Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

Chia sẻ: Trần Huyền My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10

Thêm vào BST

Báo xấu

967
lượt xem 64
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Một trong các điều kiện sau:
- Mặt cầu (S) và mp (P) có một điểm chung duy nhất
- Khoảng cách từ tâm O của mặt cầu (S) tới mp (P) bằng bán kính của nó
- mp (P) vuông góc với một bán kính OH của mặt cầu (S) tại H.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu

§2.VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng vμ ®−êng th¼ng
KiÓm tra kiÕn thøc cò mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: • MÆt cÇu (S) vμ mp(P) cã mét ®iÓm chung duy nhÊt. • Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi mp(P) b»ng b¸n kÝnh cña nã. • mp(P) vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H. * §−êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vμ chØ khi cã mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: • MÆt cÇu (S) vμ ®−êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt. • Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ®−êng th¼ng a b»ng b¸n kÝnh cña mÆt cÇu. • §−êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H.
§2.VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mét mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng vμ ®−êng th¼ng 3. C¸c tÝnh chÊt cña tiÕp tuyÕn §Þnh lý 1: Qua ®iÓm A n»m trªn mÆt cÇu S(0;R) cã v« sè tiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S). TÊt c¶ c¸c tiÕp tuyÕn nμy ®Òu n»m trªn tiÕp diÖn cña (S) t¹i ®iÓm A. CM: ∀a ∋ A; a ⊥ OA ⇒ a lμ tiÕp tuyÕn cña S(O;R) t¹i A ⇒ Cã v« sè tiÕp tuyÕn víi (S) t¹i A ⇒ C¸c tiÕp tuyÕn nμy n»m trªn mp(P): mp(P) ∋ A, (P) ⊥ OA ⇒ mp(P) lμ tiÕp diÖn cña (S) t¹i A. O A P a
* §−êng th¼ng a tiÕp xóc víi mÆt cÇu S(O;R) khi vμ chØ khi cã mét trong c¸c ®iÒu kiÖn sau: • MÆt cÇu (S) vμ ®−êng th¼ng a cã mét ®iÓm chung duy nhÊt. • Kho¶ng c¸ch tõ t©m O cña mÆt cÇu (S) tíi ®−êng th¼ng a b»ng b¸n kÝnh cña mÆt cÇu. • §−êng th¼ng a vu«ng gãc víi mét b¸n kÝnh OH cña mÆt cÇu (S) t¹i H. • §−êng th¼ng a n»m trong mÆt ph¼ng tiÕp xóc víi mÆt cÇu (S) vμ ®i qua ®iÓm tiÕp xóc.
§Þnh lý 2: Qua ®iÓm A n»m ngoμi mÆt cÇu S(0;R) cã v« sè tiÕp tuyÕn víi mÆt cÇu (S). §é dμi c¸c ®o¹n th¼ng kÎ tõ A tíi c¸c tiÕp ®iÓm ®Òu b»ng nhau. Cm: §Æt OA = d ⇒ d > R A Gäi (P) lμ mÆt ph¼ng tuú ý ®i qua AO; mp(P) ∩ S(O;R) = C(O;R). M’ V× A n»m ngoμi (S) nªn A n»m ngoμi (C). Qua A kÎ 2 tiÕp tuyÕn AM vμ AM’ víi (C), ®ã lμ 2 tiÕp tuyÕn cña (S). M 0 Khi (P) thay ®æi vÉn ®i qua AO th× cã v« sè tiÕp tuyÕn víi (S) kÎ tõ A. XÐt AMO: AM2 = AO2 - OM2 = d2 - R2 (C) ⇒ AM= d2 − R2 VËy c¸c ®o¹n th¼ng kÎ tõ A tíi c¸c tiÕp P ®iÓm ®Òu b»ng nhau.
VÝ dô. Cho mÆt cÇu S(O ; a) vμ mét ®iÓm A, biÕt OA = 2a, qua A kÎ mét tiÕp tuyÕn tiÕp xóc víi (S) t¹i ®iÓm B vμ còng qua A kÎ mét c¸t tuyÕn c¾t (S) t¹i C vμ D, biÕt CD = a 3 a) TÝnh AB. b) TÝnh kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn ®−êng th¼ng CD. Gi¶i: a) Ta cã AB tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i B nªn AB⊥OB: AB = OA 2 − OB2 = 4a 2 − a 2 = a 3 b) Gäi H lμ h×nh chiÕu cña O lªn CD ta cã: OC=OD=a, nªn tam gi¸c OCD c©n t¹i O, do ®ã H lμ trung ®iÓm cña CD. CD a 3 Suy ra : HC = = 2 2 D H 2 ⎛a 3⎞ a OH = OC − HC = a − ⎜ 2 2 2 ⎟ = B ⎜ 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠ C O a VËy kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn CD lμ 2 A
Bμi 5 . Cho mÆt cÇu (O ; R) tiÕp xóc víi mp(P) t¹i I, M lμ mét ®iÓm n»m trªn mÆt cÇu. Hai tiÕp tuyÕn t¹i M cña mÆt cÇu c¾t t¹i mp(P) t¹i A vμ B. Chøng minh r»ng AMB = AIB Gi¶i: V× mp(P) tiÕp xóc víi mÆt cÇu t¹i I nªn AI vμ BI lμ hai tiÕp tuyÕn víi mÆt cÇu. V× AM vμ AI lμ hai tiÕp tuyÕn víi M mÆt cÇu kÎ tõ ®iÓm A nªn: AM = AI. O T−¬ng tù ta cã BM = BI. I ⇒Hai tam gi¸c AMB vμ AIB A b»ng nhau (c, c, c). P B ⇒ AMB = AIB
VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi mÆt ph¼ng d>R d=R d
VÞ trÝ t−¬ng ®èi cña mÆt cÇu víi ®−êng th¼ng d>R d=R d
VÞ trÝ ®iÓm A Sè l−îng tiÕp tuyÕn H×nh ¶nh A ∈(C) 1 O TiÕp tuyÕn cña A ®−êng trßn (C) O A ngoμi (C) 2 A O A ∈(S) V« sè P A A TiÕp tuyÕn cña mÆt cÇu (S) A ngoμi (S) V« sè O