Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải Toán

Chia sẻ: Thu Huong | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

156
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bằng thực tiễn lý luận đã khẳng định kiến thức tọa độ là cần thiết và không thể thiếu trong chương trình toán THPT. Tài liệu giúp các học sinh hiểu thêm ứng dụng phương pháp tọa độ để giải các bài tập toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ứng dụng phương pháp tọa độ vào giải Toán

I. MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bằng thực tiễn lý luận đã khẳng định kiến thức tọa độ là cần thiết và không thể thiếu trong chương trình toán THPT. Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là phương pháp cơ bản để giải các bài toán về hình học và đại số, nhìn thấy rõ nh ất là ở các bài toán hình h ọc l ớp và hình học không gian lớp 12 ứng dụng phương pháp tọa độ, hay h ơn nữa là các bài toán về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, hoặc bất đẳng thức, phương trình và bất phương trình… Để thấy các em thấy được tầm quan trọng của phương pháp tọa độ - phương pháp chuyển từ hình học Oclit sang việc nghiên cứu nó b ằng công c ụ đại số và giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm hướng dẫn h ọc sinh kh ối THPT có thêm một phương pháp nữa để giải toán. Trong thực tế, một số bài toán sẽ được giải quyết nhanh gọn, dễ hiểu h ơn nếu ta sử dụng PPTĐ để giải so với các phương pháp sơ cấp khác. II. Mục đích nghiên cứu Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau: - Đề xuất phương án xây dựng quy trình giải toán bằng PPTĐ - Nêu một số bài toán sử dụng PPTĐ và ví dụ minh họa III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu - Đối tượng: Học sinh khối THPT - Phạm vi: Chương trình toán ở THPT
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nhắc lại các kết quả của PPTĐ - Xây dựng quy trình giải toán bẳng PPTĐ. - Thực hành V.Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận - Tổng kết kinh nghiệm - Thực nghiệm 2
NỘI DUNG CHƯƠNG I: XÂY DỰNG QUY TRÌNH GIẢI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 1.Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ. uuuu uuu r r Điểm M trùng với N � OM = ON ( với O bất kỳ) . uur uu r r b) I là trung điểm của đoạn thẳng AB � IA + IB = 0 uu 1 uuu r r uuu r � OI = ( OA + OB ) ( Với O là điểm bất kì) 2 uuu r uuu uuu r r r c) G là trọng tâm của tam giác VABC � GA + GB + GC = 0 uuu 1 uuu r r uuu uuu r r VABC � OG = ( OA + OB + OC ) , với O là điểm bất kỳ. 3 uuur uuu r d) §êng th¼ng a song song víi ®êng th¼ng b � AB = kCD ( k � ) R uuu r uuu r ( víi vect¬ AB cã gi¸ lµ a, CD vect¬ cã gi¸ lµ b ) uuu r uuu r e) Ba ®iÓm A, B, C th¼ng hµng � AB = k BC ( k � ) R f) §êng th¼ng a vu«ng gãc víi ®êng th¼ng b uuu uuu r r � AB .CD = 0 uuu r uuu r ( víi vect¬ AB cã gi¸ lµ a, CD vect¬ cã gi¸ lµ b ) g) TÝnh ®é dµi ®o¹n th¼ng AB uuur uuu 2 r Sö dông c«ng thøc AB = AB = AB 2.DiÔn ®¹t ng«n ng÷ vect¬ b»ng ng«n ng÷ to¹ ®é Trong hÖ trôc to¹ ®é Oxy uuuu uuu r r x1 = x2 a) OM = ON víi M ( x1 ; y1 ) vµ N ( x2 ; y2 ) y1 = y2 uu r uu r r x1 + x2 y1 + y2 b) IA + IB = 0 I( ; ) víi A ( x1 ; y1 ) vµ B ( 2 2 x2 ; y2 ) 3
uuu r uuu uuu r r r x1 + x2 + x3 y1 + y2 + y3 c) GA + GB + GC = 0 G( ; ) 3 3 víi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) vµ C ( x3 ; y3 ). r r d) Vect¬ a vµ vect¬ b cïng ph¬ng � x1 y2 − x2 y1 = 0 r r víi a ( x1 ; y1 ), b ( x2 ; y2 ). r r e) a ⊥ b � x1 y1 + x2 y2 = 0 uuur uuu 2 r g) AB = AB = AB = ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 )2 Ch¬ng 3 : Thùc hµnh ph¬ng ph¸p híng dÉn häc sinh líp 10 gi¶i to¸n h×nh häc b»ng ph¬ng ph¸p to¹ ®é I. Mét sè chó ý trong gi¶ng d¹y vÊn ®Ò PPT§ 1.CÇn híng dÉn häc sinh «n tËp lµm cho häc sinh n¾m v÷ng kiÕn thøc vect¬ ®Æc biÖt lµ c¸c kiÕn thøc vÒ to¹ ®é cña c¸c phÐp to¸n trªn c¸c vect¬ ®Ó lµm c¬ së cho viÖc nghiªn cøu to¹ ®é . 2.CÇn cho häc sinh thÊy râ sù t¬ng øng 1 – 1 gi÷a c¸c tËp hîp ®iÓm vµ tËp hîp sè. -Trªn ®êng th¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét sè thùc x¸c ®Þnh. -Trªn mÆt ph¼ng : mçi ®iÓm øng víi mét cÆp sè thùc s¾p thø tù. Tõ ®©y dÇn dÇn lµm næi bËt cho häc sinh thÊy ®îc r»ng mçi h×nh trong mÆt ph¼ng lµ mét tËp hîp ®iÓm s¾p thø tù theo mét quy t¾c nµo ®ã, do vËy mçi h×nh ®ã ®îc x¸c ®Þnh bëi mét hÖ r»ng buéc nhÊt ®Þnh t¬ng øng nµo ®ã vÒ mèi liªn hÖ gi÷a c¸c to¹ ®é cña c¸c ®iÓm trªn h×nh ®ã, thÓ hiÖn häc sinh ph¶i cã c¸c kü n¨ng c¬ b¶n sau : + Khi lÊy M thuéc h×nh H th× c¸c to¹ ®é cña M ph¶i tho¶ m·n hÖ r»ng buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh H. 4
+ Ngîc l¹i nÕu cã ®iÓm M cã to¹ ®é tho¶ m·n hÖ r»ng buéc vÒ c¸c to¹ ®é ®iÓm cña h×nh H th× M thuéc hinh H. II. Híng dÉn häc sinh gi¶i to¸n b»ng PPT§ Víi nh÷ng bµi to¸n h×nh häc ph¼ng cã chøa c¸c quan hÖ h×nh häc : th¼ng hµng, song song, vu«ng gãc ... hay cã chøa c¸c yÕu tè kho¶ng c¸ch, tÝnh gãc, nÕu ta chän hÖ to¹ ®é thÝch hîp th× ta cã thÓ chuyÓn vÒ bµi to¸n ®¹i sè víi quan hÖ gi÷a c¸c sè vµ gi÷a c¸c vect¬, gi÷a c¸c phÐp to¸n. C¸c bµi to¸n nµy rÊt cã kh¶ n¨ng t×m ra ®îc lêi gi¶i, thËm chÝ cßn rÊt ng¾n gän. ViÖc gi¶i bµi tËp b»ng PPT§ ®ßi hái häc sinh ph¶i ®îc luyÖn tËp vËn dông tæng hîp c¸c kiÕn thøc liªn quan. • Häc sinh cÇn n¾m ®îc quy tr×nh : - Chän hÖ trôc to¹ ®é thÝch hîp ( ®©y lµ vÊn ®Ò mÊu chèt cña bµi to¸n, nÕu chän thÝch hîp th× bµi toan sÏ ®îc gi¶i quyÕt nhanh gän ). - Phiªn dÞch bµi to¸n ®· cho sang ng«n ng÷ vect¬ - ChuyÓn bµi to¸n tõ ng«n ng÷ vect¬ sang ng«n ng÷ to¹ ®é. - Dïng c¸c kiÕn thøc to¹ ®é ®Ó gi¶i to¸n. - Phiªn dÞch kÕt qu¶ tõ ng«n ng÷ to¹ ®é sang ng«n ng÷ h×nh häc. III. Mét sè d¹ng to¸n c¬ b¶n D¹ng 1 : Bµi to¸n chøng minh 2 ®o¹n th¼ng vu«ng gãc Bµi 1 : Cho VABC c©n t¹i A. Gäi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB, G lµ träng t©m VACM . Gäi I lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp VABC . Chøng minh r»ng GI ⊥ CM . Gi¶i : Híng dÉn : Do VABC c©n t¹i A nªn ta chän hÖ to¹ ®é cã trôc oy qua A vµ vu«ng gãc BC, ox qua BC. Tõ gt ta ®i t×m to¹ ®é cña c¸c ®iÓm I, G, M theo to¹ ®é cña 3 ®iÓm A, B, C uu uuuu r r TÝnh to¹ ®é cña vect¬ GI , CM . 5
uu uuuu r r Sau ®ã xÐt GI .CM . Lêi gi¶i : - Gäi O lµ trung ®iÓm c¹nh ®¸y BC - Dựng hÖ to¹ ®é Oxy ( nh h×nh vÏ ) - C¸c ®iÓm A, B, C cã to¹ ®é A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ). ( ë ®©y gi¶ sö BC = 2a, Oa = h ). Do M lµ trung ®iÓm cña −a h AB nªn M ( ; ) 2 2 M lµ träng t©m VAMC 1 1 a a xG = ( x A + xC + xM ) = (0 + a − ) = 3 3 2 6 1 1 h h yG = ( y A + yC + yM ) = ( h + 0 + ) = 3 3 2 2 a h VËy to¹ ®é cña ®iÓm G lµ G ( ; ). 6 2 uuu − a h r uuu r Gäi I ( 0 ; y0 ) � IM ( ; − y0 ). mµ AB ( 0 ; - h ) uuu uuu 2 uuu uuu r r 2r r Theo gi¶ thiÕt IM ⊥ AB � IM . AB = 0 −a h Hay ( ).( − a ) + ( − y0 ).(−h ) = 0 2 2 a 2 h2 � − + y0 h = 0 2 2 h2 − a 2 � y0 = 2h 6
h2 − a 2 VËy ®iÓm I cã to¹ ®é lµ I (0; ) 2h uur a h h2 − a2 uuuu r −a h −3a h � IG = ( ; − ). Ta cã CM = ( − a; ) = ( ; ). 6 2 2h 2 2 2 2 uuruuuu r − a2 h2 h2 a2 � IG CM = + − + = 0. uur uuuu r 4 4 4 4 VËy IG ⊥ CM ( ®pcm ). Chó ý : C¸ch gi¶i trªn kh«ng phô thuéc vµo gãc A lµ nhän, vu«ng hay tï. NÕu gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p to¸n häc thuÇn tuý, th× khi vÏ h×nh th× ph¶i xÐt 3 trêng hîp trªn. §ã còng chÝnh lµ lîi thÕ cña PPT§. Bµi 2 : Cho h×nh vu«ng ABCD c¹nh a, M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña DC vµ CB. Chøng minh r»ng AM ⊥ DN . Gi¶i : Híng dÉn : - §Ó cho bµi to¸n ®îc ®¬n gi¶n nhÊt ta chän hÖ trôc to¹ ®é sao cho D trïng víi O, 2 c¹nh AD, DC n»m trªn 2 truc ox vµ oy. - T×m to¹ ®é cña M, N uuuu uuur r - XÐt AM . DN Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh h×nh vÏ ). - Trong hÖ to¹ ®é nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) vµ B ( a ; a). a a Khi ®ã M ( ;0), N ( ( a ; ) 2 2 7
uuuu r a uuur a � AM = ( ; − a ); DN = ( a ; ). 2 2 uuuu ruuur a a Do ®ã AM DN = . a + ( − a ) . = 0 hay AM ⊥ DN ( ®pcm ). 2 2 Bµi 3 : Trªn cung AB cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ABCD ta lÊy ®iÓm M kh¸c A vµ B. Gäi P, Q, R, S lµ h×nh chiÕu cña M trªn c¸c ®o¹n th¼ng AD, AB, BC, CD. Chøng minh r»ng PQ ⊥ RS vµ giao ®iÓm cña chóng n»m trªn 1 trong 2 ®êng chÐo cña h×nh ch÷ nhËt ABCD . Gi¶i : Híng dÉn : - NÕu gäi O lµ t©m h×nh ch÷ nhËt ABCD th× O còng lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ®ã. - Do ®ã ta chän gèc trôc to¹ ®é lµ O, c¸c trôc th× song song víi c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt. - T×m to¹ ®é cña P, Q, R, S theo to¹ ®é cña A, B, C, D. - ViÕt ph¬ng tr×nh cña PQ, RS , AC, BD. Lêi gi¶i : - Gäi O lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt ABCD ( tøc còng lµ t©m cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp h×nh ch÷ nhËt ). - Dùng hÖ to¹ ®é Oxy( nh h×nh vÏ ),( trôc ox, oy lÇn lît song song víi AD, AB ). - Gi¶ sö b¸n kÝnh ®êng trßn lµ R. Ph¬ng tr×nh ®- êng trßn : x2 + y2 = R2 8
- Trong hÖ trôc to¹ ®é nµy gi¶ sö to¹ ®é c¸c ®Ønh ABCD cña h×nh ch÷ nhËt lµ : A (-a;-b), B (- a;b), C (a;b), D (a;-b) AC2 = 4R2 = 4a2 + 4b2 Suy ra a2 + b2 = R2. Gi¶ sö M (x0; y0) bÊt kú thuéc cung AB nªn x 02 + y02 = R2 Ta cã to¹ ®é h×nh chiÕu P, Q, R, S lµ: P (x0;-b), Q (-a;y0), R (x0;b), S (a;y0). Suy ra uuu r uur u PQ = ( − a − x0 ; y0 + b ), RS = ( a − x0 ; y0 − b ). Nªn uuu u ruur PQRS = − a 2 + x0 2 + y0 2 − b 2 = 0 VËy PQ ⊥ RS . §êng th¼ng PQ ®i qua P (x0;-b) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn r n = ( y0 + b ; a + x0 ) Nªn cã ph¬ng tr×nh PQ lµ : ( b + y0 )( x − x0 ) + ( a + x0 )( y + b ) = 0 � ( b + y0 ) x + ( a + x0 ) y − x0 y0 + ab = 0 T¬ng tù ph¬ng tr×nh RS lµ : ( b − y0 )( x − a ) − ( x0 − a )( y − y0 ) = 0 � ( b − y0 ) x + ( a − x0 ) y + x0 y0 − ab = 0 Gäi I ( xI ; yI ) lµ giao ®iÓm cña PQ vµ RS th× ta cã ( xI ; yI ) lµ nghiÖm cña hÖ ( b + y0 ) x + ( a + x0 ) y − x0 y0 + ab = 0 (1) sau : ( b − y0 ) x + ( a − x0 ) y + x0 y0 − ab = 0 (2) Céng vÕ víi vÕ cña (1) vµ (2) ta ®îc bx + ay = 0 Suy ra bxI + ayI = 0 (3) Do ®iÓm B (-a;b), D (a;-b) nªn ph¬ng tr×nh ®¬ng chÐo BD cã d¹ng : 9
( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0 Hay ay + bx = 0. Tõ ®¼ng thøc (3) chøng tá I ( xI ; yI ) BD (®pcm ). D¹ng 2 : Bµi to¸n quü tÝch Bµi 4 : Cho VABC , M lµ ®iÓm di ®éng trªn c¹nh BC. H¹ MN, PQ t¬ng øng vu«ng gãc vµ song song víi AB ( N AB, Q BC ). Gäi P lµ h×nh chiÕu cña Q trªn AB, I lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt MNPQ. T×m quü tÝch t©m I khi M ch¹y trªn c¹nh AB. Gi¶i : Híng dÉn : - Gäi O lµ ch©n ®êng cao h¹ tõ C xuèng AB. - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho A ox, oy qua BC - T×m to¹ ®é cña N, Q, I theo to¹ ®é cña ®iÓm A, B, C, M - T×m mèi liªn hÖ tung ®é vµ hoµnh ®é cña ®iÓm I chó y ®iÒu kiÖn cña ®iÓm M Lêi gi¶i : - Gäi O lµ ch©n ®êng x y cao h¹ tõ C xuèng AB + =1 a h - Chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy ( nh h×nh vÏ ). Gi¶ sö to¹ ®é c¸c ®Ønh A, B, C lµ : A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0 Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB theo ®o¹n ch¾n : Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng BC theo ®o¹n ch¾n : x y + = 1 . Gi¶ sö MQ cã ph¬ng tr×nh y = m b h (0 m h ) To¹ ®é cña ®iÓm Q lµ nghiÖm cña hÖ ph¬ng tr×nh 10
�=m y �=m y � � a � x y �� a �Q ( ( h − m ); m) �+ h =1 �a �= h ( h − m ) � x h b T¬ng tù ta cã : M ( ( h − m ); m) . To¹ ®é cña ®iÓm P lµ h a P ( ( h − m );0) h Gäi I lµ t©m cña h×nh ch÷ nhËt ABCD. Suy ra I lµ trung diÎm cña MP 1 ( a + b )( h − m ) xI = ( xM + xP ) = (1) 2 2h xI Y Khi ®ã � + I = 1 (*) 1 m a+b h y I = ( yM + y p ) = (2) 2 2 2 2 2x Tõ (1) suy ra m = h(1− I ) a+b (2) suy ra m = 2yI . V× 0 m h nªn 2 xI a−b 0 xI � h(1− 0 ) h � 2 � a+b � (**) � 2y � y c 0 I h 0 I 2 Tõ (*) vµ (**) suy ra quü tÝch t©m I cña h×nh ch÷ nhËt MNPQ lµ ®o¹n KH, ë ®©y K, H lÇn lît lµ trung ®iÓm cña OC vµ AB. (đpcm) Chó ý : Mäi lËp luËn ë ®©y kh«ng phô thuéc vµo h×nh d¸ng cña VABC Bµi 5 : Cho ®êng trßn ( C ) cã ®êng kÝnh AB kh«ng ®æi, mét ®iÓm M di ®éng trªn ( C ). Gäi H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB. T×m quü tÝch trung ®iÓm I cña MH. Gi¶i : Híng dÉn : - §Ó ph¬ng tr×nh cña ®êng trßn ®¬n gi¶n ta chän hÖ trôc to¹ ®é cã gèc O trïng víi t©m O cña ®êng trßn - Trôc Ox ®i qua AB - T×m to¹ ®é trung ®iÓm I cña MH theo to¹ ®é ®iÓm M 11
- T×n mèi liªn hÖ gi÷a tung ®é vµ hoµnh ®é cña ®iÓm I Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é xI = x0 Oxy ( nh h×nh vÏ ) x0 = xI y �� y0 �� I ( x0 ; 0 ). AB yI = y0 = 2 yI 2 - §Æt R = , R lµ 2 2 kh«ng ®æi . §êng trßn ( C ) cã ph¬ng tr×nh : x2 + y2 = R2 . XÐt ®iÓm M ( x0; y0 ) ( C ) � x0 2 + y0 2 = R 2 (1) H lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB H ( x0; 0 ) I lµ trung ®iÓm cña MH xI 2 yI 2 Thay vµo (1) � xI + 4 yI = R hay � 2 2 2 + 2 =1 (2 R ) 2 R 2 xI yI 2 Chøng tá quü tÝch I lµ elip (E) : + = 1 ®é dµi (2 R ) 2 R 2 trôc lín lµ 2R, trôc bÐ lµ R. D¹ng 3 : Bµi to¸n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh §iÓm M ( x0; y0 ) ®îc gäi lµ ®iÓm cè ®Þnh cña hä ®å thÞ ®· cho nÕu mäi ®å thÞ cña hä ®ã øng víi mäi gi¸ trÞ m A ®Òu ®i qua M Trong ®ã gi¶ sö y = f ( m, x ) , m A lµ tham sè Bµi 7 : Cho gãc vu«ng Oxy, ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt cã chu vi kh«ng ®æi, A, C lµ 2 ®iÓm thay ®æi thuéc Ox, Oy. Chøng minh r»ng ®êng d vu«ng gãc kÎ tõ B vu«ng gãc víi ®êng chÐo AC lu«n ®i qua 1 ®iÓm cè ®Þnh. Gi¶i Híng dÉn : 12
- Bµi to¸n nµy cã d¸ng dÊp cña 1 bµi to¸n ®¹i sè t×m ®iÓm cè ®Þnh, v× thÕ rÊt thuËn tiÖn khi ta ®¹i sè ho¸ b»ng PPT§. - §Ó ®¬n gi¶n ta chän ngay hÖ trôc to¹ ®é lµ Oxy trïng víi gãc Oxy. Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é x y Oxy ( nh h×nh vÏ ) ch¾n lµ : + =1 a c - Trong hÖ trôc to¹ ®é −c nµy gi¶ sö �y= x+c a A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c) §Æt a + c = b = const ( v× chu vi OABC kh«ng ®æi ). Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB theo ®o¹n Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d qua B (a; c) vµ vu«ng gãc víi AC cã d¹ng : a a a2 y− c = ( x−a) � y = x +c − c c c a a � y = x + b(1 − ) do a + c = b c c Gi¶ sö d ®i qua ®iÓm cè ®Þnh M ( x 0; y0 ). Khi ®ã a a a y0 = x0 + b(1 − ) ∀ c c c a a � ( x0 − b) − ( y0 − b ) = 0 ∀ c c �0 − b = 0 x �0 = b x �� 0 − b = 0 y �0 = b y Do b kh«ng ®æi chøng tá d lu«n ®i qua diÓm cè ®Þnh M ( b; b ). (®pcm ) 13
D¹ng 4 : Mét sè bµi to¸n ¸p dông kh¸c Bµi 8: Cho VABC vu«ng t¹i A, AB = c, AC= b. M n»m trªn c¹nh BC sao cho gãc BAM b»ng α . Chøng minh r»ng bc AM = . c cos α + b sin α Gi¶i : Híng dÉn : - §Ó thuËn tiÖn ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho 2 c¹nh gãc vu«ng cña n»m trªn 2 trôc to¹ ®é - Gi¶ sö M (x; y) uuuu r uuu r - Dùa vµo ®iÒu kiÖn vect¬ CM vµ CB vect¬ cïng ph- ¬ng ®Ó chøng minh. Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é ph¬ng mµ uuuu r Oxy ( nh h×nh vÏ ) CM ( AM cos α AM sin α - c ) - Trong hÖ to¹ ®é nµy A (0; 0), B (b; 0), C (0; c) Gi¶ sö M (x; y) x = AM cos α y = AM sin α Do ®ã M ( AM cos α ; AM sin α ). uuuur V× M BC nªn vect¬ CM uuu r vµ CB vect¬ cïng uuu r vµ CB ( b; - c ) nªn AM cos α .(- c) - ( AM sin α - c). b = 0 c AM cos α + b AM sin α - bc = 0 bc Hay AM = (®pcm). c cos α + b sin α Bµi 9 : Cho VABC cã trùc t©m H. Trªn ®o¹n HB, HC lÊy ®iÓm B1, C1 sao cho gãc AB1C vµ gãc AC1B b»ng 1 vu«ng. Chøng minh r»ng AB1 = AC1. Gi¶i : Híng dÉn : 14
- Do bµi to¸n cho trùc t©m H nªn ta chän hÖ trôc to¹ ®é Oxy sao cho H n»m trªn Oy, BC n»m trªn Ox. - Gi¶ sö B1 ( x1; y1) - Dùa vµo ®iÒu kiÖn vu«ng gãc tÝnh AB 1 theo to¹ ®é ®iÓm A, B, C vµ B1 - T¬ng tù tÝnh AC1 Lêi gi¶i : - Chän hÖ trôc to¹ ®é c ( x- b) - h( y – Oxy ( nh h×nh vÏ ) 0 ) = 0 - Trong hÖ to¹ ®é nµy A (0; h), B (b; 0), C (c; 0) , ( ë ®©y h, c > 0, b < 0 ) uuu r Ta cã AC = (c; - h). Theo gt BH ⊥ AC §êng cao BH qua B (b; 0) vµ cã vect¬ ph¸p tuyÕn uuu r AC = (c; - h) nªn cã ph¬ng tr×nh : cx – hy – bc = 0 . Gäi B1 ( x1; y1) do B1 BH cx1 – hy1 – bc = 0 cx1 – hy1 = bc (1) uuur uuur Ta cã AB1 = ( x1; y1 – h ), CB1 = ( x1 – c; y1) uuur uuur uuuruuur V× AB1 ⊥ CB1 � AB1 CB1 = 0 hay x1( x1 – c ) + y1( y1 – h ) = 0 � x1 + y1 − cx1 − hy1 = 0 (2) 2 2 MÆt kh¸c : AB12 = x12 + ( y 1 – h )2 = x 12 + y12 - 2hy1 + h2 = ( x 12 + y12 - hy1 - cx1 ) + ( cx1 – hy1 ) + h2 (3) Thay (1),(2) vµo (3) ta ®îc AB1 = bc + h2 T¬ng tù ta cã : AC1 = bc + h2 Tõ ®ã suy ra AB1 = AC1 (®pcm). 15
KÕt luËn Trong ch¬ng tr×nh to¸n PTTH hiÖn nay, PPT§ ®îc xem lµ ph¬ng ph¸p to¸n häc c¬ b¶n vµ c©n thiÕt, kÕt hîp víi ph¬ng ph¸p tæng hîp ta gi¶i quyÕt ®îc c¸c ®èi tîng trªn mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian. PPT§ lµ c«ng cô chñ yÕu ë ch¬ng tr×nh h×nh häc líp 10 vµ líp 12 cho nªn viÖc híng dÉn häc sinh l¬p 10 gi¶i bµi to¸n h×nh häc ph¼ng b»ng nµy lµ cÇn thiÕt. Ngoµi viÖc gióp c¸c em cñng cè kiÕn thøc vÒ to¹ ®é cßn gióp c¸c em thÊy râ ®îc øng dông to lín cña ph¬ng ph¸p nµy trong bµi to¸n h×nh häc ph¼ng vµ lµ tiÒn ®Ò ®Ó c¸c em häc tèt h¬n trong ch¬ng tr×nh h×nh häc líp 12. Thùc tÕ cho thÊy nhiÒu bµi to¸n h×nh häc ph¼ng gi¶i b»ng PPT§ cho lêi gi¶i ng¾n gän, dÔ hiÓu h¬n so víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c. VËy khi gi¶i b»ng PPT§ häc sinh cÇn biÕt c¸ch phiªn dÞch yªu cÇu vµ ®Ò bµi cña bµi to¸n sang ng«n ng÷ to¹ ®é, sau ®ã dïng kiÕn thøc to¹ ®é ®Ó gi¶i to¸n, cuèi cïng lµ chuyÓn kÕt qu¶ tõ ng«n ng÷ to¹ ®é 16
sang ng«n ng÷ h×nh häc. CÇn híng dÉn cho häc sinh chän trôc to¹ ®é §ecac thÝch hîp. Do tr×nh ®é cßn h¹n chÕ vµ thêi gian lµm bµi viÕt nµy cßn Ýt nªn bµi viÕt nµy kh«ng tr¸nh khái sù s¬ xuÊt mong c¸c thÇy c« vµ c¸c b¹n th«ng c¶m. Cuèi cïng, em xin ch©n thµnh c¶m ¬n thÇy Bïi §øc Thä vµ c¸c thÇy c« trong tæ To¸n trêng THPT D¬ng X¸ ®· tËn t×nh híng dÉn em ®Ó hoµn thµnh bµi viÕt nµy vµ d¹y dç em trong suèt thêi gian thùc tËp . 17