Bài giảng Giải tích 1: Phần 2

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:61

Thêm vào BST

Báo xấu

121
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nối tiếp nội dung của phần 1 cuốn "Bài giảng Giải tích 1", phần 2 giới thiệu tới người đọc các kiến thức cơ bản và bài tập về phép tính tích phân một biến số và hàm số nhiều biến số. Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 1: Phần 2

CHƯƠNG 2 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN MỘT BIẾN SỐ §1. T ÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.1 Nguyên hàm của hàm số Chương này trình bày về phép tính tích phân, đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số. Nếu ta cho trước một hàm số f ( x ) thì có tồn tại hay không một hàm số F( x ) có đạo hàm bằng f ( x )? Nếu tồn tại, hãy tìm tất cả các hàm số F( x ) như vậy. Định nghĩa 2.2. Hàm số F( x ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên một tập D nếu F0 ( x ) = f ( x ), ∀ x ∈ D hay dF( x ) = f ( x )dx. Định lý sau đây nói rằng nguyên hàm của một hàm số cho trước không phải là duy nhất, nếu biết một nguyên hàm thì ta có thể miêu tả được tất cả các nguyên hàm khác của hàm số đó. Định lý 2.10. Nếu F( x ) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng D, thì: • Hàm số F( x ) + C cũng là một nguyên hàm của hàm số f ( x ), với C là một hằng số bất kỳ. • Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f ( x ) đều viết được dưới dạng F( x ) + C, trong đó C là một hằng số. Như vậy biểu thức F( x ) + C biểu diễn tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x ), mỗi hằng số C tương ứng cho ta một nguyên hàm. 37
38 Chương 2. Phép tính tích phân một biến số Định nghĩa 2.3. Tích phân bất định của một hàm số f ( x ) là họ các nguyên hàm F( x ) + C, với x ∈ D, trong đó C là một nguyên hàm củaZ hàm số f ( x ) và C là một hằng số bất kỳ. Tích phân bất định của f ( x )dx được ký hiệu là f ( x )dx. Biểu thức f ( x )dx được gọi là biểu thức dưới dấu tích phân và hàm số f ( x ) được gọi là hàm số dưới dấu tích phân. Z Vậy f ( x )dx = F( x ) + C, với F( x ) là nguyên hàm của f ( x ). Các tính chất của tích phân bất định Z 0 Z • f ( x )dx = f ( x ) hay d f ( x )dx = f ( x )dx Z Z • F0 ( x ) dx = F( x ) + C hay dF( x ) = F( x ) + C Z Z • a f ( x )dx = a f ( x )dx (a là hằng số khác 0) Z Z Z • [ f ( x ) ± g( x )] dx = f ( x )dx ± g( x )dx Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung Z Z Z [α f ( x ) + βg( x )] dx = α f ( x )dx + β g( x )dx trong đó α, β là các hằng số không đồng thời bằng 0. Các công thức tích phân dạng đơn giản x α+1 Z Z α dx x dx = + C, (α 6= −1) = ln | x | + C Z α+1 Z x sin xdx = − cos x + C cos xdx = sin x + C Z Z dx dx = −cotgx + C = tgx + C sin2 x cos2 x ax Z Z ax dx = + C, (a > 0, a 6= 1) e x dx = e x + C ln a
Z
a + x
Z dx 1 dx 1 x = ln
+C = arctg + C a2 − x 2 2a
a − x
x2 +a 2 a a Z
Z dx
p
dx x √ = ln
x + x2 + α
+ C √ = arcsin + C 2 x +α a2 − x 2 a a2 Z p 1 p x a2 − x2 dx = x a2 − x2 + arcsin + C 2 2 a Z h p
i p 1
p
x2 + adx = x x2 + a + a ln