Về phương trình mobile-immobile phân thứ với điều kiện đầu không địa phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

7
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho hệ vi phân mobile-immobile khi phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến tính. Kết quả đóng góp một phần nhỏ cho lí thuyết hệ vi phân phân thứ và làm tiền đề cho nghiên cứu tiếp theo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về phương trình mobile-immobile phân thứ với điều kiện đầu không địa phương

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 VỀ PHƯƠNG TRÌNH MOBILE-IMMOBILE PHÂN THỨ VỚI ĐIỀU KIỆN ĐẦU KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG Nguyễn Văn Đắc, Lê Thị Minh Hải Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Trong bài báo này, chúng tôi xét hệ sau: 3.1. Kiến thức chuẩn bị  t u   t  g1  (u  u (0)    u  f (t , u  ) (1) a) Toán tử nghiệm và giả thiết: Gọi l là u   0 (2) nghiệm của l   g1 * l  1 trên [0, ) và xét: u ( s )  h(u )( s )   ( s ), s  [  q,0] (3) s (t )    l  s  (t )  1, t  0 với u (t )  u (t , x) , 0  t  T , x   là miền bị r (t )    l  r  (t )  l (t ), t  0. chặn có biên trơn trong  d , d  1 , tích chập Các phương trình này có nghiệm duy nhất, t ta kí hiệu các nghiệm là s (,  ), r (,  ) . hiểu như sau k  (t )   k (t  s)( s )ds, và: 0 Mệnh đề 2.2 trong [3] đã trình bày các tính t  chất quan trọng của các nghiệm này. Ta xét g1  ,    0,1 ,  ,   0 . L2    với cơ sở gồm các hàm riêng trực (1   ) Năm 2003, R. Chumer đã giới thiệu hệ giao {en }1 của  với điều kiện biên n phương trình dạng trên trong tạp chí về tài Dirichlet thuần nhất và dãy giá trị riêng nguyên nước và gọi là hệ Mobile-Immobile, {n }1 thỏa 0  1  2   ,lim n   . Khai n n  xem thêm trong [3]. Dạng đơn giản hơn đã triển theo hệ cơ sở trên, ta được công thức được nghiên cứu trong [3], sự xuất hiện của nghiệm dựa theo hai toán tử: trễ u (t )  u  t   (t )  và điều kiện đầu phụ  thuộc vào phép đo bổ sung đem lại phạm vi S (t )v   s (t , n )vn en , t  0, v  L2    , n 1 áp dụng rộng rãi nên thu hút được nhiều nhà  toán học quan tâm (xem [1,2]), một ví dụ cho R (t )v   r (t , n )vn en , t  0, v  L2    . hàm h như sau: n 1 Định nghĩa 1. Hàm u  C [  q, T ]; L2 ()  m h(u)(s)( x)   ciu(s  si , x), s [  q,0], si [0, T ] i 1 được gọi là một nghiệm của bài toán (1)-(3) ở đó ci, m là các hằng số, các giá trị đo bổ nếu: sung được thực hiện tại các si , i  {1, 2,..., m} u (t )  h(u )(t )   (t ), t  [  q,0] , và giá trị của nó phụ thuộc vào lịch sử của trạng thái. Do đó chúng tôi đặt vấn đề nghiên và u  t   S (t )  (0)  h(u )(0)   I (t ), t   0, T  cứu về sự tồn tại nghiệm của bài toán. t với I (t )   R (t   ) f  , u (   ( )  d , t  [0, T ]. 0 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Kí hiệu Cq  C [  q,0]; L2 ()  , và   cho Dùng ước lượng tiên nghiệm và nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén. chuẩn trong C  J ; L2 ()  với J là một đoạn. 60
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 Ta cần giả thiết sau đây cho tính giải được. Đặt   ch  supt0,T   r (, 1 ) * a  (t ) ,  (F) Hàm liên tục f :   L ()  L () 2 2 Vì   1 nên chọn được 0    1 1    , thỏa f (t , v)  a(t ) v    v  , t  0,v  L2 () (r )  o(r ), r  0 cho ta sự tồn tại của trong đó a  Lloc (  ),  là hàm tăng trưởng   0 thỏa f (t , v)  (a (t )   ) v , khi v   . trên tuyến tính thỏa mãn (r )  o(r ), r  0 . Với u    và     thì: u  t   (t )    với t   0, T  (H) Hàm liên tục h : C [  q, T ]; L2 ()   Cq nên ta có: thỏa h(0)  0 và h(v1 )  h(v2 )  ch v1  v2     u  (t )  s (t , 1 )   (0)  h  u  (0)  với mọi v1 , v2  C [  q, T ]; L2 ()  và ch  0 . t   r (t   , 1 )  a (t )    u    ( )  d Từ công thức nghiệm, ta xây dựng toán tử 0 trên không gian C [  q, T ]; L2 ()  như sau:  s (t , 1 )    h u      (t )  h  u  (t ) khi t    q,0 ,  t   u  (t )     r (t   , 1 )  a (t )    sup u   d  I (t )  khi t   0, T . 0    q ,   s (t , 1 )    ch  Toán tử này Nghiệm của bài toán là điểm  t bất động của nó nên được gọi là toán tử    r (t   , 1 )  a(t )   d . nghiệm. 0 b) Độ đo không compact (xem [4]): Độ đo Áp dụng Mệnh đề 2.2 trong [3], ta có: MNC Hausdorff được xác định bởi  t    u  (t )          r (t   , 1 )d   ( D)  inf{  0 : D có một  -lưới hữu  0  hạn } , là độ đo không suy biến và đơn điệu.        . Định lí 0. [4] Cho  là một MNC không 1 suy biến và đơn điệu trên X . Tập D  X , là  Chọn     với       0 một tập lồi đóng và khác rỗng sao cho 1  : D  D là một ánh xạ nén theo  . Khi đó do cách chọn  , ta có   u  (t )   nghĩa là  có điểm bất động. Kí hiệu T là MNC Hausdorff trên   B   B khi    . C [  q, T ]; L2 ()  . Ta chứng minh tính nén của ánh xạ nghiệm. Giả sử D  C [  q, T ]; L2 ()  là một 3.2. Kết quả chính tập bị chặn, ta được   D   1  D    2  D  Định lí 1. Giả sử (F) và (H) thỏa mãn. Nếu ở đó: ch  supt0,T   r (, 1 ) * a  (t )  1, thì tồn tại  (t )  h(u )(t ), t    q,0  1  u  (t )     0 và (1)-(3) có nghiệm khi    .  S (t )  (0)  h(u )(0)  , t   0, T   Chứng minh: Vì hàm f và S , R liên và: tục nên  là liên tục trên C [  q, T ]; L ()  . 2 0, t  q,0  Ta tìm   0 sao cho   B   B - là hình 2  u  (t )   t  R (t   ) f  , u(   ( )  d , t 0,T . cầu đóng với bán kính là  và tâm là gốc. 0 61
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2023. ISBN: 978-604-82-7522-8 Do tính cộng tính của MNC, ta có: Vế phải là hàm không giảm theo t nên: T    D    T  1  D    T   2  D   . sup || u1 ( s )  u2 ( s ) || [0,t ] Ta ước lượng hạng tử thứ nhất bên vế t phải. Với z1 , z2  1  D  thì tồn tại u1 , u2  D  L(r )  r (t   , 1 )sup u2 ( )  u1 ( ) d . 0 [0, ] sao cho (với i  {1, 2} ): Áp dụng bất đẳng thức kiểu Gronwall ta  (t )  h(ui )(t ),  t    q,0 được sup || u1 ( s)  u2 ( s) || 0, t  [0, T ] . zi (t )   .  S (t )  (0)  h(ui )(0)  , t   0, T  [0,t ]  Do đó: 4. KẾT LUẬN || z1 (t )  z2 (t ) || Ta chứng minh được sự tồn tại và duy nhất || h(u2 )(t )  h(u1 )(t ) ||, t    q,0 .  nghiệm cho hệ vi phân mobile-immobile khi  phần phi tuyến có thể tăng trưởng trên tuyến  s (t , 1 ) || h(u2 )  h(u1 ) || , t   0, T   tính. Kết quả đóng góp một phần nhỏ cho lí Sử dụng (G) và s (t , 1 )  1 , ta được: thuyết hệ vi phân phân thứ và làm tiền đề cho z2  z1   h(u2 )  h(u1 )   ch u2  u1  . nghiên cứu tiếp theo. Từ đó suy ra T  1  D    ch T  D  . 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO Vì toán tử Q là compact và: [1] Anh, N.T.V; Yen, B.T.H. (2022). On the  2  D  (t )  0, t  [  q,0] nên T   2  D    0 . time delayed anomalous diffusion equations Vậy T    D    ch T  D  . Theo giả thiết with nonlocal initial conditions. Commun. Pure Appl. Anal. 21, no. 11, 3701-3719. ch  1 nên  là toán tử T nén. Theo Định lí [2] Chuong, N.M; Ke, T.D. (2012). 0, bài toán (1)-(3) có nghiệm toàn cục. Generalized Cauchy problems involving Định lí 2. Giả sử các giả thiết của Định lí 1 nonlocal and impulsive condition. J. Evol. thỏa mãn. Với mỗi r  0 đều tồn tại L(r )  0 Equ. 12, no. 2, 367-392. thỏa f (t , v1 )  f (t , v2 )  L(r ) || v1  v2 ||, t  0, [3] Dac, N.V; Tuan, H.T; Tuan, T.V. (2022). Regularity and large-time behavior of và v1 , v2  L2    ,|| v1 || r ,|| v2 || r và g  0 , solutions for fractional semilinear mobile- immobile equations. Math. Methods Appl. thì bài toán (1)-(3) có duy nhất nghiệm. Sci., 1-27. Chứng minh: Sự tồn tại đã được chứng [4] Kamenskii, M; Obukhovskii, V; Zecca, P. minh ở Định lí 1. Ta chứng minh tính duy nhất. (2001). Condensing Multivalued Maps and Thật vậy: Giả sử u1, u2 là hai nghiệm của Semilinear Differential Inclusions in Banach spaces, Walter de Gruyter, Berlin. (1)-(3) và g  0 . Sử dụng giả thiết, ta được: || u1 (t )  u2 (t ) || t  L(r )  r (t   , 1 )sup u2 ( )  u1 ( ) d . 0 [0, ] 62