Xây dựng phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều bằng các toán tử Casimir
lượt xem 0
download
Bài toán MICZ – Kepler ba chiều vẫn chưa được tiếp cận theo hướng sử dụng toán tử Casimir. Trong đề tài này, chúng tôi tiếp cận bài toán MICZ – Kepler ba chiều theo hướng sử dụng toán tử Casimir. Cụ thể là sử dụng toán tử bất biến Casimir để xây dựng phổ năng lượng cho bài toán MICZ – Kepler ba chiều.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Xây dựng phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều bằng các toán tử Casimir
- Năm học 2012 - 2013 XÂY DỰNG PHỔ NĂNG LƯỢNG CỦA BÀI TOÁN MICZ – KEPLER BA CHIỀU BẰNG CÁC TOÁN TỬ CASIMIR Lê Đại Nam (SV năm 2, Khoa Vật lí) GVHD: ThS Phan Ngọc Hưng 1. Mở đầu Bài toán chuyển động của một hạt trong trường Coulomb có thêm đơn cực từ được gọi là bài toán MIC – Kepler hay MICZ – Kepler [6]. Bài toán lần dầu tiên được khảo sát vào những năm 60 của thế kỷ XX, bởi các nhà vật lý McIntosh và Cisneros [4] và Zwanziger [10]. Theo đó, hệ được xét bởi một hạt chuyển động quanh một dyon – một hạt gồm có cả điện tích và từ tích. Bài toán MICZ – Kepler ba chiều chính là bài toán Coulomb trong không gian ba chiều có đơn cực từ Dirac. Những bài toán MICZ – Kepler có số chiều cao hơn (năm chiều [5] và chín chiều [3], [6]) là những bài toán Coulomb có số chiều tương ứng và xét thêm các đơn cực từ có số chiều cao hơn. Trong quá trình tổng quát hóa đơn cực từ Dirac lên số chiều cao hơn, nhà vật lý Mỹ gốc Trung Quốc Dương Chấn Ninh (Yang Chen Ning) đã đưa ra đơn cực từ Yang [9] với thế đơn cực SU(2) ứng với bài toán MICZ – Kepler năm chiều. Và khi tổng quát hóa đơn cực từ Dirac và đơn cực từ Yang lên số chiều cao hơn nữa, nhóm nghiên cứu Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh (ĐHSP TPHCM) đưa ra đơn cực từ SO(8) với thế đơn cực SO(8) [3] ứng với bài toán MICZ – Kepler chín chiều [3], [6]. Bài toán MICZ – Kepler đã và đang được tiếp cận theo nhiều hướng khác nhau: giải phương trình Schrodinger theo cách thuần giải tích, sử dụng toán tử sinh – hủy, sử dụng toán tử bất biến Casimir,… Trong đó, phương pháp sử dụng toán tử Casimir đã được Mardoyan, Sissakian, Ter-Antonyan áp dụng thành công cho bài toán MICZ – Kepler năm chiều [5]. Nhóm nghiên cứu Trường ĐHSP TPHCM đang tiếp cận bài toán MICZ – Kepler chín chiều theo nhiều hướng, trong đó cũng lưu ý đến việc sử dụng toán tử bất biến Casimir. 2. Mục tiêu Bài toán MICZ – Kepler ba chiều vẫn chưa được tiếp cận theo hướng sử dụng toán tử Casimir. Trong đề tài này, chúng tôi tiếp cận bài toán MICZ – Kepler ba chiều theo hướng sử dụng toán tử Casimir. Cụ thể là sử dụng toán tử bất biến Casimir để xây dựng phổ năng lượng cho bài toán MICZ – Kepler ba chiều. Từ đây, ta so sánh với các kết quả của Zwanziger [10] và McIntosh và Cisneros [4] cũng như so sánh giữa các hướng tiếp cận bài toán. Và rộng hơn, việc giải quyết bài toán ba chiều tạo cơ sở cho việc giải quyết bài toán MICZ – Kepler 9 chiều theo hướng sử dụng toán tử Casimir. 108
- Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Để hoàn thành mục tiêu trên, chúng tôi tập trung vào các nội dung sau: - Hệ thống hóa kiến thức về việc giải quyết bài toán Coulomb ba chiều lượng tử bằng cách sử dụng toán tử Casimir. - Giải quyết bài toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử bằng cách sử dụng toán tử Casimir. - So sánh các kết quả thu được với kết quả đã có từ [4], [10]. - Đưa ra những cơ sở để giải quyết bài toán MICZ – Kepler ở những chiều cao hơn bằng cách sử dụng toán tử Casimir. 3. Nội dung và kết quả nghiên cứu 3.1. Mô hình giải quyết bài toán Để giải quyết bài toán Coulomb ba chiều và MICZ – Kepler ba chiều lượng tử bằng cách sử sụng toán tử Casimir, chúng tôi thực hiện các bước sau: - Xác định tính đối xứng của bài toán (đối xứng được thừa nhận và đôi xứng ẩn), đưa ra một nhóm đối xứng cụ thể của bài toán. - Xây dựng các toán tử Casimir của nhóm đối xứng được đưa ra. - Liên hệ giữa các toán tử Casimir xây dựng được với Hamiltonian của bài toán, từ đây xây dựng mối liên hệ giữa trị riêng của các toán tử Casimir với phổ năng lượng tương ứng. - Rút ra phổ năng lượng của bài toán từ phổ trị riêng của các toán tử Casimir. 3.2. Bài toán Coulomb lượng tử 3.2.1. Hamiltonian của bài toán Xét bài toán Coulomb lượng tử gồm một electron điện tích e chuyển động quanh một hạt nhân có điện tích Ze . Trong hệ đơn vị nguyên tử h m c e 1 , Hamiltonian tương ứng cho bài toán trên là: Z 1 Z Hˆ pˆ 2 , (3.1) 2 r 2 r trong đó, pˆ 2 pˆ k pˆ k với pˆ k i là các toán tử hình chiếu xung lượng và xk r 2 xk2 (với k 1, 2, 3 ). Từ định nghĩa toán tử xung lượng ở trên, ta thu được hệ thức giao hoán quen thuộc: pˆ k1 , xk2 i k1k2 , (3.2) 3.2.2. Toán tử moment động lượng Trong bài toán Coulomb cổ điển, ta có vector moment động lượng: L r p Lˆ rˆ pˆ . (3.3) 109
- Năm học 2012 - 2013 Để thuận tiện cho việc mở rộng bài toán lên số chiều cao hơn, ta biểu diễn lại các thành phần của Lˆ như sau: Lˆk1k2 k1k2 k3 Lˆk3 , (3.4) Từ đó suy ra: Lˆk1k2 xk1 pˆ k 2 xk 2 pˆ k1 . (3.5) Biểu diễn như vậy cho ta thấy rõ tính phản đối xứng của các thành phần của toán tử moment động lượng Lˆk k Lˆk k nếu k1 k2 và Lˆk k 0 nếu k1 k2 . 1 2 2 1 1 2 Bằng cách tính trực tiếp, ta tìm được các hệ thức giao hoán giữa Lˆk k với pˆ m , xm : 1 2 Lˆk k , xm i mk xk i mk xk , (3.6) 12 1 2 2 1 Lˆk k , pˆ m i mk pˆ k i mk pˆ k , (3.7) 12 1 2 2 1 và với Hamiltonian Hˆ : Lˆk k , Hˆ 0 . (3.8) 12 Hệ thức trên cho thấy, moment động lượng là một đại lượng bảo toàn trong bài toán Coulomb ba chiều lượng tử. Tiếp tục tính toán trực tiếp và sử dụng các hệ thức (3.6) và (3.7), ta thu được hệ thức giao hoán giữa các thành phần của moment xung lượng: Lˆ , Lˆ i Lˆ i Lˆ i Lˆ i Lˆ . (3.9) Nghĩa là các Lˆk k là các vi tử của nhóm SO(3). Từ (3.8) và (3.9), ta có thể kết 1 2 luận: bài toán Coulomb ba chiều có đối xứng SO(3). 3.2.3. Vector Runge – Lenz Trong bài toán Coulomb cổ điển, còn có một đại lượng bảo toàn - vector Runge – Lenz [6]: r 1 rˆ M p L Z Mˆ pˆ Lˆ Lˆ pˆ 2 Z .(3.10) r 2 r Từ đó, ta có các thành phần của vector Runge – Lenz: 1 x Mˆ k pˆ m .Lˆmk Lˆmk . pˆ m 2 Z k . (3.11) 2 m m r Từ định nghĩa vector Runge – Lenz như trên, ta có thể tìm được các hệ thức giao hoán tử của thành phần Mˆ k của vector Runge – Lenz với các thành phần của toán tử 110
- Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH moment động lượng Lˆ , với các thành phần của vector Runge – Lenz và với Hamiltonian Hˆ lần lượt như sau: Lˆ , Mˆ k i k Mˆ i k Mˆ , (3.12) Mˆ k , Mˆ k 2iHL ˆˆ , (3.13) 1 2 k1k 2 Mˆ k , Hˆ 0 . (3.14) Hệ thức trên cho thấy, vector Runge - Lenz là một đại lượng bảo toàn trong bài toán Coulomb ba chiều lượng tử. 3.2.4. Đối xứng ẩn của bài toán Để khảo sát tính đối xứng của bài toán, ta xây dựng ma trận Dˆ như sau: Lˆ Mˆ k 12 Dˆ mn Mˆ 0 , trong đó, Mˆ k 2 Hˆ Mˆ k . k Từ (3.9), (3.12) và (3.13) suy ra: Dˆ , Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ .(3.15) Biểu thức (3.15) chứng tỏ rằng Dˆ là các vi tử của nhóm SO(4) và Dˆ , Hˆ 0 , do đó ta có thể kết luận: bài toán Coulomb ba chiều có đối xứng ẩn SO(4). 3.2.5. Các toán tử Casimir của nhóm D Các toán tử Casimir của nhóm D được định nghĩa như sau [3]: Cˆ2 Dˆ1 2 Dˆ 21 2 Lˆ2 Mˆ 2 , (3.16) Cˆ 2 1 2 3 4 Dˆ 1 2 Dˆ 3 4 8 L. M . (3.17) Từ định nghĩa toán tử moment động lượng và vector Runge – Lenz, sử dụng các phép biến đổi, ta tìm được các hệ thức sau: Z2 Mˆ 2 L2 1 , (3.18) 2 Hˆ L.M = 0 . (3.19) Từ (3.16), (3.17), (3.18) và (3.19), ta suy ra được hai toán tử Casimir của nhóm D: 2 Z Cˆ 2 2 , (3.20) Hˆ ˆ 0. C (3.21) 2 111
- Năm học 2012 - 2013 3.2.6. Phổ năng lượng của bài toán Coulomb Trị riêng của hai toán tử Casimir trên : Z2 c 2 2 , E (3.22) c 0. 2 Từ [7], các toán tử Casimir của nhóm SO(4) có dạng: c2 2 1 1 2 22 , (3.23) c2 8 1 1 2 . trong đó, 1 , 2 là các số nguyên hoặc bán nguyên thỏa mãn 1 2 là một số nguyên và 1 2 0 . Thay (3.23) vào (3.22), ta giải ra được: 2 Z2 1 1 , 2E (3.24) 0. 2 trong đó, 1 1 n là số nguyên dương. Phổ năng lượng của bài toán Coulomb là: Z2 E với n 1, 2,... . (3.25) 2n 2 3.3. Bài toán MICZ – Kepler lượng tử 3.3.1. Hamiltonian của bài toán Xét bài toán MICZ – Kepler lượng tử gồm một electron điện tích e chuyển động 1 3 quanh một hạt nhân có điện tích Ze , có đơn cực từ Dirac 0; ; 1; ; 2;... 2 2 trong không gian ba chiều. Hamiltonnian tương ứng cho bài toán trên là: 1 2 Z 1 2 Z Hˆ 2 ˆ 2 2 , (3.26) 2 2r r 2 2r r trong đó, ˆ 2 ˆ j ˆ j với ˆ j pˆ j Aj là toán tử hình chiếu xung lượng có chứa thế j gauge A của đơn cực từ Dirac. Đơn cực từ Dirac gây ra từ trường: r B= . (3.27) r3 Trong đó, thế gauge của đơn cực từ Dirac là: 112
- Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH 1 1 A r e3 x2 , x1 , 0 . (3.28) r r x3 r r x3 Thế gauge này thỏa mãn: B = A . (3.29) Từ định nghĩa toán tử hình chiếu xung lượng như trên, ta có các hệ thức giao hoán sau: ˆ k1 , xk2 i k1k2 , (3.30) i ˆ k1 , ˆk2 3 k1k2 k3 xk3 . (3.31) r k3 3.3.2. Toán tử moment động lượng mở rộng – vector Poincaré suy rộng Trong bài toán MICZ – Kepler cổ điển, vector moment động lượng không bảo toàn, chỉ có vector Poincaré bảo toàn [1]. Vector Poincaré được định nghĩa như sau: r r r& . (3.32) r Do đó, vector Poincaré suy rộng trong bài toán MICZ-Kepler lượng tử ba chiều là: rˆ ˆ rˆ ˆ . (3.33) r Ta biểu diễn lại các thành phần của vector Poincaré như sau: ˆ k1k 2 k1k 2 k3 ˆ . k3 (3.34) Sử dụng hệ thức giao hoán (3.31), ta biểu diễn lại các thành phần của vector Poincaré như sau: ˆ x ˆ x ˆ ir 2 ˆ , ˆ . (3.35) k1k2 k1 k2 k2 k1 k1 k2 Biểu diễn như vậy cho ta thấy rõ tính phản đối xứng của các thành phần của vector Poincaré ˆ k k ˆ k k nếu k1 k2 và ˆ k k 0 nếu k1 k2 . 1 2 2 1 1 2 Bằng cách tính trực tiếp, ta tìm được các hệ thức giao hoán giữa ˆ k k với ˆ m , 1 2 xm : ˆ k1k2 , xm i mk1 xk2 i mk2 xk1 , (3.36) ˆ ˆ k1k2 , m i mk1 k2 i mk2 k1 , (3.37) ˆ ˆ và với Hamiltonian Hˆ : ˆ ˆ k1k2 , H 0 . (3.38) 113
- Năm học 2012 - 2013 Hệ thức trên cho thấy, vector Poincaré là một đại lượng bảo toàn trong bài toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử. Tiếp tục tính toán trực tiếp và sử dụng các hệ thức (2.40) và (2.41), ta thu được hệ thức giao hoán giữa các thành phần của vector Poincaré: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , i i i i .(3.39) Nghĩa là các ˆ k k là các vi tử của nhóm SO(3). Từ (3.38) và (3.39), ta có thể kết 1 2 luận: bài toán MICZ – Kepler ba chiều có đối xứng SO(3). 3.3.3. Vector Runge – Lenz Trong bài toán MICZ – Kepler cổ điển, còn có một đại lượng bảo toàn - vector Runge – Lenz [6][10]: r 1 M Z Mˆ ˆ ˆ ˆ 2 Z rˆ .(3.40) ˆ r 2 r Từ đó, ta có các thành phần của vector Runge – Lenz: 1 x 2 m Mˆ k ˆm ˆ mk ˆ mk ˆm 2 Z k . r (3.41) Từ định nghĩa vector Runge – Lenz như trên, ta có thể tìm được các hệ thức giao hoán tử của thành phần Mˆ k của vector Runge – Lenz với các thành phần vector Poincaré ˆ , với các thành phần của vector Runge – Lenz và với Hamiltonian Hˆ lần lượt như sau: ˆ ˆ ˆ ˆ , M k i k M i k M , (3.42) Mˆ k , Mˆ k 2iHˆ ˆ k k , (3.43) 1 2 1 2 Mˆ k , Hˆ 0 . (3.44) Hệ thức trên cho thấy, vector Runge - Lenz là một đại lượng bảo toàn trong bài toán MICZ – Kepler ba chiều lượng tử. 3.3.4. Đối xứng ẩn của bài toán Để khảo sát tính đối xứng của bài toán, ta xây dựng ma trận Dˆ như sau: ˆ Mˆ k 12 Dˆ mn Mˆ 0 , trong đó, Mˆ k 2 Hˆ Mˆ k . k Từ (3.39), (3.42) và (3.43) suy ra: Dˆ , Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ i Dˆ .(3.45) 114
- Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH Biểu thức (3.45) chứng tỏ rằng Dˆ là các vi tử của nhóm SO(4) và Dˆ , Hˆ 0 , do đó ta có thể kết luận: bài toán MICZ – Kepler ba chiều có đối xứng ẩn SO(4). 3.3.5. Các toán tử Casimir của nhóm D Các toán tử Casimir của nhóm D được định nghĩa như sau [3]: Cˆ2 Dˆ12 Dˆ 21 2 ˆ 2 Mˆ 2 , (3.46) Cˆ 2 1 2 3 4 Dˆ 1 2 Dˆ 3 4 8 . M . (3.47) Từ định nghĩa vector Poincaré và vector Runge – Lenz, sử dụng các phép biến đổi, ta tìm được các hệ thức sau: 2 ˆ 2 1 Z 2 , Mˆ 2 (3.48) 2 Hˆ Z . M = . (3.49) 2 Hˆ Từ đây, ta suy ra được hai toán tử Casimir của nhóm D: 2 Z Cˆ 2 2 2 2 , (3.50) Hˆ 8 Z Cˆ 2 . (3.51) 2Hˆ 3.3.6. Phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều Trị riêng của hai toán tử Casimir trên : Z2 2c 2 2 2 , E (3.52) c 8 Z 2 . 2 E Từ [7], các toán tử Casimir của nhóm SO(4) có dạng: c2 2 1 1 2 22 , (3.53) c2 8 1 1 2 . trong đó, 1 , 2 là các số nguyên hoặc bán nguyên thỏa mãn 1 2 là một số nguyên và 1 2 0 . Thay (3.53) vào (3.52), ta giải ra được: 2 Z2 1 1 , (3.54) 2E . 2 115
- Năm học 2012 - 2013 trong đó, 1 1 n j với n là số nguyên dương và j , 1, 2,... . Phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều là: Z2 E 2 , (3.55) 2n j với n 1, 2,... và j , 1, 2,... Đây là kết quả cần tìm của bài toán MICZ – Kepler ba chiều, kết quả này phù hợp với các kết quả của McIntosh và Cisneros (1970) [5] và Zwanziger (1968) [10]. 4. Kết luận và hướng phát triển Trong đề tài này, chúng tôi đã khảo sát tính đối xứng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều và xây dựng các toán tử Casimir tương ứng với đối xứng ẩn tìm được. Dựa vào các toán tử Casimir xây dựng được, chúng tôi đã xây dựng được mối liên hệ giữa các toán tử Casimir đó và Hamiltonian của bài toán, từ đó, xây dựng được phổ năng lượng của bài toán MICZ – Kepler ba chiều. Dựa vào các kết quả thu được, chúng tôi có kết luận sau: Bài toán MICZ – Kepler ba chiều được thừa nhận rộng rãi là có đối xứng SO(3). Với việc bổ sung thêm vector Runge – Lenz, bài toán đã được chứng minh là có đối xứng ẩn SO(4). Tính đối xứng của bài toán và sử dụng các toán tử Casimir cho phép ta tìm ra công thức phổ năng lượng cho bài toán MICZ – Kepler ba chiều, kết quả (3.55) thu được hoàn toàn trùng khớp với kết quả đã thu được bởi McIntosh và Cisneros (1970) [4] và Zwanziger (1968) [10]. Tương tự bài toán MICZ – Kepler ba chiều, bài toán MICZ – Kepler n chiều cũng đã được chứng minh là có tính đối xứng ẩn SO n 1 – với n = 3 là SO(4) [4][10], n = 5 là SO(6) [5] và với n = 9 là SO(10) [6]. Việc sử dụng tính đối xứng của bài toán và toán tử Casimir cho phép ta tìm ra công thức phổ năng lượng cho bài toán MICZ – Kepler ba chiều (đề tài này) và bài toán MICZ – Kepler 5 chiều [5]. Do đó, hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp này để tiếp cận bài toán MICZ – Kepler 9 chiều. Trong quá trình giải quyết bài toán MICZ – Kepler ba chiều, chúng tôi đã giải quyết bài toán theo hướng tổng quát nhất để có thể áp dụng cho các bài toán MICZ – Kepler với số chiều cao hơn, cụ thể là bài toán MICZ – Kepler 9 chiều. 116
- Kỉ yếu Hội nghị sinh viên NCKH TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Dirac P. (1931), “Quantised Singularities in the Electromagnetic Field”, Proc. Roy. Soc. A 133, pp. 60-71. 2. Iachello F. (2006), Lie Algebras and Applications, Lect. Notes Phys. 708, Springer, Berlin Heidelberg. 3. Le V.H. and Nguyen T.S. (2010), “A non-Abelian SO(8) monopole as generalization of Dirac-Yang monopoles for a 9-dimensional space”, J. Math. Phys. 52, pp. 032105-1-11 4. McIntosh H.V. and Cisneros A. (1970), “Degeneracy in the Presence of a Magnetic Monopole”, J. Math. Phys. 11, pp. 896-916. 5. Mardoyan L.G. , Sissakian A.N. , Ter-Antonyan V.M. (1999), “Hidden symmetry of the Yang-Coulomb monopole”, Mod. Phys. Lett. A 14 (19), pp. 1303-1307. 6. Phan N.H. and Le V.H. (2012), “Generalized Runge-Lenz vector and a hidden symmetry of the nine-dimensional MICZ-Kepler problem”, J. Math. Phys. 53, pp. 082103. 7. Perelomov A.M. and Popov V.S. (1966), “Casimir operators for the Orthogonal and Symplectic groups”, JETP Letters 2, pp. 20-22. 8. Wu T.T and Yang C.N. (1975), “Concept of nonintegrable phase factors and global formulation of gauge fields”, Phys. Rev. D 12 (12), pp. 3845-3857. 9. Yang C.N. (1978), “Generalization of Dirac’s monopole to SU2 gauge fields”, J. Math. Phys. 19, pp. 320-329. 10. Zwanziger D. (1968), “Exact Soluble Nonrelativistic Model of Particals with Both Electric and Magnetic Charges”, Phys. Rev 176, pp. 1480 – 1489. 117
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Nâng cao chất lượng dạy học bài khái quát văn học ở trung học phổ thông bằng cách xây dựng hệ thống câu hỏi
6 p | 101 | 8
-
Xây dựng văn hóa ứng xử ở các trường trung học phổ thông tại thành phố Thủ Dầu Một, tỉnh Bình Dương
8 p | 32 | 8
-
Xây dựng hệ thống câu hỏi dạy học đọc hiểu thể loại thơ Nôm đường luật ở trung học phổ thông
7 p | 195 | 7
-
Hiệu trưởng với công tác xây dựng văn hóa học đường trong các cơ sở giáo dục phổ thông
8 p | 81 | 7
-
Quản lý xây dựng trường trung học cơ sở đạt chuẩn Quốc gia trên địa bàn huyện Triệu Phong, tỉnh Quảng Trị
9 p | 78 | 5
-
Thực trạng cán bộ quản lý, giáo viên và học sinh thực hiện nhiệm vụ xây dựng trường học hạnh phúc tại các trường trung học phổ thông tỉnh Long An
13 p | 5 | 5
-
Xây dựng trung tâm học liệu - một trong những thành tố quan trọng để xây dựng Trường Cao đẳng Công thương thành phố Hồ Chí Minh trở thành trường chất lượng cao
3 p | 9 | 4
-
Ứng dụng dữ liệu mở liên kết nhằm nâng cao chất lượng của các kho tri thức số
8 p | 10 | 4
-
Blended Elearning - Mô hình lớp học đảo ngược trên nền tảng VLE Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh và xây dựng năng lực tự học cho sinh viên trong thời kì kỉ nguyên
7 p | 9 | 4
-
Nguyên tắc và tiêu chí xây dựng ngữ liệu chủ đề biển đảo trong môn tiếng Việt tiểu học đáp ứng Chương trình giáo dục phổ thông 2018
5 p | 58 | 4
-
Một số nội dung xây dựng và phát triển đội ngũ giáo viên các cấp tỉnh Quảng Trị trong giai đoạn hiện nay
6 p | 6 | 3
-
Giáo dục thông minh và chiến lược xây dựng mô hình đại học thông minh ở Vương quốc Thái Lan
11 p | 8 | 3
-
Nghiên cứu xây dựng mô hình Đại học xanh - Áp dụng thí điểm cho một số trường đại học trên địa bàn thành phố Hồ Chí Minh
7 p | 33 | 3
-
Những vấn đề chung về xây dựng và sử dụng hệ thống bản đồ giáo khoa theo tinh thần đổi mới phương pháp dạy học Địa lí ở các trường phổ thông
4 p | 40 | 2
-
Sử dụng phần mềm quest/conquest để phân tích và nâng cao chất lượng đề kiểm tra tự luận dùng đánh giá năng lực của học sinh trung học phổ thông
3 p | 16 | 2
-
Xây dựng đội ngũ nhà giáo cho các lớp phổ thông dành cho học sinh điếc
4 p | 54 | 2
-
Các yếu tố ảnh hưởng đến xây dựng và ra quyết định giải pháp giảm ngập Trường hợp điển cứu tại Thành phố Cần Thơ
10 p | 52 | 1
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn