Bài giảng Dạng toàn phương - TS. Lê Xuân Đại

Chia sẻ: May Trời Gio Bien | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

310
lượt xem 34
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Dạng toàn phương" do TS. Lê Xuân Đại biên soạn cung cấp cho người học các kiến thức: Những khái niệm cơ bản, dạng toàn phương xác định dấu, nhận dạng đường và mặt bậc hai. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Dạng toàn phương - TS. Lê Xuân Đại

DẠNG TOÀN PHƯƠNG Bài giảng điện tử TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP. HCM — 2013. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 1 / 43
Nội dung 1 Định nghĩa dạng toàn phương. Phương pháp biến đổi trực giao, phương pháp biến đổi Lagrange đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc 2 Dạng toàn phương xác định dấu: Luật quán tính, tiêu chuẩn Sylvester 3 Nhận dạng đường và mặt bậc hai TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 2 / 43
Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Định nghĩa Dạng toàn phương trong Rn là một hàm thực f : Rn → R, ∀x = (x1, x2, . . . , xn )T ∈ Rn : f (x) = x T .M.x, trong đó M là ma trận đối xứng thực và được gọi là ma trận của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc). Ví dụ f (x) = f (x1, x2) = 2x12 + 3x22 − 6x1 x2 là dạng toàn 2 −3 phương. Ma trận M có dạng M = −3 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 3 / 43
Những khái niệm cơ bản Định nghĩa Dạng toàn phương trong R3 thường được ghi ở dạng f (x) = f (x1, x2, x3) = Ax12 + Bx22 + Cx32 + 2Dx1x2 + 2Ex1x3 + 2Fx2x3. Ma trận của dạng toàn phương lúc này là ma trận đối xứng   A D E M =D B F  E F C   x1 f (x1, x2, x3) = x T .M.x = (x1 x2 x3).M.  x2  x3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 4 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ f (x) = f (x1, x2, x3) = x12 − 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 − x32 là 1 dạng toàn phương. Ma trận của dạng toàn phương là   1 −1 2 M =  −1 0 1  2 1 −1 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 5 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Cho dạng toàn phương f (x) = x T .M.x, với x = (x1, x2, x3)T . Vì M là ma trận đối xứng thực nên M chéo hóa được bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D : D = P T MP ⇒ M = PDP T . Khi đó f (x) = x T .P.D.P T .x = (P T .x)T .D.(P T .x). Đặt y = P T .x = P −1x ⇔  x = Py . Tacóg (y )= λ1 0 0 y1 y T Dy = (y1, y2, y3)  0 λ2 0   y2  . Vậy 0 0 λ3 y3 f (x) = g (y ) = λ1y12 + λ2y22 + λ3y32. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 6 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Định nghĩa Dạng toàn phương g (y ) = y T Dy được gọi là dạng chính tắc của dạng toàn phương f (x) = x T Mx. Định lý Dạng toàn phương f (x) = x T Mx luôn luôn có thể đưa về dạng chính tắc g (y ) = y T Dy bằng cách chéo hóa trực giao ma trận M của dạng toàn phương. TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 7 / 43
Những khái niệm cơ bản Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng biến đổi trực giao Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao Bước 1. Viết ma trận M của dạng toàn phương (trong cơ sở chính tắc) Bước 2. Chéo hóa M bởi ma trận trực giao P và ma trận chéo D. Bước 3. Kết luận: dạng chính tắc cần tìm là g (y ) = y T Dy . Phép biến đổi cần tìm x = Py . TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 8 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ Ví dụ Đưa dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng phép biến đổi trực giao f (x1, x2, x3) = −4x1x2 − 4x1x3 + 3x22 − 2x2x3 + 3x32 Ma trận  của dạng toànphương 0 −2 −2 M =  −2 3 −1  −2 −1 3 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) DẠNG TOÀN PHƯƠNG TP. HCM — 2013. 9 / 43
Những khái niệm cơ bản Ví dụ
−λ −2 −2
det(M − λI ) =
−2 3 − λ −1
= 0