Về vành hầu Nil - Nội xạ yếu

Chia sẻ: Bình Bình | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong bài báo này, tác giả bước đầu đưa ra một đặc trưng tính chất của vành AWN - nội xạ, mà vành này là một sự mở rộng thực sự của vành Wnil - nội xạ; đồng thời khảo sát về tính chính quy của vành AWN nội xạ phải đưa ra một số điều kiện để một vành AWN - nội xạ là tự nội xạ phải. Tham khảo bài viết sau đây để biết thêm nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Về vành hầu Nil - Nội xạ yếu

TẠP CHÍ KHOA HỌC, Đại học Huế, Tập 74B, Số 5, (2012), 33-42 VỀ VÀNH HẦU NIL-NỘI XẠ YẾU Trương Công Quỳnh1 , Hoàng Thị Hà2 1 2 Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị Tóm tắt. Cho R là một vành. Vành R được gọi là hầu Wnil-nội xạ phải (viết tắt là AWN-nội xạ), nếu với bất kỳ 0 6= a ∈ N (R) tồn tại số tự nhiên n = n(a) > 0 sao cho an 6= 0 và lr(an ) = Ran ⊕ Xan với Xan ≤ R R. Trong bài báo này, chúng tôi bước đầu đưa ra một số đặc trưng và tính chất của vành AWN-nội xạ, mà vành này là một sự mở rộng thực sự của vành Wnil-nội xạ ([8]) ; đồng thời, khảo sát về tính chính quy của vành AWN-nội xạ phải và đưa ra một số điều kiện để một vành AWN-nội xạ phải là tự nội xạ phải. 1 Giới thiệu Trong bài báo này, vành R đã cho luôn được giả thiết là vành kết hợp có đơn vị 1 6= 0 và mọi R−môđun được xét là môđun unita. Trong một ngữ cảnh cụ thể của bài viết, nếu không có gì nhầm lẫn, khi viết môđun M tức là M là một môđun phải. Chúng ta dùng ký hiệu A ≤ M (A < M ) để chỉ A là môđun con (t.ư., thực sự) của môđun M . Nếu A là môđun con cực đại (t.ư., hạng tử trực tiếp) của môđun M , chúng ta viết A ≤max M (t.ư.,A ≤⊕ M ). Căn Jacobson, đế của môđun M được ký hiệu tương ứng là Rad(M ), Soc(M ); đặc biệt, J(R), Sr (R), Sl (R) được dùng ký hiệu cho căn Jacobson của R, đế của RR và R R. Ta ký hiệu: tập hợp tất cả các phần tử lũy linh được ký hiệu là N (R), căn nguyên tố của R là P (R), iđêan suy biến phải (t.ư., trái) của vành R là Zr (R) (t.ư., Zl (R)). Cho M và N là các R−môđun phải. Đồng cấu từ M vào N được hiểu là R−đồng cấu phải từ M vào N . Cho tập ∅ = 6 X ⊆ M và tập A ⊆ R. Linh hóa tử phải của X trong R được ký hiệu rR (X) và được xác định như sau rR (X) = {r ∈ R | xr = 0(∀x ∈ X)}. Linh hóa tử trái của A trong M , ký hiệu là lM (A) được xác định tương tự. Khi không sợ nhầm lẫn, chúng ta có thể viết gọn r(X) thay vì rR (X). Ta luôn có rR (X) là một iđêan phải của R, khi X là một môđun con của M thì rR (X) là một iđêan của R. Năm 1940, Baer đã đưa ra một tiêu chuẩn quan trọng mang tên ông để kiểm tra tính nội xạ của môđun như sau: R−môđun phải Q là nội xạ nếu và chỉ nếu mỗi R-đồng cấu phải từ một iđêan phải bất kỳ I vào Q đều mở rộng thành một R-đồng cấu phải từ R vào Q. 33 34 Về vành hầu nil-nội xạ yếu Từ khi có tiêu chuẩn Baer cho tính nội xạ, có nhiều hướng phát triển của mở rộng nội xạ và xuất hiện nhiều khái niệm mở rộng tính nội xạ như P-nội xạ ([5]), m-nội xạ ([6]), AP-nội xạ ([7]), AM-nội xạ ([10]), GP-nội xạ ([12]), AGP-nội xạ ([7]). Chẳng hạn, trong [5], W. K. Nicholson và M. F. Yousif đưa ra khái niệm môđun và vành P-nội xạ vào năm 1995. Môđun M được gọi là P −nội xạ nếu cho mỗi a ∈ R và mỗi đồng cấu f : aR → M được mở rộng thành một đồng cấu từ R vào M , điều này tương đương với: cho mỗi a ∈ R thì lM rR (a) = M a. MR được gọi là AP-nội xạ nếu với a ∈ R bất kỳ, thì lM rR (a) = M a ⊕ Xa , trong đó Xa ≤ S M với S = End(MR ). MR được gọi là GP-nội xạ nếu với a ∈ R bất kỳ, thì tồn tại số nguyên n = n(a) > 0, an 6= 0 sao cho lM rR (an ) = M an . Và ta xem tính AP-nội xạ ( t.ư. AM-nội xạ) là sự "hầu hóa" của tính P-nội xạ, còn tính GP-nội xạ là sự "yếu hóa" của tính P-nội xạ. Năm 2007, Wei và Chen ([8]) đã đưa ra một số trường hợp tổng quát của vành P-nội xạ, đầu tiên là vành nil-nội xạ, theo đó với MR , S = End(MR ) thì M là nil-nội xạ nếu với mỗi a ∈ N (R), lM rR (a) = M a như các S−môđun; thứ hai là khái niệm về tính Wnil-nội xạ là sự "yếu hóa" của tính nil-nội xạ, theo đó MR được gọi là Wnil-nội xạ nếu với mỗi 0 6= a ∈ N (R) tồn tại số tự nhiên n = n(a) > 0 sao cho an 6= 0 và lM rR (an ) = M an như các S−môđun. Năm 2011, Yu-e và Xianneng ([14]) đã đưa ra một sự tổng quát hóa thực sự của khái niệm vành nil-nội xạ đó là vành hầu nil-nội xạ (viết tắt AN-nội xạ), theo đó với MR , S = End(MR ) thì M là AN-nội xạ nếu với mỗi a ∈ N (R), tồn tại một S−môđun con Xa của M sao cho lM rR (a) = M a ⊕ Xa như các S−môđun. Tiếp tục xu hướng "hầu hóa" tính Wnil-nội xạ, chúng tôi đưa ra khái niệm vành hầu nil-nội xạ yếu, viết tắt AWN-nội xạ. Trong bài báo này, chúng tôi thu được một số đặc trưng và tính chất bước đầu của vành này. Thật ra, việc nghiên cứu vành được gọi là AWN-nội xạ được xuất phát khi nghiên cứu tổng quan các vấn đề liên quan đến vành AN-nội xạ và vành Wnil-nội xạ, từ đó nhận thấy việc cấp thiết nhất là tìm ra được ví dụ phân biệt các lớp vành và các tính chất cơ bản của nó. Tuy nhiên sau một thời gian, truy cập trên Internet (không phải là tạp chí), hai tác giả người Iraq là Raida D.M. và Akram S.M. đã đưa ra khoảng 1 trang giấy về định nghĩa của vành này mà không cho thêm bất kỳ một thông tin nào. 2 Kết quả Định nghĩa 2.1. Cho vành R, M là một R−môđun phải, S = End(MR ). Môđun M được gọi là hầu Wnil-nội xạ (viết tắt là AWN-nội xạ), nếu với bất kỳ 0 6= a ∈ N (R) tồn tại số tự nhiên n = n(a) > 0 sao cho an 6= 0 và lM rR (an ) = M an ⊕ Xan như là các S−môđun. Nếu RR là hầu Wnil-nội xạ thì ta nói R là hầu Wnil-nội xạ phải. Khái niệm vành AWN-nội xạ trái được định nghĩa một cách tương tự. Trong mỗi trường hợp S−môđun con Xk của M là không P duy nhất, tuy nhiên khi chọn Xk cho mỗi k ∈ N (R) và ta xét S−môđun b(M ) = k Xk . Ta gọi b(M ) là chỉ số chặn (index bound) của M và tập hợp các Xk là một tập hợp chỉ số của M . Ví dụ 2.2. 1) Đặc trưng của vành AWN-nội xạ được thể hiện trên các phần tử lũy linh khác không của vành nên nếu R là một vành có N (R) = (0) (tức là vành thu gọn) thì R là một vành AWN-nội xạ phải cũng như trái. Chẳng hạn các vành không có ước TRƯƠNG CÔNG QUỲNH, HOÀNG THỊ HÀ 35 của không như Z, Q, R, Z2 , Z3 , Z5 ,... là các vành AWN-nội xạ. Ta biết rằng vành Z không nội xạ, nên ta thấy rằng một vành AWN-nội xạ thì không nhất thiết là nội xạ. (2) Từ định nghĩa ta thấy ngay, mỗi vành AN-nội xạ phải là một vành AWN-nội xạ phải. Tuy nhiên, chúng tôi chưa đưa ra được ví dụ cho thấy rằng lớp các vành AN-nội xạ là con thực sự của lớp vành AWN-nội xạ. (3) Mỗi vành AGP-nội xạ phải (trái) là vành AWN-nội xạ phải (trái). Nhắc lại, một R−môđun MR được gọi là AGP-nội xạ nếu với bất kỳ 0 6= a ∈ R tồn tại số tự nhiên n = n(a) sao cho an 6= 0 và lM rR (an ) = M an ⊕ Xan như là các S−môđun, trong đó S = End(MR ). Mỗi vành AP-nội xạ phải là AGP-nội xạ phải, do đó mỗi vành AGP-nội xạ phải cũng là AWN-nội xạ phải. (4) Từ định nghĩa ta thấy mỗi vành Wnil-nội xạ phải ([8]) là AWN-nội xạ phải. Sau đây là một ví dụ cho thấy: khái niệm vành AWN-nội xạ là mở rộng thực sự của khái niệm vành Wnil-nội xạ trong [16]. Ví dụ 2.3. Cho Q = ∞ Q Fi với mỗi Fi = Z4 , i ∈ N là tích của các vành Z4 . Mỗi phần i=1 tử trong Q có dạng a = (a1 , a2 , . . . , ak , . . .), với các ai ∈ Fi , i ∈ N. Khi đó Q với các phép toán trong Q là cộng và nhân theo từng thành phần, thì Q là một vành giao hoán có đơn vị. ∞ L Cho R là một vành con của Q được sinh bởi 2Fi và 1Q , khi đó i=1 R= ∞ M 2Fi + Z1Q , i=1 và mỗi phần tử a của R có dạng: a = x + n1Q = (x1 + n, x2 + n, . . . , xk + n), với xi ∈ 2Z4 = {0, 2}, i ∈ N, n ∈ {0, 1, 2, 3} và 0R = 0Q , 1R = 1Q . Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra: với bất kỳ a ∈ R, tồn tại Xa ≤ R sao cho lr(a) = Ra⊕Xa như các R-môđun (trái), như vậy R là vành AP-nội xạ. Giả sử a = x+n1Q ∈ R ∞ L với x ∈ 2Fi và n ∈ {0, 1, 2, 3}. i=1 ? Khi n = 1 hoặc n = 3 thì a khả nghịch trong R. ∞ ∞ L L ? Khi n = 2: thì a ∈ 2Fi + 2Z1Q thì r(a) = 2Fi + 2Z1Q và tính toán tương tự ta cũng có lr(a) = ∞ L i=1 i=1 2Fi + 2Z1Q và Ra = {0Q ; a}. Do đó ta có: i=1 lr(a) = r(a) = ∞ M i=1 vì thế ta chọn Xa = ∞ L i=1 2Fi ; 2Fi + 2Z1Q = ∞ M i=1 2Fi ⊕ Ra 36 Về vành hầu nil-nội xạ yếu ? Khi n = 0: thì a ∈ lr(a) = r(a) = ∞ L ∞ L 2Fi , thực hiện tính toán như trên ta có Ra = {0Q ; a}, i=1 2Fi + 2Z1Q . Vì thế Ra ≤⊕ i=1 Ya ≤ R nào đó, và lr(a) = r(a) = Xa = Ya ⊕ 2Z1Q . ∞ L ∞ L 2Fi , tức là i=1 ∞ L 2Fi = Ra ⊕ Ya với i=1 2Fi ⊕ 2Z1Q = Ra ⊕ Ya ⊕ 2Z1Q , vì thế ta chọn i=1 Tập N (R) 6= {0R } vì phần tử a = x + 2.1R với x ∈ ∞ L 2Fi và x 6= 2.1R , phần tử i=1 2 a thỏa mãn ∞ a = 0. Như vậy, R là vành AP-nội xạ và rõ ràng chỉ số chặn của R là L b(R) = 2Fi + 2Z1Q 6= (0), nên R là vành AWN-nội xạ. Để ý trong trường hợp i=1 cuối cùng thì a2 = 0 và lr(a) 6= Ra nên R không là vành Wnil-nội xạ. Tiếp theo là một ví dụ cho thấy một vành là AWN-nội xạ phải thì không nhất thiết là AWN-nội xạ trái. Ví dụ 2.4. Cho Z2 = {0, 1} là một trường có hai phần tử và N là tập các số tự nhiên. Cho A là vành con của ZN2 gồm các phần tử có dạng (a1 , a2 , . . . , an , a, a, . . .), với a1 , . . . , an , a ∈ Z2 , n ∈ N, (N) tức là A là hợp của đơn vị của ZN với iđêan của nó là Z2 . Khi đó A là một vành giao hoán (với các phép toán được cảm sinh từ ZN ) với mỗi phần tử là lũy đẳng. Nếu k ∈ Z2 và (a1 , . . . , an , a, a . . .) ∈ A, ta xác định tích: k · (a1 , . . . , an , a, a, . . .) := ka, thì ta có thể xem Z2 là một A−môđun phải. Và rõ ràng Z2 là môđun trái trên chính nó thì Z2 là một (Z2 , A)−song môđun. Vì thế ta có thể lập một vành ma trận tam giác trên như sau: Z2 Z2 R= . 0 A Tính toán cụ thể, ta được R là vành P-nội xạ phải, vì thế R là vành AWN-nội xạ với b(R) = (0) (tức là R là vành Wnil-nội xạ phải). Tiếp theo chúng ta sẽ chỉ ra rằng R không là vành Wnil-nội xạ trái cũng như phải 0 1 không AWN-nội xạ trái. Thật vậy, với σ = , thì σ 2 = 0 và tính toán cụ thể 0 0 0 Z2 0 0 ta có: Rσ = , trong khi đó l(σ) = R và 0 0 0 1 0 0 Z2 Z2 1 0 rl(σ) = r( )= = R 6= σR. 0 1 0 0 0 0 Z2 Z2 0 Z2 Z2 0 Z2 0 Hơn nữa, để ý rằng rl(σ) = = + = σR+ , 0 0 0 x 0 0 0 0 Z2 0 tuy nhiên không phải là một iđêan phải của R. 0 0 TRƯƠNG CÔNG QUỲNH, HOÀNG THỊ HÀ 37 Bổ đề 2.5. Cho c ∈ C(R), với C(R) là tâm của vành R. Khi đó, nếu c là một phần tử chính quy trong R thì nó cũng chính quy trong C(R). Chứng minh. Cho c ∈ C(R) và c chính quy trong R, tức là tồn tại s ∈ R sao cho c = csc. Đặt d = scs ∈ R, khi đó cdc = c(scs)c = csc. Vì c ∈ C(R) nên c = csc = c2 s = sc2 , do đó ta sẽ chỉ ra r(c) = r(c2 ), thật vậy, rõ ràng r(c) ≤ r(c2 ); ngược lại, nếu u ∈ r(c2 ) thì cu = cu2 s = 0, do đó r(c2 ) ≤ r(c). Hơn nữa ta có d ∈ C(R), thật vậy, với t ∈ R bất kỳ, vì c ∈ C(R) ta có c2 (td−dt) = tc2 d−c2 dt = t(c2 s)cs−(c2 s)cst = tcsc−csct = tc−ct = 0. Vì thế td − dt ∈ r(c2 ) = r(c), do đó 0 = c(td − dt) = ctscs − cscst = c2 (ts2 − s2 t), suy ra ts2 − s2 t ∈ r(c2 ) = r(c). Do vậy 0 = c(ts2 − s2 t) = tscs − scst = td − dt, điều này có nghĩa d ∈ C(R). Vậy c chính quy trong C(R). Định lý 2.6. Nếu R là vành AWN-nội xạ phải không suy biến phải thì C(R) là n−chính quy. Chứng minh. Theo giả thiết, R có vành thương phải cực đại suy biến S (xem [2, Corollary 2.3.1]). Khi đó S là vành chính quy nên C(S) chính quy. Với 0 6= a ∈ N (C(R)) ⊆ N (C(S)), tồn tại s ∈ S sao cho a = asa = a2 s = sa2 (vì a ∈ C(R) ⊆ C(S)). Cũng từ a ∈ C(R) nên l(a) = r(a) và l(an ) = r(an ) với bất kỳ số nguyên n > 0. Hơn nữa, ta còn chỉ ra được rR (an ) = rR (a) và lR (a) = lR (an ), với bất kỳ n > 0. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh đẳng thức đầu tiên, thật vậy, rõ ràng với mọi n > 1 ta có r(a) ≤ r(an ); ngược lại, với bất kỳ t ∈ r(an ), tức là an t = 0, vì a = sa2 nên at = sa2 t. Nếu n = 2 thì at = sa2 t = 0, hay t ∈ r(a), còn nếu n > 2 thì bằng quy nạp ta có t ∈ r(a). Vậy r(an ) = r(a) = l(a) = l(an ) với bất kỳ số nguyên n > 0. Bây giờ, vì a 6= 0 và a = a2 s nên a2 6= 0, do đó tồn tại m > 0 sao cho a2m 6= 0. Theo giả thiết R là vành AWN-nội xạ phải ta có lr(a2m ) = Ra2m ⊕ Xa2m với Xa2m ≤ R R nào đó. Vì r(a2m−1 ) = r(a2m ) = r(a) nên a2m−1 ∈ lr(a2m−1 ) = lr(a2m ) = Ra2m ⊕ Xa2m , suy ra a2m−1 = da2m + x với d ∈ R, x ∈ Xa2m . Vì thế a2m = ada2m−1 + ax, do đó ax = (1 − ad)a2m ∈ Ra2m ∩ Xa2m = 0. Khi đó, (1 − ad)a2m = 0, suy ra 1 − ad ∈ l(a2m ) = l(a), do vậy a = ada, tức là a là phần tử chính quy của R. Theo Bổ đề 2.5, ta có a chính quy trong C(R). Vậy C(R) là n−chính quy. Định lý 2.7. Nếu R là một vành AWN-nội xạ phải và nửa nguyên tố, thì tâm C(R) là n−chính quy. Chứng minh. Với bất kỳ 0 6= a ∈ N (C(R)), thì ta có Ra ∩ l(a) = 0. Thật vậy, vì a ∈ C(R) nên Ra và l(a) là hai iđêan của R, và Ra.l(a) = 0, do đó [Ra∩l(a)]2 ≤ Ra.l(a) = 0, mà R là vành nửa nguyên tố nên Ra ∩ l(a) = 0. Do a ∈ C(R) nên l(a) = r(a) và l(am ) = r(am ), với mọi số nguyên m > 1. Hơn nữa ta sẽ chỉ ra l(am ) = l(a) và r(a) = r(am ). Ta chỉ cần chỉ ra đẳng thức đầu tiên, thật vậy ta luôn có l(a) ≤ l(am ); còn với t ∈ l(am ), tức là tam = 0, hay tam−1 a = 0, suy ra tam−1 ∈ Ra ∩ l(a) = 0. Nếu m−1 = 0 thì t ∈ l(a), nếu không ta tiếp tục lý luận như trên ta có tam−2 ∈ Ra∩l(a) = 0.