Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai
lượt xem 1
download
Bài viết Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai trình bày về phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Hy vọng rằng, cách tiếp cận mới này có thể đòng góp thêm trong lý thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hàm.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 VỀ NGHIỆM THỨ HAI CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP HAI Phạm Nam Giang1, Nguyễn Hữu Thọ1 Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Đặt n n1 n , sau đó thế (2) vào Có nhiều phương pháp khác nhau để tìm (1) ta được nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính của phương an n 2n 2n f n 2 (3) trình sai phân tuyến tính cấp hai khi đã biết bn n n f n1 cnn f n 0, được một nghiệm của nó, chẳng hạn như: 1) Phương pháp thác triển tích phân do f n là một nghiệm của (1) nên (3) trở thành Cauchy. an 2n 2n f n 2 2) Phương pháp giảm bậc của D’Alembert. bn n f n1 0. 3) Phương pháp lặp bằng cách sử dụng dữ kiện ban đầu cho trước… Đặt: u n n , Trong báo cáo này, chúng tôi trình bày về phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai ta nhận được của phương trình sai phân tuyến tính thuần an 2un un f n 2 bn un f n1 0 nhất cấp 2. Ở đây chúng tôi đã mở rộng an un un1 f n 2 bnun f n1 0. phương pháp giảm bậc của D’Alembert (có thể xem thêm [1]). Ta thấy un thỏa mãn phương trình sai phân cấp 1 (với giả thiết f n 0, n ) 2. NỘI DUNG BÁO CÁO b f 2.1. Phương pháp giảm bậc cho nghiệm un1 1 n n1 un thứ hai của phương trình sai phân an f n 2 Trong mục này, chúng tôi mô tả phương c f un1 n n un . pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai độc lập an f n 2 tuyến tính của phương trình sai phân tuyến Qua phép lặp ta có tính thuần nhất cấp hai tổng quát dưới dạng: n 1 c f an yn 2 bn yn 1 cn yn 0 , (1) un l l u0 l 0 al f l 2 trong đó an , cn 0 . Giả sử ta đã biết một hay là nghiệm của (1) f 0 f1 k 1 cl yn(1) f n , k u0 . f k f k 1 l 0 al khi đó, nghiệm thứ hai (độc lập tuyến tính Lấy tổng k ta được với nghiệm thứ nhất) sẽ có dạng: f 0 f1 k 1 cl n 1 n 0 u 0 . yn(2) n f n , (2) k 0 f k f k 1 l 0 al và để xác định được nghiệm thứ hai, chúng ta Sau đó ta thế vào (2) sẽ nhận được nghiệm cần xây dựng được n . thứ hai của (1) như sau: 86
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 (2) n 1 1 k 1 cl và y f1 f n n . (4) b k 1 f k f k 1 l 0 al r r a Tiếp sau đây, chúng ta sẽ minh họa cách sử dụng công thức (4) để xác định nghiệm b 2 2 b c b b c r r thứ hai trong một số ví dụ cụ thể. 2a 2a a 2a 2a a 2.2. Một số ví dụ c Ví dụ 1. Xét phương trình sai phân với hệ a số hằng ar 1 ayn 2 byn1 cyn 0 . (5) . c r Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng n b (2) c 1 n ar 2 br c 0 có nghiệm bội r . Nên ta có: y n r . 2a a r Nghiệm thứ nhất có dạng: yn(1) r n . Ví dụ 2. Xét phương trình sai phân cấp 2 yn 2 ( n 1) yn 1 (n 1) yn 0 . (6) Áp dụng công thức (4) n1 1 k 1 cl Một nghiệm của (6) là: yn(1) n!. yn(2) f1 f n Áp dụng công thức (3) k 1 f k f k 1 l 0 al n 1 k 1 (2) 1 k 1 cl n 1 1 y f1 f n r n1 k 1 r 2 k 1 r2 n k 1 f k f k 1 l 0 al l 0 n 1 k 1 n 1 1 n 1 1 r n1 r 2 k r n 1 ( n 1) r n . yn(2) n! (1)(l 1) r 2 k 1 k 1 k !( k 1)! l 0 k 1 k 1 Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có (1) k n 1 n (1)l 1 yn(2) n ! n! . hai nghiệm phân biệt k 1 ( k 1)! l 2 l ! 2 b b c Như vậy, nghiệm độc lập tuyến tính thứ r . hai của (6) được biểu diễn dưới dạng 2a 2a a Với yn(1) rn , nghiệm thứ hai của phương n ( 1)l 2 yn(2) n ! . trình (5) xác định bởi l 2 l! n 1 1 k 1 c Ví dụ 3. Xét phương trình sai phân cấp 2 yn(2) rn1 2 k 1 (n 2) yn 2 (2n 3) yn 1 (n 1) yn 0. (7) k 1 r l 0 a n 1 n 1 k k Đặt yn yn 1 yn , khi đó (7) trở thành 1 c c 1 r 2 k rn 2 n (n 2) 2 yn yn 0 , k 1 r a k 1 a r qua đó dễ thấy (7) có một nghiệm hằng. n ar c 1 2 n Bắt đầu bằng nghiệm hằng f k 1 , áp dụng 2 r n r . c ar a r công thức (3), nghiệm độc lập tuyến tính thứ 2 Ta lại có n 1 1 k 1 cl yn(2) f1 f n c ar2 br 2c k 1 f k f k 1 l 0 al n 1 k 1 2 l 1 n1 1 n 1 b 2 b c 1 = b 2c , k 1 l 0 l 2 k 1 k 1 l 1 l 2a 2a a 87
- Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021. ISBN: 978-604-82-5957-0 Và ta có thể chọn nghiêm mới thứ hai là (2) n1 n1 1 n2 1 n 1 y n 2 2k ( k 3)! l (l 3)! yn(2) , k 1 l 0 2 l 1 l đây được gọi là số điều hòa. (n 2)! 3.2n. Ví dụ 4. Ta xét thêm một ví dụ khác như Do vậy, ta có thể chọn nghiệm thứ hai độc sau: xét phương trình sai phân tuyến tính lập tuyến tính của phương trình (8) dưới dạng cấp 2 yn(2) n 2 !. (n 1) yn 2 ( n 2 7 n 8) yn1 (8) 3. KẾT LUẬN 2( n 2)( n 3) yn 0, dễ thấy (8) có một nghiệm: yn(1) 2n. Báo cáo làm một mở rộng phương pháp giảm bậc của D’Alembert, đây là một cách Áp dụng công thức (3) tiếp cận mới để có thể tìm được nghiệm độc (2) n 1 1 k 1 cl lập tuyến tính thứ hai của phương trình sai yn f1 f n k 1 f k f k 1 l 0 al phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 khi đã biết một nghiệm của nó. Hy vọng rằng, cách tiếp (2) n 1 1 k 1 cl yn f1 f n cận mới này có thể đòng góp thêm trong lý k 1 f k f k 1 l 0 al thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính n 1 1 k 1 2(l 2)(l 3) cấp 2 với hệ số hàm. 2n1 2 k 1 k 1 2 l 0 (l 1) 4. TÀI LIỆU THAM KHẢO n 1 k 1 2 yn(2) 2n1 2 k 1 (k 1)(k 2)! [1] C. Weixlbaumer. (2001), Solutions of k 1 2 Difference Equations with Polynomial Coefficients. Diplomarbeit, Research n1 1 n 1 n 1 1 Institute for Symbolic Computation, 2 k (k 3)! k 1 (k 2)! , k 1 2 k 1 2 (RISC), Johannes Kepler Universit¨at, Linz, trong thừa số thứ hai, đặt k l 1, khi đó Austria. 88
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
ĐẠI CƯƠNG VỀ SẮC KÝ KHÍ part 4
10 p | 191 | 65
-
Trắc Nghiệm về Tạo Giống Bằng PP Gây Đột Biến Nhân Tạo (Có Đáp Án
16 p | 314 | 29
-
Hệ hai hạt − Trục quay cứng nhắc
12 p | 122 | 10
-
Toán học và tuổi trẻ Số 205 (7/1994)
20 p | 60 | 5
-
Động học ức chế của muối tới quá trình nitrat hóa hai giai đoạn
6 p | 68 | 5
-
Phương pháp đánh giá và quy trình xác định rủi ro thiên tai nước dâng do bão cho khu vực ven biển Quảng Ninh - Hải Phòng
11 p | 55 | 4
-
Giáo trình hình thành ứng dụng phân tích nghiên cứu phương thức khởi dựng tĩnh p1
10 p | 51 | 3
-
Xây dựng công cụ đánh giá ảnh hưởng của xâm nhập mặn đến kinh tế - Xã hội và áp dụng tính thử nghiệm cho đồng bằng Sông Cửu Long
10 p | 63 | 3
-
Đề xuất phương pháp phân tích đa tiêu chí xếp hạng hệ sinh thái đất ngập nước cần ưu tiên bảo vệ, phục hồi
7 p | 37 | 2
-
Những tác động của Taxol lên việc bảo quản lạnh tế bào trứng bò trưởng thành bằng phương pháp thủy tinh hóa
7 p | 48 | 2
-
Một phương pháp đối sánh ảnh hưởng thời gian thực
10 p | 66 | 2
-
Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán biên ban đầu thứ hai đối với phương trình Schrödinger cấp hai trong hình trụ đáy không trơn
6 p | 61 | 2
-
Loại bỏ hiệu ứng lóe mặt trời trên ảnh vệ tinh quang học khu vực nước nông ven các đảo thuộc quần đảo Trường Sa
12 p | 90 | 2
-
Những hiệu chỉnh cho detector SBT và HODF của phổ kế từ SAMURAI
9 p | 7 | 2
-
Suy giảm phiên mã của gene PPARγ và C/EBPα ở gan cá sọc ngựa giai đoạn Juvenile phơi nhiễm mãn tính với bisphenol A
8 p | 40 | 1
-
Đặc điểm hình thái và giải phẫu cây Sơn đôn - Amalocalyx microlobus Pierre ex Spire (Apocynaceae) ở Sơn La
8 p | 94 | 1
-
Khảo nghiệm giống quốc gia và sản xuất thử nghiệm hai dòng lúa có triển vọng VH1 và VH2 tạo chọn được bằng phương pháp chọn giống đơn bội-nuôi cấy bao phấn
6 p | 33 | 0
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn