ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Chia sẻ: Nguyễn Quốc Thắng | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:16

Thêm vào BST

Báo xấu

300
lượt xem 47
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'ứng dụng phép tính vi phân trong hình học', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: ỨNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC

Trang -1 Ch¬ng 6 øng dông phÐp tÝnh vi ph©n Trong h×nh häc 6.1 Hµm vÐc t¬ 1. §Þnh nghÜa → Cho T lµ mét kho¶ng trong R. ¸nh x¹ t∈T→r (t)∈R2. gäi lµ mét hµm vÐc t¬ biÕn sè thùc x¸c ®Þnh trªn T. Ký → → hiÖu: r = r (t ) → → → NÕu x(t), y(t), z(t) lµ ba thµnh phÇn cña r (t) vµ i , j lµ c¸c vÐc t¬ ®¬n vÞ cña c¸c trôc to¹ ®é t¬ng øng ta cã: → → → → r =x(t) i +y(t) j +z(t) k → §Æt OM = r , khi ®ã M cã c¸c to¹ ®é lµ (x(t),y(t),z(t)). Quü tÝch cña M khi t biÕn thiªn trªn T lµ mét ®êng → cong L trong R3 vµ gäi lµ tèc ®å cña r . Nh vËy ta cã thÓ xem ®êng cong L víi ph¬ng tr×nh tham sè:  x(t )  L=  y (t ) (t∈T)  z (t )  → → lµ tèc ®å cña hµm vÐc t¬ r = r (t), t∈T. VÝ dô 6.1: Hµm vÐc t¬: → → → → 2 r (t)= r =t i +t j , t∈[-1,1] Cã t«c ®å lµ ®êng cong: x = t L=  t∈[-1,1] y = t 2 §ã chÝnh lµ cung Parabol y=x2, x∈[-1,1]. 2. Giíi h¹n vµ ®¹o hµm cña hµm vÐc t¬
Trang -2 a. §Þnh nghÜa → → Ta gäi vÐc t¬ cè ®inh a lµ giíi h¹n cña hµm vÐc t¬ r → (t) khi t dÇn ®Õn t0 nÕu khi t→t0 nÕu m«®un cña r (t) → - a →0, ký hiÖu: → → lim r (t ) = a t →t 0 → → → NÕu r (t) x¸c ®Þnh t¹i t0 vµ lim r (t ) = r (t0) th× ta nãi t →t 0 → r (t) liªn tôc tai t0. Cho t sè gia ∆t = t - t0, gäi → → → ∆ r = r (t 0 + ∆t ) − r (t 0 ) lµ sè gia t¬ng øng cña hµm vÐc t¬ → tai t0. HiÒn nhiªn r (t) liªn tôc tai t0 khi vµ chØ khi: → lim ∆ r (t ) = θ (vÐc t¬ kh«ng). ∆t → 0 → Cho r (t) x¸c ®Þnh t¹i t 0 vµ l©n cËn cña t 0. NÕu tån t¹i giíi h¹n: → ∆r → lim = r '(t 0 ) ∆t →0 ∆t → th× giíi h¹n Êy ®îc gäi lµ vÐc t¬ ®¹o hµm cña hµm r (t ) t¹i t=t0. → → → → Tõ r =x(t) i +y(t) j +z’(t) k ta cã: → → → → ∆ r (t ) = ∆x (t ) i + ∆y (t ) j + ∆z(t) k Nªn: → ∆ r (t )  ∆x(t ) → ∆y (t ) → ∆z (t ) →  lim = lim  i+ j+ k ∆t → t 0 ∆t ∆t →0  ∆t ∆t ∆t   → → → =x’(t0) i + y’(t0) j +z’(t) k
Trang -3 → VËy → dr → → → r '(t ) = = x' (t ) i + y ' (t ) j +z’(t) k dt b. ý nghÜa h×nh häc vµ c¬ häc cña ®¹o hµm vÐc t¬ (i) Trªn tèc ®å ta cã: → → r (t 0 ) = r0 = OM 0 → → r (t ) = r = OM → → → ∆ r = r − r0 = M 0 M → VÐc t¬ ∆ r n»m theo ph¬ng ∆t d©y cung M0M. Khi t → t 0 , M dÇn ®Õn M0 theo ®êng cong, ph¬ng cña d©y cung M0M dÇn ®Õn trïng víi ph- ¬ng cña tiÕp tuyÕn M0T t¹i tiÕp ®iÓm M0 nÕu tiÕp → tuyÕn nµy tån t¹i. Nh vËy vÐc t¬ ®¹o hµm r '(t 0 ) t¹i t0 n»m → theo tiÕp tuyÕn víi tèc ®å cña hµm vÐc t¬ r (t ) t¹i M0 øng víi t=t0. → V× r '(t 0 ) ®îc x¸c ®Þnh khi biÕt híng vµ ®é dµi cña nã, nªn kh¸c víi ®¹o hµm cña hµm biÕn sè thùc, y=f(x), ®¹o hµm y’=f’(x0) chØ cho biÕt ph¬ng cña tiÕp tuyÕn t¹i M0(x0,y0). (ii) XÐt mét ®iÓm chuyÓn ®éng M cã to¹ ®é lµ nh÷ng hµm kh¶ vi cña t: x=x(t), y=y(t) → → NÕu ®Æt r (t ) = OM th× tèc ®å L cña r (t ) chÝnh lµ → quü ®¹o chuyÓn ®éng cña ®iÓm M. Gäi r (t 0 ) = OM 0 , khi ®ã víi ∆t = t − t 0 ta cã:
Trang -4 → → → ∆ r (t ) = r (t ) − r (t 0 ) = OM − OM 0 = M 0 M Do ®ã: → → ∆r M 0M dr → lim = lim = =v ∆t →0 ∆t ∆t →0 M → M dt 0 lµ vÐc t¬ vËn tèc tøc thêi cña chuyÓn ®éng t¹i thêi ®iÓm t 0. c. C¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm cña hµm vÐc t¬ → → → Gi¶ sö p , q , r lµ nh÷ng hµm vÐc t¬ trong R2 hoÆc R3 cïng mét biÕn t, khi b»ng ®Þnh nghÜa ta dÏ dµng chøng minh ®îc c¸c c«ng thøc sau: → → → 1. d ( p + q − r ) = d p + d q − d r → → → dt dt dt dt → 2. d (α p) = α d p + p dα (α lµ hµm sè kh¶ vi cña t) → → dt dt dt → → 3. d  p . q  = p d q + q d p → → → →   dt   dt dt → → 4. d  p ∧ q  = p ∧ d q + q ∧ d p → → → →   dt   dt dt  →   →   →  d  → → →  d p → →  → d q →  → → d r  5.  p, q , r  =  , q , r  +  p, , r  +  p, q , dt    dt   dt   dt         → 6. NÕu p cã ®é d× kh«ng ®æi nhng híng thay ®æi, → nh vËy tèc ®å cña p lµ mét ®êng cong n»m trªn mÆt → →2 cÇu t©m O, b¸n kÝnh p. Do p . p =p nªn lÊy ®¹o hµm hai vÕ ta ®îc:
Trang -5 → 2p.d p =0 → dt → Chøng tá hai vÐc t¬ p vµ d p trùc giao víi nhau. → dt → 7. NÕu p cã ph¬ng kh«ng ®æi, nhng cã ®é dµi thay → → ®æi, khi ®ã: p =p(t). p 0 → p 0 lµ vÐc t¬ ®¬n vÞ kh«ng ®æi, cßn p(t) lµ hµm cña t. Khi ®ã: → → d p dp(t ) → d p 0 dp(t ) → = p 0 + p (t ) = p0 dt dt dt dt Nh vËy ®¹o hµm ®ång ph¬ng víi vÐc t¬. 6.2 H×nh häc vi ph©n trong mÆt ph¼ng 1. Vi ph©n cung Trong mÆt ph¼ng xÐt ®êng cong L. Gäi ds lµ vi ph©n cung, khi ®ã: (i) NÕu L cã ph¬ng tr×nh trong to¹ ®é §Òcac y=y(x) th×: ds = 1 + y ' 2 ( x )dx (ii) NÕu L cã ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )  t∈[t0,T]  y = y (t ) ds = x' 2 + y ' 2 dt (iii) NÕu L lµ ®êng cong trong to¹ ®é cùc vµ cã ph- ¬ng tr×nh: r=r(ϕ). ChuyÓn to¹ ®é cùc vÒ to¹ ®é §Ò c¸c theo c«ng thøc:  x = r (ϕ ) cos ϕ   y = r (ϕ ) sin ϕ
Trang -6 xem ®ã lµ ph¬ng tr×nh tham sè cña L theo ϕ. Ta cã: x' (ϕ ) = r ' cos ϕ − r sin ϕ y ' (ϕ ) = r ' sin ϕ + r cos ϕ Do ®ã: x' 2 (ϕ ) + y ' 2 (ϕ ) = r ' 2 + r 2 Nªn ds = r ' 2 + r 2 dϕ 2. §é cong a. §Þnh nghÜa Cho ®êng cong L, kh«ng tù giao nhau vµ cã tiÕp tuyÕn t¹i mäi ®iÓm. Trªn L chän mét chiÒu lµm chiÒu d- ¬ng, trªn tiÕp tuyÕn cña L t¹i M, ta chän mét híng øng víi híng d¬ng cña L, gäi lµ tiÕp tuyÕn d¬ng. NÕu t¹i mçi ®iÓm trªn L ta vÏ mét tiÕp tuyÕn d¬ng th× ∩ khi tiÕp ®iÓm di chuyÓn mét ®o¹n ∆s = M 0 M trªn ®êng cong, tiÕp tuyÕn d¬ng sÏ quay mét gãc ∆α nµo ®Êy. §- ∩ êng cong L trªn cung M 0 M cµng cong nÕu gãc ∆α cµng lín. ∆α Ngêi ta gäi tû sè , trong ®ã ∆α lµ gãc gi÷a hai ∆s ∩ tiÕp tuyÕn d¬ng t¹i hai mót cña cung M 0 M , ∆s lµ ®é dµi cña cung ®ã, lµ ®é cong trung b×nh cña ®êng cong ∩ trªn cung M 0 M . Ký hiÖu: ∆α Ctb= ∆s HiÓn nhiªn ∆α, ∆s chØ phô thuéc ®êng cong mµ kh«ng phô thuéc hÖ to¹ ®é biÓu diÔn ®êng cng L. Tõ kh¸i niÖm ®é cong trung b×nh ta cã ®Þnh nghÜa ®é cong t¹i mét ®iÓm. §Þnh nghÜa: §é cong t¹i ®iÓm M 0 trªn ®êng cong L lµ ∩ giíi h¹n, nÕu cã, cña ®é cong trung b×nh trªn cung M 0 M
Trang -7 khi M dÇn ®Õn M0 trªn L. Ký hiÖu ®é cong t¹i M 0 lµ C(M0) ta cã: ∆α dα C(M0)= Mlim C tb = ∆s →0 lim = →M 0 ∆s ds b. C«ng thøc tÝnh ®é cong NÕu gäi α lµ gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i M0 víi ®êng cong dy L, khi ®ã: tgα = y ' = dx Hay α=arctg y’ dα y" = dx 1 + y ' 2 (i) NÕu ®êng cong cho bëi ph¬ng tr×nh y=y(x), tõ biÓu thøc vi ph©n cung ds = 1 + y ' 2 ( x )dx hay ds = 1 + y ' 2 nªn: dx dα dα dx y" = = 3 ds dx ds (1 + y ' ) 2 2 y" VËy: C(M)= 3 (1) (1 + y ' ) 2 2 (ii) NÕu ®êng cong cã ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) dy y 't Do: = nªn dx x't   ( 2 x' + y' (1 + y ' 2 ) = t 2 t 2 )  x't  2 (2)  d y = x't y"t − y 't x 't  dx 2 x't 3 
Trang -8 Thay vµo (1) ta ®îc biÓu thøc phô thuéc t: x' y"− y ' x" C(M) = 3 (3) ( x' + y ' ) 2 2 2 (iii) NÕu ®êng cong cã ph¬ng tr×nh trong to¹ ®é cùc: r=r(ϕ) ChuyÓn to¹ ®é cùc vÒ to¹ ®é §Ò c¸c theo c«ng thøc:  x = r (ϕ ) cos ϕ   y = r (ϕ ) sin ϕ xem ®ã lµ ph¬ng tr×nh tham sè cña L theo ϕ. Ta cã: x' (ϕ ) = r ' cos ϕ − r sin ϕ y ' (ϕ ) = r ' sin ϕ + r cos ϕ x" (ϕ ) = r" cos ϕ − 2r ' sin ϕ − r cos ϕ y" (ϕ ) = r" sin ϕ + 2r ' cos ϕ − r sin ϕ  2  x' + y ' = r ' + r 2 2 2 Do  (4)  x' y"− y ' x" = r 2 + 2r ' 2 −rr"  Thay vµo (3) ®îc biÓu thøc phô thuéc ϕ: r 2 + 2r ' 2 −rr" C(M) = 3 (5) (r + r ' ) 2 2 2 VÝ dô 6.2: a. TÝnh ®é cong cña ®êng Parabol y=a x2 t¹i gãc O. Do y’=2ax, y”=2a nªn t¹i x=0 ta cã: y" C= 3 =2a (1 + y ' 2 ) 2 Nh vËy nÕu a cµng lín th× ®Ønh cña Parabol cµng cong. b. TÝnh ®é cong t¹i ®iÓm bÊt kú cña ®êng Cycloit  x = a(t − sin t )  (a>0)  y = a (1 − cos t )
Trang -9 Ta cã: x’=a(1 - cos t), y’=a sint x”=a sin t, y”=a cos t VËy x' y"− y ' x" cos t − 1 1 C= 3 = t 3 = 4a sin ( x' 2 + y ' 2 ) 2 2 2 .a (1 − cos t ) 2 2 c. TÝnh ®é cong t¹i ®iÓm ϕ=0 cña ®êng C¸c®i«t: r=a(1+cosϕ) Ta cã: r=a(1+cosϕ) t¹i ϕ=0, r=2a r’=- a sinϕ t¹i ϕ=0, r’=0 r”=- a cosϕ t¹i ϕ=0, r”=-a Do ®ã: r 2 + 2r ' 2 −rr" 4a 2 + 2a 2 C= = 3 3 3 = (r 2 + r ' 2 ) 2 8a 4a 3. §êng trßn chÝnh khóc vµ khóc t©m a. §Þnh nghÜa T¹i mçi ®iÓm M cña ®êng cong L, vÒ phÝa lâm cña ®- êng cong, trªn ®êng vu«ng gãc víi tiÕp tuyÕn t¹i M ( ta sÏ gäi lµ ph¸p tuyÕn cña L t¹i M), lÊy ®iÓm I sao cho: MI= 1 . §êng trßn t©m I, b¸n C (M ) 1 kÝnh R= ®îc gäi lµ ®- C (M ) êng trßn chÝnh khóc cña L t¹i M.
Trang -10 T©m I cña ®êng trßn chÝnh khóc ®îc gäi lµ khóc t©m 1 øng víi M, b¸n kÝnh R= cña ®êng trßn chÝnh C (M ) khóc gäi lµ khóc b¸n kÝnh. §êng trßn chÝnh khóc t¹i M cña L cã chung tiÕp tuyÕn 1 víi L t¹i M vµ t¹i M chóng cã cïng ®é cong C(M)= . T¹i R l©n cËn cña M xÊp xØ L bëi ®êng trßn chÝnh khóc sÏ tèt h¬n xÊp xØ b»ng tiÕp tuyÕn tai M. b. To¹ ®é cña khóc t©m Gi¶ sö t¹i M(x,y), khóc t©m I cã to¹ ®é (X,Y). Ta cÇn t×m biÓu thøc cña (X,Y) qua (x,y). Gi¶ sö L cã ph¬ng tr×nh y=f(x). Gäi (η,ξ) lµ to¹ ®é c¸c ®iÓm trªn ph¸p tuyÕn cña L t¹i M, ph¬ng tr×nh ph¸p tuyÕn cña L t¹i M lµ 1 η − y = − (ξ − x ) y' V× khóc t©m I(X,Y) n»m trªn ph¸p tuyÕn nªn ta cã: 1 Y − y = − ( X − x) (6) y' V× MI=R nªn: (X-x)2+(Y-y)2=R2 (7) Tõ hai ph¬ng tr×nh trªn suy ra: y ' (1 + y ' 2 ) 1 + y'2 X = x± , Y = y y" y" NÕu y”>0 ®êng L lâm nªn Y>y, vËy: 1 + y'2 Y = y+ y" NÕu y”
Trang -11 y ' (1 + y ' 2 ) X = x− y" VËy to¹ ®é (X,Y) cña khóc t©m I lµ:  y ' (1 + y ' 2 )  X = x−  y"  (8) Y = y + 1 + y ' 2   y" NÕu L cã ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t ) Thay c¸c biÓu thøc (2) vß (8) ®îc to¹ ®é cña khóc t©m I lµ:  y ' ( x' 2 + y ' 2 ) X = x −  x' y"− y ' x"  (9) Y = y + x' ( x' + y ' ) 2 2   x' y"− y ' x" NÕu L cã ph¬ng tr×nh trong to¹ ®é cùc: r=r(ϕ) thay (4) vµo (9) ®îc to¹ ®é cña khóc t©m I lµ:  r 2 + r '2  X = r cos ϕ − 2 (r ' sin ϕ + r cos ϕ )  r + 2r ' 2 −rr '  Y = r sin ϕ + r + r ' 2 2 (r ' cos ϕ − r sin ϕ )   r 2 + 2r ' 2 − rr ' (10) VÝ dô 6.3: X¸c ®Þnh khóc t©m cña Hypeb«n xy=1 t¹i M(1,1) vµ viÕt ph¬ng tr×nh ®êng trßn chÝnh khóc t¹i ®iÓm ®ã. y Tõ xy=1, ®¹o hµm hai vÕ ta ®îc: y+xý=0 hay y’= − x xy"− y 2 y . Do ®ã: y" = − = 2 x2 x
Trang -12 T¹i x=1, y=1 ta cã: y’= - 1, y”=2. VËy: 3 3 R= (1 + y ' ) = (1 + 1) = 2 2 2 2 y" 2 To¹ ®é khóc t©m lµ:  − 1(1 + 1) X = 1−  2 =2  Y = 1 + 1 + 1 = 2   2 Ph¬ng tr×nh cña ®êng trßn chÝnh khóc lµ: (x-2)2+(y-2)2=2 4. §êng tóc bÕ. §êng th©n khai §Þnh nghÜa: Ngêi ta gäi ®êng tóc bÕ cña ®êng cong L lµ quü tÝch, nÕu cã, cña c¸c khóc t©m cña ®êng ®ã. Nh vËy c¸c ph¬ng tr×nh (8), (9), (10) lµ ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng cong tóc bÕ t¬ng øng khi L cã ph¬ng tr×nh trong to¹ ®é §Ò C¸c, ph¬ng tr×nh tham sè vµ ph- ¬ng tr×nh trong to¹ ®é cùc. VÝ dô 6.5: T×m b¸n kÝnh chÝnh khóc vµ ®êng tóc bÕ cña Elip  x = a cos t  (a>b>0)  y = b sin t Ta cã: x’=- a sin t, y’= b cos t, x”= - a cos t, y”= - b sin t. 3 3 R= 1 = ( x' + y ' ) = (a sin t + b cos t ) 2 2 2 2 2 2 2 2 C x' y"− y ' x" ab Ph¬ng tr×nh tham sè cña tóc bÕ lµ:  a 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t a 2 − b 2  X = a cos t − b cos t = cos 3 t  ab a  Y = =b sin t − a sin t a sin t + b cos t = a − b sin 3 t 2 2 2 2 2 2   ab b
Trang -13 NÕu ®Æt c2=a2 – b2 ta cã:  c2  X = cos 3 t  a  2 Y = c sin 3 t   b §ã lµ ph¬ng tr×nh cña mÆt axtroit lÖch. §Þnh nghÜa: NÕu ®êng cong L nhËn ®êng cong Γ lµm ®êng tóc bÕ th× L ®îc gäi lµ ®êng th©n khai cña Γ. Tõ vÝ dô trªn ta thÊy Elip  x = a cos t  (a>b>0)  y = b sin t lµ th©n khi cña axtroit lÖch:  c2 x =  cos 3 t a  (c2=a2 – b2) c2  y = sin 3 t   b Ta thõa nhËn c¸c tÝnh chÊt sau ®ay cña ®êng tóc bÕ vµ th©n khai. TÝnh chÊt 1: Ph¸p tuyÕn t¹i mçi ®iÓm M(x,y) cña ®- êng cong L lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng tóc bÕ Γ cña L t¹i khuc t©m I øng víi M. Nh vËy tóc bÕ Γ cña mét ®êng cong L lµ ®êng tiÕp xóc víi hä ®¬ng ph¸p tuyÕn cña L t¹i c¸c khóc t©m. TÝnh chÊt 2: §é dµi cña mét cung trªn ®êng Γ b»ng trÞ sè tuyÖt ®èi cña hiÖu c¸c khóc t©m b¸n kÝnh cña th©n khai L cña nã t¹i hai mót cña cung Êy, nÕu däc theo cung Êy khóc b¸n kÝnh biÕn thiªn ®¬n ®iÖu. Nãi c¸c kh¸c, nÕu gäi ∆δ lµ sè gia cña mét cung trªn Γ, vµ ∆R lµ sè gia t¬ng øng cña khóc b¸n kÝnh trªn th©n khai cña nã th×: ∆δ = ∆R
Trang -14 6.3 H×nh häc vi ph©n trong kh«ng gian 1. ®êng cong trong kh«ng gian T¬ng tô nh trong mÆt ph¼ng, mäi ®êng cong L trong kh«ng gian ®Òu cã thÓ xem nh tèc ®å cña hµm vÐc t¬: → → → → OM = r (t ) = x(t ) i + y (t ) j + z (t ) k Nh vËy L cã ph¬ng tr×nh tham sè: {x=x(t), y=y(t), z=z(t)} VÝ dô 6.6: LËp ph¬ng tr×nh quü ®¹o cña ®iÓm M n»m trªn mÆt trô trßn xoay cã trôc Oz b¸n kÝnh a, cã chuyÓn ®éng võa quay trßn ®Òu quang trôc Oz víi vËn tèc ω, võa tÞnh tiÕn däc theo Oz víi vËn tèc kh«ng ®æi k. Quü ®¹o nµy ®îc gäi lµ ®êng ®inh èc trô xoay, H×nh chiÕu v«ng gãc trªn mÆt ph¼ng Oxy cña mäi ®iÓm M(x,y,z) trªn quü ®¹o ®Òu n»m trªn ®êng trßn t©m O, b¸n kÝnh a thuéc mÆt ph¼ng Êy. Gäi p lµ h×nh chiÕu cña M(x,y,z) trªn Oxy ta cã: → r = OM = OP + PM ChiÕu vÐc t¬ ®ã xuèng c¸c trôc to¹ ®é ta ®¬c: x=a cosϕ, y=a sinϕ, z=kt Trong ®ã t lµ thêi gian chuyÓn ®éng cña ®iÓm M tû lÖ víi gãc quay ϕ cña OP quanh O, do ®ã: ϕ=ωt hay ϕ t= . ϖ Coi t lµ tham sè ta cã ph¬ng tr×nh tham sè cña ®êng xo¸y ®inh èc lµ:
Trang -15  x = a cosϖ t   y = a sin ϖ t  z = kt  Cßn nÕu dung gãc quay ϕ lµm tham sè ta ®îc ph¬ng tr×nh:   x = a cos ϕ   y = a sin ϕ  k  z = ϕ = bϕ  ϖ 2. §é cong T¬ng tù nh trong mÆt ph¼ng, ta gäi ®é cong cña L t¹i M lµ giíi h¹n, nÕu cã: ∆α dα C(M0)= Mlim C tb = ∆s →0 lim = →M 0 ∆s ds NÕu L cã ph¬ng tr×nh tham sè:  x = x (t )   y = y (t )  z = z (t )  Khi ®ã: 2 2 2 x' y ' y' z' z ' x' + + C(M)= x" y" y" z" z" x" 3 ( x' + y ' + z ' ) 2 2 2 2 VÝ dô 6.7: tÝnh ®é cong t¹i ®iÓm bÊt kú cña ®êng ®inh èc. Sö dung ph¬ng tr×nh theo ϕ ta cã: x’=-a sinϕ, y’=a cosϕ, z’=b x”=-a cosϕ, y”=- a sinϕ, z”=0 Do:
Trang -16 − a sin ϕ a cos ϕ = a2 − a cos ϕ − a sin ϕ a cos ϕ b b − a sin ϕ = ab sin ϕ , = −ab cos ϕ − a sin ϕ 0 0 − a cos ϕ x' 2 + y ' 2 + z ' 2 = a 2 sin 2 ϕ + a 2 cos 2 ϕ + b 2 = a 2 + b 2 Nªn ta cã: a C(M)= 2 a + b2 VËy ®é cong cña ®êng xo¾n ®inh èc t¹i méi ®iÓm ®Òu b»ng nhau. − a sin ϕ a cos ϕ y ' z ' z ' x' + + C(M)= − a cos ϕ − a sin ϕ y" z" z" x" 3 ( x' 2 + y ' 2 + z ' 2 ) 2