuộc (α ; β) và một nghiệm ngoài [α ; β]. Thí dụ 1 : Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì 2 2 2 2 2 2 với mọi x ta có : b x + (b + c − a )x + c > 0. 2 2 Phân tích : Vế trái là tam thức bậc hai f(x) với hệ số của x là b > 0 nên có ngay lời giải. 2 2 2 2 2 2 Giải : f(x) > 0 với mọi x ⇔ ∆ x < 0 ⇔ (b + c − a ) − 4b c < 0 ⇔ (b 2 + c 2 − a 2 + 2bc)(b 2 + c 2 − a 2 − 2bc) < 0 2 2 2 2 ⇔ [(b + c) − a )][(b − c) − a ] < 0 ⇔ (b + c + a)(b + c − a)(b − c + a)(b − c − a) < 0 ⇔ (a + b + c)(b + c − a)(b + a − c)(c + a − b) > 0 Vì a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Chú ý : Ngược lại, các bạn có thể chứng minh được nếu các số dương a, b, c thỏa mãn f(x) > 0 với mọi x thì a, b, c chính là độ dài 3 cạnh của một tam giác. 3 Thí dụ 2 : Cho a > 36 và abc = 1. Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng a2 Chứng minh : + b 2 + c2 > ab + bc + ca (*) 3 1 Phân tích : bc = nên bất đẳng thức cần chứng minh vì đối xứng với b và c a nên có thể viết về dạng tam thức bậc hai đối với b + c. 2 a2 3 Giải : (*) ⇔ (b + c) − a(b + c) + − >0 3 a  2 2 a2  a2 3  a a 3 − 36 ⇔  (b + c) − a(b + c) +  + − > 0 ⇔b + c −  + >0   4  12  a  2 12a 3 Với a > 36 thì bất đẳng thức trên luôn đúng. Chú ý : Khi không muốn diễn đạt bởi "ngôn ngữ" biệt thức ∆ thì các bạn có thể dùng kỹ thuật "tách bình phương" như lời giải trên. Thí dụ 3 : Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có : 3 cos A + cos B + cos C ≤ (**) 2 A+B Phân tích : Vì cosA + cosB = 2 cos 2 A−B C A−B 2C cos = 2sin cos và cosC = 1 − 2 sin nên có thể làm xuất 2 2 2 2 C hiện tam thức bậc hai đối với sin . 2 C A−B C 3 Giải : (**) ⇔ 2sin cos + 1 − 2sin 2 ≤ 2 2 2 2 2 C C A−B 1 ⇔ sin − sin cos + ≥0 ⇔ 2 2 2 4 2  C 1 A−B 1 2 A−B  sin − cos  + sin ≥0  2 2 2  4 2 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  C 1 A−B sin 2 = 2 cos 2   sin A − B = 0   2 Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng A−B  π π C  π Lưu ý ∈  − ;  và ∈  0;  thì hệ trên tương đương với A = B = 2  2 2 2  2 C tức là tam giác ABC đều. Chú ý : Bài toán tổng quát cho bài trên là : Với x, y, z > 0 thì trong tam giác ABC bất kỳ ta có : cos A cos B cos C x 2 + y 2 + z 2 + + ≤ x y z 2xyz Các bạn có thể dùng kỹ thuật "tam thức bậc hai" hoặc công cụ véc-tơ để giải quyết. Khi cho các giá trị cụ thể x, y, z (đặc biệt là x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác) thì ta có vô số các bất đẳng thức cụ thể. Bài tập tương tự 1. Chứng minh với mọi x và mọi α ta có : (1 + sin 2 α)x 2 − 2(sin α + cos α)x + 1 + cos 2 α > 0 2. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta có : 2 2 2 9 a) sin A + sin B + sin C ≤ 4 A B C 1 b) sin .sin .sin ≤ 2 2 2 8 2 2 2 2 3. Tìm x, y thỏa mãn : (x + y )(x + 1) = 4x y Một dạng ứng dụng của tam thức bậc hai khác thú vị mà nhiều bạn không để ý : Thí dụ 4 : Cho a, b, c, d, p, q thỏa mãn : p2 + q 2 − a 2 − b2 − c2 − d 2 > 0 2 2 2 2 2 2 2 Chứng minh rằng : (p − a − b )(q − c − d ) ≤ (pq − ac − bd) Phân tích : Bất đẳng thức này trông "ngược" với bất đẳng thức Bunhiacôpski và có dạng như ∆' ≥ 0 (!). Vậy cần thiết lập một tam thức bậc hai f(x) có nghiệm và 2 2 2 2 2 2 2 xuất hiện biểu thức ∆ ' = (pq − ac − bd) − (p − a − b )(q − c − d ) . Như 2 2 2 2 2 2 2 vậy hệ số của x sẽ chọn là p − a − b hoặc q − c − d . Giả thiết sẽ cho ta điều gì ? Điều đó quyết định sự lựa chọn trên. Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 2 2 2 2 2 2 Giải : Vì (p − a − b ) + (q − c − d ) > 0 nên trong hai biểu thức p 2 − a 2 − b 2 và q 2 − c2 − d 2 có ít nhất một biểu thức dương. Do vai trò bình 2 2 2 đẳng của hai bộ số (p, a, b) và (q, c, d) nên giả sử p − a − b > 0. 2 2 2 2 2 2 2 Xét f (x) = (p − a − b )x − 2(pq − ac − bd)x + q − c − d = 2 2 2 = (px − q) − (ax − c) − (bx − d) 2 2 2 q Vì p − a − b > 0 nên p ≠ 0. Ta có f   ≤ 0 suy ra p q (p 2 − a 2 − b 2 )f   ≤ 0 nên f(x) có nghiệm. Do đó ∆ 'x ≥ 0 p ⇒ đpcm. q q Chú ý : Dạng thứ hai của f(x) là để chọn ra α = thỏa mãn f   ≤ 0 p p Thí dụ 5 : Cho b < c < d chứng minh : (a + b + c + d)2 > 8(ac + bd) Phân tích : Có 2 cách nhìn để có 2 cách giải khác nhau. Cách thứ nhất là nhìn bất đẳng thức cần chứng minh có dạng ∆ > 0. Cách thứ hai là đưa bất đẳng thức về dạng f(a) > 0 với mọi a và b < c < d. Xin giải theo cách nhìn thứ nhất. Giải : Xét tam thức bậc hai : f (x) = 2x 2 − (a + b + c + d)x + (ac + bd) 2 Có f (c) = c − (b + d)c + bd = (c − b)(c − d) Vì b < c < d nên f(c) < 0 suy ra f(x) có 2 nghiệm phân biệt tức là ∆ > 0 ⇒ đpcm. Các bài tập khác : 1. Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức F = 3 cos B + 3(cos A + cos C) đạt giá trị lớn nhất. 2. Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng : sinA + sinB + cos(A + b) = 1,5. 2 2 3. Biết rằng : 4x + y + 2x + y + 4xy ≤ 2. Chứng minh : −2 ≤ y + 2x ≤ 1 4. Định dạng tam giác ABC thỏa mãn Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục
www.truongthi.com.vn Lớp học qua mạng 1 1 1 5 cos A + cos B + cos C = 3 4 5 12 5*. Xác định các góc của tam giác ABC sao cho biểu thức : 2 F = cos A sin Bsin C + sin A + (cos B + cos C) đạt giá trị lớn nhất. 2 Môn Toán Tiến sĩ Lê Thống Nhất Nhà xuất bản Giáo dục

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022

304 tài liệu

922 lượt tải

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.