Bài giảng chương 4: Tích phân số - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của bài giảng "Phương trình vi phân" của ThS. Hồ Thị Bạch Phương nhằm giúp các em sinh viện tìm hiểu về tích phân gồm: tích phân không xác định và tích phân xác định. Trình bày phương pháp Newton-Cotes, phương pháp Trapezoid; Sai số trong ước tính tích phân; Công thức tích phân tổng quát,... Mời quý thầy cô và các em cùng tham khảo chi tiết bài giảng tại đây.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng chương 4: Tích phân số - ThS. Hồ Thị Bạch Phương

Trường Đại Học Công Nghiệp Tp.HCM Khoa Kỹ Thuật Cơ Khí Chương 4: Tích phân số ThS. Hồ Thị Bạch Phương 1 IUH - 2022
Tích phân Tích phân xác định Tích phân không xác định 1 2 1 2 x 1 x  x dx  2  c 0 xdx  2  2 0 Tích phân không xác định khác nhau ở giá trị c. Tích phân xác định là số cụ thể. Nếu f liên tục trên khoảng [a,b]. F là nguyên hàm của f b  a f(x)dx  F(b)  F(a) 2
Tích phân = diện tích (A) dưới đường cong b A   f(x)dx f(x) a Công thức hình chữ nhật A Khoảng [a,b] được chia thành các khoảng nhỏ hơn. P  a  x 0  x1  x 2  ...  x n  b a b Định nghĩa: mi  min f (x) : x i  x  x i1 f(x) M i  max f (x) : x i  x  x i1 n 1 Tổng dưới L(f ,P)   m i  x i1  x i  i 0 n 1 Tổng trên U(f ,P)   M i  x i1  x i  x0 x1 x2 x3 3 i 0 a b
n 1 Tổng dưới L(f ,P)   m i  x i1  x i  i 0 n 1 Tổng trên U(f ,P)   M i  x i1  x i  f(x) i 0 Ước tính tích phân  L  U 2 Sai số UL  a b 2 Ví dụ 1: 1  2 x0 x1 x2 x3 x dx 0  1 2 3  P  0, , , ,1 n = 4: Chia 4 khoảng bằng nhau  4 4 4  1 1 9 m0  0, m1  , m 2  , m3  16 4 16 1 1 9 M 0  , M1  , M 2  , M3  1 16 4 16 1 x i1  x i  cho i  0,1,2,3 1 1 3 4 4 0 1 4 2 4TS. Lê T. P. Nam
n 1 Tổng dưới L(f ,P)  m x i 0 i i 1  xi  1 1 1 9  14 L(f ,P)  0      4  16 4 16  64 n 1 Tổng trên U(f ,P)  M x i 0 i i 1  xi  1 1 1 9  30 U(f ,P)      1  0 1 1 3 1 4 16 4 16  64 4 2 4   1 30 14 11 Ước tính tích phân       0.34375 2  64 64  32 1  30 14  1 Sai số     2  64 64  8 • Ước tính dựa trên tổng hình chữ nhật thì dễ để đạt cho hàm đơn điệu (luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm). • Hàm không đơn điệu, tìm cực trị của hàm có thể khó khăn và 5 các phương pháp khác thì khả thi hơn.
Phương pháp Newton-Cotes  Phương pháp Newton-Cotes, hàm được xấp xỉ bởi 1 đa thức n.  Tính tích phân của đa thức thì dễ dàng.  a b f ( x)dx   b a a 0  a1 x  ...  a n x n dx b (b 2  a 2 ) (b n 1  a n 1 )  a f ( x)dx a0 (b  a)  a1 2  ...  an n 1  Phương pháp Trapezoid (Đa thức bậc 1 thì được dùng)  a 0  a1x  dx b b  a f (x)dx   a  Qui tắc 1/3 Simpson (Đa thức bậc 2 được dùng)  0 1 2  dx b b  f (x)dx     2 a a x a x a a 6
Phương pháp Trapezoid (Công thức hình thang) b I   f ( x)dx f (b)  f (a) a f (a)  ( x  a) ba b  f (b)  f (a )  I    f (a)  ( x  a ) dx f(x) a  ba  b  f (b)  f (a )    f (a)  a x  ba  a 2 b f (b)  f (a ) x  ba 2 a a b f (b)  f (a )  b  a  2 7
Phương pháp Trapezoid. f(x) f (b) f (a) ba A  f (a)  f (b)  2 a b 8
Phương pháp Trapezoid f (x 2 )  f (x1 ) Khoảng [a,b] được chia thành n khoảng nhỏ A2   x 2  x1  f(x) 2 a  x 0  x1  x 2  ...  x n  b b  a f (x)dx  Tổng diện tích của các trapezoid. x x0 x1 x2 x3 a b 9
Phương pháp Trapezoid Công thức tổng quát và trường hợp đặc biệt. Nếu khoảng được chia thành n phần (không cần thiết chia đều) a  x 0  x1  x 2  ...  x n  b n 1 1 f (x)dx    x i1  x i  f (x i1 )  f (x i )  b  a i 0 2 Trường hợp đặc biệt (Chia đều các khoảng) x i1  x i  h for all i 1 n 1  f (x)dx  h  f (x 0 )  f (x n )    f (x i )  b  a 2 i 1  10
Ví dụ 2: Cho bảng dữ liệu vận tốc t (s) 0.0 1.0 2.0 3.0 của 1 vật. v (m/s) 0.0 10 12 14 Ước tính khoảng cách đi trong khoảng [0,3]. Khoảng cách = Tích phân của vận tốc 3 Khoang cach   0 V(t) dt 11
Khoảng được chia thành t (s) 0.0 1.0 2.0 3.0 3 khoảng . Các điểm là {0,1, 2, 3} V (m/s) 0.0 10 12 14 PP Trapezoid h  x i1  x i  1  n 1 1  T  h   f (x i )   f (x 0 )  f (x n )    i1 2   1  Khoang cach  1 (10  12)  (0  14)   29  2  12
Sai số trong ước tính tích phân Giả định f”(x) là liên tục trên [a,b]. Các khoảng chia đều nhau: h Nếu pp Trapezoid được dùng để xấp xỉ: b  a f (x)dx Khi đó b  a 2 '' Sai số   h f ( ) mà ξ ϵ [a,b] 12 ba 2 |Sai số|  h max f ''(x) 12 x[a,b] 13
Ví dụ 3: Cần bao nhiêu khoảng để tính   0 sin(x)dx chính xác tới 5 chữ số thập phân.  1 0 5 Giải sin(x)dx, tim h de sai so   10 2 ba 2 Sai so  h max f ''(x) 12 x[a,b] b   ; a  0; f '(x)  cos(x); f ''(x)   sin(x)  1 f ''(x)  1  Sai so  h   10 5 2 12 2 6  h   105  h  0.00437 2  (b  a)   n   719 khoang h 0.00437 14
Ví dụ 4: x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 f(x) 2.1 3.2 3.4 2.8 2.7 3 Dùng pp Trapezoid để tính  1 f (x)dx n 1 1 Giải T(f ,P)    x i1  x i  f (x i1 )  f (x i )  i 0 2 Trường hợp đặc biệt : h  x i1  x i cho tất cả i,  n 1 1  T(f ,P)  h   f (x i )   f (x 0 )  f (x n )    i1 2  15
x 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 f(x) 2.1 3.2 3.4 2.8 2.7 n1  f ( x)dx  h  f ( xi )   f ( x0 )  f ( xn )  3 1 1  i 1 2     0.5  3.2  3.4  2.8  2.1  2.7  1  2   5. 9 16
PP Trapezoid đệ quy f(x) Ước tính trên 1 khoảng f(x) h ba ba R(0,0)   f (a)  f (b)  2 b a ah a  2h b 17 a ah
PP Trapezoid đệ quy Nếu Δx = h Ước tính trên 2 khoảng f(x) ba h 2 ba  1  R(1,0)  f (a  h)   f (a)  f (b)  2  2  1 R(1,0)  R(0,0)  h  f (a  h)  2 Dựa trên ước tính trước b Dựa trên điểm mới a ah a  2h Điểm giữa 18 khoảng
PP Trapezoid đệ quy f(x) ba h 4 ba R (2,0)   f (a  h)  f (a  2h)  f (a  3h) 4    f (a )  f (b)  1 2  b R (2,0)  R (1,0)  h f (a  h)  f (a  3h) 1 2 a a  2h a  4h Dựa trên ước tính trước 19 Dựa trên điểm mới
PP Trapezoid đệ quy ba R (0,0)   f (a)  f (b) 2 2 ( n1)  R (n,0)  R (n  1,0)  h   f a  (2k  1)h  1 2  k 1  ba h n 2 20