Xử lý tín hiệu số_Chương IV (Phần 1)

Chia sẻ: Le Ngoc Thin | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

180
lượt xem 52
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chương 4 trình bày về biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số rời rạc. Trong chương ba, chúng ta đã nghiên cứu cách biểu diễn tín hiệu và hệ thống rời rạc trong miền tần số liên tục ôm (Hoặc f). Chúng ta sử dụng biến đổi Fourier đối với tín hiệu rời rạc để chuyển tín hiệu và hệ thống rời rạc từ miền tần số n sang miền tần số liên tục.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Xử lý tín hiệu số_Chương IV (Phần 1)

Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc Chöông IV BIEÅU DIEÃN TÍN HIEÄU VAØ HEÄ THOÁNG RÔØI RAÏC TRONG MIEÀN TAÀN SOÁ RÔØI RAÏC 4.1 Môû Ñaàu Trong chöông ba, chuùng ta ñaõ nghieân cöùu caùch bieåu dieãn tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc trong mieàn taàn soá lieân tuïc ω (hoaëc f). Chuùng ta söû duïng bieán ñoåi Fourier ñoái vôùi tín hieäu rôøi raïc ñeå chuyeån tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc töø mieàn bieán soá n sang mieàn taàn soá lieân tuïc ω. Vieäc nghieân cöùu trong mieàn ω raát thuaän lôïi cho vieäc phaân tích vaø toång hôïp caùc heä thoáng soá, ñaëc bieät ñoái vôùi caùc boä loïc soá maø chuùng ta seõ xeùt sau. Nhö vaäy, chuùng ta ñaõ nghieân cöùu vieäc bieåu dieãn tín hieäu ôû ba mieàn : Mieàn bieán soá, mieàn Z, vaø mieàn ω. Trong moãi mieàn ñeàu coù nhöõng thuaän lôïi rieâng cuûa noù vaø giöõa caùc mieàn cuõng coù söï lieân heä vôùi nhau, hình 4.1 cho ta sô ñoà chuyeån ñoåi giöõa caùc mieàn vaø söï lieân heä giöõa chuùng vôùi nhau. Trong chöông 4 naøy, chuùng ta seõ nghieân cöùu caùch bieåu dieãn tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc trong mieàn taàn soá rôøi raïc ωk (ñeå ngaén goïn ta goïi laø k). Thöïc chaát cuûa caùch bieåu dieãn naøy laø laáy töøng ñieåm rôøi raïc treân voøng troøn ñôn vò trong maët phaúng Z ñeå bieåu dieãn. Ñeå chuyeån caùch bieåu dieãn tín hieäu vaø heä thoáng rôøi raïc sang mieàn taàn soá rôøi raïc, chuùng ta seõ duøng coâng cuï toaùn hoïc goïi laø bieán ñoåi Fourier rôøi raïc (Discrete Fourier Transform: DFT). Vieäc bieåu dieãn trong mieàn taàn soá rôøi raïc coù hieäu quaû khi duøng thuaät toaùn tính nhanh cho DFT, coøn goïi laø pheùp bieán ñoåi Fourier nhanh (Fast Fourier Transform : FFT). Mieàn n Mieàn Z Mieàn ω Mieàn k Hình 4.1 4.2. Bieán Ñoåi Fourier Rôøi Raïc Ñoái Vôùi Caùc Tín Hieäu Tuaàn Hoaøn Coù Chu Kyø N 4.2.1 Ñònh Nghóa a. Toång quan Giaû söû chuùng ta coù daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N laø ~ (n) . Chuùng ta coù theå vieát nhö sau : x ~ (n) = ~ (n + lN ) x x (4.1) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 121
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc ôû ñaây j laø soá nguyeân. ~ ( n) x Hình 4.2 cho moät ví duï veà daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N = 4. Ta thaáy raèng moät daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N coù theå ñöôïc bieåu dieãn bôûi n moät chuoãi Fourier, töùc laø bôûi moät toång cuûa caùc daõy sin vaø cosin hoaëc bôûi toång −4 0 4 8 caùc daõy haøm muõ phöùc coù taàn soá cô baûn Hình 4.2 2π . N Giaû söû chuùng ta coù daõy haøm muõ phöùc nhö sau : 2π j n.k e k ( n) = e N k = 0,1,..., ( N − 1) (4.2) ta bieát raèng : e0(n) = e0 = 1 2π j n. N e N ( n) = e N = e j 2πn = 1 vaäy e0(n) = eN(n) töông töï ta coù e1(n) = eN+1(n) e2(n) = eN+2(n) e3(n) = eN+3(n) … Nhö vaäy chuùng ta coù theå bieåu dieãn daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N laø ~ (n) döôùi daïng x sau ñaây : N −1 2π ~ ( n) = 1 ~ j n. k x N ∑ X (k )e N k =0 k = 0,1,..., ( N − 1) (4.3) ~ ôû ñaây X (k ) laø daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N, heä soá 1/N trong coâng thöùc (4.3) duøng ñeå tính ~ toaùn X (k ) döôùi daïng goïn hôn. ~ Baây giôø chuùng ta tieán haønh tính X (k ) . 2π −j m.n Nhaân caû hai veá cuûa bieåu thöùc (4.3) vôùi : e N Ta coù : 2π N −1 2π 2π ~ ( n )e − j N m . n = 1 ~ j n. k −j m.n x N ∑ X (k )e N .e N k =0 sau ñoù laáy toång theo n töø 0 ñeán (N-1) ta coù : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 122
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc N −1 2π N −1 N −1 2π ~ ( n )e − j N m . n = 1 ~ j ( k − m ).n ∑ n=0 x N ∑ n =0 ∑ X (k )e N k =0 ñoåi thöù töï cuûa hai toång ta coù : N −1 2π N −1 N −1 2π ~ ( n)e − j N m.n = ~ 1 j ( k − m ).n ∑ n=0 x ∑ X (k )[ N k =0 ∑ n =0 e N ] ta bieát raèng 2π N −1 j n .r N , r = lN ∑ e N = , r coøn laïi vôùi l : soá nguyeân (4.4) n =0 0 vaäy ta coù : 2π 1 N −1 j N ( k − m ) n  N , (k − m) = lN ∑e = vôùi l : soá nguyeân N n =0 0 , (k − m) coøn laïi Neáu ta laáy giaù trò l = 0 thì k = m Vaäy ta coù N −1 N −1 2π ~ 1 j ( k − m ).n ~ ∑ X (k )[ N k =0 ∑ n=0 e N ] = X ( m) Vaäy 2π ~ 1 N −1 j k .n X (m) = ∑ ~ (n)e N x (4.5) N n =0 ~ Chuù yù raèng X (k ) trong mieàn phöùc (4.5) laø moät daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N, töùc laø : ~ ~ X (0) = X ( N ) ~ ~ X (1) = X( N − 1) ... ~ Chuùng ta seõ laáy caùch bieåu dieãn X (k ) trong bieåu thöùc (4.5) ñeå laøm ñònh nghóa cho bieán ñoåi Fourier rôøi raïc cuûa daõy tuaàn hoaøn. b. Ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc Bieán ñoåi Fourier rôøi raïc cuûa caùc daõy tuaàn hoaøn ~ (n) coù chu kyø N ñöôïc ñònh nghóa x nhö sau : N −1 2π ~ −j k .n X (k ) = ∑ ~ (n)e N x (4.6) n=0 Neáu chuùng ta ñaët : 2π −j WN = e N Ta coù vieát : kn  − j2π  (W n ) kn = e N      Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 123
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc 2π −j kn hay W kn N =e N (4.7a) luyõ thöøa hai veá phöông trình (4.7a) cho muõ (-1), suy ra −1  − j 2 π kn  (W ) kn −1 N = e N      2π j kn hay laø W − kn N =e N (4.7b) Vaäy ta coù theå vieát laïi bieåu thöùc cuûa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc (4.7) nhö sau : N −1 ~ X (k ) = ∑ ~ (n)W N x kn (4.8) n =0 Ta kyù hieäu bieán ñoåi Fourier rôøi raïc laø DFT vaø kyù hieäu toaùn töû nhö sau : ~ DFT [ ~ (n)] = X (k ) x ~ ~ (n)  → X (k ) hoaëc x  DFT Ví du ï4.1 : Cho daõy tuaàn hoaøn ~ (n) nhö sau : x ~ (n) = 1 0≤n≤4 x  ; vôùi chu kyø N = 10 0 5≤n≤9 ~ Haõy tìm X (k ) . ~ ( n) x n -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hình 4.3 Giaûi : Daïng ~ (n) cho treân hình 4.3 x Ta coù theå vieát : ~ (n) = ~ (n + l.10) x x aùp duïng bieåu thöùc (4.6) ta coù : Ta coù theå vieát : ~ (n) = ~ (n + l.10) x x π 2π πk −j k 2π −j k5 2 j sin e 2 ~ 4 4 −j kn 1− e 10 2 X (k ) = ∑ ~ (n)W10 = ∑ e x kn 10 = 2π = π n =0 n=0 −j k πk − j 10 k 1− e 10 2 j sin e 10 Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 124
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc π π π 4 sin k 4π sin k/ k ~ − jπk 2 −j k 2 2 X (k ) = e 10 = 5e 10 π π π sin k sin k/ k 10 10 10 π π sin k/ k ~ 2 2 ñaët A( k ) = 5 π π sin k/ k 10 10 Ta coù 4π ~ −j k ~ ~ ~ ~ X (k ) = e 10 A(k ) = X (k ) e j arg[ x ( k )] = X (k ) e jϕ ( k ) ~ ôû ñaây ϕ (k ) ≡ arg[ X (k )] Caàn chuù yù raèng A(k) laø thöïc, nhöng coù theå aâm hoaëc döông, vaäy ta coù haøm daáu cuûa A(k) laø : ~ ~ A( k ) Sgn[ A(k )] = ~ A( k ) ~ 1 , A( k ) > 0 Sgn[ A(k )] =  ~ − 1 , A( k ) < 0 Vaäy ta coù : ~ ~ X ( k ) = A( k ) 4π π ϕ (k ) = − k + {1 − Sng[ A(k )]} 10 2 ~ Trong hình 4.4 cho ta ñoà thò cuûa X (k ) vaøo ϕ (k ) ~ X(k ) k -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hình 4.4a Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 125
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc ϕ (k ) π k 4π 10 Hình 4.4b c. Ñònh nghóa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc Bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : N −1 2π ~ ( n) = 1 ~ j k .n x N ∑ X (k )e N n =0 (4.9) hoaëc N −1 ~ (n) = 1 ~ x N ∑ X (k )W n =0 − kn N nhö vaäy ta ñaõ laáy caùch bieåu dieãn daõy tuaàn hoaøn ~ (n) coù chu kyø N bôûi toång caùc daõy haøm x muõ laøm ñònh nghóa cho bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc. Chuùng ta kyù hieäu bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ngöôïc laø IDFT (Inverse Discrete Fourier Transform) vaø ta kyù hieäu toaùn töû sau : ~ IDFT [ X (k )] = ~ (n) x ~ hoaëc X (k )  → ~ (n)  x IDFT chuù yù raèng, trong nhöõng tröôøng hôïp caàn nhaán maïnh chu kyø cuûa daõy tuaàn hoaøn ta duøng kyù hieäu sau : ~ ~ (n) vaø X (k ) x N N töùc laø daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N. d. Baûn chaát cuûa DFT DFT baûn chaát laø bieán ñoåi phöùc bôûi vì : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 126
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc ~ N −1 N −1 2π N −1 2π X (k ) = ∑ ~ (n)W N = ∑ ~ (n) cos x kn x kn − j ∑ ~ (n) sin x kn n =0 n=0 N n=0 N ~ ~ = A ( k ) + jB ( k ) ôû ñaây ~ N −1 2π A(k ) = ∑ ~ (n) cos x kn n=0 N ~ N −1 2π B (k ) = − ∑ ~ (n) sin x kn n=0 N ~ A(k ) : Goïi laø bieán ñoåi cosin. ~ B (k ) : Goïi laø bieán ñoåi sin. 4.2.2 Tính Chaát Cuûa DFT Rôøi Raïc Ñoái Vôùi Caùc Daõy Tuaàn Hoaøn Coù Chu Kyø N a. Tính tuyeán tính DFT laø moät bieán ñoåi tuyeán tính, töùc laø neáu ta coù hai daõy ~1 (n) vaø ~2 (n) laø hai daõy x x tuaàn hoaøn coù cuøng chu kyø N vaø neáu ta coù daõy ~3 (n) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa ~1 (n) vaø x x ~ (n) : x2 ~ (n) = a~ (n) + b~ (n) x3 x1 x2 ôû ñaây a vaø b laø caùc haèng soá. ~ neáu DFT [ ~1 (n)] = X 1 (k ) x ~ DFT [ ~ (n)] = X (k ) x 2 2 ~ ~ ~ ta coù DFT [ ~3 (n)] = X 3 (k ) = aX 1 (k ) + bX 2 (k ) x (4.10) ôû ñaây taát caû caùc daõy ñeàu tuaàn hoaøn vaø coù chu kyø N. b. Tính chaát treã Neáu ~ (n ) laø daõy tuaàn hoaøn vaø coù chu kyø N vaø : x ~ DFT[~ (n )] = X( k ) x thì neáu ta coù daõy ~ (n −n 0 ) laø daõy treã cuûa daõy ~ (n ) cuõng laø tuaàn hoaøn coù chu kyø N thì x x ~ DFT[~ (n − n )] = W − kn X(k ) x 0 N 0 (4.11) Chöùng minh : N −1 DFT[~ (n )] = ∑ ~ (n )WN kn x x n =0 N −1 DFT[~ (n + n 0 )] = ∑ ~ (n + n 0 )WN kn x x n =0 ñoái vôùi bieán soá : l = n - n0 hay n = l + n0 Ta coù : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 127
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc N −1− n 0 N −1− n 0 DFT[~ (n − n 0 )] = x ∑ ~(l)WN ( l+ n ) = x k 0 ∑ ~(l)W x kl N kn WN 0 l= − n 0 l=− n 0 bôûi vì ~ (l ) laø tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N vaø W Nkl cuõng tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N neân : x N −1− n 0 N −1 ~ ~ (l)W kl = ~ (l)W kl = X (k ) ∑ l=n x N ∑x k l=0 vaäy ta coù : ~ DFT[~ (n − n 0 )] = WN kn X(k ) x − 0 caàn löu yù raèng n0 ≥ N, thì do tính tuaàn hoaøn ta coù theå laäp luaän nhö sau : c. Tính ñoái xöùng Neáu ta coù daõy ~ (n) tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N vaø cuõng coù : x ~ X (k ) = DFT [ ~ (n)] x ~ thì DFT [ ~ (n)] = X * (k ) * x ôû ñaây daáu * laø lieân hôïp phöùc. Chöùng minh : N −1 N −1 DFT [ ~ (n)] = ∑ ~ * (n)W N = {[ ∑ ~ * (n)W N ]* }* * kn kn x x x n =0 n =0 N −1 ~ = [ ∑ ~ (n)W N kn ]* = X * (−k ) x − n =0 Töông töï ta cuõng coù ~ DFT [ ~ (−n)] = X * (k ) (4.12) * x chöùng minh : N −1 DFT [ ~ (− n)] = ∑ ~ * (−n)W N * kn x x n =0 ta ñoåi bieán –n = m : − ( N −1) DFT [ ~ (− n)] = ∑~ * * km x x (m)W N m=0 do tính tuaàn hoaøn vôùi chu kyø N cuûa ~ (m) vaø W Nkn , x N −1 ~ DFT [ ~ (−n)] = [ ∑ ~ (m)W N ]* = X * (k ) * km x x m=0 Ta cuõng coù : 1 ~ ~ DFT [Re ~ (n)] = [ X (k ) + X * (−k )] x (413) 2 Chöùng minh : ~ (n) = Re[ ~ (n) + jI ~ (n)] x x mx ~ * (n) = Re[ ~ (n) − jI ~ (n)] x x mx Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 128
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc vaäy 1 Re[ ~ (n)] = [ ~ (n) + ~ * (n)] x x x 2 N −1 1 ~ DFT {Re[ ~ (n)]} = ∑ x [ x (n) + ~ * (n)]W N = x kn n =0 2 1 N −1 N −1 1 ~ ~ = [∑ ~ (n)W N + ∑ ~ * (n)W N ] = [ X (k ) + X * (− k )] x kn x kn 2 n =0 n=0 2 Tính DFT cuûa phaàn töû cuûa ~ (n) ta coù : x 1 ~ ~ DFT {I m [ ~ (n)]} = x [ X (k ) − X * (− k )] (4.7) 2j Chöùng minh : N −1 1 ~ DFT {Im[~ (n)]} = ∑ x [ x (n) − ~ * (n)]W N = x kn n=0 2j 1 N −1 ~ N −1 1 ~ ~ = [ ∑ x (n)W N − ∑ ~ * (n)W N ] = kn x kn [ X (k ) − X * (− k )] 2 j n=0 n =0 2j j ~ ~ = [ X * (− k ) − X (k )] 2 toång keát laïi caùc tính chaát ñoái xöùng cuûa DFT ñoái vôùi x(n) phöùc ta coù : ~ DFT [ ~ * (n)] = X * (−k ) x ~ DFT [ ~ * (− n)] = X * (k ) x 1 ~ ~ DFT [Re ~ (n)] = [ X (k ) + X * (−k )] x 2 j ~ ~ DFT {I m [ ~ (n)]} = [ X (−k ) − X * (k )] x 2 Thöôøng trong thöïc teá, ta hay xöû lyù tín hieäu thöïc, vaäy baây giôø ta xeùt tính ñoái xöùng cuûa DFT ñoái vôùi daõy x(n) thöïc. ~ DFT [ ~ * (n)] = X * (−k ) x (4.14) Chöùng minh : ~ ~ ~ X (k ) = Re[ X (k ) + j Im[ X (k )] ~ ~ ~ X * (k ) = Re[ X (k ) − j Im[ X * (k )] Vaäy ~ 1 ~ ~ Re[ X (k )] = [ X (k ) + X * (k )] 2 ~ (n) laø thöïc neân ~ (n) = ~ * (n) , vaäy Vì x x x DFT [ ~ (n)] = DFT [ ~ * (n)] x x vaø theo tính chaát (4.4) ta coù : Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 129
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc ~ ~ X (k ) = X * (k ) Laáy lieân hôïp phöùc hai veá ta coù : ~ ~ X * (k ) = X (−k ) Vaäy ta coù : ~ 1 ~ ~ Re[ X (−k )] = [ X (−k ) + X * (−k )] 2 1 ~ ~ ~ = [ X * (k ) + X (k )] = Re[ X (k )] 2 Vaäy ta coù ~ ~ Re[ X (k )] = Re[ X (−k )] Töông töï neáu x(n) laø thöïc thì : ~ ~ Im[ X (k )] = − Im[ X (−k )] (4.15) Chöùng minh : ~ 1 ~ ~ Im[ X (k )] = [ X (k ) − X * (k )] 2j 1 ~* ~ ~ = [ X (− k ) − X (−k )] = − Im[ X (− k )] 2j Töông töï, neáu ~ (n) laø thöïc ta coù : x ~ ~ X (k ) = X (−k ) (4.16) ~ ~ arg[ X (k )] = − arg[ X (−k )] (4.17) d. Tích chaäp tuaàn hoaøn Tích chaäp tuyeán tính ∞ x 3 (n) = x1 (n) * x 2 (n) = ∑ x ( m) x m = −∞ 1 2 ( n − m) Tích chaäp tuaàn hoaøn thì coù khaùc vôùi tích chaäp tuyeán tính moät chuùt laø do chieàu daøi cuûa caùc daõy tuaàn hoaøn laø voâ cuøng nhöng caùc chu kyø thì laëp laïi gioáng nhau, vì theá toång chæ laáy trong moät chu kyø, vaäy ta coù ñònh nghóa cuûa tích chaäp tuaàn hoaøn sau ; Tích chaäp tuaàn hoaøn cuûa hai daõy tuaàn hoaøn ~1 (n) vaø ~2 (n) coù chu kyø N laø moät x x daõy ~3 (n) tuaàn hoaøn coù chu kyø N ñöôïc ñònh nghóa sau : x N −1 ~ ( n) = x3 ∑ ~1 (m) ~2 (n − m) x m =0 x (4.18) ~ (n) = ~ (n)( ~ ) ~ (n) x3 x1 * N x2 Xeùt trong mieàn k ~ Neáu DFT [ ~1 (n)] = X 1 (k ) x Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 130
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc ~ DFT [ ~2 (n)] = X 2 (k ) x ~ DFT [ ~3 (n)] = X 3 (k ) x thì ~ ~ ~ X 3 (k ) = X 1 (k ).X 2 (k ) (4.19) Chöùng minh : N −1 N −1 N −1 N −1 ~ X 3 (k ) = ∑ [ ∑ ~1 (m) ~2 (n − m)]W N = ∑ ~1 (m) ∑ ~2 (n − m)W N x x kn x x kn n =0 m=0 m=0 n=0 ñoåi bieán l=n-m n=l+m Vaø chu kyø ~ (n) laø daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N x2 ta coù N −1 N −1 N −1 N −1 ~ ~ ~ X 3 (k ) = ∑ ~1 (m)∑ ~ 2 (l) WN ( l+ n ) = ∑ ~1 (m) WN ∑ ~ 2 (l) WN = X 1 (k ).X 2 (k ) x x k x km x kl m =0 l=0 m =0 l=0 Ví duï 4.2 : Cho hai daõy tuaàn hoaøn ~1 (n) 8 vaø ~2 (n) 8 coù chu kyø N = 8 nhö treân hình 4.5. x x ~ Haõy tìm ~3 (n) = ~1 (n)( * ) ~2 (n) x x x Giaûi : Theo coâng thöùc (4.18) laø N −1 ~ ( n) = x3 ∑ ~1 (m) ~2 (n − m) x m=0 x ta phaûi tieán haønh tính töøng giaù trò cuûa ~3 (n) trong moät chu kyø, töùc laø tính ~3 (0) ñeán x x ~ (7) . Chuùng ta seõ tieán haønh baèng ñoà thò, sau khi tính toaùn ta thu ñöôïc keát quaû sau : x3 ~ (0) = 1,75 x3 ~ (1) = 2 x3 ~ (2) = 2.25 x3 ~ (3) = 2,5 x3 ~ (4) = 2,5 x3 ~ (5) = 2,5 x3 ~ (6) = 2,5 x3 ~ (7) = 1,5 x3 vaø ñoà thò cuûa ~3 (n) nhö treân hình 4.6. ~ (n) x x1 8 n -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Hình 4.5a Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 131
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc ~ ( n) x2 8 n -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Hình 4.5b e. Tích cuûa hai daõy Neáu chuùng ta coi tích cuûa hai daõy tuaàn hoaøn ~1 (n) vaø ~2 (n) coù cuøng chu kyø N laø moät x x daõy ~3 (n) tuaàn hoaøn cuõng coù chu kyø N nhö sau : x ~ (n ) = ~ (n ).~ (n ) x3 x1 x2 vaø neáu chuùng ta coù : ~ DFT [ ~1 (n)] = X 1 (k ) x ~ (n ) x k -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Hình 4.6 ~ DFT [ ~2 (n)] = X 2 (k ) x ~ DFT [ ~3 (n)] = X 3 (k ) x thì ta coù : N −1 ~ ~ ~ ~ 1 ~ ~ X 3 (k ) = X 1 (k )( * ) N X 2 (k ) = N ∑X l =0 1 (l ). X 2 (k − l ) (4.20) Chöùng minh : N −1 ~ DFT [ ~3 (n)] = ∑ ~1 (n).~2 (n).W N =X 3 (k ) x x x kn n =0 N −1 ~ ( n) = 1 ~ thay x2 N ∑X l =0 2 − (l )W N ln Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 132
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc N −1 ~ 1 N −1 ~ 1 N −1 ~ N −1 X 3 (k ) = ∑ ~1 (n). ∑ X 2 (l )W N ln .W N = ∑ X 2 (l ) ∑ ~1 (n)W N ln .W N x − kn x − kn n=0 N l =0 N n =0 l =0 N −1 N −1 N −1 1 ~ 1 ~ ~ = ∑ X 2 (l ) ∑ ~1 (n)W N ( k − l ) = ∑ X 2 (l ). X 1 (k − l ) x n N n =0 l =0 N l =0 hoaëc laø N −1 ~ 1 ~ ~ ~ ~ ~ X 3 (k ) = N ∑X l =0 1 (l ). X 2 (k − l ) = X 1 (k )( * ) N X 2 (k ) f. Töông quan tuaàn hoaøn Neáu chuùng ta coù hai daõy tuaàn hoaøn ~1 (n) vaø ~2 (n) coù chu kyø N, thì haøm töông quan x x cheùo cuûa hai daõy naøy seõ ñöôïc tính toaùn treân moät chu kyø vaø ñöôïc cho bôûi coâng thöùc sau : N −1 ~~ ~ (n) = rx1 x2 ∑ ~1 (m) ~2 (n − m) x m=0 x (4.21) vaäy ta thaáy raèng haøm töông quan cheùo cuûa hai daõy cuøng coù chu kyø N laø moät daõy tuaàn hoaøn cuõng coù chu kyø N. g. Toång keát caùc tính chaát cuûa DFT ñoái vôùi caùc daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N Baûng 4.1 cho ta caùc tính chaát cô baûn cuûa DFT ñoái vôùi caùc daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N. Mieàn n Mieàn k ~ ( n) ~ x X (k ) N −1 ~ ( n) = 1 ~ ~ 1 N −1 x N ∑ X (k )W N− kn k =0 X (k ) = ∑ ~ (n)W N N n=0 x kn ~ ~ a~1 (n) N + b~2 (n) N x x aX 1 ( k ) N + bX 2 ( k ) N ~ (n − n ) kn ~ x 0 W N 0 X (k ) ~ W N ~ ( n) ln x X (k + l ) N −1 ~ ( m) ~ ( n − m) = ~ ( n ) ( ~ ) ~ ( n ) ~ ~ ∑ m =0 x1 x2 x1 N * x 2 N X 1 (k ) N . X 2 (k ) N N −1 ~ (n) .~ (n) 1 ~ ~ ~ ~ ~ x1 N x 2 N N ∑X l =0 1 (l ) N . X 2 (k − l ) N = X 1 (k )( * ) X 2 (k ) N −1 ~~ ~ (n) = ~ ~ ~ rx1 x2 ∑ ~1 (m) ~2 (n − m) x m=0 x R ~1~2 (k ) = X 1 (k ) • X 2 (−k ) xx ~ ~ ~* neáu ~2 (n) thöïc x R ~1~2 (k ) = X 1 (k ) • X 2 (k ) xx Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 133
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc N −1 ~~ ~ (n) = ~ ~ ~* rx1 x2 ∑ ~1 (m) ~2* (n − m) x m=0 x R ~1~2 (k ) = X 1 (k ) • X 2 (k ) xx ~ * ( n) ~ x X * (− k ) ~ * ( − n) ~ x X * (k ) 1 ~ ~ Re[ ~ (n)] x [ X (k ) + X * (−k )] 2 1 ~ ~ j Im[~ (n)] x [ X (k ) − X * (− k )] 2 ~ ~ neáu ~ (n) thöïc x X (k ) = X * (−k ) ~ ~ Re[ X (k )] = Re[ X * (−k )] ~ ~ Im[ X (k )] = − Im[ X (−k )] ~ ~ X (k ) = X (−k ) ~ ~ arg[ X (k )] = arg[ X (−k )] 4.3. Bieán Ñoåi Fourier Rôøi Raïc Vôùi Caùc Daõy Khoâng Tuaàn Hoaøn Coù Chieàu Daøi Höõu Haïn N 4.3.1 Ñònh nghóa a. Toång quan Neáu chuùng ta coù moät daõy koâng tuaàn hoaøn coù chieàu daøi höõu haïn M vaø moät daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N. Neáu M = N thì daõy coù chieàu daøi höõu haïn M x(n) M chính baèng moät chu kyø cuûa daõy tuaàn hoaøn chu kyø N = M ~ (n) N . Hình 4.7 seõ cho ta moät ví duï M = N = 4. x x ( n) M ~ ( n) x M n n Hình 4.7a Hình 4.7b Neáu M < N thì daõy coù chieàu daøi höõu haïn M laø x(n) M coù theå baèng moät chu kyø cuûa daõy tuaàn hoaøn chu kyø N = M laø ~ (n) N khi chuùng ta xem laø daõy coù chieàu daøi höõu haïn M x Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 134
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc x(n) M laø moät daõy coù chieàu daøi N baèng caùch keùo daøi daõy naøy theâm N – M maãu coù giaù trò khoâng. x ( n) M → x ( n) N Hình 4.8 seõ cho ta moät ví duï M = 4, N = 8. x ( n) M n Hình 4.9a ~ ( n) x2 N n Hình 4.9b Nhö vaäy ta thaáy raèng töø moät daõy khoâng tuaàn hoaøn coù chieàu daøi höõu haïn M x(n) M coù theå laäp moät daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N ≥ M ~ (n) N vaø moãi moät chu kyø cuûa x ~ (n) seõ chính baèng daõy coù chieàu daøi höõu haïn ~ (n) . Coøn trong tröôøng hôïp N < M thì x N x M chuùng ta khoâng theå laøm ñöôïc vieäc ñoù. ∞ ~ ( n) = x N ∑ ( x(m + rN )) r = −∞ M hoaëc ~ (n) = x(n mod N ) = x(n) x N Roõ raøng laø daõy x(n) N coù chieàu daøi höõu haïn N nhaän ñöôïc baèng caùch trích ra moät chu kyø cuûa daõy tuaàn hoaøn ~ (n) N coù chu kyø n, töùc laø : x ~ 2 ( n ) N x ,0 ≤ n ≤ N − 1 x (n ) N =   0 , n coøn laïi Ñeå nhaän ñöôïc daõy x(n) coù chieàu daøi höõu haïn, chuùng ta coù theå söû duïng moät daõy chöõ nhaät 1 ,0 ≤ n ≤ N − 1 rect N (n ) =  0 , n coøn laïi Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 135
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc vaäy ta coù : x(n) N = ~ (n) N .rect N (n) x Chuùng ta cuõng coù tính ñoái ngaãu giöõa mieàn n vaø mieàn k (hoaëc laø giöõa daõy x(n) vaø daõy X(k)). Vì vaäy trong mieàn k, ñoái vôùi X(k) ta cuõng coù theå vieát : X(k ) = X(k , mod N) = X(k ) N ~ X(k ) ,0 ≤ k ≤ N − 1 X(k ) =   0 , k coøn laïi ~ X (k ) = X (k ).rect N (k ) Hôn nöõa, chuùng ta thaáy raèng bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ñoái vôùi daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N chæ tính trong moät chu kyø, roài keát quaû ñoù ñöôïc tuaàn hoaøn hoaù töø - ∞ ñeán + ∞ vôùi chu kyø N. Vaäy ta coù theå laáy ñònh nghóa cuûa bieán ñoåi Fourier rôøi raïc ñoái vôùi daõy tuaàn hoaøn coù chu kyø N ñeå laøm ñònh nghóa cho bieán Fourier rôøi raïc ñoái vôùi daõy soá chieàu daøi höõu haïn N nhöng khoâng ñöôïc tuaàn hoaøn hoaù maø chæ töø 0 ñeán N – 1. b. Ñònh nghóa Caëp bieán ñoåi Fourier rôøi raïc (DFT) ñoái vôùi caùc daõy khoâng tuaàn hoaøn coù chieàu daøi höõu haïn N ñöôïc ñònh nghóa nhö sau : Bieán ñoåi Fourier thuaän (DFT)  N −1 X(k ) = ∑  x ( n ) WN kn ,0 ≤ k ≤ N − 1 n =0 (4.22)  0  , k coøn laïi Kyù hieäu DFT[x(n)] = X(k) x(n) ( ) → X (k )  DFT Bieán ñoåi Fourier ngöôïc (IDFT)  1 N −1 x (n ) =  N ∑ −  X(k ) WN kn ,0 ≤ n ≤ N − 1 k =0 (4.23)  0  , n coøn laïi Kyù hieäu IDFT[X(k)] = x(n) X (k ) (→ x(n) IDFT ) ÔÛ ñaây ta goïi X(k) laø phoå rôøi raïc cuûa tín hieäu x(n), vaø bieåu dieãn ôû daïng modul vaø argument ta coù : X ( k ) = X ( k ) e jϕ ( k ) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 136
Chöông 4 - Bieåu Dieãn Tín Hieäu Vaø Heä Thoáng Rôøi Raïc Trong Mieàn Taàn Soá Rôøi Raïc ϕ (k ) = arg[ X (k )] (4.24) X (k ) : goïi laø phoå rôøi raïc bieân ñoä ϕ (k ) : goïi laø phoå rôøi raïc pha Ví duï 4.3 : Haõy tìm DFT cuûa daõy coù chieàu daøi höõu haïn x(n) sau ñaây : x(n) = δ(n) Giaûi : Muoán tìm DFT, tröôùc heát ta phaûi choïn chieàu daøi cuûa DFT, töùc laø choïn chieàu daøi cuûa daõy. Giaû söû ta choïn laø N, vaäy daõy x(n) coù daïng sau hình 4.10. x(n) Vaø X(k) ñöôïc tính nhö sau : N −1 X ( k ) = ∑ δ ( n ) WN kn n n =0 1 ,0 ≤ k ≤ N − 1 -2 -1 0 1 2 N-1 = Hình 4.10  0 , k coøn laïi X ( k ) = X ( k ) e jϕ ( k ) 1 ,0 ≤ k ≤ N − 1 X(k ) =  0 , k coøn laïi X(k ) ϕ(k) = 0 , ∀k X (k ) coù daïng sau hình 4.11. k -2 -1 0 1 2 ... N-1 Hình 4.11 4.3.2 Tính Chaát Cuûa DFT Ñoái Vôùi Daõy Coù Chieàu Daøi Höõu Haïn N a. Tính Tuyeán Tính DFT laø moät bieán ñoåi tuyeán tính, töùc laø neáu ta coù hai daõy coù chieàu daøi höõu haïn x1 (n) vaø x 2 (n) vaø x 3 (n) laø toå hôïp tuyeán tính cuûa hai daõy naøy, töùc laø : x 3 (n) = ax1 (n) + bx 2 (n) (4.25) maø ta coù : DFT [ x1 (n)] = X 1 (k ) Xöû Lyù Tín Hieäu Soá 137