Về một phương pháp tính ổn định giá trị các toán tử tuyến tính không bị chặn

TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ<br /> <br /> SỐ 02/2014<br /> <br /> V! M"T PHƯƠNG PHÁP TÍNH (N ð*NH GIÁ TR* CÁC TOÁN<br /> T<br /> TUY+N TÍNH KHÔNG B* CH.N<br /> NGUYaN VN KÍNH*<br /> Trng ði hc Công nghi<br /> p Thc phm TP.HCM<br /> <br /> TÓM TT<br /> Bài báo này nghiên cứu một phương pháp tính ổn định giá trị của các toán tử tuyến tính<br /> không bị chặn theo các dữ liệu nhiễu. Phương pháp này là một cải tiến của phương pháp<br /> Morozov. Tính ổn định của phương pháp này được thiết lập.<br /> <br /> 1. M ñdu<br /> Bài toán tính gần đúng giá trị của các toán tử không bị chặn là một trong những bài toán<br /> quan trọng trong lĩnh vực toán học tính toán.<br /> Giả sử A là một toán tử tuyến tính không bị chặn tác động từ không gian định chuẩ n<br /> X vào không gian định chuẩn Y với miền xác định D( A) ⊂ X và miền giá trị R( A) ⊂ Y .<br /> Khi đó, tồn tại một dãy xn ∈ D( A), n = 1, 2,..., sao cho Axn → +∞, n → ∞ . Lấy một phần<br /> tử x0 ∈ D( A) , kí hiệu y0 = Ax0 . Đặt xn,δ = x0 + δxn và yn,δ = Axn,δ , trong đó δ là một số<br /> dương nhỏ tùy ý cho trước. Ta có:<br /> <br /> yn,δ − y0 = δ Ax → +∞, ∀δ > 0 ,<br /> trong khi<br /> <br /> xn,δ − x0 = δ là nhỏ tùy ý. Hơn nữa, δ- xấp xỉ xδ ∈ X của x0 thỏa<br /> <br /> xδ − x0 ≤ δ , nói chung, xδ ∉ D( A) , do đó không tồn tại giá trị Axδ ; còn nếu xδ ∈ D( A) ,<br /> <br /> thì Axδ →<br /> / Ax0 khi δ→0, vì toán tử A không bị chặn. Do đó, bài toán tính giá trị của một<br /> toán tử không bị chặn là bài toán đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard (xem [7]).<br /> Trong trường hợp A là một toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trong<br /> không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y.V.A. Morozov đã đưa ra một phương pháp<br /> tính gần đúng Ax0 khi chỉ biết dữ liệu gần đúng xδ (xem [15]). Đối với phương pháp này,<br /> giá trị gần đúng của y0 = Ax0 là yαδ = Azαδ , trong đó zαδ l2 cực tiểu của phiếm hàm điều<br /> chỉnh<br /> 2<br /> <br /> 2<br /> <br /> Φ δα ( z) = z − xδ + α Az , z ∈ D( A), α > 0<br /> <br /> (1.1)<br /> <br /> * PGS. TS Nguyễn Văn Kính, Trưởng khoa Khoa học cơ bản, trường đại học Công nghiệp Thực<br /> phẩm thành phố Hồ Chí Minh<br /> <br /> 21<br /> <br /> KHOA HỌC QUẢN LÝ<br /> <br /> 2. Phương pháp tính en ñfnh giá trf cga toán th tuyn tính ñóng có mi$n xác<br /> ñfnh trù mBt<br /> <br /> 22<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ<br /> <br /> SỐ 02/2014<br /> <br /> 23<br /> <br /> KHOA HỌC QUẢN LÝ<br /> <br /> 24<br /> <br /> TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ<br /> <br /> SỐ 02/2014<br /> <br /> 25<br /> <br />