Về giá trị đặc biệt của L-hàm spinor ứng với dạng cusp Siegel bậc 3

TẠP CHÍ KHOA HỌC<br /> Khoa học Tự nhiên và Công nghệ, Số 8(3/2017) tr. 23 - 30<br /> <br /> VỀ GIÁ TRỊ ĐẶC BIỆT CỦA L-HÀM SPINOR<br /> ỨNG VỚI DẠNG CUSP SIEGEL BẬC 3<br /> Đỗ Anh Tuấn4<br /> Học viện Kĩ thuật Quân Sự<br /> Tóm tắt: Trong bài báo này, chúng tôi tính toán giá trị đặc biệt của L-hàm spinor tổng quát ứng với dạng<br /> cusp Siegel bậc 3. Những giá trị này phân tích thành tích dạng Petersson của bình phương đối xứng của hàm<br /> Ramanujan  và dạng cusp trọng số 20 trên (SL2)với một số hữu tỷ và một lũy thừa của . Chúng tôi sử dụng<br /> công thức Rankin-Selberg và áp dụng phép chiếu chỉnh hình để tính những giá trị này.<br /> Từ khóa: Giá trị đặc biệt, L-hàm, dạng cusp Siegel.<br /> <br /> 1. Giới thiệu<br /> Trong Toán học, việc nghiên cứu các giá trị đặc biệt của các L-hàm có vai trò quan<br /> trọng. Một trong những ví dụ tiêu biểu nhất là giả thuyết được phát triển bởi Birch và<br /> Swinnerton-Dyer trong những năm đầu thập niên 60 của thế kỷ trước. Giả thuyết này liên<br /> quan đến giá trị của L-hàm ứng với đường cong elliptic epsilon tại điểm s  1 với hạng của<br /> đường cong elliptic trên trường các số hữu tỷ (số các phần tử sinh tự do của nhóm các điểm<br /> hữu tỷ của nó).<br /> Một lý do khác dẫn tới việc nghiên cứu giá trị đặc biệt của L-hàm đó là tính đại số của<br /> các giá trị này. Cho f   an q n  Sk (0 ( N ), ) là dạng cusp trọng số k  2 với đặc trưng<br /> n1<br /> <br /> Dirichlet  mod N , L-hàm tương ứng với f là:<br /> L( s, f ,  )    (n)an n s .<br /> n 1<br /> <br /> Theo định lý của Shimura [14] và Manin [10] tồn tại hai hằng số phức khác không<br /> c ( f ), c ( f ) <br /> <br /> <br /> <br /> (gọi là chu kỳ của f ), sao cho s  1, 2,..., k  1 và với mọi đặc trưng<br /> <br /> Dirichlet  với tính chẵn lẻ cố định: (1)k s  (1)  1 , giá trị đặc biệt chuẩn hóa là các số<br /> <br /> (2 i) s ( s)<br /> <br /> đại số. Nghĩa là, L* ( s, f ,  ) <br /> <br /> c ( f )<br /> <br /> L( s, f ,  )  .<br /> <br /> Mục đích của bài báo này là chỉ ra tại mỗi điểm tới hạn s ta có thể chỉ ra số hữu tỷ hiện<br /> R( s) và lũy thừa của  sao cho<br /> <br /> L(s, F12 , Sp,  )  R(s)  s ,  g20 , g20 .<br /> Những<br /> <br /> điểm<br /> <br /> tới<br /> <br /> hạn<br /> <br /> của<br /> <br /> L(s, F12 , Sp,  )<br /> <br /> được<br /> <br /> chỉ<br /> <br /> ra<br /> <br /> bởi<br /> <br /> Deligne<br /> <br /> s 12,13,14,15,16,17,18,19.<br /> Ngày nhận bài: 31/8/2016. Ngày nhận đăng: 25/9/2016<br /> Liên lạc: Đỗ Anh Tuấn, e - mail: doanhtuan_ktqs@yahoo.com<br /> <br /> 4<br /> <br /> 23<br /> <br /> Theo Miyawaki và Ikeda, L-hàm spinor ứng với dạng cusp Siegel bậc 3 F12 được xây<br /> dựng từ tích của ba L-hàm Dirichlet bậc 1 như sau:<br /> <br /> L(s, F12 , Sp,  )  L(s,   g20 ,  ) L(s  9, ,  ) L(s 10, ,  ) (1).<br /> Định lý này là điểm xuất phát trong bài báo của chúng tôi. Chúng tôi tính toán kết quả<br /> theo hai bước: đầu tiên tính giá trị L(s,   g20 ,  ) tại tất cả các điểm tới hạn và sau đó tính<br /> L(s  9, ,  ) L(s 10, ,  ) . Chúng tôi sử dụng công thức Ranking-Selberg biểu diễn L-hàm<br /> <br /> dưới dạng tích phân trên miền cơ bản. Tích phân này có thể viết được dưới dạng tích vô<br /> hướng Petersson, và để tính giá trị của nó chúng tôi sử dụng phép chiếu chỉnh hình. Trước<br /> nghiên cứu của chúng tôi đã có một số tính toán về giá trị đặc biệt của L-hàm chuẩn tắc và Lhàm spinor cho dạng cusp Siegel bậc 3 [3,5,17]. Tuy nhiên, những tính toán cho L-hàm spinor<br /> trong các công trình của Vankov và Chiera [3,17] chỉ xét với đặc trưng Dirchlet   1 . Bài<br /> báo này tính toán giá trị đặc biệt của L-hàm spinor ứng với dạng cusp Siegel bậc 3 với đặc<br /> trưng Dirichlet  bất kỳ.<br /> 2. Một số khái niệm và ký hiệu<br /> Trước hết ta nhắc lại khái niệm về nhóm Simpletic Sp3 ( ) được định nghĩa như sau:<br /> <br /> 0 13 <br /> Sp3 ( )  M  M 6 ( ) | MJ 3 M T  J 3  , J 3  <br /> <br />  13 0 <br /> Khi đó dạng cusp Siegel F12 trọng số 12 bậc 3 tương ứng với nhóm Simpletic Sp3 ( )<br /> được xác định trên nửa mặt phẳng Siegel<br /> H3  Z  Z T  X  iY | X , Y  M 3 ( ), Y  0<br /> <br /> Khai triển Fourier của F12 có dạng như sau:<br /> <br /> F12  1.q<br /> <br />  1<br /> 1 2<br /> 1<br />  1<br /> 2<br /> 1 1<br />  2 2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> <br /> <br />  164.q<br /> <br /> 1 0 0<br /> 0 1 0<br /> 0 0 1 <br /> <br />  1328.q<br /> <br /> <br /> 3<br /> <br /> 0<br /> <br /> 1<br />  2<br /> <br /> 1<br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> 2<br /> <br /> 0<br /> <br />  1008.q<br /> <br /> 2 0 0<br /> 0 1 0 <br /> 0 0 1<br /> <br />  131776.q<br /> <br /> 2<br /> 1<br /> 1<br /> <br /> 1 1<br /> 2 1<br /> 1 2<br /> <br />  ... ,<br /> <br /> ở đây q N  e2 iTr(NZ )<br /> Giả sử f là dạng cusp Siegel trọng số k , giống bằng n với p -tham biến Satake<br /> <br />  0 , 1 ,...,  n . Khi đó L-hàm spinor ứng với f được định nghĩa dưới dạng tích Ơle:<br /> n<br /> <br /> <br /> s<br /> <br /> L( s, F12 , Sp,  )   (1   0  ( p) p  s )<br /> (1<br /> <br /> <br /> <br /> ...<br /> <br /> <br /> (<br /> p<br /> )<br /> p<br /> )<br /> <br /> 0 i1<br /> ir .<br /> <br /> <br /> p <br /> r 11i1i2 ...ir n<br /> <br /> 1<br /> <br /> 24<br /> <br /> Cho f, g là hai dạng cusp trọng số k bậc 1 với hệ số Fourier tương ứng là an và bn . Ta<br /> <br /> <br /> nhắc lại định nghĩa L-hàm Dirichlet ứng với f và g : L( s, f , g ,  )   anbn  (n)n  s và L-hàm<br /> n1<br /> <br /> Rankin ứng với hai dạng cusp f và g được xác định bởi:<br /> <br /> L(s, f  g ,  )  LN (2s 2  k  l,  ) L( s, f , g,  ), trong đó L-hàm LN  s, χ  được định<br /> nghĩa bởi Panchishkin [2].<br /> 3. Nội dung chính<br /> 3.1. Tính giá trị L(s,   g20 ,  )<br /> Số hạng đầu tiên L(s,   g20 ,  ) là bình phương đối xứng của dạng cusp  . L-hàm<br /> này đã được xét đến rất đầy đủ bởi Rankin, Zagier, Li, Sturn và nhiều tác giả khác [8,9,14] .<br /> Sử dụng công thức của Rankin và Zagier [13,17], ta được giá trị của L(s,   g20 ,  ) tại các<br /> điểm các điểm tới hạn. Để tính giá trị này ta sử dụng phép chiếu chỉnh hình<br /> <br /> (4 )19<br /> L( s,   g 20 ,  ) <br />  g 20 , Hol ((4 y) s 19 E8 ( z, s  19))<br /> 2( s)<br /> trong đó Hol là toán tử chiếu trên không gian vectơ chiều 1 sinh bởi dạng cusp Siegel<br /> g 20 . Ta có:<br /> (4 ) s<br /> g 20  ( s )E8,1 ( z , s  19) y s 1dxdy<br /> <br /> 2( s) <br /> <br /> L( s,   g 20 ,  ) <br /> <br /> <br /> <br /> (4 ) s<br /> g 20  ( s )E8,1 ( z , s  19) y18 y s 19 dxdy<br /> 2( s) <br /> <br /> (4 ) s<br /> <br />  g 20 ,  ( s)y s 19 E8,1 ( z, s  19)<br /> 2( s)<br /> <br /> <br /> (4 ) s<br />  g 20 ,  ( s) Hol (y s 19 E8,1 ( z, s  19))<br /> 2( s)<br /> <br /> (4 ) s<br /> <br />  g 20 ,  ( s ) Hol ((4 y ) s 19 E8,1 ( z, s  19))<br /> 2( s)<br /> <br /> Sử dụng công thức khai triển Fourier cho chuỗi Eisenstein E8,1 ( z, s  19) ta có:<br /> <br />  4πy <br /> <br /> s-19<br /> <br />   4 y <br /> <br /> E8,1  z,s - 19 <br /> <br /> s 19<br /> <br /> 2 s 30<br /> s 19<br /> <br /> 2 i <br /> 1   2s  31<br /> <br /> <br /> 2  2s  31<br />  2  2s  30  <br /> 2s 31<br />  4 y    s  11   s  19 <br /> <br /> <br /> <br /> <br />  d<br /> n 1<br /> <br /> d\n<br /> <br /> 2 s 30<br /> <br /> <br /> W  4 ny, s  11, s  19  q n <br /> <br /> <br /> 25<br /> <br /> Sau khi tính tích phân, kết quả thu được như sau: L( s,   g 20 ,  ) <br /> <br /> (4 )19<br /> .C.g 20 , g 20 <br /> 2( s)<br /> <br /> với C là biểu thức của hàm ( s) . Sau đây là bảng giá trị của L(s,   g20 ) được biểu diễn<br /> dưới dạng:<br /> <br /> L(s,   g20 ,  )  Rs ( g20 ) s( g20 )  g20 , g20 <br />  s( g20 )<br /> <br /> Rs ( g20 )<br /> <br /> s<br /> <br /> 234<br /> <br /> 12<br /> <br />  18<br /> <br /> 37.55.7.11<br /> 233<br /> <br /> 13<br /> <br />  22<br /> <br /> 312.52.72.11<br /> 233<br /> <br /> 14<br /> <br />  26<br /> <br /> 311.52.72.11.13.17<br /> 236<br /> <br /> 15<br /> <br />  30<br /> <br /> 311.52.73.11.13.17<br /> 237<br /> <br /> 16<br /> <br />  34<br /> <br /> 313.57.73.11.13.17<br /> <br /> 234<br /> <br /> 17<br /> <br /> 15 6<br /> <br />  38<br /> <br /> 4<br /> <br /> 3 .5 .7 .11.13.17<br /> 235<br /> <br /> 18<br /> <br />  42<br /> <br /> 18 6 5<br /> <br /> 3 .5 .7 .11.13.17<br /> 237<br /> <br /> 19<br /> <br />  46<br /> <br /> 19 9 5<br /> <br /> 3 .5 .7 .11.13.17<br /> <br /> 3.2. Biểu thức khai triển L(s, ,  ) L(s 1, ,  )<br /> Chúng ta tính tích L(s, ,  ) L(s 1, ,  ) tại các điểm tới hạn của L(s, F12 , Sp,  ) với<br /> <br /> s 12,13,14,15,16,17,18,19. Ý tưởng chính là biểu diễn tích L(s, f ,  ) L(s 1, f ,  ) như là<br /> hàm của tích chập Rankin của f với chuỗi Fourier phù hợp và sử dụng công thức RankinSelberg để liên hệ biểu thức thu được với tích trong Petersson. Sử dụng Bổ đề 1 trong [15],<br /> ta có:<br /> <br /> L( s,   G2, 2 ,  )  L2 (2s  12  2s,  ) L( s, , G2, 2 ,  )<br /> <br /> p<br /> <br /> <br /> <br />  (n)  (n)b(n)n  s<br /> 122 s <br /> 1   ( p) p<br /> <br /> <br /> p<br /> <br /> 1<br /> <br /> n 1<br /> <br /> 1<br /> (1   p  ( p) p  s )(1   ' p<br /> <br />  (1  <br />  ( p) p  s )<br /> p2<br /> <br /> 1<br /> 1 s<br /> )(1   ' p<br /> p  ( p) p<br /> <br />  ( p) p1s )<br /> <br />  L( s, ,  ) L( s  1, ,  )(1  456.21 s  2212 s )<br /> 26<br /> <br /> Do đó, ta nhận được đồng nhất thức sau:<br /> L( s, ,  ) L( s  1, ,  ) <br /> <br /> L( s,   G2,2 ,  )<br /> 1  456.21s  2212 s<br /> <br /> 3.3. Tính giá trị L(s,   G2,2 ,  )<br /> Trong mục này chúng ta khai triển L(s,   G2,2 ) (tại các điểm nguyên) dưới dạng tích<br /> của các tích trong Petersson ,  . Chúng ta sử dụng công thức của Shimura [15] ta có:<br /> L( s,   G2,2 ,  ) <br /> <br /> 3.(4 )19<br /> ( z ), Hol ( F ( z, s, y ))<br /> 2( s)<br /> <br /> với F ( z, s, y)  G2,2 ( z )(4 y) s19 E18,2 ( z, s 19,  )<br /> Sau tính toán, ta thu được<br /> <br /> ( z), Hol ( F ( z, s, y))  ( K1(s)  216.19.K2 ( s))( z), ( z). Trong đó, các hệ số<br /> <br /> K1 (s), K2 ( s) được tính trong bảng sau:<br /> s<br /> <br /> K1<br /> <br /> K2<br /> <br /> 12<br /> <br /> 435883731901<br /> 495673344<br /> <br /> 3045934023523439<br /> 1177224192<br /> <br /> 13<br /> <br /> 217211831<br /> 585169920<br /> <br /> 100968174943<br /> 73146240<br /> <br /> 14<br /> <br /> 255571<br /> 1404407808<br /> <br /> 15430715<br /> 175550976<br /> <br /> 15<br /> <br /> 45173<br /> 1369297612800<br /> <br /> 74862131<br /> 171162201600<br /> <br /> 16<br /> <br /> 36097<br /> 56232488632320<br /> <br /> 3748999<br /> 7029061079040<br /> <br /> 17<br /> <br /> 23831<br /> 210871832371200<br /> <br /> 876017<br /> 26358979046400<br /> <br /> 18<br /> <br /> 4553<br /> 6977376806400<br /> <br /> 1256<br /> 105304870125<br /> <br /> 19<br /> <br /> 424061<br /> 3881958732288000<br /> <br /> 1672<br /> 55749637125<br /> <br /> 27<br /> <br />