zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Khoa Học Tự Nhiên

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương

Chia sẻ: Vdgv Vdgv | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:55

Báo xấu

196
lượt xem 30
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu chính của chương 4 Tích phân hàm số một biến số nằm trong bài giảng toán cao cấp nhằm trình bày về: tích phân bất định, công thức cơ bản của tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng, ứng dụng trong kinh tế, tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - ThS. Nguyễn Phương

Chương 4: TÍCH PHÂN HÀM S M T BI N S Th.S NGUY N PHƯƠNG Khoa Giáo d c cơ b n Trư ng Đ i h c Ngân hàng TPHCM Blog: https://nguyenphuongblog.wordpress.com Email: nguyenphuong0122@gmail.com Yahoo: nguyenphuong1504 Ngày 11 tháng 2 năm 2014 1
1 Tích phân b t đ nh Đ nh nghĩa Công th c cơ b n c a tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đ i bi n Phương pháp tích phân t ng ph n 2 Tích phân xác đ nh 3 Tích phân suy r ng Tích phân suy r ng lo i 1 Tích phân suy r ng lo i 2 4 ng d ng trong kinh t Tìm hàm m c tiêu t hàm c n biên Tìm các đ i lư ng trong kinh t b ng tích phân xác đ nh 2
Tích phân b t đ nh Đ nh nghĩa Đ nh nghĩa Hàm s F(x) đư c g i là nguyên hàm c a hàm y = f(x) trên kho ng (a, b) n u F (x) = f(x), ∀x ∈ (a, b) Đ nh lý Gi s F(x) là nguyên hàm c a f(x). Hàm Φ(x) là nguyên hàm c a f(x) n u và ch n u Φ(x) = F(x) + C, trong đó C là h ng s nào đó. Đ nh nghĩa Cho hàm s F(x) là m t nguyên hàm c a f(x) trên (a, b). Khi đó bi u th c F(x) + C v i C là h ng s đư c g i là tích phân b t đ nh c a hàm f(x) trên kho ng (a, b) và đư c ký hi u là f(x)dx
Tích phân b t đ nh Đ nh nghĩa Tính ch t 1) f (x)dx = f(x) + C d 2) f(x)dx = f(x) dx 3) af(x)dx = a f(x)dx 4) [f(x) ± g(x)]dx = f(x)dx ± g(x)dx 5) N u f(x)dx = F(x) + C thì f(u)du = F(u) + C, ∀u = u(x).
Tích phân b t đ nh Công th c cơ b n c a tích phân b t đ nh xα+1 1) xα dx = +C dx α+1 8) = − cot x + C dx sin2 x 2) = ln |x| + C dx 1 x x 9) = arctan + C x2 + a2 a a ax 3) ax dx = +C dx 1 a+x ln a 10) = ln +C 4) ex dx = ex + C a2 − x2 2a a−x dx x 5) sin xdx = − cos x + C 11) √ = arc sin + C a 2 − x2 a 6) cos xdx = sin x + C dx √ 12) √ = ln x + x2 + a + C dx x2 + a 7) = tan x + C cos2 x √ x√ 2 a √ 13) x2 + adx = x + a + ln x + x2 + a + C 2 2 √ x√ 2 a2 x 14) a2 − x2 dx = a − x2 + arcsin + C 2 2 a 5
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Phương pháp đ i bi n N u f(x)dx = F(x) + C thì f(φ(t))φ (t)dt = F(φ(t)) + C v i φ(t) là m t hàm kh vi và liên t c Ví d Tính tích phân sau dx √ x 3 − ln2 x 6
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân 1 Gi i. Đ t u = ln x =⇒ du = dx, ta có x dx du u ln x √ = √ = arc sin √ + C = arc sin √ + C x 3 − ln2 x 3 − u2 3 3 Ví d Tính tích phân sau dx cos x Gi i. Ta có dx cos xdx cos xdx = = cos x cos2 x 1 − sin2 x Đ t u = sin x =⇒ du = cos xdx dx du 1 1+u 1 1 + sin x = 2 = ln + C = ln +C cos x 1−u 2 1−u 2 1 − sin x 1 x π = ln tan + +C 2 2 4
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Ví d Tính tích phân sau ex √ e2x + 5 Gi i. Đ t u = ex =⇒ du = ex dx, ta có ex du √ dx = √ = ln |u + u2 + 5| + C = ln |ex + e2x + 5| + C e2x + 5 u2 + 5 Ví d Tính tích phân sau dx x(x3 + 3) Gi i. Đ t 3x3 du dx u = x3 + 3 =⇒ du = 3x2 dx ⇐⇒ du = dx ⇐⇒ = =? x 3u(u − 3) x(x3 + 3)
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Ta có, dx du 1 du = = x(x3 + 3) 3(u − 3)u 3 u(u − 3) M t vài ví d v phép bi n đ i √ 1) N u bi u th c dư i d u tích phân có d ng a2 − x2 , a > 0 thì ta s d ng π π bi n đ i x = a sin t v i t ∈ − , 2 2 √ 2) N u bi u th c dư i d u tích phân có d ng x2 − a2 , a > 0 thì ta s d ng a π bi n đ i x = v i t ∈ 0, cos t 2 √ 3) N u bi u th c dư i d u tích phân có d ng a2 + x2 , a > 0 thì ta s d ng π π bi n đ i x = a tan t v i t ∈ − , 2 2 4) N u bi u th c dư i d u tích phân có d ng R(ex , e2x , . . . , enx ) thì ta có th s d ng bi n đ i t = ex v i R là hàm h ut.
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tích phân t ng ph n Cho hàm s u(x), v(x) kh vi , liên t c và có nguyên hàm trên (a, b). Khi y hàm u (x)v(x) cũng có nguyên hàm trên (a, b) và u(x)dv(x) = u(x)v(x) − v(x)du(x) thư ng vi t g n là udv = uv − vdu Các d ng tính tích phân thư ng g p    eax      D ng 1. N u tích phân có d ng Pn (x)  sin(ax)  dx      cos(ax)       eax      v i Pn (x) là đa th c c p n thì ta đ t u = Pn (x) và dv =  sin(ax)  dx      cos(ax)   
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân      ln(ax)    D ng 2. N u tích phân có d ng Pn (x)  arcsin(ax)  dx      arc cot(ax)       ln(ax)      v i Pn (x) là đa th c c p n thì ta đ t u =  arcsin(ax)  và dv = Pn (x)dx      arctan(ax)    D ng 3. G m nh ng tích phân mà dư i d u tích phân ch a nh ng hàm sau eax cos bx, eax sin bx, sin(ln x), cos(ln x), . . . sau 2 l n l y tích phân t ng ph n, ta l i có tích phân ban đ u v i 1 h s nào đó.
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tính tích phân các phân th c t i gi n Adx Adx Mx + N ; ; x−a (x − a)m x2 + px + q dx x−a = ln |x − a| + C dx (x−a)m = − m−1 . (x−a)m−1 + C 1 1 dx 1 x−a x2 −a2 = 2a ln x+a + C dx 1 x−x2 (x−x1 )(x−x2 ) = x2 −x1 ln x−x1 +C dx 1 x2 +a2 = a arctan x + C a 12
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Tích phân phân th c h u t Đ nh nghĩa Pn (x) Phân th c h u t v i n < m đư c g i là phân th c h u t th c s . Qm (x) Phương pháp tính tích phân các phân th c h u t Gi s Qm (x) có th khai tri n thành tích các th a s b c 1 và b c 2 Qm (x) = a0 (x − a)k . . . (x2 + px + q)r . . . Pn (x) Ta công nh n đi u sau : Phân th c h u t th c s khai tri n đư c Qm (x) thành t ng c a phân th c t i gi n Pn (x) A1 A2 Ak M1 x + N 1 = + + ... + + ... + 2 Qm (x) x − a (x − a)2 (x − a)k x + px + q M 2 x + N2 M s x + Ns + 2 + ... + 2 + ... (1) (x + px + q)2 (x + px + q)s
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Đ tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . . có 2 phương pháp 1 Phương pháp 1. (h s b t đ nh) Quy đ ng m u s (1), sau đó cân b ng lũy th a theo bi n x, d n đ n h phương trình tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . . 2 Phương pháp 2. Có th tìm A1 , A2 , . . . , M1 , N1 , . . . khi thay th x trong (1), b ng m t cách ch n phù h p.
Tích phân b t đ nh Các phương pháp tính tích phân Phương pháp tính tích phân hàm lư ng giác R(cosx, sinx)dx x 2dt Đ t t = tan =⇒ x = 2arc tan t; dx = và 2 1 + t2 1 − t2 2t cos x = ; sin x = 1 + t2 1 + t2 t đây ta đưa tích phân trên v tích phân hàm h u t . Trong m t s trư ng h p riêng, ta có th tìm ra n t phép th thích h p 1 N u R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), đ t t = sin x 2 N u R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x), đ t t = cos x 3 N u R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x), đ t t = tan x 4 N u sinq x cosp xdx, đ t t = sin x ho c t = cos x
Tích phân xác đ nh Ví d Tìm di n tích mi n ph ng S gi i h n b i đư ng cong y = f(x) = x2 , tr c hoành và 2 đư ng th ng x = 0, x = 1. Hình : 16
Tích phân xác đ nh Chia S thành 4 mi n Hình :
Tích phân xác đ nh Hình : Hình : 18
Tích phân xác đ nh Cho hàm s f xác đ nh trên [a, b] và phân ho ch c a đo n [a, b] v i các đi m x0 = a < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b Trên m i mi n con S1 , S2 , S3 , . . . , Sn l y tùy ý 1 đi m (tương ng là x∗ , x∗ , x∗ , . . . , x∗ ) 1 2 3 n Hình :
Tích phân xác đ nh ∆xi = xi − xi−1 v i i = 0, n n N u I = lim f(x∗ )∆xi t n t i và không i ph thu c vào cách chia và cách ∆xi →0 i=1 ∗ l y đim xi , thì I đư c g i là tích phân xác đ nh c a hàm y = f(x) trên đo n [a; b]. Ký hi u:  n  b f(x∗ )∆xi    lim  = f(x)dx    i  ∆xi →0   i=1 a : d u tích phân , a : c n dư i, b : c n trên, f(x) : bi u th c dư i d u tích phân

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.