Bài giảng "Giải tích 1: Giới hạn dãy số (Phần 2)" cung cấp cho người học các kiến thức: Tính chất của vô cùng bé, so sánh bậc các vô cùng bé, các vcb tương đương cơ bản,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Giới hạn dãy số (Phần 2)
- GiỚI HẠN HÀM SỐ
(phần 2)
Vô cùng bé – vô cùng lớn
- ĐỊNH NGHĨA
• (x) là vô cùng bé khi x xo nếu giá trị của
(x) rất bé khi x gần xo.
� lim α ( x ) = 0
x x0
• (x) là vô cùng lớn khi x xo nếu giá trị của |
(x)| rất lớn khi x gần xo.
� lim α ( x ) = +�
x x0
- Ví dụ
1 / α > 0, lim x α = 0 x , > 0 là VCB khi x 0
x 0
2 / α > 0, lim x α = + x, > 0 là VCL khi x +
x +
3 / lim ln x = +
x +
4 / lim+ ln x = − lnx là VCB khi x 1
x 0
là VCL khi x + ,0
5 / lim ln x = 0
x 1
- TÍNH CHẤT CỦA VÔ CÙNG BÉ
1. Tổng, hiệu, tích các VCB là VCB.
2. c 0, (x) là VCB c (x) là
VCB.
lim f ( x ) = a � f ( x ) = a + α ( x ),
x x0
3.
với (x) là VCB khi x xo.
- SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ
(x) và (x) là 2 VCB khi x xo, đặt
α (x)
K = lim
x x0 β ( x )
1. K=0, (x) là VCB bậc cao hơn (x),
ký hiệu: (x) = o( (x)) .
2. K 0, : (x) và (x) đồng bậc.
K= 1: (x) và (x) tương đương: (x) ~ (x)
- SO SÁNH BẬC CÁC VÔ CÙNG BÉ
(x) và (x) là 2 VCB khi x xo, nếu tồn tại n>0
sao cho:
α (x)
K = lim 0,
x x0 [ β ( x ) ] n
(tức là (x) đồng bậc với [ (x)]n )
Thì (x) được gọi là VCB bậc n đối với (x)
- VÍ DỤ
α ( x ) = 3 x 3 + 2x 4 là 2 VCB khi x 0
1/
β (x) = x
α (x) 3 3
x + 2x 4 x 3
+ 2 x 4
= =3 x 0
1
β (x) x x3
α (x) : β (x)
- α ( x ) = ln(cos x )
2/ là 2 VCB khi x 0
β (x) = x
α (x) ln(cos x ) ln(1 + cos x − 1)
= =
β (x) x x
ln(1 + cos x − 1) cos x − 1
= 2
x
cos x − 1 x
x 0
1 (−1 / 2) 0 = 0
� α ( x ) = o ( β ( x )) (x) bậc cao hơn (x)
- α ( x ) = ln(cos x )
3/ là 2 VCB khi x 0
β (x) = x
α (x) ln(cos x )
2 =
[ β ( x )] x2
ln(1 + cos x − 1) cos x − 1
=
cos x − 1 x2
x 0
1 (−1 / 2) = −1 / 2
(x) là VCB bậc 2 đối với (x).
- Các vcb tương đương cơ bản
Khi x 0
sin x : x
ln(1 + x ) : x
2
x
1 − cos x : x
e −1 : x
2
x
tan x : x a − 1 : x ln a
arcsin x : x α
(1 + x ) − 1 : α x
arctan x : x
- Ví dụ
sin 2 x : 2 x , khi x 0
2 1 4
1 − cos x : x , khi x 0
2
tan(ln(1 + x )) : ln(1 + x ) : x , khi x 0
ln x : x − 1, khi x 1
�1� 1
arctan � �: , khi x
�x � x
- Nguyên tắc thay tương đương VCB
1. Chỉ được thay tương đương qua tích các VCB
α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x x0
α ( x ) β ( x ) : α1 ( x ) β1 ( x )
VD: khi x 0
1 / (e x − 1) sin x : x x = x 2 ,
2/ ( 3 5
) x
1 − 2 x − 1 (e − 1) tan x 3
16
1 2 3
: (−2 x 5 ) x 3
x = − x
3 3
- Nguyên tắc thay tương đương VCB
2. Nguyên tắc ngắt bỏ VCB bậc cao: tổng các VCB
khác cấp tương đương với VCB bậc thấp nhất
α1 ( x ) + α 2 ( x ) + L + α n ( x ) : α i ( x )
với i là VCB bậc thấp nhất
VD: khi x 0
2 3
x − 2 x + 3x : 3x
3
sin x − 2 x 2
: −2x 2
- Nguyên tắc thay tương đương VCB
3. (x) ~ 1 (x), khi x xo, lim f ( x ) = a 0
x x0
f (x) α (x) : a α ( x ) : a α1 ( x )
VD: khi x 0
1 / ( x + 1) ln( x + 1) : 1 ln( x + 1) : x
2/e 2x x2
−e = e
x2
(e 2 x −x2
−1 )
0
: e e ( 2 x−x2
)
−1 : 1 ( 2x − x ) : 2
2x
- 4. Nguyên tắc thay tương đương trong tính giới hạn
α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x ) khi x x0
α (x) α1 ( x )
� lim = lim
x x0 β ( x ) x x0 β ( x )
1
sin x − 3x 2 sin x
VD: 1 / lim = lim =1
x 0 ln(1 + x ) x 0 x
x2
(e − 1)arctan x x 2x x3
2 / lim = lim = lim
x 0 ln(cos x ) x 0 ln(1 + cos x − 1) x 0 cos x − 1
x3
= lim 2 = 0
x 0 x
−
2
- Nguyên tắc thay tương đương VCB
5. Phép thay qua hiệu 2 VCB
α ( x ) : α1 ( x ), β ( x ) : β1 ( x )
khi x x0
α ( x ) :/ β ( x )
� α ( x ) − β ( x ) : α1 ( x ) − β1 ( x )
(chỉ thay tương đương qua hiệu nếu 2
VCB ban đầu không tương đương)
- Cách thực hiện
Thay và qua các tương đương trung gian
(chẳng hạn xp khi x 0), đến khi không còn thay
được nữa, nếu hiệu triệt tiêu thì và là 2 VCB
tương đương không thay qua hiệu trong trường
hợp này
- VÍ DỤ
1 / arctan x − sin x 2 2 / tan x − sin x
x x2 x x x
:
x
3 / (e − 1)( x + 1) − sin x 4 / x − ln( x 2 + 1) − sin x
x 1 x x x2 x
x x
- Lưu ý
1. Không chuyển vế trong tương đương cơ bản.
2. Không thay tương đương qua hàm số ngoại
trừ hàm lũy thừa dương(chỉ thay tương
đương cho VCB, VCL.)
3. Tính triệt tiêu trong tương đương tổng hiệu chỉ
xét cho từng cặp hàm
- Ví dụ
Xét tính đúng, sai trong các tương đương sau
Khi x → 0
ex : 1 + x sin 2 x Đ
: x2 sin −2 x : x −2
ln(1 + sin x ) : ln(1 + x ) : x ln(1 + sin x ) Đ
: sin x : x
sin x x Đ
e −1 : e −1 : x e sin x
− 1 : sin x : x
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
