Bài giảng "Không gian Euclide" cung cấp cho người học các kiến thức: Không gian Euclide (định nghĩa, độ dài véctơ (chuẩn của véctơ), khoảng cách giữa hai véctơ, góc giữa 2 véctơ), sự trực giao. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Không gian Euclide - TS. Lê Xuân Đại
- KHÔNG GIAN EUCLIDE
Bài giảng điện tử
TS. Lê Xuân Đại
Trường Đại học Bách Khoa TP HCM
Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng
Email: ytkadai@hcmut.edu.vn
TP. HCM — 2013.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 1 / 56
- →
−
Công của lực F
→
− −
A = F .→
s = F .s. cos α
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 2 / 56
- →
− →
−
a = (a1, a2), b = (b1, b2).
→
−
q
= a1.b1 + a2.b2; ||→
−
a || = a12 + a22
→
−
→ − →
− →
− →
−
cos α = →
− ; d ( a , b ) = || a − b ||
→
−
|| a ||.|| b ||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 3 / 56
- Nội dung
1
Định nghĩa không gian Euclide, độ dài của
véc-tơ, khoảng cách giữa 2 véc-tơ, góc giữa 2
véc-tơ
2
Sự trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở
trực giao, quá trình trực giao hóa
Gram-Schmidt, bù trực giao, hình chiếu vuông
góc, khoảng cách từ 1 véc-tơ đến 1 không gian
con
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 4 / 56
- Không gian Euclide Định nghĩa
Cho R−kgv E . Khi đó E được gọi là không gian
Euclide (thực) nếu
< ·, · >: E × E → R
(x, y ) 7−→< x, y > − gọi là tích vô
hướng của 2 véctơ.
Tích vô hướng < x, y > thỏa mãn 4 tiên đề
1
< x, y >=< y , x >, ∀x, y ∈ E
2
< x + y , z >=< x, z > + < y , z >,
∀x, y , z ∈ E
3
< αx, y >= α < x, y >, ∀x, y ∈ E , ∀α ∈ R.
4
< x, x >> 0, x 6= 0 và < x, x >= 0 ⇔ x = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 5 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
R−kgv R3 là không gian Euclide với tích vô hướng
(x, y ) 7−→< x, y >= x1.y1 + x2.y2 + x3.y3 = x.y T
với x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3).
Ví dụ
R−kgv Rn là không gian Euclide với tích vô hướng
< ·, · >: Rn × Rn → R
n
xi yi = x.y T
P
(x, y ) 7−→< x, y >=
i=1
với x = (x1, x2, . . . , xn ), y = (y1, y2, . . . , yn ).
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 6 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R2 có thể xác định tích vô hướng
khác (x, y ) 7−→< x, y >= x1.y1 + 2x2.y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2).
< x, y >= x1 .y1 + 2x2 .y2 = y1 .x1 + 2y2 .x2 =< y , x >
< x + y , z >= (x1 + y1 )z1 + 2(x2 + y2 )z2 =
(x1 z1 + 2x2 z2 ) + (y1 z1 + 2y2 z2 ) =< x, z > + < y , z >
< αx, y >= α.x1 .y1 + 2α.x2 .y2 = α(x1 y1 + 2x2 y2 ) =
α. < x, y >
< x, x >= x1 .x1 + 2x2 .x2 = x12 + 2x22 > 0. Dấu "="
⇔ x1 = x2 = 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 7 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong R−kgv R2 hàm số sau không là một tích
vô hướng (x, y ) 7−→< x, y >= x1.y1 − 3x2.y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2).
Cho x = (1, 2). Khi đó
< x, x >= 1.1 − 3.2.2 = −11 < 0.
Không thỏa mãn tiên đề 4.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 8 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Không gian véctơ C[a,b] các hàm số liên tục trên
đoạn [a, b] là không gian Euclide với tích vô hướng
< ·, · >: C[a,b] × C[a,b] → R
Rb
(f , g ) 7−→< f , g >= f (x)g (x)dx
a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 9 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Chứng minh.
Rb Rb
< f , g >= f (x)g (x)dx = g (x)f (x)dx =
a a
< g , f >, ∀f , g ∈ C[a,b]
Rb
< f + g , h >= (f (x) + g (x))h(x)dx =
a
Rb Rb
f (x)h(x)dx + g (x)h(x)dx =
a a
< f , h > + < g , h >, ∀f , g , h ∈ C[a,b]
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 10 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Rb
< αf , g >= (αf (x))g (x)dx =
a
Rb
α f (x)g (x)dx = α < f , g >,
a
∀f , g ∈ C[a,b], ∀α ∈ R.
Rb
< f , f >= (f (x))2dx > 0, f (x) 6= 0 và
a
Rb
< f , f >= (f (x))2dx = 0 ⇔ f (x) ≡ 0
a
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 11 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Ví dụ
Trong không gian P2(x) cho tích vô hướng
Z 1
< p, q >= p(x)q(x)dx,
0
∀p(x) = a1x 2 + b1x + c1, q(x) = a2x 2 + b2x + c2.
Tính tích vô hướng của
p(x) = x 2 − 4x + 5, q(x) = x + 1
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 12 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Tích vô hướng của p(x) và q(x) là
Z 1
< p, q >= p(x)q(x)dx =
0
Z 1
19
= (x 2 − 4x + 5)(x + 1)dx =
0 4
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 13 / 56
- Không gian Euclide Độ dài véctơ (chuẩn của véctơ)
Định nghĩa
Cho x ∈ E , trong đó E là không gian Euclide, ta
gọi độ dài hay chuẩn của véctơ x là
√
||x|| = < x, x >
Ví dụ
Trong R2 cho tích vô hướng
< x, y >= 3x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, 2). Tìm
độ dài của véctơ u.
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 14 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
√
Độ dài của véctơ u là ||u|| = < u, u >.
< u, u >= 3.1.1 + 1.2 + 2.1 + 2.2 = 11
√
⇒ ||u|| = 11
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 15 / 56
- Không gian Euclide Khoảng cách giữa hai véctơ
Định nghĩa
Trong không gian Euclide E , khoảng cách giữa 2
véctơ u, v là độ dài của véctơ u − v . Kí hiệu
d (u, v ). Vậy d (u, v ) = ||u − v ||.
Ví dụ
Trong R2 cho tích vô hướng
< x, y >= x1y1 − 2x1y2 − 2x2y1 + 5x2y2
với x = (x1, x2), y = (y1, y2), và u = (1, −1),
v = (0, 2). Tìm khoảng cách giữa 2 véctơ u, v .
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 16 / 56
- Không gian Euclide Ví dụ
Khoảng cách giữa 2 véctơ u, v là
√
d (u, v ) = ||u − v || = < u − v , u − v >. Ta có
u − v = (1, −3) ⇒< u − v , u − v >=
= 1.1 − 2.1.(−3) − 2.(−3).1 + 5(−3)(−3) = 58.
√ √
Vậy d (u, v ) = < u − v , u − v > = 58
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 17 / 56
- Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Bất đẳng thức Cauchy-Bunhiacovski
Định lý
Trong không gian Euclide E , ta có
| < x, y > | 6 ||x||.||y ||, ∀x, y ∈ E .
Dấu ” = ” xảy ra ⇔ x và y là phụ thuộc tuyến
tính.
Chứng minh. ∀x, y ∈ E , ∀λ ∈ R ta có
< x − λy , x − λy >> 0
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 18 / 56
- Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
⇔< x, x > −2λ < x, y > +λ2 < y , y >> 0.
⇔ ||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 > 0.
Bất đẳng thức đúng với mọi λ ∈ R nên
∆0 = (< x, y >)2 − ||x||2.||y ||2 6 0
⇔ (< x, y >)2 6 ||x||2.||y ||2
⇔ | < x, y > | 6 ||x||.||y ||
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 19 / 56
- Không gian Euclide Góc giữa 2 véctơ
Nếu | < x, y > | = ||x||.||y || thì ∆0 = 0 khi đó
||x||2 − 2λ < x, y > +λ2||y ||2 = (λ − λ0)2.
Do đó nếu λ = λ0 thì < x − λ0y , x − λ0y >= 0
hay x − λ0y = 0 ⇔ x = λ0y ⇒ x, y phụ thuộc
tuyến tính.
Bất đẳng thức BCS trong R2
q q
|x1.y1 + x2.y2| 6 x12 + x22. y12 + y22
TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) KHÔNG GIAN EUCLIDE TP. HCM — 2013. 20 / 56
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
