vật lý hạt nhân hiện đại (phần i: cấu trúc hạt nhân): phần 2

Ch­¬ng 3<br /> CÊu tróc h¹t nh©n<br /> H¹t nh©n nguyªn tö lµ mét<br /> <br /> hÖ nhiÒu h¹t phøc t¹p, ®­îc cÊu tróc tõ c¸c nucleon<br /> <br /> liªn kÕt víi nhau bëi t­¬ng t¸c m¹nh.<br /> <br /> Nãi chung, ®Ó m« t¶ ®­îc cÊu tróc h¹t<br /> <br /> nh©n trong mét tr¹ng th¸i vËt lý, ta ph¶i gi¶i ph­¬ng tr×nh Schroedinger cho<br /> hµm sãng vµ n¨ng l­îng cña h¹t nh©n trong tr¹ng th¸i nµy<br /> <br /> ˆ<br /> HA ΨA = EA ΨA .<br /> <br /> (3.1)<br /> <br /> Tõ ch­¬ng 1.2 ta ®· biÕt r»ng n¨ng l­îng liªn kÕt trung b×nh cña mét nucleon<br /> trong h¹t nh©n lµ kho¶ng 8 MeV, nhá h¬n nhiÒu n¨ng l­îng nghØ cña nucleon<br /> (mc<br /> <br /> 2<br /> <br /> ≈ 938 MeV). Ngoµi ra, ®éng n¨ng trung b×nh cña mét nucleon trong h¹t<br /> <br /> nh©n lµ kho¶ng<br /> <br /> Ekin ≈ 20 ∼ 40<br /> <br /> trong h¹t nh©n sÏ lµ kho¶ng<br /> víi<br /> <br /> v 2 /c2 ≈ 0.04 ∼ 0.09).<br /> <br /> MeV nªn vËn tèc chuyÓn ®éng cña nucleon<br /> <br /> v ≈<br /> <br /> √<br /> <br /> 2Ekin /m ≈ 0.2 c ∼ 0.3 c<br /> <br /> (t­¬ng øng<br /> <br /> Do ®ã, d¹ng ph­¬ng tr×nh Schroedinger cña<br /> <br /> häc l­îng tö kh«ng t­¬ng ®èi tÝnh<br /> <br /> c¬<br /> <br /> (non-relativistic quantum mechanics) lµ mét<br /> <br /> ®iÓm khëi ®Çu hîp lý cña c¸c ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu cÊu tróc h¹t nh©n. Cho<br /> ®Õn nay, hai c¸ch tiÕp cËn chÝnh ®Ó gi¶i ph­¬ng tr×nh (3.1) lµ c¸c<br /> vi m«<br /> <br /> (microscopic approach) vµ c¸c<br /> <br /> mÉu tËp thÓ<br /> <br /> (collective model).<br /> <br /> Trong c¸c ph­¬ng ph¸p vi m«, to¸n tö Hamiltonian<br /> c¸c bËc tù do nucleon<br /> <br /> vµ hµm sãng<br /> <br /> ΨA<br /> 95<br /> <br /> ph­¬ng ph¸p<br /> <br /> ˆ<br /> HA<br /> <br /> ®­îc<br /> <br /> x©y dùng trªn<br /> <br /> còng ®­îc t×m d­íi d¹ng hµm phô<br /> <br /> thuéc t­êng minh vµo c¸c täa ®é kh«ng gian (r ), spin (s) vµ spin ®ång vÞ (t)<br /> cña tõng nucleon<br /> <br /> ˆ<br /> HA = −<br /> <br /> A<br /> ∑<br /> i=1<br /> <br /> 1∑<br /> +<br /> v(i, j),<br /> 2<br /> A<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2m<br /> <br /> ▽2<br /> i<br /> <br /> (3.2)<br /> <br /> i̸=j<br /> <br /> ΨA = Ψ(r 1 , s1 , t1 ; r 2 , s2 , t2 ; ... ; r A , sA , tA ).<br /> T­¬ng t¸c cÆp<br /> <br /> v(i, j) = vNN (i, j) + vC (i, j),<br /> <br /> gi÷a hai nucleon<br /> <br /> i<br /> <br /> vµ<br /> <br /> j , vC (i, j)<br /> <br /> víi<br /> <br /> vNN (i, j)<br /> <br /> (3.3)<br /> <br /> lµ t­¬ng t¸c m¹nh<br /> <br /> lµ t­¬ng t¸c tÜnh ®iÖn Coulomb gi÷a<br /> <br /> i<br /> <br /> vµ<br /> <br /> j<br /> <br /> khi c¶ hai ®Òu lµ proton. VÒ nguyªn t¾c, ph­¬ng tr×nh (3.1)-(3.2) chØ cã thÓ<br /> gi¶i chÝnh x¸c ®­îc cho h¹t nh©n víi<br /> cã<br /> <br /> A<br /> <br /> 4,<br /> <br /> A=2<br /> <br /> vµ<br /> <br /> A = 3.<br /> <br /> §èi víi c¸c h¹t nh©n<br /> <br /> ph­¬ng tr×nh chØ cã thÓ gi¶i ®­îc b»ng mét ph­¬ng ph¸p<br /> <br /> gÇn ®óng<br /> <br /> (approximation) thÝch hîp. Ngoµi ra, c¬ chÕ t­¬ng t¸c m¹nh gi÷a hai nucleon<br /> rÊt phøc t¹p nªn mçi mét ph­¬ng ph¸p gÇn ®óng ®Ó gi¶i bµi to¸n cÊu tróc h¹t<br /> nh©n cßn ph¶i ®­îc g¾n víi mét m« h×nh tin cËy cña<br /> gÇn ®óng nh­ vËy th­êng ®­îc gäi lµ mét<br /> <br /> vNN .<br /> <br /> Mét ph­¬ng ph¸p<br /> <br /> mÉu cÊu tróc vi m«<br /> <br /> (microscopic<br /> <br /> structure model).<br /> Kh¸c víi c¸c mÉu vi m«, c¸c<br /> <br /> mÉu cÊu tróc tËp thÓ<br /> <br /> ®­îc x©y dùng tõ c¸c<br /> <br /> bËc tù do ®Æc tr­ng cho toµn bé h¹t nh©n mµ hay ®­îc gäi lµ<br /> <br /> c¸c täa ®é tËp thÓ<br /> <br /> (collective coordinates). ThÝ dô nh­ vector b¸n kÝnh t©m khèi<br /> ®iÖn tø cùc h¹t nh©n<br /> <br /> R<br /> <br /> vµ moment<br /> <br /> Q2<br /> <br /> ∑<br /> 1∑<br /> 2<br /> r i , Q2m =<br /> ri Y2m (ˆ i ).<br /> R=<br /> r<br /> A i=1<br /> i=1<br /> A<br /> <br /> A<br /> <br /> (3.4)<br /> <br /> Sau khi hµm Lagrangian h¹t nh©n ®­îc x©y dùng dùa trªn c¸c täa ®é tËp thÓ<br /> vµ mét vµi th«ng sè vËt lý vÜ m«, hµm nµy ®­îc l­îng tö hãa ®Ó thu ®­îc<br /> Hamiltonian<br /> <br /> ˆ<br /> HA<br /> <br /> cho ph­¬ng tr×nh (3.1). Tõ hÖ thøc (3.4) ta dÔ thÊy lµ c¸c<br /> <br /> täa ®é tËp thÓ còng cã thÓ ®­îc biÓu diÔn qua c¸c täa ®é t­¬ng øng cña tõng<br /> nucleon trong h¹t nh©n vµ v× thÕ c¸c mÉu cÊu tróc tËp thÓ th­êng cã c¬ së vi<br /> m« x©y dùng trªn c¸c bËc tù do nucleon.<br /> <br /> 96<br /> <br /> 3.1<br /> <br /> C¸c mÉu cÊu tróc h¹t nh©n vi m«<br /> <br /> Tõ n¨m 1935 Hans Bethe (gi¶i th­ëng Nobel, cha ®Î cña vËt lý thiªn v¨n h¹t<br /> nh©n) ®· ®­a ra gi¶ thuyÕt r»ng c¸c nucleon trong h¹t nh©n cã thÓ ®­îc m« t¶<br /> gÇn ®óng nh­ hÖ c¸c nucleon kh«ng t­¬ng t¸c víi nhau nh­ng ®­îc liªn kÕt<br /> bëi mét<br /> <br /> thÕ ®¬n h¹t<br /> <br /> (single-particle potential)<br /> <br /> Us.p. .<br /> <br /> Ta dÔ dµng thu ®­îc m«<br /> <br /> h×nh ®¬n gi¶n nµy khi biÓu diÔn Hamiltonian (3.2) d­íi d¹ng<br /> <br /> A<br /> ∑[<br /> ˆA =<br /> H<br /> −<br /> i=1<br /> <br /> ]<br /> A<br /> A<br /> ∑<br /> 1∑<br /> 2<br /> ▽ + Us.p. (r i ) +<br /> v(i, j) −<br /> Us.p. (r i ).<br /> 2m i<br /> 2<br /> i=1<br /> 2<br /> <br /> (3.5)<br /> <br /> i̸=j<br /> <br /> NÕu ta chän mét thÕ ®¬n h¹t<br /> <br /> Us.p.<br /> <br /> sao cho hai sè h¹ng cuèi trong Hamiltonian<br /> <br /> (3.5) triÖt tiªu nhau th× Hamiltonian h¹t nh©n cã thÓ biÓu diÔn ®­îc d­íi d¹ng<br /> tæng c¸c Hamiltonian ®¬n h¹t cña tõng nucleon trong h¹t nh©n<br /> <br /> ˆ<br /> HA =<br /> <br /> A<br /> ∑<br /> <br /> A<br /> ∑[<br /> ˆ<br /> Hi =<br /> −<br /> <br /> i=1<br /> <br /> i=1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2m<br /> <br /> ]<br /> ▽2 + Us.p. (r i ) .<br /> i<br /> <br /> (3.6)<br /> <br /> Ph­¬ng tr×nh Schroedinger (3.1) víi Hamiltonian h¹t nh©n x¸c ®Þnh theo (3.6)<br /> chÝnh lµ<br /> <br /> mÉu ®¬n h¹t ®éc lËp<br /> <br /> (independent particle model, viÕt t¾t lµ IPM) do<br /> <br /> Bethe ®­a ra tõ n¨m 1935. Tuy lµ mét gi¶ thuyÕt kh¸ ®¬n gi¶n, IPM chÝnh lµ<br /> mÉu cÊu tróc vi m« ®Çu tiªn vµ lµ c¬ së nÒn t¶ng ®Ó x©y dùng mÉu vá h¹t nh©n<br /> sau nµy.<br /> <br /> 3.1.1<br /> <br /> MÉu khÝ Fermi<br /> <br /> D¹ng thÕ ®¬n gi¶n nhÊt cña mÉu IPM cã thÓ ®­îc xÐt ®Õn lµ<br /> <br /> hép thÕ vu«ng<br /> <br /> (square potential well). Trong tr­êng hîp nµy h¹t nh©n ®­îc xÐt gÇn ®óng nh­<br /> mét hép khèi chøa<br /> <br /> A<br /> <br /> nucleon chuyÓn ®éng ®éc lËp kh«ng t­¬ng t¸c víi nhau<br /> <br /> vµ ®­îc liªn kÕt bëi mét hép thÕ vu«ng c¹nh<br /> <br /> a,<br /> <br /> víi<br /> <br /> Us.p. (0 < x < a) = 0<br /> <br /> Us.p. (x = 0 hoÆc x = a) = ∞ vµ t­¬ng tù cho c¸c täa ®é y<br /> 97<br /> <br /> vµ<br /> <br /> vµ<br /> <br /> z . Trong mÉu vi<br /> <br /> m« ®¬n gi¶n nµy, mµ cßn ®­îc gäi lµ<br /> <br /> mÉu khÝ Fermi<br /> <br /> (Fermi gas model), hµm<br /> <br /> sãng ®¬n h¹t cña mçi nucleon ®­îc x¸c ®Þnh tõ ph­¬ng tr×nh Schroedinger sau<br /> <br /> −<br /> Tõ ®iÒu kiÖn biªn<br /> <br /> 2<br /> <br /> 2m<br /> <br /> ▽2 ψ(r) = Eψ(r), r = (x, y, z).<br /> <br /> (3.7)<br /> <br /> ψ(r) = 0 trªn bÒ mÆt cña hép thÕ (khi mét trong 6 ®iÒu kiÖn<br /> <br /> sau ®­îc tháa m·n:<br /> <br /> x = 0, x = a, y = 0, y = a, z = 0, z = a),<br /> <br /> ta dÔ dµng<br /> <br /> thu ®­îc nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh (3.7) d­íi d¹ng<br /> <br /> ψ(x, y, z) ∼ sin(kx x) sin(ky y) sin(kz z)<br /> and kx a = nx π, ky a = ny π, kz a = nz π,<br /> víi<br /> <br /> nx , n y<br /> <br /> vµ<br /> <br /> nz<br /> <br /> (3.8)<br /> (3.9)<br /> <br /> lµ c¸c sè nguyªn d­¬ng. TrÞ riªng cña ph­¬ng tr×nh (3.7) ®­îc<br /> <br /> x¸c ®Þnh víi mçi bé ba gi¸ trÞ (nx , ny , nz ) nh­ sau<br /> <br /> 2<br /> <br /> E(nx , ny , nz ) =<br /> HÖ thøc (3.10) cho ta<br /> <br /> 2m<br /> <br /> phæ gi¸n ®o¹n<br /> <br /> 2<br /> (kx<br /> <br /> +<br /> <br /> 2<br /> ky<br /> <br /> +<br /> <br /> 2<br /> kz )<br /> <br /> ≡<br /> <br /> 2 2<br /> <br /> k<br /> .<br /> 2m<br /> <br /> (3.10)<br /> <br /> (discrete spectrum) c¸c møc n¨ng l­îng<br /> <br /> cña c¸c tr¹ng th¸i ®¬n nucleon (3.8). Vector xung l­îng cña nucleon ®­îc x¸c<br /> ®Þnh theo<br /> <br /> p = k.<br /> <br /> Trong kh«ng gian ba chiÒu cña vector<br /> l­îng<br /> <br /> k<br /> <br /> mµ ®­îc gäi lµ<br /> <br /> kh«ng gian xung<br /> <br /> (momentum space) mçi tr¹ng th¸i ®¬n nucleon ®­îc hoµn toµn x¸c ®Þnh<br /> <br /> trong mét h×nh lËp ph­¬ng cã c¹nh<br /> <br /> π/a vµ thÓ tÝch lµ (π/a)3 . Theo yªu cÇu cña<br /> <br /> nguyªn lý Pauli, tr¹ng th¸i ®¬n nucleon trªn ph¶i lµ duy nhÊt trong mét h×nh<br /> lËp ph­¬ng nh­ vËy vµ ta cã sè tr¹ng th¸i ®¬n nucleon cho phÐp trong kho¶ng<br /> kh«ng gian xung l­îng n»m gi÷a<br /> <br /> k<br /> <br /> vµ<br /> <br /> k + dk<br /> <br /> 4πk 2 dk<br /> 1<br /> , k = |k|.<br /> dn(k) = × 4 ×<br /> 8<br /> (π/a)3<br /> HÖ sè 1/8 ®¶m b¶o chØ xÐt c¸c gi¸ trÞ d­¬ng cña<br /> <br /> kx , ky<br /> <br /> c¸c tr¹ng th¸i ®¬n nucleon cho phÐp trong toµn bé líp<br /> hÖ sè 4 lµ<br /> <br /> hÖ sè suy biÕn<br /> <br /> vµ<br /> <br /> (3.11)<br /> <br /> kz<br /> <br /> lµ ®ñ cho tÊt c¶<br /> <br /> k n»m gi÷a k vµ k + dk ;<br /> <br /> (degeneracy factor) spin vµ spin ®ång vÞ cña nucleon,<br /> <br /> 98<br /> <br /> t­¬ng øng víi c¸c h×nh chiÕu<br /> <br /> sz = ±1/2<br /> <br /> vµ<br /> <br /> tz = ±1/2.<br /> <br /> th¸i ®¬n nucleon cho phÐp trong kho¶ng n¨ng l­îng<br /> ®­îc x¸c ®Þnh theo<br /> <br /> ∫<br /> <br /> k<br /> <br /> n(k) =<br /> 0<br /> NÕu<br /> <br /> kF<br /> <br /> 0<br /> <br /> Tæng sè c¸c tr¹ng<br /> <br /> ε<br /> <br /> 2 2<br /> <br /> E=<br /> <br /> k /(2m)<br /> <br /> 4π<br /> k3<br /> ×<br /> .<br /> dn(k )dk =<br /> 3<br /> 2(π/a)3<br /> ′<br /> <br /> ′<br /> <br /> (3.12)<br /> <br /> lµ xung l­îng t­¬ng øng víi møc n¨ng l­îng ®¬n h¹t cao nhÊt (n¨ng<br /> <br /> l­îng Fermi) th× sè khèi<br /> <br /> A cña h¹t nh©n cã thÓ ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau<br /> <br /> 3<br /> 4π<br /> kF<br /> 2V 3<br /> A=<br /> ×<br /> ≡ 2 kF ,<br /> 3<br /> 2(π/a)3<br /> 3π<br /> víi<br /> <br /> (3.13)<br /> <br /> V = a3 lµ thÓ tÝch cña hép khèi vu«ng c¹nh a. Tõ ®ã, mËt ®é nucleon trong<br /> <br /> hép khèi vµ xung l­îng Fermi cã thÓ ®­îc biÓu diÔn qua nhau theo<br /> <br /> 2 3<br /> ρ = A/V = 2 kF ⇒ kF =<br /> 3π<br /> <br /> (<br /> <br /> 3π 2 ρ<br /> 2<br /> <br /> )1/3<br /> <br /> .<br /> <br /> (3.14)<br /> <br /> Víi mËt ®é nucleon trung b×nh trong t©m c¸c h¹t nh©n trung b×nh vµ nÆng<br /> (A<br /> <br /> 12)<br /> <br /> kF ≈ 1.36<br /> <br /> lµ<br /> <br /> ρ ≈ 0.17<br /> <br /> 3<br /> nucleon/fm ta dÔ dµng x¸c ®Þnh ®­îc xung Fermi<br /> <br /> −1<br /> fm<br /> vµ n¨ng l­îng Fermi<br /> <br /> εF =<br /> <br /> 2 2<br /> kF /(2m)<br /> <br /> ≈ 38.7<br /> <br /> MeV. §éng<br /> <br /> n¨ng trung b×nh cña nucleon trong mÉu khÝ Fermi ®­îc x¸c ®Þnh theo<br /> ∫ εF<br /> <br /> ⟨Ekin ⟩ =<br /> <br /> 1<br /> A<br /> <br /> 0<br /> <br /> 3<br /> εdn(ε)dε = εF ≈ 23.2 MeV.<br /> 5<br /> <br /> NÕu ta m« t¶ h¹t nh©n gÇn dóng nh­ mét qu¶ cÇu víi b¸n kÝnh<br /> <br /> (3.15)<br /> <br /> R<br /> <br /> vµ thÓ tÝch<br /> <br /> V = 4πR3 /3, th× dÔ thu ®­îc tõ hÖ thøc (3.14)<br /> R = r0 A1/3 , r0 ≈ 1.12 fm, kF r0 ≈ 1.52.<br /> <br /> (3.16)<br /> <br /> Tuy lµ mét m« h×nh cÊu tróc vi m« ®¬n gi¶n cña h¹t nh©n, mÉu khÝ Fermi cung<br /> cÊp cho chóng ta nh÷ng kiÕn thøc c¬ së tèi thiÓu ®Ó tiÕp tôc hiÓu ®­îc c¸c mÉu<br /> cÊu tróc h¹t nh©n vi m« phøc t¹p. Ngoµi ra, mÉu khÝ Fermi cßn ®­îc dïng ®Ó<br /> tÝnh to¸n mËt ®é c¸c møc kÝch thÝch n¨ng l­îng cao trong c¸c nghiªn cøu ph¶n<br /> øng dÉn tíi<br /> <br /> h¹t nh©n hîp phÇn<br /> <br /> (compound nucleus) hoÆc ®Ó ®¸nh gi¸ sè h¹ng<br /> <br /> ®èi xøng trong c«ng thøc khèi b¸n thùc nghiÖm (1.11) cña n¨ng l­îng liªn kÕt<br /> h¹t nh©n...<br /> <br /> 99<br /> <br />