Về định lý Vevanlinna Cartan cho đường cong chỉnh hình

Chia sẻ: Thi Thi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

42
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Năm 2004, M. Ru đã chứng minh một dạng định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ chỉnh hình giao với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Ông đã giải quyết một giả thuyết của B.Shiffman đặt ra vào năm 1979 về quan hệ số khuyết cho các ánh xạ dạng này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về định lý Vevanlinna Cartan cho đường cong chỉnh hình

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 VỀ ĐNNH LÝ NEVANLINNA - CARTAN CHO ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH Nguyễn Trường Giang (Trường Cao đẳng Công nghệ và Kinh tế công nghiệp) 1. Giới thiệu Năm 2004, M. Ru đã chứng minh một dạng định lý cơ bản thứ hai cho các ánh xạ chỉnh hình giao với các siêu mặt ở vị trí tổng quát. Ông đã giải quyết một giả thuyết của B.Shiffman đặt ra vào năm 1979 về quan hệ số khuyết cho các ánh xạ dạng này. Năm 2006 Yan – Chen đã chứng minh: Cho đường cong chỉnh hình f : ℂ → P n (ℂ) không suy biến đại số, Dj, 1 ≤ j ≤ q là các siêu mặt trong P n (ℂ) ở vị trí tổng quát với bậc dj. Với mỗi ε > 0 , tồn tại một số nguyên dương q M sao cho: (q − (n + 1) − ε)Tf (r) ≤ ∑ d −j 1 N fM (r, D j ) + o(Tf (r)), trong đó bất đẳng thức đúng với mọi j =1 r đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn. 2. Kết quả nghiên cứu Trước hết, chúng ta đưa ra các ký hiệu chuNn trong lý thuyết Nevanlinna. Giả sử f : ℂ → P n (ℂ) là một ánh xạ chỉnh hình khác hằng, f = (f0 :…: fn) là dạng rút gọn của f, trong đó f0, …, fn là những hàm nguyên trên ℂ không có không điểm chung và ít nhất một trong chúng khác hằng. Hàm đặc trưng Nevanlinna - Cartan Tf(r) của hàm f được định nghĩa như sau Tf (r) = 1 2π 2π ∫ log f(re iθ ) dθ trong đó f(z) = max { f0 (z) ,..., fn (z) } . 0 Giả sử D là một siêu mặt trong P n (ℂ) có bậc d, gọi Q là đa thức thuần nhất (n + 1) biến, bậc d với các hệ số trong ℂ định nghĩa D. Hàm xấp xỉ của hàm f ứng với siêu mặt D được định nghĩa bởi 1 m f (r, D ) = m f (r, Q ) = 2π 2π ∫ log 0 f (re iθ ) d Q (f )(re iθ ) d θ. Gọi nf(r, D) là số các không điểm của hàm Q f trong đĩa z < r kể cả bội, n fM (r, D) là số các không điểm của hàm Q f trong đĩa z < r bội chặn bởi một số nguyên dương M. Hàm đếm được định nghĩa bởi r N f (r, D) = N f (r, Q) = ∫ 0 n f (t, D) − n f (0, D) dt + n f (0, D) log r. t Tương tự, chúng ta có định nghĩa về hàm đếm bị chặn N M f (r, D). Bây giờ, chúng ta định nghĩa thứ tự từ điển cho các bộ m – tuples (i1 ,..., i m ) ∈ ℕ m của các số nguyên. Nghĩa là, (j1 ,..., jm ) > (i1 ,..., i m ) nếu và chỉ nếu tồn tại b ∈ {1,....,m} ta có jl = il với mọi l ib. Với một bộ n-tuples (i) = (i1,…,in) các số nguyên không âm, ta kí hiệu σ ( i) = ∑ i j . Với một số nguyên dương lớn N, ta kí hiệu VN là không gian các đa thức thuần j nhất bậc N trong ℂ[x 0 ,..., x n ] . 148 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 Giả sử g1, …, gn ∈ ℂ[x 0 ,..., x n ] là các đa thức thuần nhất bậc d sao cho chúng định nghĩa một đa tạp con trong P n (ℂ) có số chiều bằng 0. Ta xây dựng một cái lọc của VN như sau: sắp xếp lại theo trật tự từ điển các bộ n-tuples N (i) các số nguyên không âm sao cho σ(i) ≤ . d Định nghĩa không gian W(i) = WN,(i) bởi W(i) = ∑ g1e1 ...g enn VN − dσ (i) . Định lý cơ bản thứ nhất. Giả sử f : ℂ → P n ((e)ℂ≥)(i)là một ánh xạ chỉnh hình và D là một siêu mặt bậc d trong P n (ℂ) . Nếu f (ℂ) ⊄ D thì với mọi số thực r với 0 < r < ∞ ta có m f (r, D) + N f (r, D) = dTf (r) + O(1) trong đó O(1) là một hằng số độc lập với r. Trong [1], Ru đã chứng minh Định lý A. Giả sử f : ℂ → P n (ℂ) là ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số và Dj, 1 ≤ j ≤ q , là các siêu mặt trong P n (ℂ) bậc dj tương ứng ở vị trí tổng quát. Khi đó với mỗi ε > 0 , ta có q ∑d j =1 −1 j m f (r, D j ) ≤ (n + 1 + ε )Tf (r) trong đó bất đẳng thức đúng với mọi r > 0 nằm ngoài một tập E có độ đo Lebesgue hữu hạn. Kết quả chính trong bài báo này đưa ra một bị chặn tốt hơn cho vế phải của bất đẳng thức trên thông qua hàm đếm bị chặn. Định lý được phát biểu như sau: Định lý 1. Giả sử f : ℂ → P n (ℂ) là một ánh xạ chỉnh hình không suy biến đại số và Dj, 1 ≤ j ≤ q , là các siêu mặt trong P n (ℂ) bậc dj tương ứng ở vị trí tổng quát. Khi đó với mỗi ε > 0 , tồn tại một số nguyên dương M sao cho q (q − (n + 1) − ε)Tf (r) ≤ ∑ d j−1N fM (r, Dj ) + o(Tf (r)) j =1 trong đó bất đẳng thức đúng với mọi r > 0 nằm ngoài một tập E có độ đo Lebesgue hữu hạn. Để chứng minh Định lý 1, ta cần đến các bổ để sau. Bổ để 1. Tồn tại một đẳng cấu W(i) ≅ VN − d σ (i ) . W(i') (g1 ,..., gn ) ∩ VN − d σ (i ) Bây giờ ta tiếp tục sử dụng bổ đề trên để đánh giá số chiều của không gian thương của hai không gian liên tiếp trong lọc. Ta kí hiệu số chiều đó là δ(i) . Bổ đề 2. Tồn tại một số nguyên dương N0 chỉ phụ thuộc vào g1, …, gn sao cho W δ (i) = dim (i) = d n . W(i') W Với điều kiện d σ(i) < N − N0 . Hơn nữa, với bộ n-tuples (i) đó, dim (i) là bị chặn bởi dim VN0 . W(i') Việc chứng minh hai bổ đề trên ta có thể xem trong [1]. 149 T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ - Sè 2(46) Tập 2/N¨m 2008 Định lý B. ([2]) Giả sử f = (f0 :…: fn): f : ℂ → P n (ℂ) là một ánh xạ chỉnh hình mà ảnh của nó không bị chứa trong bất kỳ một không gian con tuyến tính nào. Giả sử H1, …,Hq là các siêu phẳng phân biệt trong P n (ℂ) . Gọi Lj, 1 ≤ j ≤ q là các dạng tuyến tính định nghĩa H1, …,Hq. Kí hiệu W(f0,…,fn) là Wronskian của f0, …,fn. Khi đó 2π f (reiθ ) L j dθ log ∏ + NW (r, 0) ≤ (n + 1)Tf (r) + o(Tf (r)) ∫0 max iθ K j∈K L j ( f )(re ) 2π trong đó tổng trên lấy trên tất cả các tập con K của {1, …, q} sao cho các dạng tuyến { } { } tính Lj, j ∈ K là độc lập tuyến tính và f (z) = max f j (z) : j = 0, n ; L j = max L j : j = 0, n . Kết luận Việc tiếp tục phát triển lý thuyết giá trị phân bố cho ánh xạ chỉnh hình và n/c các ứng dụng của lý thuyết đó trong các lĩnh vực khác nhau của toán học đã thu hút được sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới, và dạng định lý cơ bản thứ hai được đưa ra trong bài báo này cũng đã đóng góp vào sự phát triển lý thuyết giá trị phân bố cho các ánh xạ chỉnh hình trên ℂ . Tóm tắt Trong bài báo này đã trình bày lại một dạng định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình f : ℂ → P n (ℂ) giao với siêu mặt Dj, 1 ≤ j ≤ q trong P n (ℂ) ở vị trí tổng quát với bậc dj được đưa ra như sau: Với mỗi ε > 0 , tồn tại một số nguyên dương M sao cho q (q − (n + 1) − ε)Tf (r) ≤ ∑ d −j 1 N fM (r, D j ) + o(Tf (r)) . j =1 trong đó bất đẳng thức đúng với mọi r đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn. Summary A weak Cartan-type second theorem for holomorphic curve intersecting hypersurfaces q In 1933, H. Cartan proved a defect relation ∑ δ f (H j ) ≤ n + 1 for a linearly nonj =1 degenerate holomorphic curve f : ℂ → P n (ℂ) and hyperplanes Hj, 1 ≤ j ≤ q in P n (ℂ) in general position. In 1979, B.Shiffman conjectured that if f : ℂ → P n (ℂ) is an algebraically nondegenerate holomorphic map and D1, …,Dq are hypersurfaces in P n (ℂ) in general position then q δ f (D j ) ≤ n + 1 . Recently, M.Ru established a defect relation for algebraically non- degenerate ∑ j = 1 holomorphic curve f : ℂ → P n (ℂ) intersecting hypersurfaces D1, …,Dq in P n (ℂ) in general position. In this paper, the authors [3] give a weak Cartan-type second theorem for holomorphic curves f : ℂ → P n (ℂ) intersecting hypersurfaces Dj, 1 ≤ j ≤ q in P n (ℂ) in general position with degree dj, that is: for every ε > 0 q, there exists a positive integer M such that (q − (n + 1) − ε)Tf (r) ≤ ∑ d −j 1 N fM (r, D j ) + o(Tf (r)). j =1 Where “||” means the estimate holds for all large r outside a set of finite Lebesgue measure, which is a generalization of Ru’s result. Tài liệu tham khảo [1].Ru, M(2004): "A defect relation for holomorphic curve interesting hypersurface. Amer".Journal of Math 126, 215 – 226 [2]. Ru, M. (1997): On a general form of the second theorem Trans.Amer.Math.Soc. 349, 5093 – 5105. [3] . Yan – Chen (2006): Weak Cartan-type second Main Theorem for Holomorphic Curves. 150