Bài giảng Giải tích 2: Đổi biến trong tích phân bội ba - Trần Ngọc Diễm

Chia sẻ: Minh Vũ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

67
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 2: Đổi biến trong tích phân bội ba" cung cấp cho người học các kiến thức: Đổi biến trong tích phân bội ba, tọa độ trụ, tọa độ cầu, đổi biến cho hình cầu tổng quát, ellipsoid,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 2: Đổi biến trong tích phân bội ba - Trần Ngọc Diễm

ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA
ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BỘI BA f(x,y,z) xác định trong , đặt x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) (x,y,z)    (u,v,w)  ’ z = z(u,v,w) xu x y xw D( x , y , z) J  y u y v yw D(u , v , w ) zu zv zw   f ( x, y , z)dxdydz    g (u,v ,w ) | J | dudvdw
Áp dụng vào việc xét tính đối xứng của  Nếu  gồm 2 phần 1 và 2 đối xứng nhau qua mp z = 0 1.f chẵn theo z :   f ( x , y , z)dxdydz 2   f ( x , y , z)dxdydz 1 2.f lẻ theo z :   f ( x , y , z)dxdydz  0
Lưu ý: • Mp z = 0 là mp Oxy • Kết quả áp dụng tương tự nếu  đối xứng qua mp • y = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo y) • x = 0 (tính chẵn lẻ của f xét theo x)
TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos, y = rsin, z = z z z M x  r y r  2 x y 2  M’ cố định z đổi sang tọa độ trụ  hình chiếu D đổi sang tọa độ cực.
TỌA ĐỘ TRỤ x = rcos, y = rsin, z = z J=r   f (x, y , z)dxdydz    f (r cos , r sin , z)rdrddz Điều kiện giới hạn: 1.r  0 2. [0, 2] hay  [- , ]
TỌA ĐỘ CẦU x = sincos, z M y = sinsin,   z = cos y  J = 2 sin x Điều kiện giới hạn: 1.  0 2. [0, 2] hay  [- , ] 3.  [0, ]
Lưu ý: 2 2 2   x y z x 2  y 2   sin  Tọa độ cầu thường dùng cho miền giới hạn bởi mặt cầu hoặc mặt nón và mặt cầu.
Một số mặt cong thường gặp trong tđ cầu 2 2 2 2   R x y z R 0    R 2 2 2 2  x y z R  0     0    2     2R cos   2 2 2 x  y  z  2Rz  0     2 0    2
2 2 z 1 Nón trên. x  y   tan   a a 2 2 2 R x y R    Trụ tròn. sin 
VÍ DỤ 1/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ 4 4x x2 2  I  dx 0  0  dy xzdz 0 2 0  x  4 D  hc  :  Oxy 2  0  y  4 x  x  2 x = rcos, y = rsin, z = z : 0  r  4cos, 0    /2, 0  z  2
z=2 y =0 x2 + y2 = 4x 4 4x x2 2 z=0 I  dx 0  0  dy xzdz 0  2 4 cos  2  0 d  dr  r cos  .z.rdz 0 0
2/ Vẽ miền lấy tp và đổi tp sau sang tọa độ trụ, cầu: 2 4 y 2 0  I  dy 0  0 dx  xzdz  4 x 2  y 2
2 4 y 2 0 x = rcos,  I  dy 0  0 dx  xzdz y = rsin,  4 x 2  y 2 z=z  2 2 0 I  d 0 dr  r cos .z.rdz 0  4r 2
2 4 y 2 0  I  dy 0  0 dx  xzdz  4 x 2  y 2  2  2 2 I  d  0 d  sin  cos  . cos . sin  d  0 2
3/ Tính tp sau sử dụng tọa độ trụ và tọa độ cầu: I   zdxdydz 2 2  Là miền bên trong nón z  x y 2 2 2 và bị chắn bởi mặt cầu x y z 2
2 2 2 2 2 x  y  z  2, z  x  y x = rcos, y = rsin, 1 z=z J=r Giao tuyến: z  1 2 2 1 x  y 1 2 1 2r 2  I   zdxdydz    d dr  z.rdz  2 0 0 r
z  x  y , x  y  z  2 x = sincos, 2 2 2 2 2 y = sinsin, 1 z = cos. J = 2 sin 2  4 2 I 0 d 0 d   cos 2 sin  d  0
4/ Tính tp sau sử dụng tọa độ cầu: I   zdxdydz  2 22 2 2 : z  x  y , x  y  z  2z
2 2 2 2 2 z  x  y , x  y  z  2z Giao tuyến của mặt cầu và trụ z  x 2  y 2 1  2 2z  2z  z  1 4  2 2  x  y 1 1