Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
XÂY DỰNG THUẬT TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ<br />
LUẬT ĐIỀU KHIỂN CHO CHUYỂN ĐỘNG ĐỒNG BỘ<br />
Nguyễn Văn Diên1*, Trần Đức Thuận2<br />
Tóm tắt: Thiết lập hệ phương trình mô tả quan hệ giữa vận tốc và quãng đường<br />
đi được với luật điều khiển dạng rơ le để xác định thời điểm chuyển dấu lực điều<br />
khiển đạt yêu cầu đồng bộ về thời gian và quãng đường đi được. Sau đó, ứng dụng<br />
phương pháp Newton-Raphson giải phương trình siêu việt để xác định các tham số<br />
luật điều khiển cho vật thể chuyển động trong chuyển động đồng bộ.<br />
Từ khóa: Luật điều khiển; Tối ưu; Chuyển động đồng bộ.<br />
<br />
1. MỞ ĐẦU<br />
Trong nhiều quá trình kỹ thuật cần phải đồng bộ [4, 5] các chuyển động. Một trong các<br />
vấn đề đồng bộ phổ biến trong công nghệ sản xuất đó là đòi hỏi mỗi một chuyển động<br />
trong khoảng thời gian định trước phải đi được quãng đường định trước (không đi đến<br />
đích quá sớm hoặc quá muộn). Ngoài việc đạt được trên còn phải đạt được những chỉ tiêu<br />
kinh tế kỹ thuật khác. Trong kỹ thuật xây dựng hoặc dây truyền tuyển chọn khoáng vật<br />
cần các chuyển động đạt vận tốc định trước khi cán đích. Vấn đề này còn chưa được đề<br />
cập nhiều ở Việt Nam và trong tài liệu [4, 5] cũng chưa đề cập đến vấn đề này. Chính vì<br />
vậy, trong công trình này nhóm tác giả sẽ ứng dụng giải thuật Newton-Raphson để giải<br />
phương trình siêu việt nhằm giải quyết vấn đề nêu trên.<br />
2. BÀI TOÁN ĐỒNG BỘ CÁC CHUYỂN ĐỘNG KỸ THUẬT VÀ<br />
VẤN ĐỀ TỔNG HỢP LỆNH ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU<br />
Giả sử có vật thể kỹ thuật chuyển động, tâm khối của nó được mô tả bằng phương trình<br />
sau:<br />
d 2x dx<br />
M 2 F a G , i 1, N (1)<br />
dt dt<br />
Trong đó x là dộ dịch chuyển; M là khối lượng (khi xét chuyển động của vật nặng<br />
dx<br />
trên đường ray thẳng), F là lực điều khiển; a là thành phần lực cản ma sát; G là<br />
dt<br />
thành phần lực trọng trường. Các giá trị ban đầu của hệ:<br />
dx<br />
x(0) 0 ; x (0) t 00 (2)<br />
dt<br />
Cần xác định luật thay đổi giá trị F sao cho sau khoảng thời gian T định trước vật thể<br />
chuyển động được đoạn đường định trước:<br />
x(T ) với mọi i 1, N (3)<br />
Và vận tốc cán đích đạt giá trị xác định (cho trước):<br />
x (T ) V * (4)<br />
Trong một số chuyển động kỹ thuật thì V * 0 .<br />
Trong thực tế, nhiều hệ thống sử dụng phương pháp điều khiển dạng rơ le tức là lực F<br />
nhận một trong hai giá trị sau:<br />
F F hoặc F F (5)<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 65<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Vấn đề đặt ra ở đây là cần xác định giá trị U và thời điểm chuyển giá trị lực điều<br />
khiển từ U sang U để đạt yêu cầu (3) và (4).<br />
Đặt<br />
x1 x ;<br />
dx<br />
x2 x1 x (6)<br />
dt<br />
Khi đó:<br />
d 2 x F ax2 G<br />
x2 (7)<br />
dt 2 M M M<br />
Tiếp tục đặt:<br />
F a G<br />
U ; am ; g (8)<br />
M M M<br />
Khi này phương trình (7) sẽ là:<br />
x2 U am x2 g (9)<br />
Ở đây, U có thể coi là lệnh điều khiển và nó chỉ nhận một trong hai giá trị sau:<br />
F F<br />
U U hoặc U U (10)<br />
M M<br />
Kết hợp phương trình (6) với (9) nhận được hệ phương trình mô tả chuyển động của<br />
vật dưới dạng véc tơ trạng thái như sau [1]:<br />
x f ( X ,U ) x2 <br />
X 1 F ( X ,U ) 1 (11)<br />
x2 f 2 ( X ,U ) U am x2 g <br />
Việc điều khiển chuyển động đồng bộ bản chất là tìm luật thay đổi lệnh điều khiển<br />
U (t ) trong miền giới hạn (10) để đưa hệ (11) trong khoảng thời gian xác định T từ trạng<br />
thái ban đầu:<br />
x (0) 0 <br />
X (0) 1 (12)<br />
x2 (0) 0 <br />
về trạng thái cuối:<br />
x (T ) <br />
X (0) 1 * (13)<br />
x2 (T ) V <br />
Vì ban đầu vật thể đứng yên nên để đưa nó vào chuyển động thì lệnh điều khiển phải có<br />
thứ tự thay đổi như sau:<br />
<br />
U khi t tk<br />
U (t ) (14)<br />
U khi t tk<br />
Khi đó, trong khoảng thời gian [0, tk ] phương trình (9) sẽ có dạng sau:<br />
x2 U am x2 g (15)<br />
Biến đổi (15) về dạng:<br />
<br />
<br />
<br />
66 N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
x2 am x2 U g (16)<br />
Lời giải phương trình (16) sẽ có dạng [3]:<br />
(U g )<br />
x2 (t ) c3e amt (17)<br />
am<br />
Theo điều kiện ban đầu (12) nên có:<br />
(U g ) (U g )<br />
x2 (0) c3e am 0 c3 0 (18)<br />
am am<br />
(U g )<br />
Vậy: c3 (19)<br />
am<br />
(U g )<br />
Do đó, nghiệm (17) sẽ là: x2 (t ) (1 e amt ) (20)<br />
am<br />
Từ phương trình (6) ( x1 x2 ) có lời giải đối với biến số x1 như sau:<br />
t t<br />
(U g )<br />
x1 (t ) x2 ( )d (1 e am )d<br />
0 0<br />
a m<br />
t<br />
(U g ) (U g ) am<br />
<br />
am<br />
t<br />
am 0 e d (21)<br />
<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
t (1 e amt )<br />
am am am<br />
Ở thời điểm chuyển đổi giá trị điều khiển tk thì các biến x1 , x2 sẽ là:<br />
<br />
(U g )<br />
x2 (tk ) (1 e amtk ) (22a)<br />
am<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
x1 (tk ) tk (1 e amtk ) (22b)<br />
am am am<br />
Còn trong khoảng thời gian [tk , T ] lệnh điều khiển đổi dấu, khi đó phương trình (9)<br />
sẽ có dạng sau:<br />
x2 U am x2 g (23)<br />
<br />
Hoặc: x2 am x2 U g (24)<br />
Lời giải phương trình (24) sẽ có dạng:<br />
(U g )<br />
x2 (t ) c4 e am ( t tk ) (25)<br />
am<br />
(U g )<br />
Khi t tk thì: x2 c4 (26)<br />
am<br />
So sánh (26) với (22a) sẽ xác định được phương trình:<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 67<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
(U g ) (U g )<br />
(1 e amtk ) c4 (27)<br />
am am<br />
Vậy c4 sẽ là:<br />
<br />
U (U g ) amtk<br />
c4 2 e (28)<br />
am am<br />
Thay (28) vào (25) nhận được:<br />
(U g ) U (U g ) amtk am (t tk )<br />
x2 (t ) (2 e )e (29)<br />
am am am<br />
Tương tự (21) có thể xác định x1 (t ) như sau:<br />
t<br />
x1 (t ) x1 (tk ) x2 ( )d (30)<br />
tk<br />
<br />
Thay x1 (tk ) bằng vế phải biểu thức (35b) và thay x2 ( ) bằng vế phải biểu thức (29)<br />
vào (30) có:<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
x1 (t ) [ tk (1 e amtk )]<br />
am am am<br />
t<br />
(31)<br />
(U g ) U (U g ) amtk am ( tk )<br />
+ ( (2 e )e )d<br />
tk<br />
am am am<br />
Thực hiện phép lấy tích phân trong biểu tức (31) nhận được:<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
x1 (t ) [ tk (1 e amtk )]<br />
am am am<br />
t<br />
(U g ) U (U g ) amtk<br />
+ (t tk ) (2 e ) e am ( tk ) d<br />
am am am tk<br />
<br />
Hoặc:<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
x1 (t ) [ tk (1 e amtk )]<br />
am am am<br />
(32)<br />
(U g ) U (U g ) amtk (1 e am ( t tk ) )<br />
+ (t tk ) (2 e )<br />
am am am am<br />
Khi t T thì:<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
x1 (T ) [ tk (1 e amtk )]<br />
am am am<br />
(33)<br />
(U g ) U (U g ) amtk (1 e am (T tk ) )<br />
+ (T tk ) (2 e )<br />
am am am am<br />
Theo điều kiện biên (13) ( x1 (T ) ) sẽ có phương trình sau:<br />
<br />
<br />
<br />
68 N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
x1 (T ) [ tk (1 e amtk )]<br />
am am am<br />
(U g ) U (U g ) amtk (1 e am (T tk ) )<br />
+ (T tk ) (2 e ) <br />
am am am am<br />
<br />
hoặc:<br />
(U g ) (U g ) 1<br />
[ tk (1 e amtk )]<br />
am am am<br />
(34)<br />
(U g ) U (U g ) amtk (1 e am (T tk ) )<br />
+ (T tk ) (2 e ) 0<br />
am am am am<br />
<br />
Theo điều kiện vận tốc tiếp cận đích (4) và từ các biểu thức (6), (29) có phương trình sau:<br />
(U g ) U (U g ) amtk am (T tk )<br />
x2 (T ) (2 e )e V*<br />
am am am<br />
hoặc:<br />
(U g ) U (U g ) amtk am (T tk )<br />
(2 e )e V * 0 (35)<br />
am am am<br />
Vì các tham số g , am , T , là các tham số xác định nên giải hai phương trình (34)<br />
và (35) sẽ xác định được tham số tk và U , tức là xác định được lực điều khiển tối đa cần<br />
có và thời điểm thay đổi lệnh điều khiển từ mức U sang mức U để thỏa mãn các điều<br />
kiện (3) và (4). Gọi U y , tk z từ hai phương trình (34) và (35) có hệ phương trình<br />
đại số sau:<br />
( y g ) y ( y g ) am z am (T z )<br />
(2 e )e V * f1 ( y, z ) 0 (36)<br />
am am am<br />
( y g) ( y g) 1<br />
[ z (1 e am z )]<br />
am am am<br />
(37)<br />
( y g ) y ( y g ) am z (1 e am (T z ) )<br />
+ (T z ) (2 e ) f 2 ( y, z ) 0<br />
am am am am<br />
Hệ phương trình đại số (36) và (37) là hệ phương trình phi tuyến, nên không có lời giải<br />
giải tích. Vì vậy, cần phải xây dựng thuật toán để xác định nghiện y, z . Để thực hiện việc<br />
này, xin đề xuất áp dụng phương pháp số Newton-Raphson [3]. Theo phương pháp này để<br />
xác định nghiệm hệ phương trình (36), (37) tiến hành phép truy hồi như sau:<br />
1<br />
f1 f1 <br />
y (i 1) y (i ) y z f1 ( y (i ), z (i )) <br />
z (i 1) z (i ) f <br />
f 2 f 2 ( y (i ), z (i )) <br />
(38)<br />
2<br />
y z <br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 69<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Ở đây, giá trị ban đầu có thể nhận giá trị sau:<br />
y (0) U 0 , z (0) T (39)<br />
Giá trị có thể là giá trị ước lượng nào đó.<br />
Từ (36), (37) có thể xác định các đạo hàm riêng như sau:<br />
<br />
f1 ( y, z ) 1 2e am (T z ) e am z e am (T z )<br />
<br />
y am am am<br />
(40)<br />
2e am (T z ) e amT 1<br />
<br />
am<br />
f1 ( y, z ) y ( y g ) am z am (T z )<br />
(2 e )e<br />
z am am (41)<br />
amT am z<br />
2 ye e<br />
<br />
f 2 ( y, z ) z 1 e am z T z 2(1 e am (T z ) ) (1 e am (T z ) )e am z<br />
<br />
y am am2 am am2 am2<br />
2 z T 2 2e am (T z ) 1 e am z e am z e am (T z ) e am z<br />
(42)<br />
am am2<br />
2 z T 1 e am (T z ) (e am z 2)<br />
<br />
am am2<br />
<br />
f 2 ( y, z ) ( y g ) (U g )e am z<br />
<br />
z am am<br />
( y g ) ye am (T z ) ( y g ) am z<br />
2 e (43)<br />
am am am<br />
2 g 2 ye am (T z ) 2( y g ) am z<br />
e<br />
am am am<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 1. Vận tốc dịch chuyển. Hình 2. Quãng đường đi được.<br />
<br />
<br />
<br />
70 N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”<br />
Nghiên cứu khoa học công nghệ<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 3. Thời điểm chuyển dấu Hình 4. Lực điều khiển.<br />
lực điều khiển.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 5. Vận tốc dịch chuyển. Hình 6. Quãng đường đi được.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
Hình 7. Thời điểm chuyển dấu Hình 8. Lực điều khiển.<br />
lực điều khiển.<br />
Các hình trình bày bên trên từ hình 1 đến hình 8 là kết quả mô phỏng Matlab [2] cho<br />
m<br />
trường hợp chuyển động với các tham số sau: M 100 kg ; a 10 ; g 9,81 ;<br />
s2<br />
T 1,5 s ; 30 m ; V * 0 . Hình 3 và hình 4 là quá trình thực hiện thuật toán truy hồi<br />
Newton-Raphson để xác định hai nghiệm y, z (giá tri lệnh điều khiển U 54, 6 m / s 2<br />
và thời điêm chuyển lệnh điều khiển tk 0, 6428 giây). Qua đồ thị cho thây đúng 1,5<br />
giây thì vật cán đích 30 m , hình 1 là vận tốc chuyển động, hình 2 là độ dịch chuyển.<br />
<br />
<br />
Tạp chí Nghiên cứu KH&CN quân sự, Số 57, 10 - 2018 71<br />
Kỹ thuật điều khiển & Điện tử<br />
<br />
Qua các đồ thị cho thấy, vào đúng thời điểm cận đích định trước ( T 1,5 s ) quãng đường<br />
đi được là 30 m và vận tốc là bằng không như mong muốn. Trên các hình 5, 6, 7, 8 là đồ<br />
thị cho trường hợp, thay đổi vận tốc cán đích là V * 5 m / s . Khi này có sự thay đổi U <br />
và tk ( U 47 m / s 2 , tk 0, 68 giây).<br />
<br />
3. KẾT LUẬN<br />
Nhờ việc áp dụng phương pháp số Newton-Raphson đã xây dựng thuật toán giải hệ<br />
phương trình siêu việt để xác định được các tham số luật điều khiển (gồm thời điểm<br />
chuyển dấu lệnh điều khiển và lực điều khiển khi lệnh điều khiển có dạng rơ le) nhằm<br />
đảm bảo tính đồng bộ khi chuyển động. Các thông tin này phục vụ việc thiết kế hệ<br />
thống và chương trình điều khiển cho các vật thể chuyển động có yêu cầu về tính đồng<br />
bộ (đi được quãng đường định trước, với khoảng thời gian định trước với vận tốc tiếp<br />
cận đích cho trước).<br />
TÀI LIỆU THAM KHẢO<br />
[1]. Nguyễn Thương Ngô (2009), Lý thuyết điều khiển thông thường và hiện đại, Quyển<br />
Hệ xung số. NXB Khoa học & kỹ thuật.<br />
[2]. Nguyễn Phùng Quang (2006), "Matlab & Simulink dành cho kỹ sư điều khiển tự động",<br />
NXB Khoa học & kỹ thuật.<br />
[3]. Nguyễn Doãn Phước (2009), Lý thuyết điều khiển nâng cao. NXB Khoa học & kỹ<br />
thuật.<br />
[4]. Ковчин С. А., Сабинин Ю. А. “Теория электропривода: Учебник для вузов”. –<br />
СПб.: Энергоатомиздат, 2000. – 496 с.<br />
[5]. Коноплев В. А. “Агрегативная механика систем твердых тел”. – СПб.: Наука,<br />
1996. – 166 с.<br />
ABSTRACT<br />
DEVELOPMENT OF CONTROL ALGORITHM TO DETERMINE<br />
CONTROL LAW PARAMETERS FOR SYNCHRONOUS MOTIONS<br />
The system equations to describe the relationship between velocity and<br />
displacement with the relay control law to determine the moment of transfer of the<br />
synchronous control force to the required time and displacement are set up. Then,<br />
the Newton-Raphson method is applied to solves the complex equation to determine<br />
the control law parameters for moving objects in synchronized motion.<br />
Keywords: Control law; Optimization; Synchronous motion.<br />
<br />
Nhận bài ngày 13 tháng 08 năm 2018<br />
Hoàn thiện ngày 12 tháng 10 năm 2018<br />
Chấp nhận đăng ngày 12 tháng 10 năm 2018<br />
<br />
Địa chỉ: 1 Trường Đại học sư phạm kỹ thuật Hưng Yên;<br />
2<br />
Viện Khoa học và Công nghệ quân sự.<br />
*<br />
Email: nvdien.utehy@gmail.com.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
72 N. V. Diên, T. Đ. Thuận, “Xây dựng thuật toán xác định … cho chuyển động đồng bộ.”<br />