Vận dụng định lý cauchy về thặng dư trong giải tích phức vào tính các tích phân dạng fxdx, với fx là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị

Chia sẻ: Cường Nguyễn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Định lý Cauchy được sử dụng nhiều trong việc tính các tích phân phức cũng như các tích phân thực mà ta khó hoặc không thể tính được bằng các phương pháp thông thường. Nghiên cứu đưa ra phương pháp sử dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan để tính các tính phân dạng f x dx ( )    với f x( ) là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vận dụng định lý cauchy về thặng dư trong giải tích phức vào tính các tích phân dạng fxdx, với fx là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN VẬN DỤNG ĐỊNH LÝ CAUCHY VỀ THẶNG DƯ TRONG  GIẢI TÍCH PHỨC VÀO TÍNH CÁC TÍCH PHÂN DẠNG  f ( x)dx ,  VỚI f ( x) LÀ HÀM HỮU TỈ CÓ BẬC CỦA MẪU LỚN HƠN BẬC CỦA TỬ ÍT NHẤT HAI ĐƠN VỊ APPLYING CAUCHY’S THEOREM ON THE SURPLUS IN COMPLEX ANALYSIS ON SOLVING THE INTEGRAL OF  THE FORM  f ( x)dx WITH f ( x) IS A RATIONAL FUNCTION  WHOSE DEGREE OF DENOMINATOR IS GREATER THAN DEGREE OF NUMERATOR AT LEAST TWO UNITS Hồ Thị Hồng Liên Trường Cao đẳng CNTT Hữu nghị Việt - Hàn, Phòng Chính trị và Công tác sinh viên honglien121283@yahoo.com Tóm tắt Định lý Cauchy được sử dụng nhiều trong việc tính các tích phân phức cũng như các tích phân thực mà ta khó hoặc không thể tính được bằng các phương pháp thông thường. Nghiên cứu đưa ra phương pháp sử dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan để tính các tính phân dạng   f ( x)dx với f ( x) là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị.  Từ khóa: Số phức; giải tích phức; lý thuyết thặng dư; tích phân thực; tích phân phức. Abstract Cauchy’s theothem is used in solving complex integrals as well as real integerals that are difficutl or impossible to solve using conventional methods. This research provides a method  using Cauchy’s theothem and the Jordan’s lemma to solve the integrals of the form  f ( x)dx  31 CHUYÊN ĐỀ CÔNG NGHỆ VÀ GIÁO DỤC - 10 (12-2018) with f(x) is a rational function whose degree of denominator is greater than degree of numerator at least two units. Keywords: Complex; complex analysis; theory of surplus; real integrals; complex integrals. 1. Đặt vấn đề Trong giải tích thực, việc tính tích phân nhiều khi ta gặp các tích phân mà việc tính toán chúng rất phức tạp mất rất nhiều thời gian, hoặc khó có thể tính được chúng bằng phương pháp tích phân thông thường. Tuy nhiên, nếu mở rộng ra trong giải tích phức thì việc tính toán một số tích phân này trở nên dễ dàng hơn, thậm chí ta có thể tính được cả các tích phân dạng tổng quát. Việc vận dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan để tính các tích phân thực cũng đã được một số giáo trình đề cập trong giải tích phức, tuy nhiên còn chung chung chưa có đưa ra phương pháp  cụ thể cho từng dạng tích phân. Dạng tích phân  f ( x)dx với f ( x) là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu  lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị là một trong những dạng mà ta có thể ứng dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan đề tính, cũng là một trong số các tích phân có nhiều ứng dụng nhưng ta gặp khó khăn khi tính chúng trong giải tích thực. Trong khuôn khổ nghiên cứu, tác giả trình bày phương  pháp áp dụng định lý Cauchy và các bổ đề Jordan trong việc tính các tích phân dạng  f ( x)dx  với f(x) là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị. Phương pháp này sẽ giúp chúng ta giải quyết được một số bài toán tích phân dạng này một cách dễ dàng. 2. Nội dung 2.1. Định lý Cauchy về thặng dư và bổ đề Jordan 2.1.1. Định lý Cauchy về thặng dư Giả sử hàm số f(z) giải tích trong miền  trừ một số hữu hạn điểm bất thường cô lập a1 , a2 , ..., an . Khi đó mọi đường Jordan  trơn kín nằm trong , giới hạn một miền G chứa tất cả các điểm ak , k  1, n thì ta có: n   f ( z ) dz  2 i  R es[ f ( z ); ak ]. k 1 Chứng minh. Gọi k là các đường tròn  z  ak  rk . Với rk đủ bé sao cho các hình tròn Bk   z  ak  rk   G và Bk  Bk   , k  k . 32 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN  1 a1 a2 a3  2 3 Hình 1 n Đặt G*  G \  Bk . Xét hàm f(z) trên G* (f(z) giải tích trên G*) nên theo định lý tích phân k 1 Cauchy cho miền đa liên ta có: f ( z ) dz  0  G* ( G * là biên của miền G) Mặt khác:  f ( z )dz  G*  f ( z ) dz n   k k 1 Suy ra: n  f ( z ) dz   n   n f ( z ) dz    f ( z ) dz  2 i  R es  f ( z ); ak .  k k 1  k k 1 k 1 2.1.2. Bổ đề Jordan Giả sử hàm số f ( z ) là hàm giải tích trừ một số hữu hạn điểm bất thường cô lập và thỏa mãn: lim  zf ( z )   0 z  Khi đó: lim R   f ( z ) dz  0. C ( R) Trong đó, C ( R) là nửa trên của đường tròn z  R. 33 CHUYÊN ĐỀ CÔNG NGHỆ VÀ GIÁO DỤC - 10 (12-2018) Chứng minh Vì phương trình của R có dạng z  Rei ,0     . Ta có:  lim R   R f ( z ) dz   f  Rei Ri ei d 0 Từ giả thiết lim  zf ( z )   0 ta có: Với mọi  > 0 (bé tùy ý), ta luôn tìm được N > 0 sao cho z  z  R  N kéo theo zf ( z )  R f  Rei    . Suy ra:   f ( z )dz    d   .  f ( z ) dz  0. R Hay: lim R  0 R  2.2. Áp dụng tính các tích phân dạng  f ( x)dx , với f ( x) là hàm hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn  bậc của tử ít nhất hai đơn vị Để tính các tích phân dạng này ta sử dụng định lý Cauchy và bổ đề Jordan đề chứng minh định lý sau: Định lý 1: Giả sử f(z) là phân thức hữu tỉ sao cho bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất hai đơn vị, có các cực điểm ak với k = 1...p nằm trong nửa mặt phẳng trên và có các cực điểm đơn bj với j = 1...q nằm trên trục thực. Khi đó ta có:    p q f ( x) dx  2 i Re s  f ( z ); ak    i  Re s  f ( z ); b j  k 1 j 1 Chứng minh. Để đơn giản, ta xét trường hợp f (z) có một cực điểm a thuộc nửa mặt phẳng trên và một cực điểm đơn b nằm trên trục thực. Trường hợp tổng quát chứng minh tương tự. R a  b -R Hình 2 Kí hiệu:  R : z  R, imz  0,  : z   , imz  0. 34 R TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN HỮU NGHỊ VIỆT - HÀN    R    R, b       b   , R  Theo định lý Cauchy về thặng dư:  f ( z )dz    f ( z ) dz  f ( z )dz     R , b   R  f ( z )dz   f ( z ) dz b   , R   p  2 i Re s  f ( z ); ak  k 1 Vì f(z) là phân thức hữu tỉ có bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử ít nhất 2 đơn vị nên theo bổ đề Jordan, ta có lim R   f ( z ) dz  0. Suy ra: R    f ( x) dx  lim R  , 0 f ( z )dz     R , b   lim R  ,  0 f ( z ) dz  b   , R  p  2 i Re s  f ( z ); ak   lim  f ( z ) dz  0 k 1 Do b là cực điểm đơn nên f ( z )  (1)  c1  g ( z ) với g(z) là phần đều của f(z) trong khai triển z b Laurent nên g(z) giải tích trong lân cận b. Suy ra hàm g(z) bị chặn trên . Do đó:  M  0 : z   , g ( z )  M   g ( z)dz     g ( z ) dz  M   d  M   0  0 0 Tham số hóa cung : z  b   eit , t   0,  . Tính trực tiếp tích phân   c1 dz   i Re s  f ( z ); b  . Thay vào (1) ta được điều phải z b chứng minh. Bây giờ ta xét một vài ví dụ minh họa cho chứng minh lẫn việc áp dụng định lý trên.  Ví dụ 1. Tính tích phân I   0 dx  x  1 2 n ,  n   . 35