Xây dựng các quá trình ngẫu nhiên

Chia sẻ: Hanh My | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

101
lượt xem 14
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong quá trình tiên đề lý thuyết xác suất bằng lý thuyết đo, vấn đề là xây dựng một sigma-đại số của các tập đo được của không gian các hàm số, và đặt lên đó một độ đo hữu hạn. Với mục đích này theo truyền thống người ta sử dụng một phương pháp gọi là mở rộng Kolmogorov. Có một cách tiên đề hóa lý thuyết xác suất khác thông qua các giá trị mong đợi trên đại số C-sao của các biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp này phương pháp đó được gọi là xây dựng Gelfand-Naimark-Segal....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xây dựng các quá trình ngẫu nhiên

Xây dựng các quá trình ngẫu nhiên Trong quá trình tiên đề lý thuyết xác suất bằng lý thuyết đo, vấn đề là xây dựng một sigma-đại số của các tập đo được của không gian các hàm số, và đặt lên đó một độ đo hữu hạn. Với mục đích này theo truyền thống người ta sử dụng một phương pháp gọi là mở rộng Kolmogorov. Có một cách tiên đề hóa lý thuyết xác suất khác thông qua các giá trị mong đợi trên đại số C-sao của các biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp này phương pháp đó được gọi là xây dựng Gelfand-Naimark-Segal. Điều này giống như là hai cách tiếp cận lý thuyết độ đo và tích phân, khi người ta có chọn lựa xây dựng độ đo trên các tập hợp trước và định nghĩa tích phân sau đó, hay là xây dựng các tích phân trước và định nghĩa độ đo tập hợp như là tích phân của các hàm số đặc trưng. Phép mở rộng Kolmogorov Phép mở rộng Kolmogorov được diễn đạt theo quá trình sau: giả sử một độ đo xác suất trên không gian của các hàm số tồn tại, thì nó có thể được sử dụng để chỉ ra phân bố xác suất liên kết của các biến ngẫu nhiên hữu hạn chiều . Bây giờ, từ phân bố xác suất n-chiều này ta có thể suy ra một phân bố xác suất biên (n − 1)-chiều cho . Chú ý rằng điều kiện tương thích hiển nhiên, rằng phân bố xác suất
biên này là cùng loại với phân bố được suy ra từ quá trình ngẫu nhiên, là không cần thiết. Một điều kiện như vậy là đúng, ví dụ, nếu như quá trình ngẫu nhiên là quá trình Wiener (trong trường hợp này các phân bố biên là tất cả các phân bố gaussian của loại hàm mũ) nhưng không tổng quát cho tất cả các quá trình ngẫu nhiên. Khi điều kiện này được biễu diễn dưới các hàm mật độ xác suất, kết quả được gọi là phương trình Chapman- Kolmogorov. Định lý mở rộng Kolmogorov bảo đảm sự tồn tại của một quá trình ngẫu nhiên với một họ của các phân bố xác suất hữu hạn chiều thỏa mãn điều kiện tương thích Chapman-Kolmogorov. khả ly, hay là thứ mà phép mở rộng Kolmogorov không cung cấp Nhớ lại rằng, trong hệ tiên đề Kolmogorov, các tập hợp đo được là các tập có xác suất, hay nói các khác, là các tập hợp liên quan tới các câu hỏi có/không có một câu trả lời mang tính xác suất. Phép mở rộng Kolmogorov bắt đầu bằng các tuyên bố rằng để gọi là đo được tất cả các tập hợp hàm số với hữu hạn tọa độ được giới hạn nằmg trong các tập con đo được của Yn. Nói một cách khác, nếu một câu hỏi có/không về hàm số f có thể được trả lời bằng cách xem xét các giá trị của nhiều nhất là hữu hạn tọa độ, thì nó có một câu trả lời mang tính xác suất. Trong lý thuyết độ đo, nếu chúng ta có một họ vô hạn đếm được của các tập hợp đo được, thì hợp và giao của chúng là một tập đo được. Cho mục đích của chúng ta, điều này nghĩa là các câu hỏi có/không phụ thuộc vào bao nhiêu tọa độ đếm được mà chúng ta có câu trả lời xác suất.
Điều khả quan là phép mở rộng Kolmogorov làm chúng ta có thể xây dựng một quá trình ngẫu nhiên với các phân bố hữu hạn chiều khá là tùy ý. . [sửa] Các ví dụ và các trường hợp đặc biệt [sửa] Thời gian Một trường hợp đặc biệt là khi thời gian là một tập hợp rời rạc, ví dụ các số tự nhiên không âm {0, 1, 2, 3, ...}. Trường hợp đặc biệt quan trọng khác là khi . Các quá trình ngẫu nhiên có thể được định nghĩa trên các chiều không gian cao hơn bằng cách gắn một biến ngẫu nhiên đa chiều vào từng điểm của tập chỉ số, tương đương với việc sử dụng một tập chỉ số đa chiều (multidimensional index set). Thật vậy một biến ngẫu nhiên đa chiều tự nó có thể được xem như là một quá trình ngẫu nhiên với tập chỉ số T = {1, ..., n}. [sửa] Các ví dụ Các quá trình ngẫu nhiên liên tục được gọi là các quá trình Wiener. Trong dạng nguyên thủy bài toán liên quá đến chuyển động của một hạt chuyển động trên một bề mặt chất lỏng, nhận các cú "hích" từ các phân tử của chất lỏng. Hạt đó được xem như là chịu một lực ngẫu nhiên mà, bởi vì các phân tử là rất nhỏ và rất gần nhau, được xem như là liên tục và, bởi vì hạt đó bị giới hạn trong mặt chất lỏng bởi sức căng bề mặt, tại mỗi điểm của thời gian nó là một vecto song song với bề mặt