Bài giảng Động lực học kết cấu: Chương 3 - Bạch Vũ Hoàng Lan

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:58

Thêm vào BST

Báo xấu

14
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Động lực học kết cấu - Chương 3 Hệ nhiều bậc tự do, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo; Dao động tự do và mode dao động; phương trình chuyển động của dao động tự do không cản. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Động lực học kết cấu: Chương 3 - Bạch Vũ Hoàng Lan

ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TPHCM KHOA XÂY DỰNG Chương 3: HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO Bạch Vũ Hoàng Lan 1
3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Xét hệ khung phẳng 2 tầng như hình vẽ 𝑚2 𝑢2 𝑝2 (𝑡) 𝑚2 𝑢2 𝑝2 (𝑡) 𝑢2 𝑓𝐼 2 𝑘2 𝑐2 𝑐2 𝑘2 𝑠 𝑓 𝐶2 𝑠 𝑢1 𝑓𝑆2 𝑝1 (𝑡) 𝑚1 𝑢1 𝑓𝑆1 𝑠 𝑓 𝐶1 𝑠 𝑝1 (𝑡) 𝑘2 𝑐2 𝑘1 𝑢1 𝑐1 𝑓𝐼 1 𝑚1 𝑘1 𝑐1 𝑓𝑆1 𝐼 𝑓 𝐶1 𝐼 Pt cân bằng của khối lượng m1: 𝑚1 𝑢1 + 𝑐1 𝑢1 + 𝑐2 𝑢1 − 𝑢2 + 𝑘1 𝑢1 + 𝑘2 𝑢1 − 𝑢2 = 𝑝1 (𝑡) Khối lượng m2: 𝑚2 𝑢2 + 𝑐2 𝑢2 − 𝑢1 + 𝑘2 𝑢2 − 𝑢1 = 𝑝2 (𝑡) 2
3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Viết dưới dạng ma trận: 𝑚1 0 𝑢1 (𝑐 + 𝑐2 ) −𝑐2 𝑢1 (𝑘1 +𝑘2 ) −𝑘2 𝑢1 𝑝1 + 1 + 𝑢2 = 𝑝2 0 𝑚2 𝑢2 −𝑐2 𝑐2 𝑢2 −𝑘2 𝑘2 Hoặc: 𝑚11 𝑚12 𝑢1 𝑐11 𝑐12 𝑢1 𝑘 𝑘12 𝑢1 𝑝1 𝑚21 𝑚22 + 𝑐 𝑐22 + 11 𝑢2 = 𝑝2 𝑢2 21 𝑢2 𝑘21 𝑘22 Tổng quát: Gọi: 𝑚 𝑖𝑗 = lực quán tính tương ứng với 𝑢 𝑖 do 𝑢 𝑗 = 1 gây ra 𝑐 𝑖𝑗 = lực cản tương ứng với 𝑢 𝑖 do 𝑢 𝑗 = 1 gây ra 𝑘 𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢 𝑖 do 𝑢 𝑗 = 1 gây ra 3
3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Theo phương bậc tự do 𝑢 𝑖 : Với: 𝑑𝑜𝑓 - Degree of Freedom 𝑛 𝑑𝑜𝑓 Lực quán tính = 𝑗=1 𝑚 𝑖𝑗 × 𝑢 𝑗 𝑛 𝑑𝑜𝑓 Lực cản = 𝑗=1 𝑐 𝑖𝑗 × 𝑢 𝑗 𝑛 𝑑𝑜𝑓 Lực đàn hồi = 𝑗=1 𝑘 𝑖𝑗 × 𝑢 𝑗 Pt cân bằng lực theo nguyên lý D’Alembert: 𝑛 𝑑𝑜𝑓 𝑛 𝑑𝑜𝑓 𝑛 𝑑𝑜𝑓 𝑚 𝑖𝑗 × 𝑢 𝑗 + 𝑐 𝑖𝑗 × 𝑢 𝑗 + 𝑘 𝑖𝑗 × 𝑢 𝑗 = pi 𝑗=1 𝑗=1 𝑗=1 Xét tất cả các bậc tự do và viết dưới dạng ma trận: 𝑚 𝑖𝑗 𝑢 𝑖 + 𝑐 𝑖𝑗 𝑢 𝑖 + 𝑘 𝑖𝑗 𝑢𝑖 = 𝑝𝑖 4
3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Hay: 𝐌𝒖 + 𝐂𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝒑 Trong đó: 𝐌 = Ma trận khối lượng 𝐂 = Ma trận cản 𝐊 = Ma trận độ cứng Nếu khối lượng của hệ được thu gọn về các bậc tự do là các chuyển vị thẳng thì 𝑚 𝑖𝑗 = 0 (𝑘ℎ𝑖 𝑖 𝑗) và ma trận khối lượng trở thành ma trận đường chéo với các khối lượng tương ứng với các bậc tự do là các chuyển vị thẳng 5
3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo ĐỘ CỨNG CỦA KẾT CẤU Theo định nghĩa: 𝑘 𝑖𝑗 = lực đàn hồi tương ứng với 𝑢 𝑖 do 𝑢 𝑗 = 1 gây ra Chú ý: Lực đàn hồi cân bằng với lực nút nhằm duy trì đường đàn hồi, tức là ngược chiều với lực nút Hệ số độ cứng 𝑘 𝑖𝑗 được minh họa là các lực nút do chuyển vị 𝑢 𝑗 = 1 gây ra (các chuyển vị khác 𝑢 𝑖 = 0 𝑣ớ𝑖 𝑖 𝑗) 𝑃1 = 𝑘1𝑗 𝑃 𝑖 = 𝑘 𝑖𝑗 𝑃 𝑗 = 𝑘 𝑗𝑗 𝑃 𝑁 = 𝑘 𝑁𝑗 𝑢𝑗 = 1 1 i j N 6
𝑃1 = 𝑘1𝑗 𝑃 𝑖 = 𝑘 𝑖𝑗 𝑃 𝑗 = 𝑘 𝑗𝑗 𝑃 𝑁 = 𝑘 𝑁𝑗 𝑢𝑗 = 1 1 i j N 1 i j N 𝑢𝑗 = 1 𝑘1𝑗 𝑘 𝑖𝑗 𝑘 𝑗𝑗 𝑘 𝑁𝑗 Hệ số độ cứng 𝑘 𝑖𝑗 cũng chính là phản lực tại nút nếu đặt vào đó các liên kết ngăn cản chuyển vị. Do vậy có thể dùng phương pháp chuyển vị để xác định hệ số độ cứng 7
3.1 Thiết lập hệ phương trình vi phân chủ đạo Ví dụ 3.1: Thiết lập phương trình vi phân chủ đạo cho kết cấu như hình vẽ. Biết rằng các thanh dầm là tuyệt đối cứng và bỏ qua cản 𝑝3 𝑚/2 𝑢3 Dạng pt vi phân chủ đạo không cản: 𝐌𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝒑 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ Ma trận khối lượng: 𝑝2 𝑚 𝑢2 𝑚 0 0 𝐌= 0 𝑚 0 0 0 𝑚/2 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝑢1 𝑝1 𝑚 𝑢1 𝒖 = 𝑢2 𝑢3 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝑝1 𝒑 = 𝑝2 𝑝3 8
Sử dụng pp chuyển vị để tính độ cứng đơn vị: 24𝐸𝐼 𝑘32 =− 3 ℎ 𝑘31 = 0 6𝐸𝐼 ℎ2 𝑢2 = 1 2 6𝐸𝐼 ℎ 6𝐸𝐼 ℎ2 6𝐸𝐼 ℎ2 48𝐸𝐼 𝑢1 = 1 𝑘22 = 3 ℎ 6𝐸𝐼 ℎ2 6𝐸𝐼 ℎ2 6𝐸𝐼 ℎ2 24𝐸𝐼 𝑘12 =− 3 ℎ 24𝐸𝐼 𝑘21 =− 3 ℎ Khi cho 𝑢3 = 1 tương tự ta có: 12𝐸𝐼 ℎ3 12𝐸𝐼 ℎ3 24𝐸𝐼 12𝐸𝐼 ℎ3 𝑘33 = 3 12𝐸𝐼 ℎ3 ℎ 24𝐸𝐼 48𝐸𝐼 𝑘23 = − 3 𝑘11 = 3 ℎ ℎ 𝑘13 = 0 12𝐸𝐼 ℎ3 12𝐸𝐼 ℎ3 9
𝑝3 𝑚/2 𝑢3 Thiết lập ma trận độ cứng 𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝐊 = 𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝑝2 𝑚 𝑢2 𝑘31 𝑘32 𝑘33 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝐸𝐼 48 −24 0 → 𝐊 = 3 −24 48 −24 𝑝1 𝑚 𝑢1 ℎ 0 −24 24 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 10
ℎ P=1 𝐸𝐼 = ∞ 4 Thiết lập ma trận độ cứng ℎ ℎ3 4 𝛿11 = 24𝐸𝐼 𝑝3 𝑚/2 𝑢3 ℎ ℎ 1 24𝐸𝐼 4 𝑘= = 3 4 𝛿11 ℎ 𝐸𝐼 𝐸𝐼 ℎ 𝑝2 𝑚 𝑢2 𝑘11 𝑘12 𝑘13 𝐊 = 𝑘21 𝑘22 𝑘23 𝐸𝐼 𝐸𝐼 𝑘31 𝑘32 𝑘33 ℎ 𝑝1 𝑚 𝑢1 𝑘1 + 𝑘2 −𝑘2 0 𝐊= −𝑘2 𝑘2 + 𝑘3 −𝑘3 𝐸𝐼 𝐸𝐼 0 −𝑘3 𝑘3 ℎ 𝐸𝐼 48 −24 0 → 𝐊 = 3 −24 48 −24 ℎ 0 −24 24 11
3.2 Dao động tự do và mode dao động A. TẦN SỐ VÀ HÌNH DẠNG CỦA CÁC MODE DAO ĐỘNG Phương trình vi phân chủ đạo của dao động tự do không cản: 𝐌𝒖 + 𝐊𝒖 = 𝟎 Khi hệ dao động điều hòa với hình dạng không đổi, có thể biểu diễn nghiệm dưới dạng: 𝑢1 𝜙1 ⋮ = ⋮ sin(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜃) hay: 𝒖 = 𝝓sin(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜃) 𝑢𝑁 𝜙𝑁 Đạo hàm bậc 2 của phương trình dao động 𝒖 𝑡 : 𝒖 = −𝜔2 𝝓sin(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜃) 𝑛 12
3.2 Dao động tự do và mode dao động Thay chuyển vị và gia tốc vào phương trình vi phân chủ đạo: 2 𝐊 − 𝜔n 𝐌 𝝓sin(𝜔 𝑛 𝑡 + 𝜃) = 𝟎 Phương trình này phải thỏa mãn tại mọi thời điểm, do đó: 2 𝐊 − 𝜔n 𝐌 𝝓 = 𝟎 (3.2-1) • Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) có ít nhất là một nghiệm tầm thường 𝝓 = 𝟎, ứng với trạng thái cân bằng tĩnh. • Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (3.2-1) sẽ có nghiệm không tầm thường nếu: 2 det 𝐊 − 𝜔n 𝐌 = 𝟎 : Phương trình đặc trưng của hệ 13
3.2 Dao động tự do và mode dao động Giải phương trình bậc 𝑁 theo 𝜔2 trên ta sẽ tìm được 𝑁 𝑛 giá trị (dương) của 𝜔2 . Từ đó sẽ tìm được 𝑁 tần số vòng 𝑛 tự nhiên 𝜔 𝑛 của 𝑁 mode dao động Thay các giá trị của 𝜔 𝑛 vào phương trình thuần nhất (3.2-1) ta sẽ tìm được 𝑁 họ nghiệm 𝝓 𝒏 . 2 Do: det 𝐊 − 𝜔n 𝐌 = 𝟎, ta không thể xác định các phần tử 𝝓 𝒊 . Tuy nhiên ta có thể xác định bằng cách biểu thị các chuyển vị theo một chuyển vị được chọn làm chuẩn (thường lấy bằng 1 đơn vị) 14
3.2 Dao động tự do và mode dao động Mỗi họ nghiệm 𝝓 𝒋 = 𝜙1𝑗 … 𝜙 𝑁𝑗 𝑇 biểu diễn hình dạng của một mode dao động tương ứng với tần số vòng 𝜔 𝑗 . Các phần tử 𝜙 𝑖𝑗 tương ứng với chuyển vị chuyển vị thứ 𝑖 của n bậc tự do của dạng dao động thứ 𝑗 𝜙11 ⋮ 𝜙1𝑁 𝚽= 𝝓𝟏 … 𝝓𝑵 = ⋮ ⋮ ⋮ 𝜙 𝑁1 ⋮ 𝜙 𝑁𝑁 𝚽 - Ma trận các hàm dạng 15
Ví dụ 3.2: Xác định các tần số vòng tự nhiên và dạng dao động của kết cấu như hình vẽ. Biết khối lượng 𝑚 = 20000 𝑘𝑔 ; độ cứng theo phương ngang của mỗi tầng 𝑘 = 18. 106 𝑁 𝑚 𝑚 𝑢2 Phương trình đặc trưng: 2 det 𝐊 − 𝜔n 𝐌 = 𝟎 𝑘/2 𝑘/2 ℎ 𝑚 𝑢1 Ma trận khối lượng: 1 0 𝐌 = 20. 103 𝑘𝑔 𝑘/2 𝑘/2 ℎ 0 1 Ma trận độ cứng: 2 −1 6 2 −1 𝐊= 𝑘 = 18. 10 𝑁 𝑚 −1 1 −1 1 16
Các tần số dao động riêng xác định từ pt đặc trưng: 2 det 𝐊 − 𝜔n 𝐌 = 0 36. 106 − 20. 103 𝜔 𝑛 2 −18. 106 → 6 − 20. 103 𝜔 2 = 0 −18. 106 18. 10 𝑛 400. 106 𝜔 𝑛 4 − 1080. 109 𝜔 𝑛 2 + 324. 1012 = 0 2 𝜔 𝑛2 𝜔 𝑛2 81. 104 . 400. 106 − 900.1080. 109 + 324. 1012 = 0 900 900 𝜔2 Đặt: 𝑥 = → 𝑥 2 − 3𝑥 + 1 = 0 900 → 𝑥1 = 0.382; 𝑥2 = 2.618 Ta xác định được : 𝜔1 = 18.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠 ; 𝜔2 = 48.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠 17
Thay tần số dao động riêng 𝜔1 = 18.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠 vào pt (3.2-1): 2 − 0.382 −1 Φ11 =0 −1 1 − 0.382 Φ21 Chọn giá trị: Φ12 = 1, ta có: 1.618 −1 Φ11 1.618Φ11 − 1 = 0 → Φ − 0.618 = 0 → Φ11 = 0.618 −1 0.618 1 11 Tương tự thay tần số dao động riêng 𝜔2 = 48.54 𝑟𝑎𝑑 𝑠 2 − 2.618 −1 Φ12 = 0 → Φ12 = −1.618 −1 1 − 2.618 1 Dạng dao động của hệ kết cấu: Φ11 Φ12 0.618 −1.618 𝚽= 𝚽𝟏 𝚽𝟐 = = Φ21 Φ22 1 1 18
Các dạng dao động (mode shape) của hệ kết cấu: Φ11 Φ12 0.618 −1.618 𝚽= 𝚽𝟏 𝚽𝟐 = = Φ21 Φ22 1 1 𝑢2 = 1 𝑢2 = 1 𝑚 𝑚 𝑢1 = 1.681 𝑢1 = 0.681 𝑚 𝑚 Dạng dao động thứ 1 Dạng dao động thứ 2 (mode 1) (mode 2) 19
B. TÍNH TRỰC GIAO CỦA CÁC MODE Xét hai mode n và r: 2 𝐊 − 𝜔n 𝐌 𝝓 𝒏 = 𝟎 (3.2-2) 𝐊 − 𝜔2 𝐌 𝝓 𝒓 = 𝟎 𝑟 (3.2-3) Lần lượt nhân trước (3.2-2) và (3.2-3) cho 𝝓 𝒓𝑻 và 𝝓 𝑻 : 𝒏 𝝓 𝒓𝑻 𝐊𝝓 𝒏 = 𝜔n 𝝓 𝒓𝑻 𝐌𝝓 𝒏 2 (3.2-4) 𝝓 𝑻 𝐊𝝓 𝒓 = 𝜔r 𝝓 𝑻 𝐌𝝓 𝒓 𝒏 2 𝒏 (3.2-5) Với 𝝓 𝒓𝑻 và 𝝓 𝑻 là các ma trận chuyển trí của 𝝓 𝒓 và 𝝓 𝒏 𝒏 Chuyển trí các vector và các ma trận trong pt (3.2-5): 𝝓 𝒏 𝐊 𝐓 𝝓 𝒓𝑻 = 𝜔r 𝝓 𝒓𝑻 𝐌 𝐓 𝝓 𝒏 2 (3.2-6) 20