Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu

Chia sẻ: Hà Thị Hoan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:35

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu thông tin đến các bạn các nội dung: giới hạn của dãy số; hàm số hàm số một biến; phép tính vi phân hàm một biến số; tích phân xác định; lý thuyết chuỗi. Để nắm chi tiết nội dung kiến thức mời các bạn cùng tham khảo bài giảng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1 – Trần Thị Khiếu

Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông Cơ sở tp. Hồ Chí Minh Khoa Cơ bản 2 – Bộ môn toán ----------------------------------------------------------- Giải tích 1 • Giảng viên: Trần Thị Khiếu • Email: ttkhieu@gmail.com
- Cách tính điểm + Chuyên cần : 10% (điểm danh hằng ngày). +Bài tập : 10% (lên bảng làm bài tập 5 lần). +Kiểm Tra giữa kỳ: 10% (trắc nghiệm 20 câu). +Thi cuối kỳ: 70% Tài liệu học - Giáo trình giải tích 1, Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, TS. Vũ Gia Tê (chủ biên), ThS. Nguyễn Thị Dung, ThS. Đỗ Phi Nga.
Mục lục Chương 1: Giới hạn của dãy số. Chương 2: Hàm số hàm một biến. Chương 3: Phép tính vi phân hàm một biến số. Chương 4: Tích phân xác định. Chương 5: Lý thuyết chuỗi.
Chương 1: Giới hạn của dãy số.
Số thực Cho ⊂ ℝ và ∈ ℝ. là một cận trên của trong ℝ nếu x  X , x  a Giá trị nhỏ nhất của tập các chặn trên (cận trên) của tập hợp X được gọi là chặn trên nhỏ nhất (cận trên đúng) của X và ký hiệu là supX, (supremum của X). Cho ⊂ ℝ và ∈ ℝ. là một cận dưới của trong ℝ nếu x  X , x  a Giá trị lớn nhất của tập các chặn dưới (cận dưới) của tập hợp X được gọi là chặn dưới lớn nhất (cận dưới đúng) của X và ký hiệu là infX, (infimum của X).
Dãy số thực ------------------------------------------------------------ Định nghĩa Một dãy số là một ánh xạ từ tập số tự nhiên N vào tập số thực R. u:N  R n  u ( n)  Thường dùng ký hiệu:   un n 1 hay đơn giản un  un0 được gọi là số hạng thứ của dãy.
CÁC CÁCH CHO DÃY SỐ 1/ Dạng liệt kê: VD: dãy 1, 2, 3,…; dãy 1, 1/2, 1/3,… 2/ Dạng tường minh: {un} cho dạng biểu thức giải tích của biến n. 2 VD: un  n , un  1 / n 3/ Dạng quy nạp: Số hạng đi sau tính theo các số hạng đi trước VD: u1  1, un 1  un2  un  1 un 1  un u1  1, u2  1, un 1  2
Sự hội tụ, sự phân kỳ của dãy số Dãy số un  được gọi là hội tụ về ∈ ℝ nếu   0, n0  n  n0  un  a    n  Ký hiệu: lim un  a hay un  a n  Dãy un  được gọi là hội tụ nếu có số ∈ ℝ để nlim  un  a Ngược lại, dãy không hội tụ được gọi là dãy phân kỳ.
Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn) khi và chỉ khi: A  0, n0  N  n  n0  un  A  n  Ký hiệu: lim un   hay un    n  Ta nói un  tiến đến  (hoặc: nhận  làm giới hạn) khi và chỉ khi: B  0, n0  N  n  n0  un  B  n  Ký hiệu: lim un   hay un    n  Khi dãy có giới hạn là  hoặc  đều được gọi là phân kỳ.
n Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng lim 1 n  n  1   0 n 1 1 1       n  1 n 1 n 1  1 Chọn số tự nhiên n0   1  n 1 1 Khi đó n  n0 :| un  1| 1    n 1 n  1 n0  1 n  lim  1 (theo định nghĩa) n  n  1 Chú ý: Để chứng minh dãy un  hội tụ về thông thường chỉ ra dãy  n  hội tụ về 0 và thỏa mãn điều kiện un  a   n , n  n0
Dãy số bị chặn Ta nói dãy un  bị chặn trên bởi ∈ ℝ , nếu n  N , un  A Ta nói dãy un  bị chặn dưới bởi B ∈ ℝ , nếu n  N , un  A Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn.
Định lý 1.1 (tính duy nhất của giới hạn) Nếu dãy un  hội tụ đến thì là duy nhất.  lim un  a a b n  Chứng minh: Giả sử  và a  b . Đặt    nlim un  b 3  na :  n  na  un  a     Đặt n0  Max na , nb   nb :  n  nb  un  b    a  b  a  u n  un  b  un  a  un  b 2  a  b      2  | a  b | Mâu thuẫn. 3
Tính chất đại số của dãy hội tụ Cho lim un  a, lim vn  b , ta có: n  n  1) lim un | a | 4) lim  un  vn   a  b n  n  2) lim  un   0  lim un  0 n  n   un  a 5) lim    n   vn  b 3) lim  un  vn   a  b n
Tính bị chặn • Nếu dãy un  hội tụ, thì un  bị chặn trong tập ℝ. • Nếu dãy un  tiến đến +∞ thì bị chặn dưới trong tập ℝ. • Nếu dãy un  tiến đến −∞ thì bị chặn trên trong tập ℝ. Chứng minh 1: Giả sử lim un  a  n0 :  n  n0 | un  a | 1 n   a  1  un  a  1   Đặt: M  Max u1 , u2 ,..., un0 ,1 | a |  un  M Chú ý: Tồn tại những dãy bị chặn nhưng không hội tụ n  Ví dụ.  (1)  n 1
Tính chất về thứ tự và nguyên lý kẹp Nguyên lý kẹp Cho 3 dãy un  ,vn  ,wn  thỏa mãn n0 , n  n0  un  vn  wn và lim un  lim wn  a , khi đó lim vn  a n  n n  Giả sử  n  n0  ,  un  vn  và lim un  , khi đó lim vn   n  n 
 n n  Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy  un     2   k 1 n  k  n n n2 n un   2  1 k 1 n 1 n2  1  lim  un   1 n  n n n n  un   2  1 k 1 n  n n 1 5n Ví dụ. Tìm lim n  n n
Dãy đơn điệu • Ta nói dãy un  là dãy tăng, nếu n  N , un 1  un • Ta nói dãy un  là dãy giảm, nếu n  N , un 1  un • Bỏ dấu “ = “ trong định nghĩa ta gọi là tăng (giảm) ngặt. Một dãy tăng hay dãy giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Định lý 1.2 (định lý Weierstrass) Dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ. Dãy giảm và bị chặn dưới thì hội tụ. Định lý 1.3 Dãy un  tăng và không chặn trên thì tiến dần đến +∞. Dãy un  giảm và không chặn dưới thì tiến dần đến −∞.
Phương pháp khảo sát dãy đơn điệu: 1.Xét hiệu số: un+1 – un (so với “0”) 2.Xét thương số: un+1/un (so với “1”) (dùng cho dãy số dương) 3.Xét đạo hàm của hàm số f(x), với f(n) = un
Ví dụ: Chứng tỏ dãy n!  un  , u n   2n  1!! là dãy hội tụ. Suy ra tồn tại giới hạn và tìm giới hạn này. un 1 n 1 1 un    un 1   un Vậy dãy giảm. un 2n  3 2 2 0  un Vậy dãy bị chặn dưới.   lim un  a n 1 n 1 1 un 1   un  a  a  lim a aa0 2n  3 n  2n  3 2 n!  lim 0 n   2n  1!!