Xây dựng toán tử biên miền cho một bài toán biên đối với phương trình dạng song điều hòa

T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ – Sè 1(41)/N¨m 2007<br /> <br /> X©y dùng to¸n tö biªn - miÒn cho mét bµi to¸n biªn<br /> ®èi víi ph−¬ng tr×nh d¹ng song ®iÒu hoµ<br /> Lª Tïng S¬n (Tr−êng §H S− ph¹m- §H Th¸i Nguyªn)<br /> <br /> 1. §Æt vÊn ®Ò<br /> Mét trong nh÷ng ph−¬ng ph¸p gi¶i sè mang tÝnh hiÖu qu¶ cao ®èi víi c¸c bµi to¸n biªn<br /> cña ph−¬ng tr×nh ®¹o hµm riªng cÊp bèn lµ ®−a chóng vÒ mét d#y c¸c bµi to¸n cÊp hai vµ sö<br /> dông c¸c kÕt qu¶ ®# cã. §Ó lµm ®−îc viÖc nµy, gÇn ®©y, mét sè nhµ nghiªn cøu nh− Abramov,<br /> Ulijanova [1], §.Q.¸ [2,3,5],… ®# ¸p dông ph−¬ng ph¸p to¸n tö biªn hoÆc to¸n tö biªn – miÒn<br /> cho c¸c bµi to¸n ®ã. C¸c tÝnh chÊt cña to¸n tö còng ®−îc xem xÐt, ®¸nh gi¸, th«ng qua ®ã cã thÓ<br /> kÕt luËn ®−îc sù héi tô cña s¬ ®å lÆp cña nghiÖm xÊp xØ vÒ nghiÖm ®óng cña bµi to¸n gèc.<br /> TiÕp tôc h−íng nghiªn cøu trªn, chóng t«i xÐt bµi to¸n<br /> <br /> ∆2u + bu = f ,<br /> <br /> x ∈ Ω,<br /> <br /> b > 0,<br /> <br /> (1)<br /> <br /> u Γ = g1 ,<br /> <br /> (2)<br /> <br /> ∆u Γ = g 2 ,<br /> <br /> (3)<br /> <br /> ∂u<br /> ∂γ<br /> <br /> (4)<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> = g3 ,<br /> Γ<br /> <br /> trong ®ã Ω lµ mét miÒn giíi néi trong Rn, n≥2, Γ lµ biªn ®ñ tr¬n cña Ω, Γ= Γ1∪Γ2, γ lµ<br /> <br /> ph¸p tuyÕn ngoµi cña Γ, ∆ lµ to¸n tö Laplace. Tr−íc hÕt, chóng t«i ®−a bµi to¸n (1) – (4) vÒ mét<br /> ph−¬ng tr×nh to¸n tö, trªn c¬ së ®ã, x©y dùng mét s¬ ®å lÆp cho bµi to¸n gèc.<br /> 2. §−a bµi to¸n(1)-(4) vÒ ph−¬ng tr×nh to¸n tö biªn- miÒn<br /> NÕu ®Æt:<br /> <br /> ∆u = v ,<br /> ϕ = −bu ,<br /> <br /> (5)<br /> (6)<br /> <br /> ∆u Γ = v 0 ,<br /> <br /> vµ ký hiÖu:<br /> <br /> 1<br /> <br /> (7)<br /> <br /> th× bµi to¸n (1)-(4) ®−îc ®−a vÒ c¸c bµi to¸n:<br /> <br /> ∆v = f + ϕ ,<br /> x∈Ω ,<br /> v Γ = v0 , v Γ = g 2<br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> ∆u = v ,<br /> u Γ = g1 ,<br /> 1<br /> <br /> (8)<br /> vµ<br /> (9)<br /> <br /> ∂u<br /> ∂γ<br /> <br /> = g3 .<br /> Γ2<br /> <br /> ë ®©y: v, v0, ϕ lµ ch−a biÕt. NÕu t×m ®−îc v0, ϕ , th× tõ (8) ta t×m ®−îc v, tiÕp tôc gi¶i<br /> (9), ta t×m ®−îc nghiÖm u cña bµi to¸n (1)- (4).<br /> 13<br /> <br /> T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ – Sè 1(41)/N¨m 2007<br /> <br /> §Ó t×m v0, ϕ , ta x©y dùng to¸n tö B ®−îc x¸c ®Þnh nh− sau:<br /> <br /> B :ω →<br /> <br /> Bω<br /> <br />  b∂u <br /> <br /> <br /> Bω =  ∂γ Γ  ,<br /> 1<br />  ϕ + bu <br /> <br /> <br /> <br /> v <br /> ω =  0 ,<br /> ϕ <br /> <br /> (10)<br /> <br /> trong ®ã u lµ nghiÖm cña c¸c bµi to¸n:<br /> <br /> ∆v = ϕ ,<br /> <br /> x ∈Ω,<br /> <br /> v Γ = v0 ,<br /> <br /> vΓ =0<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> (11)<br /> vµ:<br /> <br /> ∆u = v ,<br /> u Γ =0,<br /> 1<br /> <br /> (12)<br /> <br /> ∂u<br /> ∂γ<br /> <br /> = 0.<br /> Γ2<br /> <br /> NÕu ®Æt u = u1+u2, v = v1+v2 th× ta ®−a ®−îc (8), (9) tíi d#y c¸c bµi to¸n d−íi ®©y:<br /> <br /> ∆v2 = f ,<br /> <br /> v2<br /> <br /> Γ1<br /> <br /> = 0,<br /> <br /> v2<br /> <br /> x∈Ω,<br /> <br /> Γ2<br /> <br /> (13)<br /> <br /> = g2 ,<br /> <br /> ∆u2 = v2 ,<br /> u2<br /> <br /> Γ1<br /> <br /> v1 Γ<br /> <br /> 1<br /> <br /> = g1 ,<br /> <br /> (14)<br /> <br /> ∂u 2<br /> ∂γ<br /> <br /> = g3 ,<br /> Γ2<br /> <br /> ∆v1 = ϕ ,<br /> x∈Ω,<br /> = v0 , v1 Γ = 0 ,<br /> 2<br /> <br /> ∆u1 = v1 ,<br /> u1 Γ = 0 ,<br /> 1<br /> <br /> (15)<br /> <br /> (16)<br /> <br /> ∂u1<br /> ∂γ<br /> <br /> = 0.<br /> Γ2<br /> <br /> Tõ c¸c bµi to¸n (13),(14) ta t×m ®−îc u2, v2 , tõ (15), (16) vµ tõ ®Þnh nghÜa cña B, ta cã:<br /> <br />  ∂u1 <br /> b<br /> <br /> Bω =  ∂γ Γ1  .<br />  ϕ + bu <br /> <br /> 1 <br /> <br /> (17)<br /> <br /> NÕu u lµ nghiÖm cña bµi to¸n (1)-(4), th× u ph¶i tho¶ m#n c¸c ®iÒu kiÖn:<br /> <br /> ∂u<br /> Γ = g3<br /> ∂γ 1<br /> ϕ + bu = 0.<br /> <br /> Tõ ®ã ta cã<br /> 14<br /> <br /> T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ – Sè 1(41)/N¨m 2007<br /> <br /> ∂(u1 + u 2 )<br /> ∂u1<br /> ∂u 2<br /> Γ1 = g 3 ⇔<br /> Γ1 = g 3 −<br /> ∂γ<br /> ∂γ<br /> ∂γ<br /> ϕ + b(u1 + u 2 ) = 0 ⇔ ϕ + bu1 = −bu2 .<br /> <br /> Γ1<br /> <br /> V× vËy:<br /> <br />  <br /> ∂u<br />  b g 3 − 2<br /> Bω =  <br /> ∂γ<br /> <br /> − bu 2<br /> <br /> <br /> Γ1<br /> <br /> <br />  <br />  .<br /> <br /> <br /> <br /> (18)<br /> <br /> §Æt<br /> <br />  <br /> ∂u<br />  b g 3 − 2<br /> F = <br /> ∂γ<br /> <br /> − bu 2<br /> <br /> <br /> <br /> Γ1 <br /> <br />  ,<br /> <br /> <br /> <br /> (19)<br /> <br /> ta cã ph−¬ng tr×nh cña to¸n tö B:<br /> (20)<br /> Bω =F .<br /> 3. X©y dùng s¬ ®å lÆp cho bµi to¸n (1) – (4)<br /> Nhê ph−¬ng tr×nh (20), ta cã thÓ x©y dùng mét s¬ ®å lÆp cho bµi to¸n (1)- (4) nh− sau:<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> 1.<br /> <br /> ( 0)<br /> ( 0)<br /> (0)<br /> Cho gi¸ trÞ ban ®Çu cña cÆp ω = v 0 , ϕ ,<br /> <br /> 2.<br /> <br /> (k )<br /> (k )<br /> (k )<br /> BiÕt ω = v 0 , ϕ ,<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> ∆v ( k ) = f + ϕ ( k ) ,<br /> v (k )<br /> <br /> Γ1<br /> <br /> = v0( k ) ,<br /> <br /> k = 0,1,... gi¶i liªn tiÕp hai bµi to¸n<br /> <br /> x∈Ω,<br /> <br /> v (k )<br /> <br /> Γ2<br /> <br /> (21)<br /> <br /> (22)<br /> <br /> = g2 ,<br /> <br /> vµ<br /> <br /> ∆u ( k ) = v ( k ) ,<br /> u<br /> <br /> (k )<br /> Γ1<br /> <br /> (23)<br /> <br /> ∂u ( k )<br /> = g1 ,<br /> ∂γ<br /> <br /> = g3 .<br /> Γ2<br /> <br /> 4. TÝnh xÊp xØ míi cña v0 vµ ϕ<br /> <br /> v0( k +1) = v0( k ) − τ k +1b<br /> <br /> ∂u ( k )<br /> ,<br /> ∂γ<br /> <br /> x ∈ Γ1 ,<br /> <br /> ϕ ( k +1) = ϕ ( k ) − τ k +1 (ϕ ( k ) + bu ( k ) ,<br /> <br /> x ∈Ω,<br /> <br /> (24)<br /> (25)<br /> <br /> CÇn chó ý r»ng qu¸ tr×nh lÆp (21)- (25) lµ thÓ hiÖn cña s¬ ®å lÆp hai líp d−íi ®©y :<br /> <br /> ω ( k +1) − ω ( k )<br /> + Bω ( k ) = F<br /> τ k +1<br /> 15<br /> <br /> (26)<br /> <br /> T¹p chÝ Khoa häc & C«ng nghÖ – Sè 1(41)/N¨m 2007<br /> <br /> ®èi víi ph−¬ng tr×nh to¸n tö (20), trong ®ã<br /> <br /> τ k +1<br /> <br /> lµ tham sè lÆp ®ñ nhá. (xem [4]).<br /> <br /> 5. KÕt luËn<br /> - §# x©y dùng ®−îc mét to¸n tö biªn – miÒn vµ ®−a bµi to¸n gèc (1) – (4) vÒ ph−¬ng<br /> tr×nh to¸n tö cña nã.<br /> - §# x©y dùng ®−îc mét s¬ ®å lÆp cña nghiÖm xÊp xØ cña bµi to¸n gèc th«ng qua ph−¬ng<br /> tr×nh to¸n tö.<br /> - Nhê c¸c kÕt qu¶ trªn, trong thêi gian tiÕp theo, chóng t«i sÏ xem xÐt c¸c tÝnh chÊt cña<br /> to¸n tö B vµ sö dông kÜ thuËt ngo¹i suy theo tham sè cho bµi to¸n(1) – (4), qua ®ã cã thÓ lùa<br /> chän gi¸ trÞ cña tham sè ngo¹i suy sao cho s¬ ®å lÆp (21)-(25) héi tô vÒ nghiÖm ®óng cña bµi<br /> to¸n gèc (1) – (4)
<br /> Summary<br /> Construction of mixed boundary- domain operator<br /> for a boundary value problem of the biharmonic type equation<br /> By Le Tung Son<br /> In this paper, we propose a method for constructing of mixed boundary- domain operator for<br /> a boundary value problem of the biharmonic type equation and constructing an iterative process for<br /> it. It is based on the reduction the BVP for differential equations of degree four to BVP for<br /> equations of degree two.<br /> Tµi liÖu tham kh¶o<br /> [1]. A.A. Abramov and V.I. Unijanova (1992), On a method for solving biharmonic type equation<br /> with singularly small parameter, J. Comput. Math. and Math. Phys. 32 (4) 567- 575 (Russian).<br /> [2]. Dang Quang A (1994), Boundary operator method for approximate solution of biharmonic<br /> type equation, Vietnam Journal cña Math.22 (1-2) 114- 120.<br /> [3]. Dang Quang A (1994), Approximate method for solving an elliptic problem with<br /> discontinuous coefficients, J. Comput. Appl. Math. 51(2) (1994) 193- 203.<br /> [4]. Dang Quang A (1993), Accelerated methods for solving grid equations, J. Comput. Sci.<br /> Cyber. 9 (2) (1993) 22- 32.<br /> [5]. Dang Quang A (1998), Mixed Boundary- domain Operator in Approximate Solution of Biharmonic<br /> Type Equation, Vietnam Journal of Mathematics.26:3 (1998) 243- 252.<br /> [6]. J. L. Lions and E. Magenes (1968), Problemes aux Limites Non Homogenes et Application,<br /> Vol. 1, Dunod, Paris.<br /> [7]. A. Samarskij and E. Nikolaev (1989). Numberical Methods for Grid Equations, Vol. 2,<br /> Birkhauser, Basel.<br /> <br /> 16<br /> <br />