Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - TS. Trịnh Thị Hường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 cung cấp cho người học những kiến thức như: các khái niệm cơ bản; đưa dạng toàn phương về dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc; dấu của dạng toàn phương;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp 1: Chương 4 - TS. Trịnh Thị Hường

HỌC PHẦN TOÁN CAO CẤP 1 CHƯƠNG 4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG Giảng viên: T.S Trịnh Thị Hường Bộ môn : Toán Email: trinhthihuong@tmu.edu.vn
I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1. Các khái niệm Định nghĩa 1: Một tổng có dạng 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗 (1) 𝑖,𝑗 =1 Trong đó 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , ∀𝑖, 𝑗 = 1, 𝑛, 𝑖 ≠ 𝑗, 𝑎𝑖𝑗 ∈ 𝑅, gọi là một dạng toàn phương của các biến 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 .
Ma trận của dạng toàn phương (1) là 𝑎11 ⋯ 𝑎1𝑛 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 = ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 ⋯ 𝑎𝑛𝑛 Nhận xét: 𝐴 = 𝐴′. 𝑥1 Dạng ma trận: Đặt 𝑋 = ⋮ , suy ra 𝑥𝑛 𝑋 ′ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ). ′ Khi đó, (1) trở thành 𝐹 𝑋 = 𝑋 𝐴𝑋
Định nghĩa 2: ❖ Hạng của DTP:Hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận của dạng toàn phương đó. ❖ Dạng toàn phương được gọi là suy biến nếu 𝑟 𝐴 < 𝑛 hay . ❖ Dạng toàn phương được gọi là không suy biến nếu 𝑟 𝐴 = 𝑛 hay 𝐴 ≠ 0
1.2.Dạng toàn phương chính tắc, chuẩn tắc ❖ Dạng toàn phương chính tắc: Dạng toàn phương chính tắc là dạng toàn phương có dạng 𝑛 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 (2) 𝑖=1 ❖ Dạng toàn phương chuẩn tắc: Dạng toàn phương chính tắc được gọi là dạng toàn phương chuẩn tắc nếu chỉ nhận các giá trị
Ví dụ 1: là dạng toàn phương chính tắc. Ma trận: là dạng toàn phương chuẩn tắc. Ma trận:
1.3. Phép biến đổi tuyến tính Xét dạng toàn phương F(X)=X’AX Định nghĩa 3: Cho ma trận 𝑆 = 𝑠𝑖𝑗 , 𝑆 ≠ 0. 𝑛×𝑛 Phép biến đổi tuyến tính không suy biến từ biến X sang biến Y là: 𝑋 = 𝑆𝑌 Khi đó, dạng toàn phương (2) trở thành: 𝐹 𝑌 = 𝑌 ′ 𝐵𝑌, 𝐵 = 𝑆′𝐴𝑆
Ví dụ 2: DTP chính tắc có thể đưa về DTP chuẩn tắc bằng phép đặt
II. Đưa DTP về DTP chính tắc, chuẩn tắc 2.1. Phương pháp giá trị riêng Phương pháp 2.2. Phương pháp Jacobi 2.3. Phương pháp Lagrange
2.1. Phương pháp giá trị riêng ′ Xét dạng toàn phương 𝐹 𝑋 = 𝑋 𝐴𝑋 (1) Định thức 𝐴 − 𝑘𝐸 = 0 gọi là phương trình đặc trưng (ẩn k) của (1) Định lý: Giả sử 𝑘1 , 𝑘2 , … , 𝑘𝑛 là các nghiệm của phương trình đặc trưng của dạng toàn phương (1) (kể cả nghiệm 0 và nghiệm bội). Khi đó, dạng toàn phương chính tắc của (1) là
2.2. Phương pháp Jacobi Cho ma trận 𝑎𝑖𝑗 𝑛×𝑛 Các định thức con chính của A là D1 = 𝑎11 𝑎11 𝑎12 D2 = 𝑎 𝑎22 21 … …. 𝐷𝑛 = 𝐴
❖Định lý Jacobi: Nếu ma trận của một DTP có Di  0i = 1,2,...n thì DTP chính tắc của nó là
❖Ví dụ 2: Đưa các DTP sau về DTP chính tắc D1 = 1, D2 = −3, D3 = 8 D1 = 1, D2 = 1, D3 = 0
2.3. Phương pháp Lagrange Ví dụ 3: Đưa các dạng toàn phương sau về dạng toàn phương bằng phương pháp Largange b)
❖Định luật quán tính Số các hệ số mang dấu dương, số hệ số mang dấu âm và số hệ số bằng không của dạng toàn phương chính tắc nhận được là không đổi khi ta đưa một DTP về DTP chính tắc bằng các phép biến đổi tuyến tính không suy biến khác nhau.
III.DẤU CỦA DẠNG TOÀN PHƯƠNG 3.1. Định nghĩa: dạng toàn phương 𝐹 𝑋 = 𝑋 ′ 𝐴𝑋 (2) được gọi là: • Xác định dương nếu • Xác định âm nếu • Nửa xác định dương nếu và tồn tại sao cho F(X) = 0 • Nửa xác định âm nếu và tồn tại sao cho F(X) = 0 • Đổi dấu nếu nó nhận cả giá trị âm và giá trị dương (tức tồn tại sao cho F(X)F(Y)
❖ Nhận xét: Dạng toàn phương chính tắc 𝐹 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 = 𝑛𝑖=1 𝑘𝑖 𝑥𝑖2 là • Xác định dương nếu 𝑘𝑖 > 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 • Xác định âm nếu 𝑘𝑖 < 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 • Nửa xác định dương nếu 𝑘𝑖 ≥ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 và ∃𝑖: 𝑘𝑖 = 0 • Nửa xác định âm nếu 𝑘𝑖 ≤ 0, ∀𝑖 = 1, 𝑛 và ∃𝑖: 𝑘𝑖 = 0 • Đổi dấu nếu ∃𝑖, 𝑗: 𝑘𝑖 > 0 𝑣à 𝑘𝑗 < 0.
❖ Định lý: Các phép biến đổi tuyến tính không suy biến không làm thay đổi tính xác định dấu của dạng toàn phương.
3.2. Định lý Sylverster Dạng toàn phương là • Xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính của nó đều dương. • Xác định âm khi và chỉ khi mọi định thức con chính cấp lẻ đều âm và cấp chẵn đều dương.
Định lý Sylverster mở rộng Dạng toàn phương là • Nửa xác định dương khi và chỉ khi mọi định thức con chính của nó đều không âm và có ít nhất một định thức con chính bằng 0. • Nửa xác định âm khi và chỉ khi mọi định thức con chính cấp lẻ đều không dương và cấp chẵn đều không âm và có ít nhất 1 định thức con chính bằng 0.